新湘教版 数学 八年级上1.5.1分式方程的概念及解法教学设计
课题
1.5.1分式方程的概念及解法
单元
第一单元
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1.掌握分式方程的解法；
2.体会分式方程到整式方程的转化思想；
3.培养学生的数学转化思想．培养学生的观察、类比、探索的能力．
重点
分式方程的解法
难点
理解解分式方程时产生增根的原因.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
同学们，你们还记得有关一元一次方程的知识？
1.什么是一元一次方程？
答案：只含有一个未知数、未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.
2.解一元一次方程的一般步骤是什么？
答案：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
3.分式有意义的条件是什么？
答案：分母不等于0.
学生根据老师的提问回答问题.
通过复习一元一次方程的概念、解法及分式有意义的条件，为即将进行的分式方程做好铺垫.
新知讲解
思考：某校八年级学生乘车前往某景点秋游，现有两条线路可供选择：线路一全程25 km，线路二全程30 km;若走线路二平均车速是走线路一的1.5倍，所花时间比走线路一少用10min， 则走线路一、二的平均车速分别为多少？
追问1：你能找出题中关于时间的相等关系吗？
答案：
解：设走线路一的平均车速为x km/h，则走线路二的平均车速为1.5x km/h.
追问2：这个方程和我们学习过的方程有什么不同呢？
答案：未知数出现在分母中.
归纳：像这样，分母中含有未知数的方程叫作分式方程
练习1：判断下列说法是否正确.
（1）方程是分式方程； ( )
（2）方程是分式方程； ( )
（3）方程是分式方程； ( )
（4）方程是分式方程. ( )
答案：×；√；√；√.
议一议：分式方程的分母中含有未知数，我们该如何求解呢？
讨论得出答案：“去分母”，将分式方程转化为一元一次方程来解.
解：方程两边同乘6x，得
25 × 6 - 30 × 4 = x.
解得x = 30.
经检验，x=30是所列方程的解.
追问：为什么方程两边同乘6x？
答案：去掉分母
例1：解方程：
解：方程两边同乘最简公分母x(x-2)，得
5x - 3 (x - 2 ) =0.
解得x = -3.
检验：把x = -3代入原方程，得左边= =右边，
因此x = -3是原方程的解.
归纳：分式方程的解也叫作分式方程的根.
练习2：解分式方程
解：方程两边都乘以最简公分母(20+m)(20-m)得，
解这个整式方程，得m=5
100(20-m)=60(20+m)
检验:把m = 5 代入原方程中，左边＝右边
因此m＝５是原方程的解.
例2：解方程：
解：方程两边同乘最简公分母(x+2)(x-2)，得
x + 2 =4.
解得x = 2.
检验：把x = 2代入原方程，方程两边的分式的分母都为0,
这样的分式没有意义.
因此，x = 2不是原分式方程的根，从而原分式方程无解.
注意：由于分式方程转化为一元一次方程过程中，要去掉分母就必须同乘一个整式，但整式可能为零，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验.
验根的方法：把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于0,那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为0,那么它不是原分式方程的根
练习3：解方程：
解：方程两边同乘最简公分母(x+5)(x-5)，得
x + 5 =10.
解得x = 5.
检验：当x = 5时，(x+5)(x-5)＝0，
因此，x = 5不是原分式方程的解，
所以原分式方程无解.
说一说：解可化为一元一次方程的分式方程的基本步骤有哪些?
答案：
学生根据老师出示的问题，通过分析数量列出方程，并在老师的引导下学习分式方程的概念.
在老师的引导下尝试进行分式方程的求解.
尝试独立完成例题与练习题，并在小组内交流后，班内交流.
和老师一起进行归纳.
引导理解分式方程的概念.
在例题的学习中加深对异分母分式加减法法则的理解与应用，并通过练习提高学生的计算能力与应用能力.
掌握分式方程的解法.
提高学生解分式方程的能力，并体会增根产生的原因。
掌握解分式方程的一般步骤
课堂练习
下面，请同学们独立完成课堂练习.
1.在下列方程中：
分式方程有（ ）
A.1个 B.2个 C. 3个 D.4个
答案：B
2.把分式方程转化为一元一次方程时，方程两边需同乘( )
A．x B．2x C．x＋2 D．x(x＋2)
答案：D
3.解下列方程.
答案：(1) x＝1; (2) x＝－3
学生自主完成课堂练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识，并强化法则的逆用。
拓展提高
下面，让我们一起完成下面这道题：
解方程：
解：方程两边乘(x － 1) (x + 2) ，得
x (x + 2) － (x － 1) (x + 2) =3.
解得x=1.
检验：当x = 1时， (x － 1) (x + 2)=0.
因此x = 1不是原分式方程的解，
所以，原分式方程无解.
在老师的引导下完成问题.
加深对所学知识的理解，并能利用所学解决实际问题，提高解决问题的能力..
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
1、什么是分式方程？
答案：分母中含有未知数的方程叫作分式方程
2、解分式方程的思路是什么？
答案：分式方程通过“去分母”整式方程
3、说一说解分式方程的步骤.
答案：
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生梳理所学知识.
作业布置
基础作业
教材第36页习题1.5A组第1题
能力作业
教材第37页习题1.5B组第5题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点.
1.5.1分式方程的概念及解法
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．下面是分式方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．解方程时，去分母得（ ）
A． B．
C． D．
3．分式方程=1的解为（ ）
A．x=﹣1 B．x= C．x=1 D．x=2
4．方程的根的情况，说法正确的是（ ）
A．0是它的增根 B．－1是它的增根
C．原分式方程无解 D．1是它的根
5．若关于x的方程有增根，则k的值为（ ）
A．3 B．1 C．0 D．－1
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．分式方程 的解是_______.
7．当x=_______时， 的值相等．
8．分式方程去分母时，两边都乘以________________．
9．若，则=_______.
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．解下列分式方程．
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ．
11．解方程：
(1) ; (2) .
12．已知关于x的分式方程.
(1)若方程的增根为x＝2，求a的值；
(2)若方程有增根，求a的值；
(3)若方程无解，求a的值．
试题解析
1．D
【解析】A、不是方程，故本选项错误；
B、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项错误；
C、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项错误；
D、分母中含有未知数，是分式方程，故本选项正确．
故选D．
2．C
【解析】观察可得最简公分母是（x-1）（x-3），方程两边都乘最简公分母，即可把分式方程转换为整式方程．
解：方程两边同乘（x-1）（x-3）得(x-1)(x-3)+2(x-3)=(x-5)(x-1)，
故选C.
3．A
【解析】解：去分母得：2x﹣1=x﹣2，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解，
则分式方程的解为x=﹣1．
故选：A．
4．C
【解析】方程两边同乘x(x+1)(x-1)，得
3(x+1)-6x=7(x-1)，
解得：x=1，
检验：当x=1时，x(x+1)(x-1)=0，所以x=1不是原方程的解，原方程无解，
故选C.
5．A
【解析】首先根据解分式方程的方法求出x的值，然后根据增根为x=1代入方程求出k的值.将方程的两边同时乘以(x-1)可得：3=x-1+k，解得：x=4-k，根据方程有增根可得：x=1，即4-k=1，k=3.
6．1
【解析】去分母得：3-a=2,解得：a=1,检验:当a=1时，9-a2≠0,所以原方程的解是：a=1.故答案为：a=1.
7．-14
【解析】解：
解得：
经检验： 符合题意.
故答案为：
8．x2-4
【解析】解：方程两边都乘(x+2)(x?2).
故答案为：
9．-3
【解析】解方程，得：y=-4，经检验y=-4是方程的解，
所以=-4+1=-3，
故答案为：-3.
10．(1) x=2．(2) x=3．(3) x＝-2． (4)无解．
【解析】每个方程确定最简公分母后，方程两边乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解后再进行检验即可得.
解：（1）方程两边同乘x(x+1)，得
2（x+1）=3x，
解得：x=2，
检验：当x=2时，x(x+1)≠0，
所以原方程的解为x=2；
（2）方程两边同乘（2x-1）(2x+1)，得
7（2x-1）=5（2x+1），
解得：x=3，
检验：当x=3时，（2x-1）(2x+1)≠0，
所以原方程的解为x=3；
（3）方程两边同乘2(x+3)，得
4+3（x+3）=7，
解得：x=-2，
检验：当x=-2时，2(x+3)≠0，
所以原方程的解为x=-2；
（4）方程两边同乘 (x-4)，得
5-x-1=x-4，
解得：x=4，
检验：当x=4时，x-4=0，x=4是增根，
所以原方程无解.
11．(1) x＝4；(2) x＝.
【解析】(1)方程两边都乘以公因式(x+2)(x-2)，化为整式方程后求解，注意验根；
(2)方程两边都乘以公因式(x+1)(x-1)，化为整式方程后求解，注意验根；
解：(1)方程两边乘(x＋2)(x－2)，得3x(x－2)＋2(x＋2)＝3(x＋2)(x－2)．
化简得－4x＝－16，
解得x＝4.
经检验，x＝4是原方程的解．
所以原方程的解是x＝4；
(2)方程两边都乘以(x＋1)(x－1)，去分母，得4－(x＋1)(x＋2)＝－(x＋1)(x－1)．
解得x＝.
经检验，x＝是原方程的解．
所以原方程的解是x＝.
12．（1）－2；（2）－2；（3）3或－2
【解析】（1）原方程化为整式方程，求解出增根，然后代入求解即可；
（2）由增根求出x的值，然后代入化成的整式方程即可；
（3）方程无解，可分为有增根和化成的整式方程无解两种情况求解即可.
解：(1)原方程去分母并整理，得(3－a)x＝10.
因为原方程的增根为x＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.
(2)因为原分式方程有增根，所以x(x－2)＝0.解得x＝0或x＝2.
因为x＝0不可能是整式方程(3－a)x＝10的解，所以原分式方程的增根为x＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a＝－2.
(3)①当3－a＝0，即a＝3时，整式方程(3－a)x＝10无解，则原分式方程也无解；
②当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，此时a＝－2.综上所述，a的值为3或－2.
课件23张PPT。分式方程的概念及解法数学湘教版 八年级上新知导入1.什么是一元一次方程？
只含有一个未知数、未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.2.解一元一次方程的一般步骤是什么？
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为13.分式有意义的条件是什么？
分母不等于0.新知讲解 思考：某校八年级学生乘车前往某景点秋游，现有两条线路可供选择：线路一全程25 km，线路二全程30 km;若走线路二平均车速是走线路一的1.5倍，所花时间比走线路一少用10min， 则走线路一、二的平均车速分别为多少？你能找出题中关于时间的相等关系吗？ 解：设走线路一的平均车速为x km/h，则走线路二的平均车速为1.5x km/h.新知讲解这个方程和我们学习过的方程有什么不同呢？未知数出现在分母中.像这样，分母中含有未知数的方程叫作分式方程特点：1.含有分式；2.分母中含有未知数。你能再举出一个分式方程吗？新知讲解练习1：判断下列说法是否正确.（1）方程 是分式方程； ( )（2）方程 是分式方程； ( )
（3）方程 是分式方程； ( )（4）方程 是分式方程. ( )×√√√新知讲解 议一议：分式方程 的分母中含有未知数，我们该如何求解呢？“去分母”，将分式方程转化为一元一次方程来解.解：方程两边同乘6x，得
25 × 6 - 30 × 4 = x.
解得 x = 30.
经检验，x=30是所列方程的解.为什么方程两边同乘6x？去掉分母新知讲解例1：解方程：解：方程两边同乘最简公分母x(x-2)，得
5x - 3 (x - 2 ) =0.
解得 x = -3.
检验：把x = -3代入原方程，得左边= =右边，
因此x = -3是原方程的解.分式方程的解也叫作分式方程的根.新知讲解练习2：解分式方程解：方程两边都乘以最简公分母(20+m)(20-m)得，解这个整式方程，得 m=5100(20-m)=60(20+m)检验:把m = 5 代入原方程中，左边＝右边因此m＝５是原方程的解.新知讲解上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解。所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母。新知讲解例2：解方程：解：方程两边同乘最简公分母(x+2)(x-2)，得
x + 2 =4.
解得 x = 2.
检验：把x = 2代入原方程，方程两边的分式的分母都为0,
这样的分式没有意义.
因此，x = 2不是原分式方程的根，从而原分式方程无解.新知讲解 注意：由于分式方程转化为一元一次方程过程中，要去掉分母就必须同乘一个整式，但整式可能为零，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根.因此，在解分式方程时必须进行检验. 验根的方法：把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值不等于0,那么它是原分式方程的一个根；如果它使最简公分母的值为0,那么它不是原分式方程的根新知讲解练习3：解方程：解：方程两边同乘最简公分母(x+5)(x-5)，得
x + 5 =10.
解得 x = 5.
检验：当x = 5时，(x+5)(x-5)＝0，
因此，x = 5不是原分式方程的解，
所以原分式方程无解.注意：分式方程的求根过程不一定是同解变形，所以分式方程一定要验根。新知讲解说一说：解可化为一元一次方程的分式方程的基本步骤有哪些?可化为一元一次方程的分式方程一元一次方程方程两边同乘各个分式的最简公分母一元一次方程的解求解 把一元一次方程的解代入最简公分母中，若它的值不等于0,则这个解是原分式方程的根；若它的值等于0,则原分式方程无解.检验课堂练习1.在下列方程中：
分式方程有（ ）
A.1个 B.2个 C. 3个 D.4个B课堂练习 2.把分式方程 转化为一元一次方程时，方程两边需同乘( )
A．x B．2x
C．x＋2 D．x(x＋2)D课堂练习3.解下列方程.答案： (1) x＝1; (2) x＝－3拓展提高解方程：解：方程两边乘(x － 1) (x + 2) ，得
x (x + 2) － (x － 1) (x + 2) =3.
解得x=1.
检验：当x = 1时， (x － 1) (x + 2)=0.
因此x = 1不是原分式方程的解，
所以，原分式方程无解.课堂总结1、什么是分式方程？ 分母中含有未知数的方程叫作分式方程2、解分式方程的思路是什么？分式方程整式方程去分母分式方程整式方程a是分式
方程的解x=aa不是分式
方程的解去分母解整式方程检 验目 标最简公分
母不为０最简公分
母为０3、说一说解分式方程的步骤.课堂总结板书设计
课题：1.5.1分式方程的概念及解法
??
教师板演区?
学生展示区一、分式方程
二、解分式方程的思路
三、解分式方程的步骤
基础作业
教材第36页习题1.5A组第1题
能力作业
教材第37页习题1.5B组第5题
作业布置谢谢
