新湘教版 数学 八年级上1.5.2分式方程的应用教学设计
课题
1.5.2分式方程的应用
单元
第一单元
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1.进一步熟练地解可化为一元一次方程的分式方程；
2.使学生能熟练地列可化为一元一次方程的分式方程解应用题.
3.培养学生从已有的知识点出发，探究新知识点，掌握新知识点中团队协助精神和学习能力。
重点
列分式方程解应用题的.
难点
寻找等量关系的方法，体会方程建模思想.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
同学们，上节课我们学习了分式方程及其解法，哪位同学能说一说什么是分式方程和分式方程的解法呢？
问题1.什么是分式方程？
答案：分母中含有未知数的方程叫作分式方程
问题2.解分式方程的一般步骤是什么？
答案：（1）去分母：方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程；
（2）解整式方程；
（3）验根：把一元一次方程的解代入最简公分母中，若它的值不等于0,则这个解是原分式方程的根；若它的值等于0,则原分式方程无解..
学生根据老师的提问回答问题.
通过复习分式方程的概念及解法，为即将进行的列分式方程解应用题做好解分式方程的准备.
新知讲解
思考：A，B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20 kg， 且A型机器人搬运1000 kg所用的时间与B型机器人搬运800 kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料？
追问：你能说一说这两个机器人在时间上的等量关系吗？
答案：A型机器人搬运1 000 kg所用时间=B型机器人搬运800 kg所用时间
解：设B型机器人每小时搬运x kg,则A型机器人每小时搬运(x + 20) kg，根据题意可列方程：
方程两边同乘最简公分母x(x +20)，得
1 000 x = 800 (x + 20).
解得x = 80.
检验：把x = 80代人x(x + 20)中，它的值不等于0，
因此x = 80是原方程的根，且符合题意，
所以 x + 20＝100，
答：B型机器人每小时搬运原料80kg，A型机器人每小时搬运原料100 kg.
说一说：列分式方程解应用题的一般步骤有哪些？
归纳：列分式方程解应用题的一般步骤
（1）审：审清题意；
（2）找：找出相等关系；
（3）设：设未知数；
（4）列：列出方程；
（5）解：解这个分式方程；
（6）验：既要检验根是否是所列分式方程的根，又要检验根是否符合题意；
（7）答：写出答案．
例1：一辆汽车开往距离出发地180 km的目的地，按原计划的速度匀速行驶60 km后，再以原来速度的1.5倍匀速行驶，结果比原计划提前40 min到达目的地，求原计划的行驶速度．
(1)审：审清题意.
(2)找：找出已知量和未知量．
(3)设：设出未知数.
解：设原计划的行驶速度为x km/h，则行驶60 km后的速度为1.5 x km/h.
(4)列：根据等量关系，列出分式方程.
(5)解：解分式方程，
解得x＝60．
(6)验：检验所求的解是否为分式方程的解，并检验分式方程的解是否符合问题的实际意义．
经检验：x＝60是原方程的解，且符合题意．
(7)答：写出答案(不要忘记单位)．
答：原计划的行驶速度为60km/h.
例2：国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后， 客户每购买一台可获得补贴200元，若同样用11万元购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前多10%，则该款空调补贴前的售价为多少元？
分析：本题涉及的等量关系是：
补贴前11万元购买的台数× (1+10%)=补贴后11万元购买的台数
解：设该款空调补贴前的售价为每台x元，由上述等量关系可得如下方程：
即：
方程两边同乘最简公分母x (x-200)，得
1.1 ( x - 200 )=x.
解得 x=2 200.
检验：把x=2200代入x (x-200) 中，它的值不等于0，
因此x＝2200是原方程的根，且符合题意.
答：该款空调补贴前的售价为每台2 200元.
练习：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个 队的施工速度快？
解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的.记总工程量为1，根据工程的实际进度，得
方程两边乘6x，得
2x＋x＋3=6x.
解得x=1.
检验：当x = 1时，6x≠0.
所以，原分式方程的解为x=1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，
对比甲队1个月 完成任务的，可知乙队的施工速度快.
学生齐读题，理解题意，在老师引导问题下，分析相等关系，列出方程，并在老师的引导下学习列分式方程解应用题的一般步骤.
尝试独立完成例题与练习题，并在小组内交流后，班内交流.并仔细听老师的讲评.
认识列分式方程解应用题的一般步骤.
提高学生列分式方程解应用题的应用能力.
课堂练习
下面，请同学们独立完成课堂练习.
1．甲、乙两人加工一批零件，甲完成120个与乙完成100个所用的时间相同，已知甲比乙每天多完成4个．设甲每天完成x个零件，依题意下面所列方程正确的是( )
答案：A
2.某市为处理污水，需要铺设一条长为5000 m的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设20 m，结果提前15天完成任务．设原计划每天铺设管道x m，则可得方程________________________．
答案：
3.商场用50 000元从外地采购回一批T恤衫，由于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采购回比上一次多两倍的T恤衫，但第二次比第一次进价每件贵12元．求第一次购进多少件T恤衫．
解：设第一次购进x 件T恤衫，由题意得，
方程两边都乘3x，得，186 000 -150 000 =36x，
解得x =1 000.
检验：当x =1 000时，3x =3 000≠0，
所以，x =1 000是原分式方程的解，且符合题意.
答：第一次购进1 000件T恤衫.
学生自主完成课堂练习，然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识，并强化法则的逆用。
拓展提高
下面，让我们一起完成下面这道题：
八年级学生去距学校s km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了t min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是学生骑车速度的2倍，求学生骑车的速度．
解：设学生骑车的速度是x km/h，由题意得，
方程两边同乘2x，得2s -s =2tx.
解得 x =．
检验：由于s，t 都是正数，x =时，2x≠0，
所以，x =是原分式方程的解，且符合题意.
答：学生骑车的速度是km/h．
在老师的引导下完成问题.
加深对所学知识的理解，并能利用所学解决实际问题，提高解决问题的能力..
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
说一说列分式方程解应用题的一般步骤？
（1）审：审清题意；
（2）找：找出相等关系；
（3）设：设未知数；
（4）列：列出方程；
（5）解：解这个分式方程；
（6）验：既要检验根是否是所列分式方程的根，又要检验根是否符合题意；
（7）答：写出答案．
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生梳理所学知识.
作业布置
基础作业
教材第36页习题1.5A组第2-4题
能力作业
教材第37页习题1.5B组第6-7题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点.
1.5.2分式方程的应用
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．为响应 “绿色校园”的号召，八年级（5）班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．有m辆客车及n个人，若每辆客车乘40人，则还有10人不能上车，若每辆客车乘43人，则只有1人不能上车，有下列四个等式：①40m+10=43m-1； ②； ③； ④40m+10=43m+1，其中符合题意的是（ ）
A．①② B．②④ C．①③ D．③④
4．一根蜡烛经凸透镜成一实像，物距u，像距v．和凸透镜的焦距f满足关系式： ，若u=12cm，f=3cm，则v的值为（ ）
A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm
5．某园林公司增加了人力进行园林绿化，现在平均每天比原计划多植树50棵，现在植树600棵所需的时间与原计划植树450棵所需的时间相同，如果设原计划平均每天植树棵，那么下面所列方程中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．端午节当天，“味美早餐店”的粽子打九折出售，小红的妈妈去该店买粽子花了54元，比平时多买了3个.求平时每个棕子卖多少元？设平时每个棕子卖x元，列方程为___________.
7．定义运算“※”： ．若，则的值为___________．
8．甲、乙二人做某种机械零件，已知甲是技术能手每小时比乙多做3个，甲做30个所用的时间与乙做20个所用的时间相等，那么甲每小时做____个零件．
9．一个水池装一个进水管和三个同样的出水管，先打开进水管，等水池存一些水后再打开出水管（进水管不关闭）.若同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，则5分钟后水池空.那么出水管比进水管晚开_________分钟.
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．A、B两地相距80千米，一辆公共汽车从A地出发开往B地，2小时后，又从A地开来一辆小汽车，小汽车的速度是公共汽车的3倍。结果小汽车比公共汽车早到40分钟到达B地。求两种车的速度。
11．有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期多少天？
12．随着柴静纪录片《穹顶之下》的播出，全社会对空气污染问题越来越重视，空气净化器的销量也大增，商社电器从厂家购进了A，B两种型号的空气净化器，已知一台A型空气净化器的进价比一台B型空气净化器的进价多300元，用7500元购进A型空气净化器和用6000元购进B型空气净化器的台数相同．求一台A型空气净化器和一台B型空气净化器的进价各为多少元？
试题解析
1．A
【解析】设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可．
解：设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意得：
=，
故选：A．
2．A
【解析】关键描述语为：提前20分钟完成任务；等量关系为：原计划用的时间-提前的时间=实际用的时间．原计划植树用的时间应该表示为，而实际用的时间为，那么方程可表示为．故选A．
3．D
【解析】首先要理解清楚题意，知道总的客车数量及总的人数不变，然后采用排除法进行分析从而得到正确答案．
解：根据总人数列方程，应是40m+10=43m+1，①错误，④正确；
根据客车数列方程，应该为，②错误，③正确；
所以正确的是③④．
故选D．
4．C
【解析】解：∵ ，u=12cm，f=3cm，
∴，解得：v=4cm．故选C．
5．A
【解析】原计划平均每天植树x课，则现在平均每天植树（x+50）棵，原计划植树450棵所需天数为天，现在植树600棵的时间为，所以=.
故选A.
6．
【解析】平时每个棕子卖x元，那么平时卖的粽子个数为个，打九折售出的粽子单价为0.9x元/个，所以端午节当天的买的粽子个数为个，又题意可列方程： .
故答案为.
7．或10
【解析】根据题意可得：5※x= ，即，解得： ，
经检验x的值或10都符合题目要求，
故答案为： 或10.
8．9
【解析】设甲每小时做x个零件，乙每小时做（x-3）个零件，根据题意得，解得x=9，经检验，x=9是原方程的解.
9．40
【解析】设出水管比进水管晚开x分钟,进水管进水的速度为y,出水管的出水速度为z,根据进水量=出水量列方程组求解即可.
解：设出水管比进水管晚开x分钟, 进水管进水的速度为y,出水管的出水速度为z.
由题意得,,
两式相除,得: ,
解得:x=40,
经检验,x=40是原分式方程的解.
即出水管比进水管晚开40分钟.故答案为:40.
10．共汽车的速度为20千米/小时，小汽车的速度为60千米/小时。
【解析】试题分析：根据题意可得到：从A到B地，小汽车用的时间=公共汽车用的时间﹣2小时﹣40分钟，由此可得出方程．
解：设公共汽车的速度为x千米/小时，则小汽车的速度为3x千米/小时，
由题意可列方程为:
解得x=20
经检验x=20适合题意，所以 3x=60；
答：公共汽车的速度为20千米/小时，小汽车的速度为60千米/小时。
11．规定日期是6天．
【解析】本题的等量关系为：甲工作2天完成的工作量+乙规定日期完成的工作量=1，把相应数值代入即可求解．
12．每台B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元
【解析】设每台B种空气净化器为x元，A种净化器为（x+300）元，根据用6000元购进B种空气净化器的数量与用7500元购进A种空气净化器的数量相同，列方程求解．
解：设每台B型空气净化器为x元，A型净化器为（x+300）元，
由题意得， ，
解得：x=1200，
经检验x=1200是原方程的根，
则x+300=1500，
答：每B型空气净化器、每台A型空气净化器的进价分别为1200元，1500元；
课件20张PPT。分式方程的应用数学湘教版 八年级上新知导入1.什么是分式方程？
分母中含有未知数的方程叫作分式方程2.解分式方程的一般步骤是什么？
（1）去分母：方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程；
（2）解整式方程；
（3）验根：把一元一次方程的解代入最简公分母中，若它的值不等于0,则这个解是原分式方程的根；若它的值等于0,则原分式方程无解..新知讲解 思考：A，B两种型号机器人搬运原料，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20 kg， 且A型机器人搬运1000 kg所用的时间与B型机器人搬运800 kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料？ 解：设B型机器人每小时搬运x kg,则A型机器人每小时搬运(x + 20) kg，根据题意可列方程：你能说一说这两个机器人在时间上的等量关系吗？A型机器人搬运1 000 kg所用时间=B型机器人搬运800 kg所用时间新知讲解 解：设B型机器人每小时搬运x kg,则A型机器人每小时搬运(x + 20) kg，根据题意可列方程：方程两边同乘最简公分母x(x +20)，得
1 000 x = 800 (x + 20).
解得 x = 80.
检验：把x = 80代人x(x + 20)中，它的值不等于0，
因此x = 80是原方程的根，且符合题意，
所以 x + 20＝100，
答：B型机器人每小时搬运原料80kg，A型机器人每小时搬运
原 料100 kg.
新知讲解说一说：列分式方程解应用题的一般步骤有哪些？
（1）审：审清题意；
（2）找：找出相等关系；
（3）设：设未知数；
（4）列：列出方程；
（5）解：解这个分式方程；
（6）验：既要检验根是否是所列分式方程的根，又要检验根是否符合题意；
（7）答：写出答案．新知讲解 例1：一辆汽车开往距离出发地180 km的目的地，按原计划的速度匀速行驶60 km后，再以原来速度的1.5倍匀速行驶，结果比原计划提前40 min到达目的地，求原计划的行驶速度．
(1)审：审清题意.
(2)找：找出已知量和未知量．
(3)设：设出未知数.
解：设原计划的行驶速度为x km/h，则行驶60 km后的速度为1.5 x km/h.
．新知讲解(4)列：根据等量关系，列出分式方程.
(5)解：解分式方程，
解得 x＝60．
(6)验：检验所求的解是否为分式方程的解，并检验分式方程的解是否符合问题的实际意义．
经检验： x＝60是原方程的解，且符合题意．
(7)答：写出答案(不要忘记单位)．
答：原计划的行驶速度为60km/h.新知讲解 例2：国家实施高效节能电器的财政补贴政策，某款空调在政策实施后， 客户每购买一台可获得补贴200元，若同样用11万元购买此款空调，补贴后可购买的台数比补贴前多10%，则该款空调补贴前的售价为多少元？本题涉及的等量关系是：补贴前11万元购买的台数× (1+10%)=补贴后11万元购买的台数新知讲解解：设该款空调补贴前的售价为每台x元，由上述等量关系可
得如下方程：
即：
方程两边同乘最简公分母x (x-200)，得
1.1 ( x - 200 )=x.
解得 x=2 200.
检验：把x=2200代入x (x-200) 中，它的值不等于0，
因此x＝2200是原方程的根，且符合题意.
答：该款空调补贴前的售价为每台2 200元.注意两次检验：.是否为所列方程的根；2.是否满足实际意义新知讲解 练习：两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工 程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个 队的施工速度快？ 解：设乙队单独施工1个月能完成总工程的 .记总工程量为1，根据工程的实际进度，得
新知讲解方程两边乘6x，得
2x＋x＋3=6x.
解得 x=1.
检验：当x =1时，6x≠0.
所以，原分式方程的解为x=1.
由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，
对比甲队1个月 完成任务的 ，可知乙队的施工速度快.解决工程问题的思路方法：各部分工作量之和等于1，常从工作量和工作时间上考虑相等关系课堂练习 1．甲、乙两人加工一批零件，甲完成120个与乙完成100个所用的时间相同，已知甲比乙每天多完成4个．设甲每天完成x个零件，依题意下面所列方程正确的是( )A课堂练习 2.某市为处理污水，需要铺设一条长为5000 m的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设20 m，结果提前15天完成任务．设原计划每天铺设管道x m，则可得方程________________________．课堂练习 3.商场用50 000元从外地采购回一批T恤衫，由于销路好，商场又紧急调拨18.6万元采购回比上一次多两倍的T恤衫，但第二次比第一次进价每件贵12元．求第一次购进多少件T恤衫．解：设第一次购进x 件T恤衫，由题意得，方程两边都乘3x，得，186 000 -150 000 =36x，解得 x =1 000.检验：当x =1 000时，3x =3 000≠0，
所以， x =1 000是原分式方程的解，且符合题意.
答：第一次购进1 000件T恤衫.拓展提高 八年级学生去距学校s km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了t min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是学生骑车速度的2倍，求学生骑车的速度．解：设学生骑车的速度是x km/h，由题意得，方程两边同乘2x，得 2s -s =2tx.课堂总结说一说列分式方程解应用题的一般步骤？（1）审：审清题意；
（2）找：找出相等关系；
（3）设：设未知数；
（4）列：列出方程；
（5）解：解这个分式方程；
（6）验：既要检验根是否是所列分式方程的根，又要检验根是否符合题意；
（7）答：写出答案．板书设计
课题：1.5.2分式方程的应用
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学生展示区一、列分式方程解应用题的一般步骤
（1）审 （2）找
（3）设 （4）列
（5）解 （6）验
（7）答
基础作业
教材第36页习题1.5A组第2-4题
能力作业
教材第37页习题1.5B组第6-7题
作业布置谢谢
