新湘教版 数学 八年级上 2.2.2命题的真假和定理教学设计
课题
2.2.2命题的真假和定理
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1、了解真命题，假命题，定理等有关概念；
2、会判断一些命题的真假.
3、培养学生团结协作，明辨是非，坚定自我的精神。数学学习来自生活，生活态度也能从数学学习中去锻炼。
重点
正确区分真假命题.
难点
用举反例的方法说明一个命题是假命题.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
1、上节课，我们学习了定义和命题，请同学们回想，什么是命题？
答案：一般地， 对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题.
2、下面的语句都是命题吗？它们都正确吗？为什么？
（1）每一个月都有31天；
（2）如果a是有理数，那么a是整数；
（3）同位角相等；
（4）同角的补角相等.
答案：（1）是命题，错误；（2）是命题，错误
（3）是命题，错误；（4）是命题，正确
学生回答老师所提出的问题.
通过回答老师的问题，复习命题的定义，并判断所给命题是否正确，为真假命题及定理的讲解作好铺垫。
新知讲解
指出：刚才的四个命题中，（1）（2）（3）是错误的；（4）是正确的，我们把正确的命题称为真命题，把错误的命题称为假命题.
做一做：下面的命题是真命题还是假命题？
（1）如果a是整数，那么a是有理数；
解：如果a是整数，
根据有理数的定义：“整数和分数统称为有理数”
得出a是有理数.
因此命题(1)为真命题．
归纳：像这样，从一个命题的条件出发，通过讲道理(推理)，得出它的结论成立，从而判断该命题为真命题，这个过程叫作证明.
（2）如果a是有理数，那么a是整数
解：因为0.5是有理数，
但是0.5不是整数.
因此命题(2)为假命题．
归纳：像这样，举出一个例子（反例），它符合命题的条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题为假命题，我们通常把这种方法称为举反例.
想一想：判断下列命题为真命题是根据什么呢？
（1）如果a是分数，那么a是有理数；
答：根据有理数的定义作出的判断．
（2）如果三角形ABC是等边三角形，那么它是等腰三角形．
答：根据等腰（等边）三角形的定义作出的判断．
讲解：
（1）在判断一个命题是否为真命题时常常要利用一些概念的定义，但是光用定义只能判断一些很简单的命题是否为真.事实上，对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义是远远不够的.古希腊数学家欧几里得(Euclid，约公元前330—前275)对他那个时代的数学知识作了系统化的总结，他挑选出一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，称这些真命题为公理.
（2）数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实.
比如：两点确定一条直线；两点之间线段最短；经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
（3）人们可以用定义和基本事实作为推理的出发点，去判断其他命题的真假.我们把经过证明为真的命题叫作定理.
比如： “三角形的内角和等于180°”称为“三角形内角和定理
（4）定理也可以作为判断其他命题真假的依据，由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论.
比如：“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”称为“三角形内角和定理的推论”，也可称为“三角形外角定理”.
想一想：当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题吗？
答案：当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.
归纳：如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理.
追问：你能举出一个互逆定理的例子吗？
答案：“内错角相等，两直线平行”和“两直线平行，内错角相等”是互逆的定理.
在老师的讲解下，理解真命题与假命题.
生独立说出这两个小题后，仔细听老师的讲解，并体会证明与举反例的方法来说明真命题与假命题.
学生听老师讲解公理、基本事实、定理、推论、逆定理，并在老师的引导下举出相应的例子…..
认识什么是真命题什么是假命题.并会用证明或举反例的方法分辩真假命题.
理解公理、基本事实、定理、推论、逆定理等相关概念...
课堂练习
下面请同学生独立完成课堂练习.
1.下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？请说说你的理由.
（1）绝对值最小的数是0;
（2）相等的角是对顶角；
（3）—个角的补角大于这个角；
（4）在同一平面内，如果直线a丄l，b丄l，那么a//b.
答案：（1）真命题；（2）假命题；（3）假命题；（4）真命题
2.举反例说明下列命题是假命题：
（1）两个锐角的和是钝角；
答：若一个锐角为20度 另一个锐角为30度，即和等于50度，即和是锐角，故此命题是假命题.
（2）如果数a，b的积ab>0,那么a，b都是正数；
答：如果数a，b都为负数，即积ab>0，故此命题是假命题.
（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.
答：若两条直线互相垂直，被第三条直线所截，则它们的同位角不相等，故此命题是假命题. 3.下列命题可以作为定理的个数是( )
①两直线平行，同旁内角互补；②相等的角是对顶角；
③等角的余角相等；④对顶角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案：C
4.请写出两个命题，要求它们不仅是互逆命题，而且都是真命题.
两直线平行，内旁内角互补.
答案：内旁内角互补，两直线平行.
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
我们一起完成下面的问题：已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：
①如果a//b，a⊥c，那么b⊥c；②如果b//a，c//a，那么b//c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；④如果b⊥a，c⊥a，那么b//c.其中真命题是_________(填写所有真命题的序号).
答案：①②④
在师的引导下完成问题.
对所学知识进行整合提高.
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
1. 这节课我们主要研究的是什么？怎么研究的？
答案：真、假命题；证明与举反例；公理、基本事实、定理、推论与互逆定理
2. 你有哪些收获？还存在什么困惑？
答案：（1）我们把正确的命题称为真命题，把错误的命题称为假命题.
（2）从一个命题的条件出发，通过讲道理(推理)，得出它的结论成立，从而判断该命题为真命题，这个过程叫作证明.
（3）举出一个例子（反例），它符合命题的条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题为假命题，我们通常把这种方法称为举反例.
（4）我们把经过证明为真的命题叫作定理.
（5）如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理.
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第59页习题2.2A组第3题
能力作业
教材第59页习题2.2A组第4、5题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
2.2.2命题的真假和定理
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．下列命题是真命题的是（ ）
A. 两直线平行，同位角相等 B. 相似三角形的面积比等于相似比
C. 菱形的对角线相等 D. 相等的两个角是对顶角
2．下列命题中错误的是（ ）
A．任何一个命题都有逆命题 B．一个真命题的逆命题可能是真命题
C．一个定理不一定有逆定理 D．任何一个定理都没有逆定理
3．下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A. B.
C. D.
4．已知命题：等边三角形是等腰三角形．则下列说法正确的是（ ）
A. 该命题为假命题 B. 该命题为真命题
C. 该命题的逆命题为真命题 D. 该命题没有逆命题
5．下列命题：(1)如果，那么； (2)同角的补角相等； (3)同位角相等； (4)如果，那么；（5）有公共顶点且相等的两个角是对顶角.其中正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．用推理的方法判断为正确的命题叫做 ．
7．命题“若ab=0,则a=0”是______命题（填“真”或“假”），若是假命题，请举一个反例，如_________.
8．“若实数a，b，c满足a9．定理“同位角相等，两直线平行”的逆定理是 .
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．“定义、定理、基本事实、命题、真命题、假命题”它们之间的关系恰好可以用下图表示，请指出A，B，C，D，E，F分别与它们中的哪一个对应．
11．对于同一平面内的三条直线a，b，c，给出下列五个论断：①a∥b；②b∥c；③a⊥c；④a∥c；⑤b⊥c，以其中的两个论断为条件，一个论断为结论，写出一个真命题．
12．请判断下列命题的真假性，若是假命题，请举反例说明．
(1)若a＞b，则a2＞b2；
(2)两个无理数的和仍是无理数；
(3)若三条线段a，b，c满足a＋b＞c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形．
试题解析
1．A
【解析】根据平行线的性质、相似三角形的性质、菱形的性质、对顶角的概念判断即可．
解：两直线平行，同位角相等，A是真命题；
相似三角形的面积比等于相似比的平方，B是假命题；
菱形的对角线互相垂直，不一定相等，C是假命题；
相等的两个角不一定是对顶角，D是假命题；
故选：A．
2．D
【解析】根据逆命题与原命题的关系和它们的真假性无联系对各选项进行判断．
解：A、任何一个命题都有逆命题，所以A选项的说法正确；
B、一个真命题的逆命题可能是真命题，也可能为假命题，所以B选项的说法正确；
C、一个定理不一定有逆定理，所以C选项的说法正确；
D、有的定理有逆定理，有的定理不一定有逆定理，所以D选项的说法错误．
故选D．
3．B
【解析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．
解：∵当a=﹣2，b=1时，（﹣2）2＞12，但是﹣2＜1，∴a=﹣2，b=1是假命题的反例．
故选B．
4．B
【解析】首先判断该命题的正误，然后判断其逆命题的正误后即可确定正确的选项．
解：等边三角形是等腰三角形，正确，为真命题；
其逆命题为等腰三角形是等边三角形，错误，为假命题，
故选：B．
5．A
【解析】利用学过的定义、性质及定理和举例法进行判断即可求解．
解：（1）当a=-1，b=3时命题错误； （2）同角的补角相等，正确； （3）只有两直线平行，同位角才相等； （4）当a=-3，b=2时命题错误； （5）有公共顶点且相等的两个角是对顶角，错误 故选A．
6．定理．
【解析】本题考查定理的定义．
解：定理是用推理的方法判断为正确的命题，故用推理的方法判断为正确的命题叫做定理.
7．假；a=1，b=0
【解析】命题“若ab=0，则a=0”是假命题，反例为a=1，b=0.
故答案为假，a=1，b=0.
8．答案不唯一，如1,2,3；
【解析】：设a，b，c是任意实数．若a解：设a，b，c是任意实数．若a则若a可设a，b，c的值依次1，2，3，（答案不唯一），
故答案为：1，2，3.
9．两直线平行，同位角相等
【解析】同位角相等，两直线平行的逆定理为：两直线平行，同位角相等．
10．A表示命题，B表示假命题，C表示真命题，D，E，F分别表示定义、定理、基本事实中任意一个．
【解析】根据命题包括真命题、假命题，真命题包括定义、定理、基本事实等作答．
解：命题包括真命题、假命题．真命题包括定义、定理、基本事实等．故A表示命题，B表示假命题，C表示真命题，D，E，F分别表示定义、定理、基本事实中任意一个．
11．答案不唯一，如：如果a∥b，b∥c，那么a∥c.
【解析】如果两条直线都和第三条平行，那么这两条直线也平行，是平行公理的推论，由此即可求出答案．
解：答案不唯一，如：如果a∥b，b∥c，那么a∥c．
12．答案见解析
【解析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．
解：（1）若a＞b，则a2＞b2，是假命题，例如：0＞﹣1，但02＜（﹣1）2；
（2）两个无理数的和仍是无理数，是假命题，例如：﹣+=0，和是有理数；
（3）若三条线段a，b，c满足a+b＞c，则这三条线段a，b，c能够组成三角形，是假命题，例如：三条线段a=3，b=2，c=1满足a+b＞c，但这三条线段不能够组成三角形．
课件22张PPT。2.2.2命题的真假和定理数学湘教版 八年级上新知导入1、什么是命题？ 一般地， 对某一件事情作出判断的语句（陈述句）叫作命题.2、下面的语句都是命题吗？它们都正确吗？为什么？（1）每一个月都有31天；（2）如果a是有理数，那么a是整数；（3）同位角相等；（4）同角的补角相等.是命题是命题是命题是命题错误错误错误正确新知讲解（1）每一个月都有31天；（2）如果a是有理数，那么a是整数；（3）同位角相等；（4）同角的补角相等.错误的正确的我们把正确的命题称为真命题，把错误的命题称为假命题. 像这样，从一个命题的条件出发，通过讲道理(推理)，得出它的结论成立，从而判断该命题为真命题，这个过程叫作证明.（1）如果a是整数，那么a是有理数；新知讲解做一做：下面的命题是真命题还是假命题？解：如果a是整数，
根据有理数的定义：“整数和分数统称为有理数”
得出a是有理数.
因此命题(1)为真命题．新知讲解证明的一般步骤：
（1）根据题意，画图形
（2）根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证
（3）经过分析，找出由已知推出结论的途径，写出证明过程，并注明依据。 像这样，举出一个例子（反例），它符合命题的条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题为假命题，我们通常把这种方法称为举反例.（2）如果a是有理数，那么a是整数新知讲解做一做：下面的命题是真命题还是假命题？解：因为0.5是有理数，
但是0.5不是整数.
因此命题(2)为假命题．想一想：判断下列命题为真命题是根据什么呢？
（1）如果a是分数，那么a是有理数；
答：根据有理数的定义作出的判断．
（2）如果三角形ABC是等边三角形，那么它是等腰三角形．
答：根据等腰（等边）三角形的定义作出的判断． 新知讲解新知讲解 在判断一个命题是否为真命题时常常要利用一些概念的定义，但是光用定义只能判断一些很简单的命题是否为真. 事实上，对于绝大多数命题的真假的判断，光用定义是远远不够的. 古希腊数学家欧几里得(Euclid，约公元前330—前275)对他那个时代的数学知识作了系统化的总结，他挑选出一些人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，作为证明的原始依据，称这些真命题为公理. 欧几里得 数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实.新知讲解本书中，我们把少数真命题作为基本事实.两点确定一条直线两点之间线段最短 经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行新知讲解 人们可以用定义和基本事实作为推理的出发点，去判断其他命题的真假.基本事实
同位角相等，两直线平行.内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.“三角形的内角和等于180°”称为“三角形内角和定理“我们把经过证明为真的命题叫作定理. 定理也可以作为判断其他命题真假的依据，由某定理直接得出的真命题叫作这个定理的推论. “三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”称为“三角形内角和定理的推论”，也可称为“三角形外角定理”.新知讲解想一想：当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题吗？ 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理. “内错角相等，两直线平行”和“两直线平行，内错角相等”是互逆的定理.新知讲解 当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题.对顶角相等相等的两个角是对顶角逆命题真假你能举出一个互逆定理的例子吗？课堂练习 1.下列命题中，哪些是真命题，哪些是假命题？请说说你的理由.
（1）绝对值最小的数是0;
（2）相等的角是对顶角；
（3）—个角的补角大于这个角；
（4）在同一平面内，如果直线a丄l，b丄l，那么a//b.
真命题假命题假命题真命题课堂练习2.举反例说明下列命题是假命题：
（1）两个锐角的和是钝角；
答：若一个锐角为20度 另一个锐角为30度，即和等于50度，即和是锐角，故此命题是假命题.
（2）如果数a，b的积ab>0,那么a，b都是正数；
答：如果数a，b都为负数，即积ab>0，故此命题是假命题.
（3）两条直线被第三条直线所截，同位角相等.
答：若两条直线互相垂直，被第三条直线所截，则它们的同位角不相等，故此命题是假命题. 课堂练习3.下列命题可以作为定理的个数是( )
①两直线平行，同旁内角互补；
②相等的角是对顶角；
③等角的余角相等；
④对顶角相等．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个C课堂练习 4.请写出两个命题，要求它们不仅是互逆命题，而且都是真命题.两直线平行，内旁内角互补.
内旁内角互补，两直线平行.拓展提高已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：
①如果a//b，a⊥c，那么b⊥c；
②如果b//a，c//a，那么b//c；
③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；
④如果b⊥a，c⊥a，那么b//c.
其中真命题是_________(填写所有真命题的序号).①②④课堂总结1. 这节课我们主要研究的是什么？怎么研究的？真、假命题；证明与举反例；公理、基本事实、定理、推论与互逆定理2. 你有哪些收获？还存在什么困惑？（1）我们把正确的命题称为真命题，把错误的命题称为假命题.
（2）从一个命题的条件出发，通过讲道理(推理)，得出它的结论成立，从而判断该命题为真命题，这个过程叫作证明.
（3）举出一个例子（反例），它符合命题的条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题为假命题，我们通常把这种方法称为举反例.
（4）我们把经过证明为真的命题叫作定理.
（5）如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫作互逆定理.板书设计
课题：?2.2.2定理?
教师板演区?
学生展示区1.真命题与假命题
2.证明与举反例
3.公理与基本事实
4.定理与推论
5.互逆定理基础作业
教材第59页习题2.2A组第3题
能力作业
教材第59页习题2.2A组第4、5题作业布置
