新湘教版 数学 八年级上 2.2.3证明 教学设计
课题
2.2.3证明
单元
第二单元
学科
数学
年级
八年级
学习
目标
1、通过观察、操作活动获得的数学猜想，进行猃证，体会检猃数学结论的常用方法：
2、掌握证明与图形有关命题的一般步骤；
3、会利用反证法对一个命题进行间接证明.
重点
要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠经猃、观察或实猃是不够的，必须一步一步、 有理有据地进行推理.
难点
证明一个命题的真假性.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
新知导入
上节课我们学习了真假命题，如何判断一个命题是真命题还是假命题呢？
答案：1证明.
从一个命题的条件出发，通过讲道理(推理)，得出它的结论成立，从而判断该命题为真命题，这个过程叫作证明.
2.举反例
举出一个例子（反例），它符合命题的条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题为假命题，我们通常把这种方法称为举反例.
学生回答老师所提出的问题.
通过回答老师的问题，复习判断命题真假的方法，为证明几何命题及反证法作好铺垫。
新知讲解
你还记得三角形的外角吗？在三角形每的顶点处我们取一个外角，它们的和是多少呢，下面让我们一起完成做一做.
做一做：采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的外角和” 等于多少度.
猜测：三角形的三个外角之和等于360°
指出：猜测出的命题仅仅是一种猜想， 未必都是真命题．要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明.
证明：命题“三角形的外角和为360°”是真命题.
已知： 如图∠BAF， ∠CBD和∠ACE 分别是△ABC的三个外角.
求证︰∠BAF +∠CBD +∠ACE = 360°
证明:∵∠BAF=∠2+∠3，
∠CBD=∠1+∠3，
∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），
∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理)，
∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.
∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)
温馨提示：符号“∵”表示“因为”，“∴”表示“所以”
说一说：你能说出完整的几何命题证明需要哪几个步骤吗？
（1）根据题意，画出图形;
（2）结合图形，写出已知求证;
（3）写出证明过程，并且步步有依据.
即：数学上证明一个命题时，通常从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立.
例1：已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.
求证：AE//BC.
证明：∵∠DAC =∠B +∠C（三角形外角定理）
∠B=∠C（已知）
∴ ∠DAC=2∠B（等式的性质）
又∵AE平分∠DAC（已知）
∴∠DAC=2∠DAE（角平分线的定义）
∴∠DAE=∠B（等量代换）
∴AE//BC（同位角相等，两直线平行）
练习1：在括号内填上理由.
已知：如图，AB//A'B',BC//B'C'.
求证：∠B= ∠B'
证明：∵ AB//A'B'（ ）
∴ ∠ B'= ∠α（ ）
∵ BC//B'C' （ ）
∴ ∠ B = ∠α（ ）
∴ ∠ B = ∠B' ( )
答案：已知；
两直线平行，同位角相等；
已知；
两直线平行，同位角相等；
等量代换.
例2：已知：∠A，∠B，∠C是△ABC 的内角.
求证：∠A，∠B，∠C 中至少有一个角大于或等于60°.
分析：这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说可能出现“有一个”、“有两个”、“有三个”这三种情况. 如果直接来证明，将很繁琐，因此，我们将从另外一个角度来证明.
证明：假设∠A，∠B，∠C 中没有一个角大于或等于60°
即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，
则∠A+∠B+∠C＜180°.
这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，
所以假设不正确.
因此，∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或等于60°.
归纳：像这样，当直接证明一个命题为真有困难时，我们可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法.
反证法的基本思路：
否定结论导出矛盾肯定结论
练习2：用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．
证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，
则等腰三角形的底角大于或等于90°．
根据等腰三角形的两个底角相等，
可得，两个底角的和大于或等于180°．
则该三角形的三个内角的和一定大于180°，
这与三角形的内角和定理相矛盾，
故假设不成立．
所以等腰三角形的底角是锐角．
在老师的讲解下，自已动手操作，猜想出三角形的三个外角之和等于360°这一结论，并理解证明的重要性.
学生根据老师的引导完成几何命题的证明
学生回想证明的过程，并与老师、同学共同归纳得出证明几何命题的一般步骤.
学生先思考再听老师讲解后完成证明过程.并独立完成练习1，完成后小组交流.
学生仔细听老师讲解，并在老师的引导下完成例题及练习题.
体会证明的重要性..
理解与图形有关的证明的一般步骤...
让学生掌握证明几何命题的一般步骤.
认识反证法及反证法的一般步骤.
课堂练习
下面请同学生独立完成课堂练习.
1.在括号内填上理由.
已知：如图，∠A+∠B= 180°.
求证：∠C+∠D= 180°.
证明：∵∠A+∠B= 180°（已知），
∴ AD//BC（ ）.
∴ ∠C+∠D= 180 ° （ ）.
答案：同旁内角互补，两直线平行；
两直线平行，同旁内角互补.
2. 已知：如图，直线AB，CD被直线MN所截，∠1=∠2.
求证：∠2=∠3，∠3+∠4=180°.
证明：∵∠1=∠2（已知）
∴ AB//CD（同位角相等，两直线平行）
∴ ∠2 =∠3（两直线平行,内错角相等）
∠3+∠4=180°（两直线平行, 同旁内角互补）.
3. 已知：如图，AB与CD 相交于点E.
求证：∠A+∠C=∠B+∠D.
证明：∵ AB与CD 相交于点E ，
∴ ∠AEC=∠BED （对顶角相等），
又∠A+∠C+∠AEC=∠B+∠D+∠BED=180°
（三角形内角和等于180°），
∴∠A+∠C=∠B+∠D.
学生自主完成课堂练习，做完之后班级内交流.
借助练习，检测学生的知识掌握程度，同时便于学生巩固知识.
拓展提高
我们一起完成下面的问题：
已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c.
求证：a//b
证明：假设a与b不平行，
则可设它们相交于点A.
那么过点A 就有两条直线a、b分别与直线c平行，
这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”
矛盾,故假设不成立。
∴a//b.
在师的引导下完成问题.
对所学知识进行整合提高.
课堂总结
在课堂的最后，我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点：
1. 这节课我们主要研究的是什么？怎么研究的？
答案：证明的一般步骤、反证法
2. 你有哪些收获？还存在什么困惑？
（1）证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：
第一步 根据题意 画出图形
第二步 根据命题的条件和结论，结合图形 写出已知、求证
第三步 通过分析，找出证明的途径 写出证明的过程
（2）反证法的基本思路：
否定结论导出矛盾肯定结论
跟着老师回忆知识，并记忆本节课的知识.
帮助学生加强记忆知识.
作业布置
基础作业
教材第59页习题2.2A组第6、7题
能力作业
教材第60页习题2.2B组第8、9题
学生课下独立完成.
检测课上学习效果.
板书设计
借助板书，让学生知道本节课的重点。
2.2.3证明
班级：___________姓名：___________得分：__________
（满分：100分，考试时间：40分钟）
一．选择题（共5小题，每题8分）
1．下列命题不成立的是（ ）
A. 等角的补角相等 B. 两直线平行，内错角相等
C. 同位角相等 D. 对顶角相等
2．用反证法证明：如果AB⊥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF．证明该命题的第一个步骤是（ ）
A. 假设CD∥EF B. 假设AB∥EF
C. 假设CD和EF不平行 D. 假设AB和EF不平行
3．下列说法正确的是（ ）
A. 同位角相等 B. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等
C. 对顶角相等 D. 两条平行直线被第三条直线所裁，同旁内角相等
4．对于命题“已知：a∥b，b∥c，求证：a∥c”．如果用反证法，应先假设（ ）
A. a不平行b B. b不平行c C. a⊥c D. a不平行c
5．甲、乙、丙、丁4人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
二．填空题（共4小题，每题5分）
6．用反证法证明“a＞b”时，应先假设________
7．下列命题中：
①若，则；
②两直线平行，同位角相等；
③对顶角相等；
④内错角相等，两直线平行.是
真命题的是________.（填写所有真命题的序号）
8．如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠1、∠2是同位角，如果∠1≠∠2，那么AB与CD不平行．用反证法证明这个命题时，应先假设：____________________.
9．某校九年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛． 甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果如下：甲说：“902班得冠军，904班得第三”；乙说：“901班得第四，903班得亚军”；丙说：“903班得第三，904班得冠军”． 赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是 _________．
三．解答题（共3小题，第10题10分，第11、12题各15分）
10．用反证法证明：已知直线a、b被直线c所截，∠1+ ∠2≠180°．求证：a与b不平行．
证明：假设_________________________，
则：∠1+ ∠2=180°（___________________________）
这与____________________矛盾，故假设不成立．所以a与b不平行．
11．求证:对顶角相等(请画出图形，写出已知、求证、证明.)
12．如图，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截．在下面三个条件中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．①AB⊥BC，CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1＝∠2.
试题解析
1．C
【解析】对各个命题一一判断即可.
解：A. 等角的补角相等,正确.
B. 两直线平行，内错角相等,正确.
C.两直线平行，同位角相等.这是平行线的性质，没有两直线平行的前提，同位角相等，错误.
D.对顶角相等，正确.
故选C.
2．C
【解析】因为“用反证法证明命题的第一步：通常是假设所证结论不成立”，
所以当用反证法证明：“如果AB∥CD，AB⊥EF，那么CD∥EF”，这一命题时，第一步应该是：“假设CD和EF不平行”.
故选C.
3．C
【解析】根据平行线的性质对A、B、D进行判断；根据对顶角的性质对C进行判断．
解：A．两直线平行，同位角相等，所以A选项错误；
B．两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以B选项错误；
C．对顶角相等，所以C选项正确；
D．两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，所以D选项错误．
故选C．
4．D
【解析】用反证法进行证明；先假设原命题不成立，本题中应该先假设a不平行c，由此即可得答案.
解：直线a，c的位置关系有平行和不平行两种，因而a∥c的反面是a与c不平行，
因此用反证法证明“a∥c”时，应先假设a与c不平行，
故选D.
5．D
【解析】四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；由此进行分析即可．
解：四个人共有6场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，
所以只有两种可能性：甲胜1场或甲胜2场；
若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾，
所以甲只能是胜两场，
即：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，也就是胜0场．
答：甲、乙、丙各胜2场，此时丁三场全败，丁胜0场．
故选：D．
6．a≤b
【解析】找出原命题的方面即可得出假设的条件．
解：a＞b反面就是：a≤b．
7．②③④
【解析】利用绝对值的性质、平行线的判定与性质、对顶角的性质分别判断后即可确定正确的选项．
解：①若，则，故①错误；
②两直线平行，同位角相等，正确；
③对顶角相等，正确；
④内错角相等，两直线平行，正确．
故答案为：②③④．
8．AB∥CD
【解析】利用假设法来进行证明时，首先假设结论成立，即应先假设AB∥CD．
9．902班
【解析】假设甲说的“902班得冠军”是正确的，那么丙说的“904班得冠军”是错误的，“903班得第三”就是正确的，那么乙说的“903班得亚军”是错误的，“901班得第四”是正确的，这样三人都猜对了一半，且没矛盾．则甲猜测是正确的，故答案为902班．
10．a∥b；两直线平行，同旁内角互补；∠1+∠2≠180°．
【解析】假设a∥b，则∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补），这与∠1+∠2≠180°矛盾，故假设不成立．所以结论成立，a与b不平行．故答案为：a∥b；两直线平行，同旁内角互补；∠1+∠2≠180°．
11．证明见解析.
【解析】根据题设与结论画出符合条件的图形，根据图形写出已知、求证，然后进行证明即可.
解：已知：如图，直线AB与CD交于点O．
求证：∠1＝∠2．已知:如图，
证明：∵AB、CD相交于O(已知)，
∴∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°(邻补角的定义)，
∴∠1＝∠2(同角的补角相等).
12．见解析
【解析】可以有①②得到③：由于AB⊥BC、CD⊥BC,得到 又BE∥CF，则∠EBC=∠FCB，可得到∠ABC?∠EBC=∠DCB?∠FCB，即有∠1=∠2．
解：已知：如图,AB⊥BC、CD⊥BC,BE∥CF.
求证：∠1=∠2.
证明：∵AB⊥BC、CD⊥BC，
∴∠ABC=∠DCB，
又∵BE∥CF，
∴∠EBC=∠FCB，
∴∠ABC?∠EBC=∠DCB?∠FCB，
∴∠1=∠2.
课件21张PPT。证 明数学湘教版 八年级上1、什么是证明？新知导入 从一个命题的条件出发，通过讲道理(推理)，得出它的结论成立，从而判断该命题为真命题，这个过程叫作证明.2、什么是举反例？ 举出一个例子（反例），它符合命题的条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题为假命题，我们通常把这种方法称为举反例.做一做：采用剪拼或度量的方法，猜测“三角形的外角和” 等于多少度.猜测：三角形的三个外角之和等于360° 猜测出的命题仅仅是一种猜想， 未必都是真命题．要确定这个命题是真命题，还需要通过推理的方法加以证明.新知讲解新知讲解证明命题“三角形的外角和为360°”是真命题.证明:∵∠BAF=∠2+∠3，∠CBD=∠1+∠3，∠ACE=∠1+∠2（三角形外角定理），∵∠1+∠2+∠3=180°(三角形内角和定理)，∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2×180°=360°.∴∠BAF+∠CBD+∠ACE=2(∠1+∠2+∠3)已知： 如图∠BAF， ∠CBD和∠ACE 分别是△ABC的三个外角.
求证︰∠BAF +∠CBD +∠ACE = 360°温馨提示：符号“∵”表示“因为”，“∴”表示“所以”说一说：你能说出完整的几何命题证明需要哪几个步骤吗？（1）根据题意，画出图形;（2）结合图形，写出已知求证;（3）写出证明过程，并且步步有依据.新知讲解依据(定义)(定理)(推论)(基本事实)（真命题）条件结论 数学上证明一个命题时，通常从命题的条件出发，运用定义、基本事实以及已经证明了的定理和推论，通过一步步的推理，最后证实这个命题的结论成立.推理新知讲解 例1：已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BA的延长线上，射线AE平分∠DAC.
求证：AE//BC.证明：∵∠DAC =∠B +∠C（三角形外角定理） ∠B=∠C（已知）∴ ∠DAC=2∠B（等式的性质）又∵AE平分∠DAC（已知）∴∠DAC=2∠DAE（角平分线的定义）∴∠DAE=∠B（等量代换）∴AE//BC（同位角相等，两直线平行）新知讲解已知：如图，AB//A'B',BC//B'C'.求证：∠B= ∠B' 证明：∵ AB//A'B'（ ） ∴ ∠ B'= ∠α（ ） ∵ BC//B'C' （ ）∴ ∠ B = ∠α（ ）∴ ∠ B = ∠B' ( )已知两直线平行，同位角相等 已知两直线平行，同位角相等 等量代换 练习1： 在括号内填上理由.新知讲解例 2：已知：∠A，∠B，∠C是△ABC 的内角.
求证：∠A，∠B，∠C 中至少有一个角大于或等于60°.新知讲解 这个命题的结论是“至少有一个”，也就是说可能出现“有一个”、“有两个”、“有三个”这三种情况. 如果直接来证明，将很繁琐，因此，我们将从另外一个角度来证明.例 2：已知：∠A，∠B，∠C是△ABC 的内角.
求证：∠A，∠B，∠C 中至少有一个角大于或等于60°.证明：假设∠A，∠B，∠C 中没有一个角大于或等于60°即∠A＜60°，∠B＜60°，∠C＜60°，则∠A+∠B+∠C＜180°.这与“三角形的内角和等于180°”矛盾，所以假设不正确.因此，∠A， ∠B， ∠C中至少有一个角大于或等于60°.新知讲解 像这样，当直接证明一个命题为真有困难时，我们可以先假设命题不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的命题正确，这种证明方法称为反证法.反证法的基本思路：新知讲解否定结论导出矛盾肯定结论新知讲解练习2：用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角．证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，
则等腰三角形的底角大于或等于90°．
根据等腰三角形的两个底角相等，
可得，两个底角的和大于或等于180°．
则该三角形的三个内角的和一定大于180°，
这与三角形的内角和定理相矛盾，
故假设不成立．
所以等腰三角形的底角是锐角．已知：如图，∠A+∠B= 180°.
求证：∠C+∠D= 180°.
证明：∵∠A+∠B= 180°（已知），
∴ AD//BC（ ）.
∴ ∠C+∠D= 180 ° （ ）.同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同旁内角互补课堂练习1. 在括号内填上理由.2. 已知：如图，直线AB，CD被直线MN所截，∠1=∠2.
求证：∠2=∠3，∠3+∠4=180°.证明：∵∠1=∠2（已知）∴ ∠2 =∠3（两直线平行,内错角相等）∠3+∠4=180°（两直线平行, 同旁内角互补）. ∴ AB//CD（同位角相等，两直线平行）课堂练习3. 已知：如图，AB与CD 相交于点E.
求证：∠A+∠C=∠B+∠D.证明：∵ AB与CD 相交于点E ， ∴ ∠AEC=∠BED （对顶角相等），又∠A+∠C+∠AEC=∠B+∠D+∠BED=180°
（三角形内角和等于180°），∴∠A+∠C=∠B+∠D.课堂练习课堂小结拓展提高 已知：如图有a、b、c三条直线，且a//c,b//c.
求证：a//b证明：假设a与b不平行，
则可设它们相交于点A。那么过点A 就有两条直线a、b分别与直线c平行，
这与“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”
矛盾,故假设不成立。
∴a//b.课堂总结（1）证明与图形有关的命题时，一般有以下步骤：第一步第二步第三步画出图形写出已知、求证写出证明的过程1. 这节课我们主要研究的是什么？怎么研究的？证明的一般步骤、反证法2. 你有哪些收获？还存在什么困惑？（2）反证法的基本思路：否定结论导出矛盾肯定结论板书设计
课题：?2.2.3证明?
教师板演区?
学生展示区1.证明一般步骤
2.反证法基础作业
教材第59页习题2.2A组第6、7题
能力作业
教材第60页习题2.2B组第8、9题作业布置
