（新人教版必修1）物理：2.3《匀变速直线运动的位移与时间的关系》教案2

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第二章 匀变速直线运动的研究
2.3 匀变速直线运动的位移与时间的关系
张成进 江苏徐州睢宁魏集中学
★教学目标
(1) 知识与技能
1. 知道什么是位移—时间图像，以及如何用图像表示位移和时间的关系。
2. 知道在v-t图象如何求出物体的位移。21世纪教育网
3. 理解匀速直线运动的速度—时间图象和位移—时间图象。
4. 理解匀变速直线运动速度—时间图象和其位移—时间图象。
(2) 过程与方法
1. 通过近似推导位移公式的过程，体验微元法的特点和技巧，能把瞬时速度的求法与此比较。
2. 感悟一些数学方法的应用特点。
(3) 情感态度与价值观
1. 经历微元法推导位移公式和公式法推导速度位移关系，培养自己动手能力，增加物理情感。
2. 逐步掌握并灵活使用图象法，体验成功的快乐和方法的意义。
★教学重点
1. 如何在速度—时间图象中计算出位移，作出匀速直线运动的位移—时间图象。
2. 匀变速直线运动位移与时间的关系及其推导过程。
3. 匀变速直线运动位移时间关系的应用。
★教学难点21世纪教育网
1. v-t图象中图线与t轴所夹的面积表示物体在这段时间内运动的位移
2. 微元法推导位移公式。
★教学过程
一、匀变速直线运动位移与时间的关系：
师：同学们，上一节课的学习中我们学习了匀变速直线运动速度与时间的关系，并且知道了匀变速直线运动速度—时间图象的特点。（什么特点？）今天我们要一起来学习匀变速直线运动位移与时间的关系，并作出其位移—时间图象。
师：现在我们以下面的问题为例，请大家一起来研究匀变速直线运动的物体位移与时间的关系。
问题1：一物体做匀加速度直线运动，0时刻的速度=2m/s，加速度=2m/s2，求物体1秒内的位移、2秒内的位移。
学生思考，久久没有答案（这是一定的）
师：到目前为止，我们好像都想不出什么方法来求匀变速直线运动的物体的位移，可以说是毫无头绪。那如果是物体做的是匀速直线运动，那物体某段时间内的位移你们会求解吗？
问题2：汽车在平直公路上以10m/s的速度向正东方向匀速直线运动，求1秒内的位移、2秒内的位移。
解：1、选1秒内为研究过程；2、设正东方向为正方向；3根据，位移大小为10m，方向正东方向。2秒内位移大小20m，方向正东；
若选正西方向为正方向呢？
。大小10m，方向与正方向相反，所以仍是正东方向。同样2秒内位移大小20m，方向正西。
师：可以用公式来计算匀变速直线运动的物体的位移吗
生：肯定不能，因为匀变速直线运动的物体速度一直在变。
师：回答得不错！看来以我们已有的知识是真的没有什么办法了！那好，我现在给大家提供一种方法，大家还记得我们前面的学习中是如何测量计算瞬时速度的吗？当时我们又是如何定义瞬时速度的？
生：记得！由于没有公式可以计算瞬时速度，为了测量计算某时刻物体的瞬时速度，我们在该时刻周围取一很小的时间段，把该时间段内的平均速度近似看成我们所要求的时刻的瞬时速度。从定义上讲，瞬时速度是△t→0时平均速度的极限值。
师：这位同学讲得很好，下面我们先用类似的方法近似求出匀变速直线运动某段时间内的位移？看课本“思考与讨论”
思考与讨论：
一次课上，教师拿来了一位往届同学所做的“探究小车的运动规律”的测量记录（见下表），表中“速度v”一行是这位同学用某种方法“方法不详”得到的物体在1，2，3，……，5几个位置的瞬时速度。原始的纸带没有保存。
位置编号 0 1 2 3 4 5
时间t/s 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
速度v(m/s) 0.38 0.63 0.88 1.11 1.38 1.62
以下是关于这个问题的讨论。
老师：能不能根据表中的数据，用最简便的方法估算实验中小车从位置0到位置5的位移？
生A：能。可以用下面的办法估算：
生B:这个办法不好。从表中看出，小车的速度在不断增加，0.38只是0时刻的瞬时速度，以后的速度比这个数值大。用这个数值乘以0.1s，得到的位移要实际位移要小。后面的几项也有同样的问题。
生A：老师要求的是“估算”，这样做是可以的。
师：你们两个人说得都有理。这样做的确会带来一定误差，但在时间间隔较小、精确程度要求比较低的时刻，可以这样估算。
要提高估算的精确程度，可以有多种方法。其中一个方法请大家考虑：如果当初实验时，时间间隔不是取0.1S，而是取得更小些，比如0.06S，同样用这个方法计算，误差是不是会上一些？如果取0.04S，0.02S……误差会怎样呢？
师：可以知道：当时间间隔取得越小时，所求的值与真实值的误差越来越小，当△t→0时，这种方法求得的值就与真实值一样了。这同样是数学上的极限法。我们也可以进行简单的理论推导
假设将时间t的过程分成n份，可得下图：
将整个过程分成n份，则每份的时间间隔是
根据速度时间公式有
……
将这n个过程近似看成是匀速运动过程，即第一段近似看成以V0匀速，第二段看成以V1匀速等等，则整个过程近似的总位移有：
从理论上我们知道，时间间隔取得越小，则结果越接近真实结果，也就是说公式中n取得越大，就越接近物体真实的位移。当时的极限值就是(因为n取得越大， 越接近于1，当时的极限值是1)
生：教师，数学上的极限现在我们还没有学过，时间间隔越取越小，误差越小，这个我明白，但△t→0我就不明白了，△t→0那不是没有时间了吗？又怎么算啊？
师：这个问题留到你们学习数学极限知识的时候再来体会，目前大家的感觉是不是都感觉到刚刚学的这些知识有点抽象啊，呵，其实我们完全可以让它形象起来啊，怎么让它形象起来？借助图象法啊！图象法这个工具我们一定要掌握并会灵活运动。
师：请同学在作出“问题2”中长物体的速度—时间图象和位移—时间图象。
学生各自作图，老师巡视。
1、正东方向为正方向
[来源:21世纪教育网]
2、正西方向为正方向
师：请同学们仔细分析研究：能不能从速度—时间图象上求出物体的位移？
结论：匀速直线运动物体在某段时间内的位移可以通过速度—时间图象中“函数图象”、“初时刻线”、“末时刻线”以“及时间轴”四者围成的图形面积来表示。且如果面积在时间轴下文表示位移负的。与正方向相反。
思考：对于匀变速直线运动，它们位移与它的速度—时间图象是不是也有类似的关系？
师：运用微分思想，我们把物体的运动分成几个小段，例如分为5个小段，每段时间间隔为，把每一小段看成匀速直线运动，则我们以每小段起始时刻的速度乘以时间，然后把5段位移加起来就可以近似当作t时间内物体匀变速直线运动的位移。在速度—时间图象中，各段位移可以用一个又窄又高的小矩形的面积代表。5个小矩形的面积之和近似地代表物体t时间内的位移。
师：当然，上面的做法是粗糙的。为了精确一些，可以把运动过程划分为更多的小段，如课本上的图。用所有这些小段的位移之和近似代表物体整个过程中的位移。从速度—时间图象上看，就是用更多的但更窄的小矩形的面积之和代表物体的位移。可以想像，如果把整个运动过程划分得非常非常细，很多很多小矩形的面积之和就能非常准确地代表物体的位移了。这时，“很多很多”小矩形顶端的“锯齿形”就看不出来了，这些小矩形合在一起成了一个梯形。梯形的面积就代表做匀变速直线运动的物体从整个t时间内的位移。
图中梯形的面积是：所以物体做匀变速直线运动位移与时间的关系是
……
将公式代入有：
……
扩展：不管什么样的直线运动，速度—时间图象中“函数图象”、“初时刻线”、“末时刻线”以及“时间轴”四者围成的图形的面积就表示物体在该过程中的位移。
例1：分别求出“问题1”中物体1秒内、2秒内、3秒内、4秒内、5秒内的位移并作出位移—时间图象。
解：
1、第1秒为研究过程，初速度方向为正方向。
2、
3、
4、
5、
描点作图
二、位移—时间图象
师：匀变速直线运动的位移—时间图象特点是什么？21世纪教育网
生：从作图结果来看，应该是一个二次函数图象。
师：不是像，其实就是。我们从速度公式就可以知道纵坐标s与横坐标t的关系是二次函数关系（公式类比于）
例2、一辆汽车在平直公路上从静止开始以2m/s2的加速度匀加速启动，求4S初至5S末这段时间内汽车的位移。
解：方法一：4S初即3秒末，可以用5S内位移减去3秒内位移。
选前3秒为研究对象，运动方向为正方向，
选前5秒为研究对象，运动方向为正方向，
方法二、直接研究4S初到5S末这两秒的时间，运动方向为正方向，分析公式知必须有三个已知量才能求解，已知t、a，要用公式还必须知道初速度，即3S末速度。要求3S末速度，选刚才选择的过程是不行的（为什么，让学生理解什么是死循环），选0到3S末即可求3S末速度6m/s，代入公式
例3、某做直线运动的质点位移随时间变化的关系为，S与t单位分别是m，s。求该质点的初速度和加速度。
解：与位移公式进行格式对应即可知，a=-4m/s2。
例4、一辆汽车以1m/s2的加速度加速行驶了12S，驶过180m。汽车开始加速时的速度是多少？
解：以整个过程为研究对象，初速度方向为正方向。则已知t=12s、a=1m/s2、s=180m。
例5、以18m/s的速度行驶的汽车，制动后做匀减速运动，在3S内前进36m，求汽车的加速度。
解：整个过程36m为研究对象，初速度方向为正方向，已知t=3s、s=36m、=18m/s，
例6、如图所示为一物体运动的速度—时间图象，下列判断正确的是（ AB ）
A．物体的初速度为3m/s
B．物体的加速度大小为1.5m/s2[来源:21世纪教育网]
C．2s末物体位于出发点
D．前2秒的加速度与后两2秒的加速度方向相反
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
www.
…………
V0
V1
V2
V3
Vn-1
Vn
t(s)
s(m)
0
10
20
30
1
3
2
t(s)
v（m/s）
0
10
1
3
2
20
30
s(m)
0
10
1
3
2
-20
-30
-10
t(s)
v（m/s）
0
10
1
3
2
-10
t(s)
3
2
1
-1
-2
-3
1
2
3
4
t/s
v/m·s-1
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