2.3 幂函数
学习目标：1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式．(重点、易混点)2.结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质．(重点、难点)3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小．(重点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．幂函数的概念
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
思考1：幂函数与指数函数的自变量有何区别？
[提示] 幂函数是形如y＝xα(α∈R)，自变量在底数上，而指数函数是形如y＝ax(a>0且a≠1)，自变量在指数上．
2．幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图2-3-1：
图2-3-1
思考2：幂函数图象不可能出现在第几象限？
[提示] 第四象限．
3．幂函数的性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
定义域
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
值域
R
[0，＋∞)
R
[0，＋∞)
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增函数
x∈[0，＋∞)时，增函数
x∈(－∞，0]时，减函数
增函数
增函数
x∈(0，＋∞)时，减函数
x∈(－∞，0)时，减函数
[基础自测]
1．思考辨析
(1)函数y＝x0(x≠0)是幂函数．( )
(2)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1)．( )
(3)幂函数的图象都不过第二、四象限．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．下列函数中不是幂函数的是( )
A．y＝ B．y＝x3
C．y＝3x D．y＝x－1
C [只有y＝3x不符合幂函数y＝xα的形式，故选C.]
3．已知f(x)＝(m＋1)xm2＋2是幂函数，则m＝( )
A．2 B．1
C．3 D．0
D [由题意可知m＋1＝1，即m＝0，∴f(x)＝x2.]
4．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点，则f(4)＝________.
【导学号：37102308】
[由f(2)＝可知2α＝，
即α＝－，
∴f(4)＝4－＝.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
幂函数的概念
已知y＝(m2＋2m－2)xm2－1＋2n－3是幂函数，求m，n的值．
[解] 由题意得
解得
所以m＝－3，n＝.
[规律方法] 判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα?α为常数?的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：?1?指数为常数；?2?底数为自变量；?3?系数为1
[跟踪训练]
1．(1)在函数y＝，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为( )
【导学号：37102309】
A．0 B．1
C．2 D．3
(2)若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f的值等于________．
(1)B (2) [(1)∵y＝＝x－2，所以是幂函数；
y＝2x2由于出现系数2，因此不是幂函数；
y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；
y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．
(2)设f(x)＝xα，因为f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得α＝log23，∴f＝log23＝.]
幂函数的图象及应用
点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，有：
(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)
[解] 设f(x)＝xα，g(x)＝xβ.
∵()α＝2，(－2)β＝－，∴α＝2，β＝－1，
∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示．由图象知，
(1)当x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)>g(x)；
(2)当x＝1时，f(x)＝g(x)；
(3)当x∈(0,1)时，f(x)[规律方法]
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
???依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在??，??上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴?简记为指大图低?；在?1，＋∞?上，指数越大，幂函数图象越远离x轴?简记为?指大图高??
???依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象?类似于y＝x－1或y＝x或y＝x3?来判断.
[跟踪训练]
2．幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数y＝f(x)的图象是( )
【导学号：37102310】
A B C D
(2)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图2-3-2，则a，b，c，d的大小关系是( )
图2-3-2
A．d>c>b>a
B．a>b>c>d
C．d>c>a>b
D．a>b>d>c
(1)C (2)B [(1)设幂函数的解析式为y＝xa，
因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4,2)，所以2＝4a，
解得a＝，
所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，
当0(2)令a＝2，b＝，c＝－，d＝－1，正好和题目所给的形式相符合．
在第一象限内，x＝1的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数增大，所以a>b>c>d.故选B.]
幂函数性质的综合应用
[探究问题]
1．幂函数y＝xα在(0，＋∞)上的单调性与α有什么关系？
提示：当α>0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；当α<0时，幂函数y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．
2．23.1和23.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
提示：23.1和23.2可以看作函数f(x)＝2x的两个函数值，因为函数f(x)＝2x单调递增，所以23.1＜23.2.
3．2.3－0.2和2.2－0.2可以看作哪一个函数的两个函数值？二者的大小关系如何？
提示：2.3－0.2和2.2－0.2可以看作幂函数f(x)＝x－0.2的两个函数值，因为函数f(x)＝x－0.2在(0，＋∞)上单调递减，所以2.3－0.2＜2.2－0.2.
(1)比较下列各组中幂值的大小．
①30.8,30.7；②0.213,0.233；③2，1.8；④1.2，0.9，.
(2)探讨函数f(x)＝x的单调性.
【导学号：37102311】
思路探究：(1)构造幂函数或指数函数，借助其单调性求解．
(2)借助单调性的定义证明．
[解] (1)①∵函数y＝3x是增函数，且0.8＞0.7，
∴30.8>30.7.
②∵函数y＝x3是增函数，且0.21＜0.23，∴0.213<0.233.
③∵函数y＝x是增函数，且2＞1.8，∴2>1.8.
又∵y＝1.8x是增函数，且>，
∴1.8>1.8，∴2>1.8.
④0.9＝，＝1.1.
∵1.2>>1.1，且y＝x在[0，＋∞)上单调递增，
∴1.2>>1.1，即1.2>0.9>.
(2)f(x)＝x的定义域为(0，＋∞)．
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1则f(x2)－f(x1)＝x2－x1
＝－
＝
＝.
因为x2>x1>0，所以x1－x2<0，
且·(＋)>0，
于是f(x2)－f(x1)<0，
即f(x2)所以f(x)＝x在区间(0，＋∞)上是减函数．
母题探究：1.本例(2)若增加条件“(a＋1)<(3－2a) ”则实数a的取值范围．
[解] 因为f(x)＝x在区间(0，＋∞)内是减函数．
所以(a＋1)<(3－2a)等价于
解得所以实数a的取值范围是.
2．把本例(1)的各组数据更换如下，再比较其大小关系．
(1)0.5与0.5；
(2)－1与－1；
(3)与.
[解] (1)因为幂函数y＝x0.5在(0，＋∞)上是单调递增的，
又>，所以0.5>0.5.
(2)因为幂函数y＝x－1在(－∞，0)上是单调递减的，
又－<－，所以－1>－1.
(3)因为函数y1＝x为R上的减函数，又>，
所以>.
又因为函数y2＝x在(0，＋∞)上是增函数，且>，
所以>，
所以>.
[规律方法] 比较幂的大小的关键是弄清底数与指数是否相同.若底数相同，则利用指数函数的单调性比较大小；若指数相同，则利用幂函数的单调性比较大小；若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”，也可以是如例3?3?中的1.8.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．下列函数为幂函数的是( )
A．y＝2x4 B．y＝2x3－1
C．y＝ D．y＝x2
D [结合幂函数的形式可知D正确．]
2．幂函数的图象过点(2，)，则该幂函数的解析式( )
【导学号：37102312】
A．y＝x－1 B．y＝x
C．y＝x2 D．y＝x3
B [设f(x)＝xα，则2α＝，∴α＝，∴f(x)＝x.选B.]
3．函数y＝x的图象是( )
A B C D
C [∵函数y＝x是非奇非偶函数，故排除A、B选项．又>1，故选C.]
4．若f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递增，则α的取值范围为________．
(0，＋∞) [由f(x)的单调性可知α>0，即α的取值范围为(0，＋∞)．]
5．比较下列各组数的大小．
(1)3与3.1；
(2)4.1，3.8，(－1.9).
【导学号：37102313】
[解] (1)因为函数y＝x在(0，＋∞)上为减函数，
又3<3.1，所以3>3.1.
(2)4.1>1＝1，
0<3.8<1＝1，而(－1.9)<0，
所以4.1>3.8>(－1.9).
第二章 基本初等函数（Ⅰ）
2.3 幂函数
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列函数中不是幂函数的是( )
A．y＝ B．y＝x C．y＝22x D．y＝x－1
解析：显然C中y＝22x＝4x，不是y＝xα的形式，所以不是幂函数，而A，B，D中的α分别为，，－1，符合幂函数的结构特征．故选C.
答案：C
2．下列函数中既是偶函数又在(－∞，0)上是增函数的是( )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x－2 D．y＝x－
解析：对于幂函数y＝xα，如果它是偶函数，当α<0时，它在第一象限为减函数，在第二象限为增函数，则C选项正确，故选C.
答案：C
3．幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝x，y＝x－在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )
A．C2，C1，C3，C4 B．C4，C1，C3，C2
C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3
解析：由于在第一象限内直线x＝1的右侧时，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，故幂函数y＝x2在第一象限内的图象为C1，同理，y＝x－1在第一象限的图象为C4，y＝x在第一象限内的图象为C2，y＝x－在第一象限内的图象为C3，故选D.
答案：D
4．已知幂函数y＝f(x)的图象过(4，2)点，则f＝( )
A. B. C. D.
解析：设幂函数f(x)＝xα，由图象经过点(4，2)，
可得4α＝2，即22α＝2，
所以2α＝1，α＝，
即f(x)＝x.
故f＝＝.
答案：D
5．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(2，)，则f(log216)＝( )
A．2 B. C. D.
解析：设f(x)＝xα，则2α＝，所以α＝.
所以f(x)＝，
所以f(log216)＝f(4)＝＝2.
答案：A
二、填空题
6．(2016·全国Ⅲ卷改编)已知a＝2，b＝3，c＝25，则a，b，c的大小关系是________．
解析：a＝2＝4，b＝3，c＝25＝5.
因为y＝x在第一象限内为增函数，又5>4>3，
所以c>a>b.
答案：c>a>b
7．幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m等于________．
解析：因为幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，
所以3m－5<0，即m<，又m∈N，
所以m＝0，1，因为f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，
当m＝0时，f(x)＝x－5，是奇函数；
当m＝1时，f(x)＝x－2，是偶函数．
所以m＝1.
答案：1
8．已知幂函数f(x)＝xn满足3f(2)＝f(4)，则f(x)的表达式为________．
解析：由题意知3×2n＝4n，3＝2n，
所以n＝log23.故f(x)＝xlog23.
答案：f(x)＝xlog23
三、解答题
9．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N )的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x的增大而减小，求满足(a＋1)－＜(3－2a)－的a的取值范围．
解：因为函数在(0，＋∞)上单调递减，
所以3m－9＜0，解得m＜3.
又m∈N ，所以m＝1.2.
又函数图象关于y轴对称
所以3m－9为偶数，故m＝1.
由题意得(a＋1)－＜(3－2a)－.
因为y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)上均单调递减，
所以a＋1＞3－2a＞0或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a，
解得＜a＜或a＜－1.
10．已知幂函数f(x)的图象过点(25，5)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(2－lgx)，求g(x)的定义域、值域．
解：(1)设f(x)＝xα，则由题意可知25α＝5，
所以α＝，所以f(x)＝x.
(2)因为g(x)＝f(2－lgx)＝，
所以要使g(x)有意义，只需2－lgx≥0，
即lgx≤2，解得0所以g(x)的定义域为(0，100]，
又2－lgx≥0，所以g(x)的值域为[0，＋∞)．
B级 能力提升
1．已知a＝1.2，b＝0.9－，c＝，则( )
A．cC．b解析：a＝1.2，b＝0.9－＝＝，
c＝＝1.1，
因为函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数且1.2>>1.1，
故1.2>>1.1，即a>b>c.
答案：A
2．给出下面三个不等式，其中正确的是________(填序号)．
①－8－<－；②4.1>3.8－>(－1.9)－；③0.20.5>0.40.3
解析：①－＝－9－，由于幂函数y＝x－在(0，＋∞)上是减函数，所以8－>9－，因此－8－<－9，故①正确；②由于4.1>1，0<3.8－<1，(－1.9)－<0，故②正确；③由于y＝0.2x在R上是减函数，所以0.20.5<0.20.3，又y＝x0.3在(0，＋∞)上是增函数，所以0.20.3<0.40.3，所以0.20.5<0.40.3，故③错误．
答案：①②
3．已知幂函数f(x)＝x(m－2)(m∈N)是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)讨论g(x)＝a－的奇偶性．
解：(1)由f(x)＝x(m－2)(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，得(m－2)＜0，所以m＜2.
因为m∈N，所以m＝0，1.
因为f(x)是偶函数，
所以m＝0符合题意，
故f(x)＝x－.
(2)g(x)＝a－＝－，
g(－x)＝＋，且g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
当a≠0且b≠0时，g(x)既不是奇函数也不是偶函数；
当a＝0且b≠0时，g(x)为奇函数；
当a≠0且b＝0时，g(x)为偶函数；
当a＝0且b＝0时，g(x)既是奇函数又是偶函数．
课件24张PPT。高 中 数 学必修一学习内容：七、基本初等函数3、幂函数指数函数对数函数我们见过这样形式的函数吗？1、如果默默购买了每千克1元的苹果w千克，那么他需要付的钱数p = 元， 。思考一下w这里p是w的函数2、如果正方形的边长为a，那么正方形的面积是
S = ， 。a2 这里S是a的函数3、如果默默t s内骑车行进了1km，那么他骑车的平均速度
v = ， 。t-1 km/s这里v是t的函数
x为底数
α为指数
（1）都是以自变量x为底数；
（2）指数为常数；
（3）自变量x前的系数为1;
（4）只有一项。
1、幂函数的定义：一般地，我们把形如y=xα的函数叫做幂函数，
其中x为自变量， α为常数。2、幂函数的形式特征判断下列函数是否是幂函数已知函数 是幂函数,并且是偶函数，求m的值。
A.1 B.2 C.3 D.-2
练习一练习二3、五个常见的幂函数的图象定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：过定点（1，1）定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：过定点（1，1）定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：过定点（1，1）-8-101827010xyy=x3//642定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：过定点（1，1）定义域：
值 域：
奇偶性：
单调性：过定点（1，1）y = xRR[0，+∞）RR[0，+∞）奇函数偶函数奇函数非奇非偶函数奇函数在R上增函数在（－∞,0]上是减函数，在(0, +∞）上是增函数在R上增函数在(0，+∞)上是增函数在( －∞,0)，(0, +∞）上是减函数（1，1）奇偶性y = x2R[0,+∞）对于幂函数我们只讨论下列五种α为奇数时,幂函数为奇函数,
α为偶数时,幂函数为偶函数.
在第一象限内，
a >0,在(0,+∞)上为增函数;
a <0,在(0,+∞)上为减函数.当α>0时，幂函数图象都过 点和 点；且在第一象限都是 函数；
当0<α<1，时曲线上凸；
当α>1时，曲线下凸；
当α＝1时，为过(0,0)点和(1,1)点的
当α<0时，幂函数图象总经过 点，且在第一象限为 函数
当α＝0时，y＝x0，表示过(1,1)点平行于x轴的直线(除去(0,1)点)．(0,0)(1,1)增直线；(1,1)减例：利用单调性判断下列各值的大小。5.20.8 与 5.30.8 y= x0.8在(0,∞)内是增函数,
∵5.2<5.3 ∴ 5.20.8 < 5.30.8 0.20.3 与 0.30.3y=x0.3在(0,∞)内是增函数
∵0.2<0.3∴ 0.20.3 <0.30.3y=x-2/5在(0,∞)内是减函数
∵2.5<2.7∴ 2.5-2/5>2.7-2/5练习幂函数y＝ (m∈Z)的图象如右图所示，则m的值为( )
A．－1A．1 B．2 C．3 D．无法确定1、已知幂函数f(x)＝xm2－6m＋5 (m∈Z)为奇函数，且在区间(0，＋∞)上是减函数，则f(x)的解析式为________．作业2、已知幂函数f(x)的图像经过点（3，27），求证：f(x)是奇函数。课题：第二章 第三节第一课时
§2.3.1幂函数
一．教学目标：
1．知识技能
（1）理解幂函数的概念；
（2）结合这几个幂函数的图象，理解幂函数图象的变化情况和性质;
(3)通过观察、总结幂函数的性质，培养概括抽象和识图
能力；进一步体会数形结合的思想。
2．过程与方法
类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研究幂函数的图象和性质.
3．情感、态度、价值观
（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法；
（2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性.
二．教学重难点
重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质
难点：从幂函数的图象中概括其性质
三.教学准备
（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ;
（2）教学用具：多媒体
四．教学过程：
【引入新知】
阅读教材P77的具体实例（1）~（5），思考下列问题.
思考：以上各题目的函数关系分别是什么？具有什么共同特征？
让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论：
【课堂探究】
比较下列两组函数有什么区别？
1、上述的问题涉及到的函数，都是形如：，其中是自变量，是常数.
思考：
（1）你学过的函数中哪些是幂函数？
（2）一次函数、二次函数都是幂函数吗？
注意：幂函数解析式的结构特征？
在同一坐标系中分别作出如下函数的图象：
观察图象，说一说它们有什么共同特征？
结论：
在第一象限内，当a>0时，图象随x增大而上升
当a<0时，图象随x增大而下降
共同特征：
【课堂训练】
例1、下列函数中，哪几个函数是幂函数
点评：幂函数的解析式的形式，特征可归纳为“两个系数为１，只有１项。”
例2．证明幂函数上是增函数
注意:掌握证明函数单调性的方法和基本模式.
【课时小结】
1.学习了幂函数的概念；
2.掌握幂函数在第一象限内的图象特征，能根据奇偶性完成整个函数的图象;
3.利用函数的单调性比较几个“同指数不同底数”
的幂的大小.
【课后作业】
P79 习题2.3 第1、2题
五、板书设计
