课件21张PPT。第二章 基本初等函数（Ⅰ）
2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
第1课时 根式 银杏,是全球中最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把它称为“世界第一活化石”.【引例】同学们能认出图片中的叶子和果实是什么树的吗？ 你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多万年前就存在的吗?树干化石树叶化石 当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减,大约每经过5730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.根据此规律,人们获得了生物体内碳14含量P与死亡年数t之间的关系,这个关系式应该怎样表示呢我们可以先来考虑这样的问题: (1)当生物死亡了5 730, 5 730×2, 5 730×3,…年后,它体内碳14的含量P分别为原来的多少?科学家的‘秘密’工具-半衰期(2)由以上的实例来推断关系式是 考古学家根据上式可以知道, 生物死亡t年后,体内碳14的含量P的值.这里的幂指数已经不是正整数，而是分数，这些分数指数幂应该如何计算呢？这就是我们下面要研究的指数与指数幂的运算，为此先学习根式相关的知识。1.掌握n次根式及根式的概念；（重点）
2.正确运用根式的运算性质进行根式运算.(难点）探究点1 由初中所学知识及示例完成下面填空类似地，(±2)4=16，则±2叫做16的 ； 25=32，则2叫做32的 .4次方根5次方根 示例：① (±2)2＝４，则称±２为４的 ；
② 23=8，则称２为8的 ；平方根立方根xn =a，其中n＞1，且n∈N﹡ 一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的 ，
其中n＞1，且n∈N﹡. n次方根－2练一练:
(1) －32的五次方根等于_____.
(2)81的四次方根等于____.
(3)0的七次方根等于_____.±30归纳总结：n次方根的概念1.正数的奇次方根是一个正数；负数的奇次方根
是一个负数；0的奇次方根是0.
2.正数的偶次方根有两个，且互为相反数；负数
没有偶次方根；0的偶次方根是0.方根的性质0的任何次方根都是0，记作 =0. 3.方根的表示方法：探究点2 在方根的表示中，你知道式子 叫什么吗？根指数 被开方数根式结论：探究点3 你能根据方根的意义确定下面式子的值吗？结论:an开奇次方根,则有结论:an开偶次方根,则有2.求下列各式的值⑴当n为任意正整数时，( )n=a. ⑵当n为奇数时， =a；
当n为偶数时， =|a|= . 归纳总结:根式的运算性质例 求下列各式的值:
（1） ； （2） ；
（3） ； （4）解：（1）
（2）
（3）
（4）注意符号根式化简或求值的注意点：
解决根式的化简或求值问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式的性质进行化简或求值.【总结提升】总有意义总有意义1.判断下列式子中正确的是 （1）（4）（6）（8）2.求下列各式的值；；.【解题关键】：确定被开方数的正负
3.若6
4．计算1【解析】原式= 注意符号5.求 的值.【解析】要使原式有意义，须使所以a=-1根式n次方根根式的定义根式的性质 看似平坦的成功之路往往是由无数失败的石头加上努力的柏油铺成的。课 题：2.1.1 指数与指数幂的运算-分数指数幂2
教学目的：
巩固根式和分数指数幂的概念和性质，并能熟练应用于有理指数幂的概念及运算法则进行相关计算
教学重点：根式和分数指数幂的概念和性质
教学难点：准确应用计算.
授课类型：巩固课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、复习引入：
1．根式的运算性质：
①当n为任意正整数时，()=a.
②当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=.
⑶根式的基本性质：，（a0）.
2．分数指数幂的运算性质：
二、讲解范例：
例1.用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)
(1) （２） （３）
（４） （５） （6）
解：（１）
(2)
(3)
（４）
（５）
（６）
例2(教材52页 例4)计算下列各式（式中字母都是正数）：
⑴ ；⑵ .
解：⑴原式=[2×(-6)÷(-3)]；
⑵原式=
说明：该例是运用分数指数幂的定义和运算性质进行计算的题，第⑴小题是仿照单项式乘除法进行的，首先将系数相乘除，然后将同底数的幂相乘除；第⑵小题是先按积的乘方计算，再按幂的乘方计算，在计算过程中要特别注意符号. 同学们在下面做题中，刚开始时，要严格按照象例题一样的解题步骤进行，待熟练以后再简化计算步骤.
例3(教材52页 例5) 计算下列各式：
⑴ ；⑵ (a>0).
解：⑴原式=
=；
⑵原式=.
说明：本例是利用分数指数幂来进行根式计算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行计算；对于计算结果，若没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示，若有特殊要求，可根据要求给出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数
例4化简：
解：
评述：此题注重了分子、分母指数间的联系，即，由此联想到平方差公式的特点，进而使问题得到解决
例5 已知x+x-1=3,求下列各式的值：
分析：（1）题若平方则可出现已知形式，但开方时应注意正负的讨论；
（2）题若立方则可出现（1）题形式与已知条件，需将已知条件与（1）题结论综合；或者，可仿照（1）题作平方处理，进而利用立方和公式展开
解：
评述：（1）题注重了已知条件与所求之间的内在联系，但开方时正负的取舍容易被学生所忽视，应强调以引起学生注意
（2）题解法一注意了（1）题结论的应用，显得颇为简捷，解法二注重的是与已知条件的联系，体现了对立方和公式、平方和公式的灵活运用，耐用具有一定层次，需看透问题实质方可解决得彻底，否则可能关途而废另外，（2）题也体现了一题多解
三、练习：
1．练习：教材54页练习2题3题
2. 练习求下列各式的值：
(1) （２） （３） （4）
解：(1)
(2)
(3)
(4)
3.已知，求、的值
五、小结 本节课学习了以下内容：
熟练进行有关分数指数幂是计算，熟练掌握分数指数幂的定义和运算性质
六、课后作业：
1．求下列各式的值：
(1) （2） （３） （4）
解：（１）
（２）
(3)
(4)
2．已知，求、的值
解： ∵，
而(由⑴知)，，，
∴；
.
3．（备选）设mn>0，x=，化简：A=.
解：∵x-4=()-4=()，
∴A==，
又∵mn>0，∴m，n同号.
⑴设m>0，且n>0，则A=.
①若mn，则A=；②若m⑵设m<0，且n<0，则A=.
①若nm，则A=；②若n综上所述得：A=.
七、板书设计（略）
八、课后记：
第2课时 指数幂及运算
学习目标：1.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)2.掌握实数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或求值．(重点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．分数指数幂的意义
分数指数幂
正分数指数幂
规定：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)
负分数指数幂
规定：a＝＝
(a>0，m，n∈N*，且n>1)
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0，
0的负分数指数幂没有意义.
思考：(1)分数指数幂a能否理解为个a相乘？
(2)在分数指数幂与根式的互化公式a＝中，为什么必须规定a>0?
[提示] (1)不能．a不可以理解为个a相乘，事实上，它是根式的一种新写法．
(2)①若a＝0,0的正分数指数幂恒等于0，即＝a＝0，无研究价值．
②若a<0，a＝不一定成立，如(－2)＝无意义，故为了避免上述情况规定了a>0.
2．有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
3．无理数指数幂
一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)0的任何指数幂都等于0.( )
(2)5＝.( )
(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如＝a.( )
[答案] (1)× (2)× (3)×
2．4等于( )
A．25 B.
C. D.
B [4＝＝，故选B.]
3．已知a>0，则a等于( )
【导学号：37102215】
A. B．
C. D．－
B [a＝＝.]
4．(m)4＋(－1)0＝________.
m2＋1 [(m)4＋(－1)0＝m2＋1.]
根式与分数指数幂的互化
[合 作 探 究·攻 重 难]
将下列根式化成分数指数幂的形式：
(1)(a>0)；(2)；(3)(b>0).
【导学号：37102216】
[规律方法] 根式与分数指数幂互化的规律
(1)根指数分数指数的分母，
被开方数(式)的指数分数指数的分子．
(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．
[跟踪训练]
1．将下列根式与分数指数幂进行互化．
(1)a3·；(2)(a>0，b>0)．
利用分数指数幂的运算性质化简求解
[规律方法]
指数幂运算的常用技巧
?1?有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.
?2?负指数幂化为正指数幂的倒数.
?3?底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质.
提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.
[跟踪训练]
2．(1)计算：0.064－0＋[(－2)3]＋16－0.75＋|－0.01|；
(2)化简：÷(a>0)．
指数幂运算中的条件求值
[探究问题]
1.2和2存在怎样的等量关系？
提示：2＝2＋4.
2．已知＋的值，如何求a＋的值？反之呢？
提示：设＋＝m，则两边平方得a＋＝m2－2；反之若设a＋＝n，则n＝m2－2，∴m＝.即＋＝.
已知a＋a－＝4，求下列各式的值：
(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2.
【导学号：37102218】
[解] (1)将a＋a－＝4两边平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14.
(2)将a＋a－1＝14两边平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194.
母题探究：1.在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值．
[解] 令a－a－1＝t，则两边平方得a2＋a－2＝t2＋2，
∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8，即a－a－1＝±8.
2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值．
[解] 由上题可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8×14＝±112.
[规律方法] 解决条件求值的思路
1．在利用条件等式求值时，往往先将所求式子进行有目的的变形，或先对条件式加以变形、沟通所求式子与条件等式的联系，以便用整体代入法求值．
2．在利用整体代入的方法求值时，要注意完全平方公式的应用．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．下列运算结果中，正确的是( )
A．a2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2
C．(－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6
A [a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(－1)0＝1，若成立，需要满足a≠1，故选A.]
2．把根式a化成分数指数幂是( )
【导学号：37102219】
A．(－a) B．－(－a)
C．－a D．a
D [由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D.]
4．若10m＝2,10n＝3，则103m－n＝________.
【导学号：37102220】
[∵10m＝2，∴103m＝23＝8，又10n＝3，
所以103m－n＝＝.]
课时达标检测（十三） 指数幂及运算
一、选择题
1.(a>0)的值是( )
A．1 B．a
C．a D．a
解析：选D 原式＝a3·a·a＝a＝a.
2．设a－a＝m，则＝( )
A．m2－2 B．2－m2
C．m2＋2 D．m2
解析：选C 将a－a＝m两边平方得
(a－a)2＝m2，即a－2＋a－1＝m2，
所以a＋a－1＝m2＋2，
即a＋＝m2＋2?＝m2＋2.
3.0－(1－0.5－2)÷的值为( )
A．－ B.
C. D.
解析：选D 原式＝1－(1－22)÷2＝1－(－3)×＝.
4．若a>1，b>0，ab＋a－b＝2，则ab－a－b等于( )
A. B．2或－2
C．－2 D．2
解析：选D ∵a>1，b>0，
∴ab>a－b，(ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝(2)2－4＝4，
∴ab－a－b＝2.
5．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为( )
A. B.
C．1 D.
解析：选B x9x＝(9x)x，(x9)x＝(9x)x，
∴x9＝9x.∴x8＝9.
∴x＝＝.
二、填空题
6．化简 (a>0，b>0)的结果是________．
解析：原式＝
答案：
7．化简7－3－6＋ 的结果是________．
解析：7－3－6＋＝7×3－3×3×2－6×3＋(3×3)＝3－6×3＋3＝2×3－2×3×3＝2×3－2×3＝0.
答案：0
8．设a2＝b4＝m(a>0，b>0)，且a＋b＝6，则m等于________．
解析：∵a2＝b4＝m(a>0，b>0)，
∴a＝m，b＝m，a＝b2.
由a＋b＝6得b2＋b－6＝0，解得b＝2或b＝－3(舍去)．
∴m＝2，m＝24＝16.
答案：16
三、解答题
9．化简求值：
(1)0.5＋0.1－2＋－3π0＋；
(2)＋(0.002)－10(－2)－1＋(－)0；
(3)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；
(4)2÷4×3.
解：(1)原式＝＋＋－3＋
＝＋100＋－3＋＝100.
(2)原式＝(－1)×＋－＋1
＝＋(500)－10(＋2)＋1
＝＋10－10－20＋1＝－.
(3)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)
＝－a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－ac－1＝－.
10．若b＝9a>0，求的值．
解：
＝＝
＝＝－＝－3.
11．已知a＝－，b＝，求÷的值．
＝－2
＝2＝.
12．已知：ax2 015＝by2 015＝cz2 015，且＋＋＝1.
求证：(ax2 014＋by2 014＋cz2 014)＝a＋b＋c.
证明：设ax2 015＝by2 015＝cz2 015＝k，则
ax2 014＝，by2 014＝，cz2 014＝.
于是原式的左边＝＝
＝k.
原式的右边＝＋＋
＝k＝k.
∴左边＝右边，
∴原命题成立．
