课件32张PPT。第二章 基本初等函数（Ⅰ）
2.2 对数函数
2.2.1 对数与对数运算
A级 基础巩固
一、选择题
1．在b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( )
A．a>5或a<2 B．2
C．2解析：由对数的定义知即
所以2答案：B
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝9
解析：因为＝2－2，所以log3x＝－2，
所以x＝3－2＝.
答案：A
3．化简(log43＋log 8 3)(log32＋log92)＝( )
A. B. C．1 D．2
解析：原式＝
＝
＝×××＝.
答案：B
4.的值是( )
A．2 B. C．1 D.
解析：＝÷log27＝.
答案：D
5．若lg 2＝a，lg 3＝b，则等于( )
A. B.
C. D.
解析：＝＝＝.
答案：A
二、填空题
6．已知m>0，且10x＝lg (10m)＋lg，则x＝________．
解析：因为lg(10m)＋lg＝lg＝lg 10＝1，所以10x＝1，得x＝0.
答案：0
7．若f(x)＝ax－且f(lg a)＝，则a＝________．
解析：f(lg a)＝alg a－＝＝，
所以alg a＝(10a)，两边取对数，
得(lg a)2＝(1＋lg a)，
所以2(lg a)2－lg a－1＝0，解得lg a＝1或lg a＝－，
则a＝10或a＝.
答案：10或
8.＝________．
解析：原式＝＝＝＝2.
答案：2
三、解答题
9．计算：
(1)71－log75；
(2)100(lg 9－lg 2)；
(3)alogab·logbc(a，b为不等于1的正数，c＞0)．
解：(1)原式＝7×7－log75＝＝.
(2)原式＝100lg 9×100－lg 2＝10lg 9×
＝9×＝.
(3)原式＝(alogab)logbc＝blogbc＝c.
10．已知lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，求log的值．
解：由lg x＋lg y＝2lg(x－2y)，
得lg(xy)＝lg(x－2y)2，
从而有
由①得x2－5xy＋4y2＝0，即(x－y)(x－4y)＝0.
由②③④知x－y＞0，故x－4y＝0，即＝4.
所以log＝log4＝log()4＝4.
B级 能力提升
1．计算log225·log32·log59的结果为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：原式＝··＝··＝6.
答案：D
2．已知log147＝a，log145＝b，则用a，b表示log3514＝______．
解析：log3514＝＝＝.
答案：
3．已知log189＝a，18b＝5，用a，b表示log3645的值．
解析：方法一：因为log189＝a，18b＝5，所以log185＝b.
于是log3645＝＝＝
＝＝.
方法二：因为log189＝a，18b＝5，所以log185＝b.
于是log3645＝＝＝.
方法三：因为log189＝a，18b＝5，
所以lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18.
所以log3645＝＝＝
＝＝.
授课题目
对数与对数运算（一）
拟 课时
第 课时
明确目标
知识与技能：
①理解对数的概念，了解对数与指数的关系；
②理解和掌握对数的性质；
③掌握对数式与指数式的关系 .
2.过程与方法
通过与指数式的比较，引出对数定义与性质 . 采用启发式教学引导学生在指数式与对数式的互化过程中，加深对于定义的理解，为下一节学习对数的运算性质打好基础.
3.情感、态度与价值观
（1）学会对数式与指数式的互化，从而培养学生的类比、分析、归纳能力.
（2）通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质 .
（3）在学习过程中培养学生探究的意识.
（4）让学生理解平均之间的内在联系，培养分析、解决问题的能力.
重点难点
重点：对数式与指数式的互化及对数的性质
难点：对数性质的推到的理解
课型
□讲授 □习题 □复习 □讨论 □其它
教 学 内 容 设 计
师生活动设计
教学过程：
一．提出问题
（P72思考题）中，哪一年的人口数要达到10亿、20亿、30亿……，该如何解决？
即：在个式子中，分别等于多少？
象上面的式子，已知底数和幂的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概念）.
二.合作探究：若1.01x=，则x称作是以1.01为底的的对数.你能否据此给出一个一般性的结论？
一般地，如果ax=N（a＞0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.
举例：如：，读作2是以4为底，16的对数.，则，读作是以4为底2的对数.
1. 对数式与指数式的互化
在对数的概念中，要注意：
（1）底数的限制＞0，且≠1
（2）
指数式对数式
幂底数←→对数底数
指 数←→对数
幂 ←N→真数
说明：对数式可看作一记号，表示底为（＞0，且≠1），幂为N的指数工表示方程（＞0，且≠1）的解. 也可以看作一种运算，即已知底为（＞0，且≠1）幂为N，求幂指数的运算. 因此，对数式又可看幂运算的逆运算.
2. 对数的性质：
提问：①因为＞0，≠1时，
则 由１、0=1 ２、1= 如何转化为对数式
②负数和零有没有对数？
③根据对数的定义，=？
（以上三题由学生先独立思考，再个别提问解答）
由以上的问题得到
① （＞0，且≠1）
② ∵＞0，且≠1对任意的力，常记为.
恒等式：=N
3. 两类对数
① 以10为底的对数称为常用对数，常记为.
② 以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数，常记为.
以后解题时，在没有指出对数的底的情况下，都是指常用对数，如100的对数等于2，即.
三.典型例题
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
（1）54=625； （2）2－6=； （3）（）m=5.73；
（4）log16=－4； （5）lg0.01=－2； （6）ln10=2.303.
例1分析：进行指数式和对数式的相互转化，关键是要抓住对数与指数幂之间的关系，以及每个量在对应式子中扮演的角色.
例2：求下列各式中x的值
（1） （2）
（3） （4）
例2分析：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.
四、总结提升
1、本节课你主要学习了
五、问题过关
1 将下列指数式与对数式进行互化.
（1）（2）（3）（4）
2 求下列各式中的x.
（1）； （2）；（3）；
备选例题
例1 将下列指数式与对数式进行互化.
（1） （2） （3） （4）
例2 求下列各式中的x.
（1）；
（2）；
（3）；
老师提出问题，
学生思考回答.
启发学生从指数运算的需求中，提出本节的研究对象——对数，
老师适时归纳总结，引出对数的定义并板书.
掌握指数式与对数式的互化、而且要明确对数运算是指数运算的逆运算.
学生口答，老师板书
学生先做，老师再讲评
板书设计：
教学反思：
“三四五”高效课堂教学设计：
（授课日期： 年 月 日 星期 班级 ）
授课题目
对数与对数运算（二）
拟 课时
第 课时
明确目标
1.知识与技能：理解对数的运算性质．
2.过程与方法： 通过对数的运算性质的探索及推导过程，培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想方法，以及创新意识．
3.情感、态度与价值观
通过“合情推理”、“等价转化”和“演绎归纳”的思想运用，培养学生对立统一、相互联系，相互转化以及“特殊—一般”的辩证唯物主义观点，以及大胆探索，实事求是的科学精神．
重点难点
重点：对数运算性质及其推导过程.
难点：对数的运算性质发现过程及其证明.
课型
□讲授 □习题 □复习 □讨论 □其它
教 学 内 容 设 计
师生活动设计
教学过程：
一、复习：
1.对数的定义及对数恒等式
（＞0，且≠1，N＞0），
2.指数的运算性质.
二.合作探究：在上节课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道，那如何表示，能用对数式运算吗？
如：.
于是 由对数的定义得到
即：同底对数相加，底数不变，真数相乘
提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？
（让学生探究，讨论）
如果＞0且≠1，M＞0，N＞0，那么：
（1）
（2）
（3）
提问：1. 利用对数运算性质时，各字母的取值范围有什么限制条件？
2. 性质能否进行推广？
性质（1）可以推广到n个正数的情形，即
loga（M1M2M3…Mn）=logaM1+logaM2+logaM3+…+logaMn（其中a＞0，且a≠1，M1、M2、M3…Mn＞0）.
三、典型例题
例1 用，，表示下列各式
（1） （2）
例1分析：利用对数运算性质直接化简.
小结：此题关键是要记住对数运算性质的形式，要求学生不要记住公式
例2 求下列各式的值.
（1） （2）
例3计算：
（1）lg14－2lg+lg7－lg18；（2）；
小结：以上各题的解答，体现对数运算法则的综合运用，应注意掌握变形技巧，每题的各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系，要避免错用对数运算性质.
四、总结提升
1、本节课你主要学习了
五、问题过关
1.若a＞0，a≠1，且x＞y＞0，N∈N，则下列八个等式：
①（logax）n=nlogx；②（logax）n=loga（xn）；
③－logax=loga（）；④=loga（）；
⑤=logax；⑥logax=loga；
⑦an=xn；⑧loga=－loga.其中成立的有________个.
2. 计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
3.计算
（1）+（ａ>0,且）;(2) -
（3） （4）
（5） （6）
4.（1）已知lg2 = 0.3010，lg3 = 0.4771，求lg；
（2）已知lgx = 2lga + 3lgb – 5lgc，求x.
学生口答，教师板书．
学生探究，教师启发引导．
让学生多角度思考，探究，教师点拨．
让学生讨论、研究，教师引导
师组织，生交流探讨得出如下结论:
底数a＞0，且a≠1，真数M＞0，N＞0；只有所得结果中对数和所给出的数的对数都存在时，等式才能成立.
学生思考，口答，教师板演、点评．
学生先做，老师再评讲
板书设计：
教学反思：
“三四五”高效课堂教学设计：
（授课日期： 年 月 日 星期 班级 ）
授课题目
对数与对数运算（三）
拟 课时
第 课时
明确目标
1.知识与技能：
（1）掌握换底公式，会用换底公式将一般的对数化为常用对数或自然对数，并能进行一些简单的化简和证明.
（2）能将一些生活实际问题转化为对数问题并加以解答.
2.过程与方法
（1）结合实例引导学生探究换底公式，并通过换底公式的应用，使学生体会化归与转化的数学思想.
（2）通过师生之间、学生与学生之间互相交流探讨，培养学生学会共同学习的能力.
（3）通过应用对数知识解决实际问题，帮助学生确立科学思想，进一步认识数学在现实.
3.情感、态度与价值观
（1）通过探究换底公式的概念，使学生体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性，激发学生的学习兴趣，培养学生严谨的科学精神.
（2）在教学过程中，通过学生的相互交流，培养学生灵活运用换底公式的能力，增强学生数学交流能力，同时培养学生倾听并接受别人意见的优良品质.
重点难点
重点：（1）换底公式及其应用.（2）对数的应用问题.
难点：换底公式的灵活应用.
课型
□讲授 □习题 □复习 □讨论 □其它
教 学 内 容 设 计
师生活动设计
教学过程：
二、合作探究
你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗？
logaN=（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0）.
当a＞0，且a≠1时，若ab=N， ①则logaN=b. ②
在①的两边取以c（c＞0，且c≠1）为底的对数，
则logcab=logcN，即blogca=logcN.∴b=.③
由②③得logaN=（c＞0，且c≠1）.
一般地，logaN=（a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；N＞0），这个公式称为换底公式.
三、典型例题
例1 计算：（1）log34·log48·log8m=log416，求m的值.
（2）log89·log2732.
（3）（log25+log4125）·.
例1分析：在利用换底公式进行化简求值时，一般情况是根据题中所给的对数式的具体特点选择恰当的底数进行换底，如果所给的对数式中的底数和真数互不相同，我们可以选择以10为底数进行换底.
小结：（1）不同底的对数要尽量化为同底的对数来计算；
（2）在第（3）小题的计算过程中，用到了性质logMn=logaM及换底公式logaN=.利用换底公式可以证明：logab=，
即logablogba=1.
例2: 已知log189 = a，18b = 5，求log3645.
.
四、总结提升
1、本节课你主要学习了
五、问题过关
1. 已知，，求下列格式的值
（1） （2）
（3） （4）
2.在，，log，logan，（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，ab≠1，n∈N）中和logab相等的有
A.2个 B.3个 C.4个 D.1个
3.若log34·log48·log8m=log42，求m.
4.（1）已知log53=a，log54=b，试用a、b表示log2512；
（2）已知log1227=a，求log616.
师生讨论并完成
学生先做，老师再讲评
板书设计：
教学反思：
第2课时 对数的运算
学习目标：1.理解对数的运算性质．(重点)2.能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点)3.会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；
(2)loga＝logaM－logaN；
(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．
思考：当M>0，N>0时，loga(M＋N)＝logaM＋logaN，loga(MN)＝logaM·logaN是否成立？
[提示] 不一定．
2．对数的换底公式
若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0，
则有logab＝.
[基础自测]
1．思考辨析
(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．( )
(2)loga(xy)＝logax·logay.( )
(3)log2(－3)2＝2log2(－3)．( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．计算log84＋log82等于( )
A．log86 B．8
C．6 D．1
D [log84＋log82＝log88＝1.]
3．计算log510－log52等于( )
【导学号：37102270】
A．log58 B．lg 5
C．1 D．2
C [log510－log52＝log55＝1.]
4．log23·log32＝________.
1 [log23·log32＝×＝1.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
对数运算性质的应用
计算下列各式的值：
(1)lg －lg ＋lg ；
(2)lg 52＋lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2；
(3).
【导学号：37102271】
[解] (1)原式＝(5lg 2－2lg 7)－·lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5
＝lg 2＋lg 5
＝(lg 2＋lg 5)
＝lg 10
＝.
(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2
＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2
＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.
(3)原式＝
＝
＝
＝.
[规律方法] 1.利用对数性质求值的解题关键是化异为同，先使各项底数相同，再找真数间的联系．
2．对于复杂的运算式，可先化简再计算；化简问题的常用方法：①“拆”：将积(商)的对数拆成两对数之和(差)；②“收”：将同底对数的和(差)收成积(商)的对数．
[跟踪训练]
1．求下列各式的值：
(1)lg25＋lg 2·lg 50；
(2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25.
[解] (1)原式＝lg25＋(1－lg 5)(1＋lg 5)＝lg25＋1－lg25＝1.
(2)lg 8＋lg25＋lg 2·lg 50＋lg 25＝2lg 2＋lg25＋lg 2(1＋lg 5)＋2lg 5
＝2(lg 2＋lg 5)＋lg2 5＋lg 2＋lg 2·lg 5＝2＋lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝2＋lg 5＋lg 2＝3.
对数的换底公式
计算：
(1)lg 20＋log10025；
(2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52).
【导学号：37102272】
[解] (1)lg 20＋log10025＝1＋lg 2＋＝1＋lg 2＋lg 5＝2.
(2)(log2125＋log425＋log85)·(log1258＋log254＋log52)＝(log253＋log2252＋log235)·(log5323＋log5222＋log52)＝log25·(1＋1＋1)log52＝·3＝13.
[跟踪训练]
2．求值：
(1)log23·log35·log516；
(2)(log32＋log92)(log43＋log83)．
[解] (1)原式＝··＝＝＝4.
(2)原式＝
＝＝·＝.
对数运算性质的综合应用
[探究问题]
1．若2a＝3b，则a，b间存在怎样的等量关系？
提示：设2a＝3b＝t，则a＝log2t，b＝log3t，∴＝log23.
2．若log23＝a，log25＝b，你能用a，b表示log415吗？
提示：log415＝＝＝.
已知3a＝5b＝c，且＋＝2，求c的值.
【导学号：37102273】
思路探究：
[解] ∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，
∴＝logc3，＝logc5，
∴＋＝logc15.
由logc15＝2得c2＝15，即c＝.
母题探究：1.把本例条件变为“3a＝5b＝15”，求＋的值．
[解] ∵3a＝5b＝15，
∴a＝log315，b＝log515，
∴＋＝log153＋log155＝log1515＝1.
2．若本例条件改为“若a，b是正数，且3a＝5b＝c”，比较3a与5b的大小．
[解] ∵3a＝5b＝c，∴a＝log3c，b＝log5c，
∴3a－5b＝3log3c－5log5c
＝－＝
＝<0，
∴3a<5b.
[规律方法] 应用换底公式应注意的两个方面
???化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用?
???题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式?
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．计算：log153－log62＋log155－log63＝( )
A．－2 B．0 C．1 D．2
B [原式＝log15(3×5)－log6(2×3)＝1－1＝0.]
2．计算log92·log43＝( )
【导学号：37102274】
A．4 B．2 C. D.
D [log92·log43＝·＝.]
3．设10a＝2，lg 3＝b，则log26＝( )
A. B. C．ab D．a＋b
B [∵10a＝2，∴lg 2＝a，
∴log26＝＝＝.]
4．log816＝________.
[log816＝log2324＝.]
5．计算：(1)log535－2log5＋log57－log51.8；
(2)log2＋log212－log242－1.
【导学号：37102275】
[解] (1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log5＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.
(2)原式＝log2＋log212－log2－log22
＝log2＝log2
＝log22＝－.
