人教版初中数学九年级上册21.2.2公式法解一元二次方程 同步练习题（解析版）

九年级上册第二十一章《公式法解一元二次方程》同步练习题
一、选择题（每小题只有一个正确答案）
1．利用求根公式求5x2+=6x的根时，其中a=5，则b、c的值分别是（　　）
A． ，6 B． 6， C． ﹣6， D． ﹣6，﹣
2．方程x2﹣9=0的解是（　　）
A． x=3 B． x=﹣3 C． x=±9 D． x1=3，x2=﹣3
3．已知a是一元二次方程x2﹣3x﹣5=0的较小的根，则下面对a的估计正确的是（　　）
A． ﹣2＜a＜﹣1 B． 2＜a＜3 C． ﹣3＜a＜﹣4 D． 4＜a＜5
4．方程2x2﹣x﹣3=0的两根是（　　）
A． x= B． x= C． x= D． x=
5．若3（x+1）2﹣48=0，则x的值等于（　　）
A． ±4 B． 3或﹣5 C． ﹣3或5 D． 3或5
6．若※是新规定的某种运算符号，设a※b=b 2 -a，则-2※x=6中x的值（）
A． 4 B． 8 C． 2 D． -2


二、填空题
7．根的判别式内容：
△=b2﹣4ac＞0?一元二次方程_____；
△=b2﹣4ac=0?一元二次方程_____；
此时方程的两个根为x1=x2=_____．
△=b2﹣4ac＜0?一元二次方程_____．
△=b2﹣4ac≥0?一元二次方程_____．
8．用求根公式解方程x2+3x=﹣1，先求得b2﹣4ac=_____，则 x1=_____，x2=_____．
9．用公式法解一元二次方程﹣x2+3x=1时，应求出a，b，c的值，则：a=_____；b=_____；c=_____．
10．把方程（x+3）（x﹣1）=x（1﹣x）整理成ax2+bx+c=0的形式_____，b2﹣4ac的值是_____．

三、解答题
11．解方程：．
12．选择适当的方法解方程:
（1）2(x－3)2＝8；
（2）x2-6x-4＝0.
13．解方程：（1）(2x+1)2=(x-1)2;（2）x2+4x-7=0
14．已知关于x的方程mx2+(3﹣m)x﹣3=0(m为实数，m≠0)．
(1) 试说明：此方程总有两个实数根．
(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m的值.
试卷第2页，总2页

参考答案
1．C
【解析】
【分析】
把方程化为一般式，使二次项系数为5，从而可得到b、c的值．
【详解】
5x2﹣6x+=0，
所以a=5，b=﹣6，c=．
故选：C．
【点睛】
考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
2．D
【解析】
【分析】
先移项得到x2=9，然后利用直接开平方法解方程．
【详解】
x2=9，
x=±3，
所以x1=3，x2=-3．
故选D．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
3．A
【解析】
【分析】
利用公式法表示出方程的根，再进行估算即可．
【详解】
一元二次方程x2-3x-5=0，
∵a=1，b=-3，c=-5，
∴△=9+20=29，
∴x=，
则较小的根a=，即-2＜a＜-1，
故选A．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-公式法，以及估算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4．B
【解析】
【分析】
利用求根公式x=解方程.
【详解】
方程：﹣x﹣3=0中b=-,a=2,c=-3.
∴x=＝.
故选：B.
【点睛】
考查用公式法解一元二次方程，利用求根公式x=解方程时，一定要弄清楚该公式中的字母a、b、c所表示的意义．
5．B
【解析】
【分析】
先移项，再系数化成1，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】
3（x+1）2-48=0，
3（x+1）2=48，
（x+1）2=16，
x+1=±4，
x=3或-5，
故选：B．
【点睛】
考查了解一元二次方程，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
6．C
【解析】解：由题意得： ，∴，∴x=±2．故选C．
7． 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 ﹣ 无解 有实数根
【解析】
【分析】
利用根的判别式与解的关系判断即可得到结果．
【详解】
△=b2-4ac＞0?一元二次方程有两个不相等的实数根；
△=b2-4ac=0?一元二次方程有两个相等的实数根；
此时方程的两个根为x1=x2=-．
△=b2-4ac＜0?一元二次方程无解．
△=b2-4ac≥0?一元二次方程有实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；-；无解；有实数根．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握根的判别式与解的关系是解本题的关键．
8． 5
【解析】
【分析】
将已知方程化为一般形式，找出a，b及c的值，计算出b2-4ac，发现其值大于0，得到方程有两个不相等的实数根，故将a，b及c的值代入求根公式，即可求出原方程的解．
【详解】
x2+3x=-1整理为一般形式得：x2+3x+1=0，
∵a=1，b=3，c=1，
∴b2-4ac=32-4=5＞0，
∴x=，
∴x1=，x2=．
故答案为：5；；.
【点睛】
此题考查了利用公式法求一元二次方程的解，利用此方法解方程时，应先将方程化为一般形式，找出二次项系数a，一次项系数b及常数项c，然后计算出根的判别式，当根的判别式大于等于0时，将a，b及c的值代入求根公式可得出方程的解；当根的判别式小于0时，原方程无解．
9． -1 3 -1
【解析】
【分析】
先移项，将方程变形为一元二次方程的一般形式，然后再找出各项系数即可．
【详解】
-x2+3x=1，
-x2+3x-1=0，
a=-1，b=3，c=-1，
故答案为：-1，3，-1．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，一元二次方程的一般形式的应用，注意：项的系数带着前面的符号．
10． 2x2+x﹣3=0 25
【解析】
【分析】
将方程整理为一般形式，计算出根的判别式的值即可．
【详解】
方程（x+3）（x-1）=x（1-x）整理得：2x2+x-3=0，b2-4ac=25．
故答案为：2x2+x-3=0；25．
【点睛】
此题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
11．，.
【解析】
【分析】
先找出a，b，c，再求出b2-4ac=28，根据求根公式即可求出答案．
【详解】
a=3，b=-2，c=-2，
b2-4ac=（-2）2-4×3×（-2）=28>0，
∴x==，
，.
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有提公因式法、公式法，因式分解法等，根据方程的系数特点灵活选择恰当的方法进行求解是解题的关键.
12．（1）x1＝5，x2＝1．（2）x1＝3+； x2＝3-；
【解析】分析：（1）方程用直接开平方法即可求解；
（2）用公式法即可求解方程.
详解：（1）2(x－3)2＝8，
(x－3)2＝4，
开方，得x－3＝2或x－3＝-2，
解得x1＝5，x2＝1．
（2）x2-6x-4＝0
a=1，b=-6，c=-4，
△=b2-4ac=52>0，
∴方程有两个不相等的实数根x===3±，
∴x1＝3+； x2＝3-
点睛：此题考查了解一元二次方程的方法-直接开平方法和公式法，根据给出的方程的结构，选择适当的方法进行求解是关键.
13．(1)x1=0，x2=-2；（2）x1=-2+，x2=-2-.
【解析】分析：（1）用直接开平方法求解即可；（2）根据求根公式：计算即可.
详解：（1）∵(2x+1)2=(x-1)2,
∴2x+1=x-1或2x+1=-(x-1),
∴2x-x=-1-1或2x+1=-x+1,
∴2x-x=--1或2x+1=-x+1,
∴x=-2或x=0，
即x1=0，x2=-2；
（2）x2+4x-7=0
∵a=1,b=4,c=-7,
∴x= ,
∴x1=-2+，x2=-2-.
点睛：本题主要考查的知识点是一元二次方程的解法－直接开平方法和求根公式法．熟练掌握直接开平方法和求根公式法是解答本题的关键，本题属于一道基础题，难度适中．
14．(1)≥0；(2)m=-1,-3.
【解析】分析: （1）先计算判别式得到△=（m-3）2-4m?（-3）=（m+3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；
（2）利用公式法可求出x1=，x2=-1，然后利用整除性即可得到m的值．
详解: （1）证明：∵m≠0，
∴方程mx2+（m-3）x-3=0（m≠0）是关于x的一元二次方程，
∴△=（m-3）2-4m×（-3）
=（m+3）2，
∵（m+3）2≥0，即△≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：∵x= ，
∴x1=-，x2=1，
∵m为正整数，且方程的两个根均为整数，
∴m=-1或-3．
点睛: 本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．