人教版初中数学九年级上册21.2.3因式分解法解一元二次方程同步练习题（解析版）

第二十一章《21.2因式分解法解一元二次方程》同步练习题

一、选择题（每小题只有一个正确答案）
1．一元二次方程3x2﹣x=0的解是（　　）
A． x= B． x1=0，x2=3 C． x1=0，x2= D． x=0
2．三角形两边的长是2和5，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则第三边的长为（　　）
A． 2 B． 5 C． 7 D． 5或7
3．方程x（x﹣1）=x的解是（　　）
A． x=0 B． x=2 C． x1=0，x2=1 D． x1=0，x2=2
4．一元二次方程x(x-3)=3-x的根是（ ）
A． -1 B． 3 C． 1和3 D． -1和3
5．方程x2+m(2x+m)－x－m=0的解为（ ）
A． x1=1－m，x2=－m B． x1=1－m，x2=m
C． x1=m－1，x2=－m D． x1=m－1，x2=m
6．一元二次方程2x2+px+q=0的两个根为3，4，那么因式分解二次三项式2x2+px+q=（　　）
A． （x﹣3）（x﹣4） B． （x+3）（x+4） C． 2（x﹣3）（x﹣4） D． 2（x+3）（x+4）


二、填空题
7．x2﹣（p+q）x+qp=0左边因式分解为_____．
8．方程（x﹣3）（x+2）=0的根是_____．
9．关于x的方程x2+mx-2m2=0的一个根为1,则m的值为_______.
10．方程的两根为x1=_____,x2=______.
11．定义新运算?：对于任意实数a、b都有：a?b=a2+ab，如果3?4=32+3×4=9+12=21，那么方程x?2=0的解为________.

三、解答题
12．解下列方程：
(Ⅰ) Ⅱ．
13．用适当的方法解下列方程
（1） （2）
14．已知关于x的一元二次方程：x2﹣2x﹣k﹣2=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）给k取一个负整数值，解这个方程．
15．阅读下列材料，解答问题
（2x﹣5）2+（3x+7）2=（5x+2）2
解：设m=2x﹣5，n=3x+7，则m+n=5x+2
则原方程可化为m2+n2=（m+n）2
所以mn=0，即（2x﹣5）（3x+7）=0
解之得，x1=，x2=﹣
请利用上述方法解方程（4x﹣5）2+（3x﹣2）2=（x﹣3）2
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参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据题意对方程提取公因式x,得到x(?3x-1)=0的形式,则这两个相乘的数至少有一个为0,由此可以解出x的值.
【详解】
∵3x2﹣x=0，
∴x（3x﹣1）=0，
∴x=0或3x﹣1=0，
∴x1=0，x2=1/3，
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法,要根据方程的提点灵活选用合适的方法.
2．B
【解析】
【分析】
直接利用十字相乘法分解因式进而解方程，再利用三角形三边关系即可得出答案．
【详解】
解：x2-12x+35=0
(x-5)(x-7)=0，
解得：x1=5，x2=7，
∵三角形两边的长是2和5，
∴第三边长小于7，
∴第三边的长为：5．
故选：B．
【点睛】
此题主要考查了因式分解法解方程以及三角形三边关系，正确解方程是解题关键．
3．D
【解析】
分析：首先移项，然后提取公因式x，即可得到x（x﹣1﹣1）=0，则可得到两个一次方程：x=0或x﹣2=0，继而求得答案．
详解：∵x（x﹣1）=x，∴x（x﹣1）﹣x=0，∴x（x﹣1﹣1）=0，
即x=0或x﹣2=0，
解得：x1=0，x2=2．
故选D．
点睛：本题考查了因式分解法解一元二次方程．此题比较简单，解题的关键是找到公因式x，利用提取公因式法求解．
4．D
【解析】∵x（x-3）=3-x，
∴x（x-3）+（x-3）=0，
∴（x-3）（x+1）=0，
∴x-3=0或x+1=0，
∴x1=3，x2=-1．
故选：D．
5．A
【解析】
【分析】
将方程x2+m(2x+m)－x－m=0整理为x 2 +（2m-1）x+m（m-1）=0，再利用因式分解法解方程即可.
【详解】
原方程可变形为：x 2 +2xm+m 2 -x-m=0，
x 2 +（2m-1）x+m（m-1）=0，
即（x-1+m）（x+m）=0，
∴x 1 =1-m，x 2 =-m.
故选A．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
6．C
【解析】
【分析】
根据方程的根为3,4，可得到(x－3)，(x－4)是方程的两个因式，再根据一元二次方程和二次三项式的关系，即可得到答案.
【详解】
∵一元二次方程2x2+px+q=0的两个根为3，4，
∴二次三项式2x2+px+q=2(x－3)(x－4).
故选C.
7．（x﹣p）（x﹣q）=0．
【解析】
【分析】
根据方程特点，应用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）进行因式分解即可.
【详解】
x2﹣（p+q）x+qp=0
x2+[（-p）+(-q）]x+qp=0
（x-p）（x-q）=0
故答案为：（x-p）（x-q）=0
【点睛】
此题主要考查了因式分解法解一元二次方程的应用，关键是先把方程变形，利用x2+（p+q）x+pq=（x+p）（x+q）进行解答.
8．x=3或x=﹣2．
【解析】
【分析】
由乘法法则知，（x﹣3）（x+2）=0，则x-3=0或x+2=0，解这两个一元一次方程可求出x的值.
【详解】
∵（x﹣3）（x+2）=0，
∴x-3=0或x+2=0，
∴x=3或x=﹣2．
故答案为：x=3或x=﹣2．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想．
9．m=1或-.
【解析】将x=1代入关于x的方程x2+mx-2m2=0可得关于m的一元二次方程，解此方程即可求得m的值.
详解：
把x=1代入关于x的方程x2+mx-2m2=0得：
1+m-2m2=0，
解此关于m的方程得：，
∴m的值为或.
故答案为：或.
点睛：熟知“一元二次方程解的定义和用因式分解法解一元二次方程的方法”是解答本题的关键.
10．4
【解析】
【详解】
解方程，
移项后提取公因式得：，解得x1=，x2=4.
故答案为；4.
11．x1=0，x2=-2
【解析】
【分析】
根据新定义得到x2+2x=0，然后利用因式分解法解方程即可．
【详解】
方程x?2=0化为
x2+2x=0，
则x（x+2）=0，
所以x1=0，x2=-2．
故答案为：x1=0，x2=-2
【点睛】
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
12．(Ⅰ); ;(Ⅱ)，.
【解析】
【分析】
(1)移项，再用直接开平方法；（2）用因式分解法.
【详解】
解：移项得：，
配方得：，
开方得：，
即；
，
，
，，
，．
【点睛】
本题考核知识点：解一元二次方程. 解题关键点：掌握解一元二次方程方法.
13．(1) ：x1=1，x2=；(2) x1=﹣1，x2=﹣3.
【解析】分析：（1）利用分解因式法来求解；（2）利用十字相乘法进行因式分解，从而求解.
详解：（1）3x（x﹣1）=2x﹣2
3x（x﹣1）=2（x﹣1）
3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）=0，
（x﹣1）（3x﹣2）=0，
（x﹣1）=0，（3x﹣2）=0，
-解得：x1=1，x2=；
（2）x2+4x+3=0
（x+1）（x+3）=0，
（x+1）=0，（x+3）=0，
解得：x1=﹣1，x2=﹣3.
点睛：本题考查了解一元二次方程的方法：因式分解法. 因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边转化为两个一元一次方程的乘积；③令每个因式分别为零④括号中x，它们的解就都是原方程的解.
14．（1）k＞﹣3；（2）取k=﹣2， x1=0，x2=2．
【解析】
【分析】（1）利用判别式的意义得到△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，然后解不等式即可；
（2）在（1）中的k的范围内取﹣2，方程变形为x2﹣2x=0，然后利用因式分法解方程即可．
【详解】（1）根据题意得△=（﹣2）2﹣4（﹣k﹣2）＞0，
解得k＞﹣3；
（2）取k=﹣2，则方程变形为x2﹣2x=0，
解得x1=0，x2=2．
【点睛】本题考查了根的判别式，解一元二次方程.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
15．x1=，x2=．
【解析】
【分析】
设m=4x-5，n=3x-2，则m-n=（4x-5）-（3x-2）=x-3，代入后求出mn=0，即可得出（4x-5）（3x-2）=0，求出即可．
【详解】
（4x﹣5）2+（3x﹣2）2=（x﹣3）2，
设m=4x﹣5，n=3x﹣2，则m﹣n=（4x﹣5）﹣（3x﹣2）=x﹣3，
原方程化为：m2+n2=（m﹣n）2，
整理得：mn=0，
即（4x﹣5）（3x﹣2）=0，
4x﹣5=0，3x﹣2=0，
x1=，x2=．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成（4x-5）（3x-2）=0是解此题的关键．