（新人教版必修2）物理：6.4《万有引力理论的成就》教案
文档属性
| 名称 | （新人教版必修2）物理：6.4《万有引力理论的成就》教案 |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 36.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2010-08-18 08:46:00 | ||
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文档简介
本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
第六章 万有引力与航天
6.4 万有引力理论的成就
★教学目标
(1) 知识与技能
1. 了解万有引力定律在天文学上的应用[来源:21世纪教育网]
2. 会用万有引力定律计算天体的质量和密度
3. 掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识分析具体问题的方法
(2) 过程与方法
1. 培养学生归纳总结建立模型的能力与方法
2. 通过求解太阳.地球的质量，培养学生理论联系实际的运用能力
(3) 情感态度与价值观
1. 培养学生认真严禁的科学态度和大胆探究的心理品质
2. 体会物理学规律的简洁性和普适性，领略物理学的优美
3. 通过介绍用万有引力定律发现未知天体的过程，使学生懂得理论来源于实践，反过来又可以指导实践的辩证唯物主义观点
★教学重点
1. 地球、太阳等中心天体质量的计算[21世纪教育网
★教学难点
1. 根据已知条件求解天体质量
★教学过程
一、引入
师：在上节课的学习中我们学习了万有引力定律，关于万有引力，大家可能只把它当作一个普通的知识点来看待，很多同学可能是这样想的：不就是用来求解两个物体之间的引力的一个公式嘛。
师：这里我要告诉大家的是，万有引力定律的发现有着重要的物理意义：它对物理学、天文学的发展具有深远的影响；它把地面上物体运动的规律和天体运动的规律统一起来；对科学文化发展起到了积极的推动作用，解放了人们的思想，给人们探索自然的奥秘建立了极大信心，使人们有能力理解天地间的各种事物。时至今日，数千颗人造卫星正在按照万有引力定律为它们设定的轨道绕地球运转着。所以没有万有引力定律，就没有今天的天空漫步，当然也没有卫星通信时代了。以至于阿波罗8号从月球返航的途中，当地面控制中心问及“是谁在驾驶”的时候，指令长这样回答：“我想现在是牛顿在驾驶。”
师：我们都知道，是卡文迪许测出了万有引力常量，但大家不知道的是，卡文迪许把自己的实验又说成是“秤量地球的重量”，这是当时的说法，用现在物理学的术语，应该说是“称量地球的质量”。大家知道这是为什么吗？请大家一起来看看下面的公式推导。
若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的万有引力，则有,其中M是地球质量，r是物体距地心的距离，即地球半径R，于是有 ( http: / / www.21cnjy.com )，重力加速度g和地球半径R在卡文迪许之前就知道了，一旦测得引力常量G，则可以算出地球质量M。卡文迪许把自己的实验说成是“称量地球质量”就不无道理了。
例1、设地面附近的重力加速度g=9.8m/s2，地球半径R =6.4×106m，引力常量G=6.67×10-11 Nm2/kg2，试估算地球的质量。
【解析】：kg
师：在实验室里测量几个铅球之间的相互作用力，就可以称量地球，这不能不说是一个科学奇迹。难怪一位外行人，著名文学家马克·吐温满怀激情地说“科学真是迷人。根据零星的事实，增添一点猜想，竟能赢得那么多的收获！”
二、计算天体的质量
师：刚才我们利用万有引力定律计算出了地球的质量，那我们还能利用万有引力定律测量计算出其它天体的质量吗？答案是：能！
师：这里我给大家一个提示，请大家根据这个提示好好思考如何来计算其他天体的质量。
师：天体之间存在着相互作用的万有引力，行星（或卫星）绕恒星（或行星）做匀速圆周运动的向心力就是由天体间的万有引力来提供的。就请同学们利用这个关系进行分析研究，看能否求解出天体的质量。21世纪教育网
师：为了防止分析时出现大脑混乱，请大家按具体实例来分析。1、月球绕地球做匀速圆周运动；2、地球绕太阳做匀速圆周运动。
月球绕地球做匀速圆周运动
( http: / / www.21cnjy.com )有 需要条件：月球线速度v；月球轨道半径。
( http: / / www.21cnjy.com )有 需要条件：月球角速度ω；月球轨道半径。
( http: / / www.21cnjy.com )有 需要条件：月球公转周期T；月球轨道半径。
师：上面三式中，因为线速度与角速度实际操作中不好测量，周期好测量，所以我们用得最多的公式将会是第三个。
师：在处理这部分知识时，大家头脑一定要清醒，左边中向心力公式，向心力应用的对象是做圆周运动的物体，对地月系统来说就是月球。所以左边公式中的m是月球质量、T是月球做圆周运动的周期即公转周期、r是月球做圆周运动的半径即地心到月心的距离。右边是万有引力公式，m是月球质量M则是中心天体即地球的质量、r是两球心距离即地心到月心的距离。
地球绕太阳做匀速圆周运动
与上面过程类似：
( http: / / www.21cnjy.com )有 需要条件：地球线速度v；地球轨道半径。
( http: / / www.21cnjy.com )有 需要条件：地球角速度ω；地球轨道半径。
( http: / / www.21cnjy.com )有 需要条件：地球公转周期T；地球轨道半径。
例2、①如果以水星绕太阳做匀速圆周运动为研究对象，需要知道哪些量才能求得太阳的质量？
【解析】：需要知道水星做匀速圆周运动的公转周期及公转半径。
②水星和地球绕太阳做圆周运动的公转周期T是不一样的，公转半径也是不一样的，那用公式 ( http: / / www.21cnjy.com )求解出来的太阳的质量会是一样的吗？
【解析】：是一样的，根据开普勒第三定律，对于同一中心天体，所有环绕天体的值是一样的。所以 ( http: / / www.21cnjy.com )有
③你现在能证明开普勒第三定律 ( http: / / www.21cnjy.com )中的k与中心天体有关吗？
【解析】：
总结归纳
师：从以上各式的推导过程可知，利用此法只能求出中心天体的质量，而不能求环绕天体的质量，因为环绕天体的质量同时出现在方程的两边，已被约掉。
【牢记】： ( http: / / www.21cnjy.com )、、 ( http: / / www.21cnjy.com )计算的是中心天体的质量，不能计算环绕天体的质量。
例3、把地球绕太阳公转看做是匀速圆周运动，平均半径为1.5×1011 m，已知引力常量为：G=6.67×10-11 N·m2/kg2，则可估算出太阳的质量大约是多少千克 （结果取一位有效数字）
【解析】：题干给出了轨道的半径，虽然没有给出地球运转的周期，但日常生活常识告诉我们：地球绕太阳一周为365天。
故：T=365×24×3600 s=3.15×107 s
由万有引力充当向心力可得：
G=m ( http: / / www.21cnjy.com )
故：M=
代入数据解得M= ( http: / / www.21cnjy.com )kg=2×1030 kg
四、归纳总结：计算天体的质量
（1）对于有行星（或卫星）的天体，可把行星（或卫星）绕中心天体的运动近似看做匀速圆周运动，其所需的向心力由中心天体对其的万有引力提供的。
1 若已知行星（或卫星）绕中心天体做匀速圆周运动的轨道半径为和运行的线速度为 ( http: / / www.21cnjy.com )，有 , 解得中心天体的质量为 ( http: / / www.21cnjy.com )。
2 若已知行星（或卫星）绕中心天体做匀速圆周运动的轨道半径为和运行的角速度ω，有 ( http: / / www.21cnjy.com ) ,解得中心天体的质量为 。
3 若已知行星（或卫星）绕中心天体做匀速圆周运动的轨道半径为 ( http: / / www.21cnjy.com )和运行的周期，有 ( http: / / www.21cnjy.com ) ,解得中心天体的质量为 。
（2）对于没有行星（或卫星）的天体，或虽有行星（或卫星），但不知道其运行的有关物理量的情况下，可以忽略天体自转的影响，根据万有引力近似等于重力的关系列式，计算天体的质量。
若已知天体的半径为 ( http: / / www.21cnjy.com )和该天体表面的重力加速度，则有 ( http: / / www.21cnjy.com ) ， 解得天体的质量为 。
例4、宇航员站在一个星球表面上的某高处h自由释放一小球，经过时间t落地，该星球的半径为R，你能求解出该星球的质量吗？
【解析】：没有涉及其它天体绕它作圆周运动，则只好利用 ( http: / / www.21cnjy.com )来求解质量M了，有，利用自由落体运动可以求解出g，有 ( http: / / www.21cnjy.com )代入21世纪教育网
【牢记】：不同星球表面的力学规律相同，只是 ( http: / / www.21cnjy.com )（重力加速度）不同，在解决其他星球表面上的力学问题时，若要用到重力加速度应该是该星球的重力加速度，如：竖直上抛运动、平抛运动、竖直平面内的圆周运动，都要用该星球的重力加速度。
五、天体的密度
师：我们近似把中心天体看作球体,,设中心天体的半径为, 球体的体积公式 ( http: / / www.21cnjy.com ),由上面方法求得中心天体的质量为后代入密度公式 ( http: / / www.21cnjy.com ) 即可。
例5、1989年英国著名的物理学家卡文迪许首先估算出地球的平均密度。根据你所学的知识，能否估算出地球密度？
【解析】：设地球的质量为，地球的半径为 ( http: / / www.21cnjy.com )，地球的表面的重力加速度为，忽略地球自转的影响，根据万有引力定律得： ( http: / / www.21cnjy.com ) ①
将地球看作均匀球体有： ② [来源:21世纪教育网]
由①②得地球的平均密度 ( http: / / www.21cnjy.com )
将常数代入有
答案： ( http: / / www.21cnjy.com )
六、发现未知天体
师：到了18世纪，人们已经知道太阳系有7颗行星，其中1781年发现的第七颗行星——天王星的运动轨道有些“古怪”：根据万有引力定律计算出来的轨道和实际观测的结果总有一些偏差。有人据此认为万有引力定律的准确性有问题。但另一些人则推测，在天王星轨道外面还有一颗未发现的行星，它对天王星的吸引使其轨道产生了偏离。到底谁是谁非呢？
师：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶相信未知行星的存在。他们根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗新星的轨道。1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”。后来，这颗行星命名为海王星。
师：用类似的方法，人们又发现了太阳系及太阳系外的其他天体。1705年，英国天文学家哈雷根据万有引力定律计算了一颗著名彗星的轨道并正确预言了它的回归。这就是哈雷彗星。
师：海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位，也成为科学史上的美谈。诺贝尔物理学奖获得者，物理学家冯·劳厄说：“没有任何东西像牛顿引力理论对行星轨道的计算那样，如此有力地树立起人们对年轻的物理学的尊敬。从此以后，这门自然科学成了巨大的精神王国……”
师：海王星的轨道之外还残存着太阳系形成初期遗留的物质，近100年来，人们在这里发现了冥王星、卡戎等几个较大的天体。但是因为距离遥远，太阳的光芒到达那里已经太微弱了，在地球附近很难看出究竟。尽管如此，黑暗寒冷的太阳系边缘依然牵动着人们的心，探索工作从来没有停止过。
例6、海王星的发现是万有引力定律应用的一个非常成功的范例，但是在发现海王星后，人们又发现海王星的轨道与理论计算值有较大的差异，于是沿用了发现海王星的方法经过多年的努力，才由美国的洛维尔天文台在理论计算出的轨道附近天区内找到了质量比理论值小得多的冥王星。冥王星绕太阳运行半径是40个天文单位（地球和太阳之间的距离为一个天文单位）。求冥王星与地球绕太阳运行的线速度之比。
【解析】：设太阳的质量为M，行星运行的线速度为，行星的质量为 ( http: / / www.21cnjy.com )
根据得 ( http: / / www.21cnjy.com )有，对于这两个星体GM是一样的。
( http: / / www.21cnjy.com )
答案：
例7、两个星球组成双星,它们在相互之间的万有引力作用下,绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动,现测得两星中心距离为R,其运动周期为T,求两星的总质量。
【解析】： ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
【解题指导】:等效重心
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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第六章 万有引力与航天
6.4 万有引力理论的成就
★教学目标
(1) 知识与技能
1. 了解万有引力定律在天文学上的应用[来源:21世纪教育网]
2. 会用万有引力定律计算天体的质量和密度
3. 掌握综合运用万有引力定律和圆周运动学知识分析具体问题的方法
(2) 过程与方法
1. 培养学生归纳总结建立模型的能力与方法
2. 通过求解太阳.地球的质量，培养学生理论联系实际的运用能力
(3) 情感态度与价值观
1. 培养学生认真严禁的科学态度和大胆探究的心理品质
2. 体会物理学规律的简洁性和普适性，领略物理学的优美
3. 通过介绍用万有引力定律发现未知天体的过程，使学生懂得理论来源于实践，反过来又可以指导实践的辩证唯物主义观点
★教学重点
1. 地球、太阳等中心天体质量的计算[21世纪教育网
★教学难点
1. 根据已知条件求解天体质量
★教学过程
一、引入
师：在上节课的学习中我们学习了万有引力定律，关于万有引力，大家可能只把它当作一个普通的知识点来看待，很多同学可能是这样想的：不就是用来求解两个物体之间的引力的一个公式嘛。
师：这里我要告诉大家的是，万有引力定律的发现有着重要的物理意义：它对物理学、天文学的发展具有深远的影响；它把地面上物体运动的规律和天体运动的规律统一起来；对科学文化发展起到了积极的推动作用，解放了人们的思想，给人们探索自然的奥秘建立了极大信心，使人们有能力理解天地间的各种事物。时至今日，数千颗人造卫星正在按照万有引力定律为它们设定的轨道绕地球运转着。所以没有万有引力定律，就没有今天的天空漫步，当然也没有卫星通信时代了。以至于阿波罗8号从月球返航的途中，当地面控制中心问及“是谁在驾驶”的时候，指令长这样回答：“我想现在是牛顿在驾驶。”
师：我们都知道，是卡文迪许测出了万有引力常量，但大家不知道的是，卡文迪许把自己的实验又说成是“秤量地球的重量”，这是当时的说法，用现在物理学的术语，应该说是“称量地球的质量”。大家知道这是为什么吗？请大家一起来看看下面的公式推导。
若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的物体所受的重力mg等于地球对物体的万有引力，则有,其中M是地球质量，r是物体距地心的距离，即地球半径R，于是有 ( http: / / www.21cnjy.com )，重力加速度g和地球半径R在卡文迪许之前就知道了，一旦测得引力常量G，则可以算出地球质量M。卡文迪许把自己的实验说成是“称量地球质量”就不无道理了。
例1、设地面附近的重力加速度g=9.8m/s2，地球半径R =6.4×106m，引力常量G=6.67×10-11 Nm2/kg2，试估算地球的质量。
【解析】：kg
师：在实验室里测量几个铅球之间的相互作用力，就可以称量地球，这不能不说是一个科学奇迹。难怪一位外行人，著名文学家马克·吐温满怀激情地说“科学真是迷人。根据零星的事实，增添一点猜想，竟能赢得那么多的收获！”
二、计算天体的质量
师：刚才我们利用万有引力定律计算出了地球的质量，那我们还能利用万有引力定律测量计算出其它天体的质量吗？答案是：能！
师：这里我给大家一个提示，请大家根据这个提示好好思考如何来计算其他天体的质量。
师：天体之间存在着相互作用的万有引力，行星（或卫星）绕恒星（或行星）做匀速圆周运动的向心力就是由天体间的万有引力来提供的。就请同学们利用这个关系进行分析研究，看能否求解出天体的质量。21世纪教育网
师：为了防止分析时出现大脑混乱，请大家按具体实例来分析。1、月球绕地球做匀速圆周运动；2、地球绕太阳做匀速圆周运动。
月球绕地球做匀速圆周运动
( http: / / www.21cnjy.com )有 需要条件：月球线速度v；月球轨道半径。
( http: / / www.21cnjy.com )有 需要条件：月球角速度ω；月球轨道半径。
( http: / / www.21cnjy.com )有 需要条件：月球公转周期T；月球轨道半径。
师：上面三式中，因为线速度与角速度实际操作中不好测量，周期好测量，所以我们用得最多的公式将会是第三个。
师：在处理这部分知识时，大家头脑一定要清醒，左边中向心力公式，向心力应用的对象是做圆周运动的物体，对地月系统来说就是月球。所以左边公式中的m是月球质量、T是月球做圆周运动的周期即公转周期、r是月球做圆周运动的半径即地心到月心的距离。右边是万有引力公式，m是月球质量M则是中心天体即地球的质量、r是两球心距离即地心到月心的距离。
地球绕太阳做匀速圆周运动
与上面过程类似：
( http: / / www.21cnjy.com )有 需要条件：地球线速度v；地球轨道半径。
( http: / / www.21cnjy.com )有 需要条件：地球角速度ω；地球轨道半径。
( http: / / www.21cnjy.com )有 需要条件：地球公转周期T；地球轨道半径。
例2、①如果以水星绕太阳做匀速圆周运动为研究对象，需要知道哪些量才能求得太阳的质量？
【解析】：需要知道水星做匀速圆周运动的公转周期及公转半径。
②水星和地球绕太阳做圆周运动的公转周期T是不一样的，公转半径也是不一样的，那用公式 ( http: / / www.21cnjy.com )求解出来的太阳的质量会是一样的吗？
【解析】：是一样的，根据开普勒第三定律，对于同一中心天体，所有环绕天体的值是一样的。所以 ( http: / / www.21cnjy.com )有
③你现在能证明开普勒第三定律 ( http: / / www.21cnjy.com )中的k与中心天体有关吗？
【解析】：
总结归纳
师：从以上各式的推导过程可知，利用此法只能求出中心天体的质量，而不能求环绕天体的质量，因为环绕天体的质量同时出现在方程的两边，已被约掉。
【牢记】： ( http: / / www.21cnjy.com )、、 ( http: / / www.21cnjy.com )计算的是中心天体的质量，不能计算环绕天体的质量。
例3、把地球绕太阳公转看做是匀速圆周运动，平均半径为1.5×1011 m，已知引力常量为：G=6.67×10-11 N·m2/kg2，则可估算出太阳的质量大约是多少千克 （结果取一位有效数字）
【解析】：题干给出了轨道的半径，虽然没有给出地球运转的周期，但日常生活常识告诉我们：地球绕太阳一周为365天。
故：T=365×24×3600 s=3.15×107 s
由万有引力充当向心力可得：
G=m ( http: / / www.21cnjy.com )
故：M=
代入数据解得M= ( http: / / www.21cnjy.com )kg=2×1030 kg
四、归纳总结：计算天体的质量
（1）对于有行星（或卫星）的天体，可把行星（或卫星）绕中心天体的运动近似看做匀速圆周运动，其所需的向心力由中心天体对其的万有引力提供的。
1 若已知行星（或卫星）绕中心天体做匀速圆周运动的轨道半径为和运行的线速度为 ( http: / / www.21cnjy.com )，有 , 解得中心天体的质量为 ( http: / / www.21cnjy.com )。
2 若已知行星（或卫星）绕中心天体做匀速圆周运动的轨道半径为和运行的角速度ω，有 ( http: / / www.21cnjy.com ) ,解得中心天体的质量为 。
3 若已知行星（或卫星）绕中心天体做匀速圆周运动的轨道半径为 ( http: / / www.21cnjy.com )和运行的周期，有 ( http: / / www.21cnjy.com ) ,解得中心天体的质量为 。
（2）对于没有行星（或卫星）的天体，或虽有行星（或卫星），但不知道其运行的有关物理量的情况下，可以忽略天体自转的影响，根据万有引力近似等于重力的关系列式，计算天体的质量。
若已知天体的半径为 ( http: / / www.21cnjy.com )和该天体表面的重力加速度，则有 ( http: / / www.21cnjy.com ) ， 解得天体的质量为 。
例4、宇航员站在一个星球表面上的某高处h自由释放一小球，经过时间t落地，该星球的半径为R，你能求解出该星球的质量吗？
【解析】：没有涉及其它天体绕它作圆周运动，则只好利用 ( http: / / www.21cnjy.com )来求解质量M了，有，利用自由落体运动可以求解出g，有 ( http: / / www.21cnjy.com )代入21世纪教育网
【牢记】：不同星球表面的力学规律相同，只是 ( http: / / www.21cnjy.com )（重力加速度）不同，在解决其他星球表面上的力学问题时，若要用到重力加速度应该是该星球的重力加速度，如：竖直上抛运动、平抛运动、竖直平面内的圆周运动，都要用该星球的重力加速度。
五、天体的密度
师：我们近似把中心天体看作球体,,设中心天体的半径为, 球体的体积公式 ( http: / / www.21cnjy.com ),由上面方法求得中心天体的质量为后代入密度公式 ( http: / / www.21cnjy.com ) 即可。
例5、1989年英国著名的物理学家卡文迪许首先估算出地球的平均密度。根据你所学的知识，能否估算出地球密度？
【解析】：设地球的质量为，地球的半径为 ( http: / / www.21cnjy.com )，地球的表面的重力加速度为，忽略地球自转的影响，根据万有引力定律得： ( http: / / www.21cnjy.com ) ①
将地球看作均匀球体有： ② [来源:21世纪教育网]
由①②得地球的平均密度 ( http: / / www.21cnjy.com )
将常数代入有
答案： ( http: / / www.21cnjy.com )
六、发现未知天体
师：到了18世纪，人们已经知道太阳系有7颗行星，其中1781年发现的第七颗行星——天王星的运动轨道有些“古怪”：根据万有引力定律计算出来的轨道和实际观测的结果总有一些偏差。有人据此认为万有引力定律的准确性有问题。但另一些人则推测，在天王星轨道外面还有一颗未发现的行星，它对天王星的吸引使其轨道产生了偏离。到底谁是谁非呢？
师：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶相信未知行星的存在。他们根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗新星的轨道。1846年9月23日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”。后来，这颗行星命名为海王星。
师：用类似的方法，人们又发现了太阳系及太阳系外的其他天体。1705年，英国天文学家哈雷根据万有引力定律计算了一颗著名彗星的轨道并正确预言了它的回归。这就是哈雷彗星。
师：海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位，也成为科学史上的美谈。诺贝尔物理学奖获得者，物理学家冯·劳厄说：“没有任何东西像牛顿引力理论对行星轨道的计算那样，如此有力地树立起人们对年轻的物理学的尊敬。从此以后，这门自然科学成了巨大的精神王国……”
师：海王星的轨道之外还残存着太阳系形成初期遗留的物质，近100年来，人们在这里发现了冥王星、卡戎等几个较大的天体。但是因为距离遥远，太阳的光芒到达那里已经太微弱了，在地球附近很难看出究竟。尽管如此，黑暗寒冷的太阳系边缘依然牵动着人们的心，探索工作从来没有停止过。
例6、海王星的发现是万有引力定律应用的一个非常成功的范例，但是在发现海王星后，人们又发现海王星的轨道与理论计算值有较大的差异，于是沿用了发现海王星的方法经过多年的努力，才由美国的洛维尔天文台在理论计算出的轨道附近天区内找到了质量比理论值小得多的冥王星。冥王星绕太阳运行半径是40个天文单位（地球和太阳之间的距离为一个天文单位）。求冥王星与地球绕太阳运行的线速度之比。
【解析】：设太阳的质量为M，行星运行的线速度为，行星的质量为 ( http: / / www.21cnjy.com )
根据得 ( http: / / www.21cnjy.com )有，对于这两个星体GM是一样的。
( http: / / www.21cnjy.com )
答案：
例7、两个星球组成双星,它们在相互之间的万有引力作用下,绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动,现测得两星中心距离为R,其运动周期为T,求两星的总质量。
【解析】： ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
【解题指导】:等效重心
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