2018-2019学年高一数学新人教版B版必修三学案：第1章 1.1.1 算法的概念
文档属性
| 名称 | 2018-2019学年高一数学新人教版B版必修三学案：第1章 1.1.1 算法的概念 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 15.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标B版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-09-13 13:15:46 | ||
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文档简介
第一章 算法初步
(新课程标准合格考不作要求)
1.1 算法与程序框图
1.1.1 算法的概念
学习目标：1.通过回顾解二元一次方程组的方法，了解算法的思想．(重点)2.了解算法的含义和特征．(重点)3.算法特征的使用，及算法的设计．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
一、算法的概念
算法的概念
由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题
描述算法的方式
可以用自然语言和数学语言加以叙述，也可以借助形式语言(算法语言)给出精确的说明，也可以用框图直观地显示算法的全貌
思考：某笑话有这样一个问题：把大象装进冰箱总共分几步？答案是分三步．第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上．这是一个算法吗？
[提示] 符合算法概念，是算法．
二、算法的要求
1．写出的算法，必须能解决一类问题并且能重复使用．
2．算法过程要能一步一步执行，每一步执行的操作，必须确切，不能含混不清，而且经过有限步后能得出结果．
思考：根据算法的要求，你能简要地概括一下算法有哪些特征吗？
[提示] 有限性、确定性、逻辑性、普遍性、不唯一性．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)一个算法可解决某一类问题．( )
(2)算法的步骤是有限的，有些步骤可有可无．( )
(3)同一个问题可以有不同的算法．( )
[解析] (1)√ 根据算法的概念可知．
(2)× 算法的步骤是有限的，也是明确的，不能可有可无．
(3)√ 例如二元一次方程组的算法，可用“加减消元法”，也可用“代入消元法”．
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．下列可以看成算法的是( )
A．学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题
B．今天餐厅的饭真好吃
C．这道数学题很难做
D．方程2x2－x＋1＝0无实数根
A [A是学习数学的一个步骤，所以是算法．]
3．算法的有限性是指( )
A．算法必须包含输出
B．算法中每个操作步骤都是可执行的
C．算法的步骤必须有限
D．以上说法均不正确
[答案] C
4．以下有六个步骤：①拨号；②等拨号音；③提起话筒(或免提功能)；④开始通话或挂机(线路不通)；⑤等复话方信号；⑥结束通话．
写出一个打本地电话的算法________(只写序号)．
③②①⑤④⑥ [结合打电话的流程，顺序应为③②①⑤④⑥.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
算法的概念
类型1
例1 (1)下列描述不能看作算法的是( )
A．解一元一次方程的步骤是去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1
B．洗衣机的使用说明书
C．解方程2x2＋x－1＝0
D．利用公式S＝πr2计算半径为4的圆的面积，就是计算π×42
(2)下列关于算法的说法：
①求解某一类问题的算法是唯一的；
②算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；
③算法执行后一定产生明确的结果．
其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
(1)C (2)B [(1)A，B，D都描述了解决问题的过程，可以看作算法， 而C只描述了一个事实，没说明怎么解决问题，不是算法．
(2)根据算法的特征可以知道，算法要有明确的开始与结束，每一步操作都必须是明确而有效的，必须在有限步内得到明确的结果，所以②③正确．而解决某一类问题的算法不一定是唯一的，故①错误．]
[规律方法]
1．算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，在用算法解决问题时，显然体现了特殊与一般的数学思想．
2．算法的特点有：①有限性，②确定性，③顺序性和正确性，④不唯一性，⑤普遍性．解答有关算法的概念判断题应根据算法的这五大特点进行判断．
[跟踪训练]
1．下列叙述中，
①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；
②按顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100；
③从青岛乘动车到济南，再从济南乘飞机到南京；
④3x>x＋1；
⑤求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….
能称为算法的有________．(填序号)
①②③ [根据算法的含义和特征：①②③都是算法；④⑤不是算法．其中④，3x>x＋1不是一个明确的步骤，不符合确定性；⑤的步骤是无穷的，与算法的有限性矛盾．]
算法的设计
类型2
[探究问题]
1．算法与一般意义上具体问题的解法的区别与联系是什么？
[提示] 它们之间是一般与特殊的关系，要设计出解决某一类问题的算法，可以借助于此类问题中的某一个问题的解决过程和思路进行设计，且此类问题中的任何一个具体问题都可以利用这类问题的算法来解决．
2．任何问题都可以设计算法解决吗？
[提示] 不是．只有能按照一定规则解决的、明确的、有限的操作步骤的问题才可以设计算法来解决．
3．一个具体问题的算法是不是唯一的？如何评价一个算法的好坏？
[提示] 解决一个问题的算法可以有多个，其中结构简单，步骤少、速度快的算法是好算法．
例2 设计一个算法，判断大于2的整数是否为质数．
[思路探究] 由于大于2的整数有无数个，但对于每一个数的判断方法是相同的，故应设计一个可以循环的步骤．
[解] S1 给定一个大于2的整数n.
S2 令i＝2.
S3 用i除n，得到余数r.
S4 判断“r＝0”是否成立．若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示．
S5 判断“i>n－1”是否成立．若是，则n是质数，结束算法；否则，返回S3.
[规律方法] 设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：
?1?认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法；
?2?借助有关变量或参数对算法加以表述；
?3?将解决问题的过程划分为若干步骤；
?4?用简练的语言将这个步骤表示出来.
[跟踪训练]
2．两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡一个大人或两个小孩，他们四人都会划船，但都不会游泳．同学们现在想一想，他们怎样渡过河去？请写一写你的渡河方案．
[解] 因为一次只能渡过一个大人，而船还要回来渡其他 人，所以只能让两个小孩先过河，渡河的方法与步骤为：
第一步，两个小孩子同船渡过河；
第二步，一个小孩划船回来；
第三步，一个大人独自划船渡过河；
第四步，对岸的小孩划船回来；
第五步，两个小孩再同船划船渡过河去；
第六步，一个小孩划船回来；
第七步，余下的一个大人独自划船渡过河；
第八步，对岸的小孩划船回来；
第九步，两个小孩再同船划船渡过河去．
算法的应用
类型3
例3 下面给出一个问题的算法：
第一步，输入x.
第二步，若x≥4，则输出2x－1，算法结束；否则执行第三步．
第三步，输出x2－3x＋5.
(1)这个算法解决的问题是什么？
(2)当输入x的值为1时，输出的结果为多少？
[解] (1)这个算法是求分段函数f(x)＝的函数值．
(2)x＝1＜4，则f(1)＝12－3×1＋5＝3.
故当x输入1时，输出的结果为3.
[规律方法] 给出一个算法，其功能往往并不显而易见，这时我们可以结合具体数值去执行一下，进而总结其算法功能，还可以用此算法解决同类问题.
[跟踪训练]
3．下面算法要解决的问题是________．
S1 输入三个数，并分别用a、b、c表示．
S2 比较a与b的大小，如果aS3 比较a与c的大小，如果aS4 比较b与c的大小，如果bS5 输出a、b、c.
输入三个数a，b，c，并按从大到小的顺序输出 [第一步是给a、b、c赋值．
第二步运行后a>b.
第三步运行后a>c.
第四步运行后b>c，所以a>b>c.
第五步运行后，显示a、b、c的值，且从大到小排列．]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．算法的每一步都应该是确定的、能有效执行的，并且得到确定的结果，这里指算法的( )
A．有穷性 B．确定性
C．逻辑性 D．不唯一性
B [算法的过程和每一步的结果都是确定的，即确定性．]
2．结合下面的算法：
S1 输入x.
S2 判断x是否小于0.若是，则输出x＋2，否则执行第三步．
S3 输出x－1.
当输入的x的值为－1,0,1时，输出的结果分别为( )
A．－1,0,1 B．－1,1,0
C．1，－1,0 D．0，－1,1
C [根据x值与0的关系，选择执行不同的步骤．当x＝－1时，输出x＋2，即输出1；当x＝0时，输出x－1，即输出－1；当x＝1时，输出x－1，即输出0.]
3．输入一个x值，利用y＝|x＋1|求函数值的算法如下，请将所缺部分补充完整：
S1 输入x；
S2 ________；
S3 计算y＝－x－1；
S4 输出y.
当x≥－1时，计算y＝x＋1，否则执行S3 [含绝对值的函数的函数值的算法要注意分类讨论思想的应用，本题中当x≥－1时y＝x＋1；当x＜－1时y＝－x－1，由此可完善算法．]
4．已知长方体的长、宽、高分别为a、b、c，写出求对角线长l的算法如下：
S1 输入长、宽、高即a，b，c的值．
S2 计算l＝的值．
S3 ________.
将算法补充完整，横线处应填________．
输出对角线长l的值 [算法要有输出，故第三步应为输出结果l的值．]
5．设计一个算法，求表面积为16π的球的体积．
[解] 法一：S1 取S＝16π.
S2 计算R＝(由于S＝4πR2)．
S3 计算V＝πR3.
S4 输出运算结果．
法二：S1 取S＝16π.
S2 计算V＝π3.
S3 输出运算结果．
(新课程标准合格考不作要求)
1.1 算法与程序框图
1.1.1 算法的概念
学习目标：1.通过回顾解二元一次方程组的方法，了解算法的思想．(重点)2.了解算法的含义和特征．(重点)3.算法特征的使用，及算法的设计．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
一、算法的概念
算法的概念
由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者看成按照要求设计好的有限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题
描述算法的方式
可以用自然语言和数学语言加以叙述，也可以借助形式语言(算法语言)给出精确的说明，也可以用框图直观地显示算法的全貌
思考：某笑话有这样一个问题：把大象装进冰箱总共分几步？答案是分三步．第一步：把冰箱门打开；第二步：把大象装进去；第三步：把冰箱门关上．这是一个算法吗？
[提示] 符合算法概念，是算法．
二、算法的要求
1．写出的算法，必须能解决一类问题并且能重复使用．
2．算法过程要能一步一步执行，每一步执行的操作，必须确切，不能含混不清，而且经过有限步后能得出结果．
思考：根据算法的要求，你能简要地概括一下算法有哪些特征吗？
[提示] 有限性、确定性、逻辑性、普遍性、不唯一性．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)一个算法可解决某一类问题．( )
(2)算法的步骤是有限的，有些步骤可有可无．( )
(3)同一个问题可以有不同的算法．( )
[解析] (1)√ 根据算法的概念可知．
(2)× 算法的步骤是有限的，也是明确的，不能可有可无．
(3)√ 例如二元一次方程组的算法，可用“加减消元法”，也可用“代入消元法”．
[答案] (1)√ (2)× (3)√
2．下列可以看成算法的是( )
A．学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题
B．今天餐厅的饭真好吃
C．这道数学题很难做
D．方程2x2－x＋1＝0无实数根
A [A是学习数学的一个步骤，所以是算法．]
3．算法的有限性是指( )
A．算法必须包含输出
B．算法中每个操作步骤都是可执行的
C．算法的步骤必须有限
D．以上说法均不正确
[答案] C
4．以下有六个步骤：①拨号；②等拨号音；③提起话筒(或免提功能)；④开始通话或挂机(线路不通)；⑤等复话方信号；⑥结束通话．
写出一个打本地电话的算法________(只写序号)．
③②①⑤④⑥ [结合打电话的流程，顺序应为③②①⑤④⑥.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
算法的概念
类型1
例1 (1)下列描述不能看作算法的是( )
A．解一元一次方程的步骤是去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1
B．洗衣机的使用说明书
C．解方程2x2＋x－1＝0
D．利用公式S＝πr2计算半径为4的圆的面积，就是计算π×42
(2)下列关于算法的说法：
①求解某一类问题的算法是唯一的；
②算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；
③算法执行后一定产生明确的结果．
其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
(1)C (2)B [(1)A，B，D都描述了解决问题的过程，可以看作算法， 而C只描述了一个事实，没说明怎么解决问题，不是算法．
(2)根据算法的特征可以知道，算法要有明确的开始与结束，每一步操作都必须是明确而有效的，必须在有限步内得到明确的结果，所以②③正确．而解决某一类问题的算法不一定是唯一的，故①错误．]
[规律方法]
1．算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常解决某一个或一类问题，在用算法解决问题时，显然体现了特殊与一般的数学思想．
2．算法的特点有：①有限性，②确定性，③顺序性和正确性，④不唯一性，⑤普遍性．解答有关算法的概念判断题应根据算法的这五大特点进行判断．
[跟踪训练]
1．下列叙述中，
①植树需要运苗、挖坑、栽苗、浇水这些步骤；
②按顺序进行下列运算：1＋1＝2,2＋1＝3,3＋1＝4，…，99＋1＝100；
③从青岛乘动车到济南，再从济南乘飞机到南京；
④3x>x＋1；
⑤求所有能被3整除的正数，即3,6,9,12，….
能称为算法的有________．(填序号)
①②③ [根据算法的含义和特征：①②③都是算法；④⑤不是算法．其中④，3x>x＋1不是一个明确的步骤，不符合确定性；⑤的步骤是无穷的，与算法的有限性矛盾．]
算法的设计
类型2
[探究问题]
1．算法与一般意义上具体问题的解法的区别与联系是什么？
[提示] 它们之间是一般与特殊的关系，要设计出解决某一类问题的算法，可以借助于此类问题中的某一个问题的解决过程和思路进行设计，且此类问题中的任何一个具体问题都可以利用这类问题的算法来解决．
2．任何问题都可以设计算法解决吗？
[提示] 不是．只有能按照一定规则解决的、明确的、有限的操作步骤的问题才可以设计算法来解决．
3．一个具体问题的算法是不是唯一的？如何评价一个算法的好坏？
[提示] 解决一个问题的算法可以有多个，其中结构简单，步骤少、速度快的算法是好算法．
例2 设计一个算法，判断大于2的整数是否为质数．
[思路探究] 由于大于2的整数有无数个，但对于每一个数的判断方法是相同的，故应设计一个可以循环的步骤．
[解] S1 给定一个大于2的整数n.
S2 令i＝2.
S3 用i除n，得到余数r.
S4 判断“r＝0”是否成立．若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示．
S5 判断“i>n－1”是否成立．若是，则n是质数，结束算法；否则，返回S3.
[规律方法] 设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤：
?1?认真分析问题，找出解决此题的一般数学方法；
?2?借助有关变量或参数对算法加以表述；
?3?将解决问题的过程划分为若干步骤；
?4?用简练的语言将这个步骤表示出来.
[跟踪训练]
2．两个大人和两个小孩一起渡河，渡口只有一条小船，每次只能渡一个大人或两个小孩，他们四人都会划船，但都不会游泳．同学们现在想一想，他们怎样渡过河去？请写一写你的渡河方案．
[解] 因为一次只能渡过一个大人，而船还要回来渡其他 人，所以只能让两个小孩先过河，渡河的方法与步骤为：
第一步，两个小孩子同船渡过河；
第二步，一个小孩划船回来；
第三步，一个大人独自划船渡过河；
第四步，对岸的小孩划船回来；
第五步，两个小孩再同船划船渡过河去；
第六步，一个小孩划船回来；
第七步，余下的一个大人独自划船渡过河；
第八步，对岸的小孩划船回来；
第九步，两个小孩再同船划船渡过河去．
算法的应用
类型3
例3 下面给出一个问题的算法：
第一步，输入x.
第二步，若x≥4，则输出2x－1，算法结束；否则执行第三步．
第三步，输出x2－3x＋5.
(1)这个算法解决的问题是什么？
(2)当输入x的值为1时，输出的结果为多少？
[解] (1)这个算法是求分段函数f(x)＝的函数值．
(2)x＝1＜4，则f(1)＝12－3×1＋5＝3.
故当x输入1时，输出的结果为3.
[规律方法] 给出一个算法，其功能往往并不显而易见，这时我们可以结合具体数值去执行一下，进而总结其算法功能，还可以用此算法解决同类问题.
[跟踪训练]
3．下面算法要解决的问题是________．
S1 输入三个数，并分别用a、b、c表示．
S2 比较a与b的大小，如果a
输入三个数a，b，c，并按从大到小的顺序输出 [第一步是给a、b、c赋值．
第二步运行后a>b.
第三步运行后a>c.
第四步运行后b>c，所以a>b>c.
第五步运行后，显示a、b、c的值，且从大到小排列．]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．算法的每一步都应该是确定的、能有效执行的，并且得到确定的结果，这里指算法的( )
A．有穷性 B．确定性
C．逻辑性 D．不唯一性
B [算法的过程和每一步的结果都是确定的，即确定性．]
2．结合下面的算法：
S1 输入x.
S2 判断x是否小于0.若是，则输出x＋2，否则执行第三步．
S3 输出x－1.
当输入的x的值为－1,0,1时，输出的结果分别为( )
A．－1,0,1 B．－1,1,0
C．1，－1,0 D．0，－1,1
C [根据x值与0的关系，选择执行不同的步骤．当x＝－1时，输出x＋2，即输出1；当x＝0时，输出x－1，即输出－1；当x＝1时，输出x－1，即输出0.]
3．输入一个x值，利用y＝|x＋1|求函数值的算法如下，请将所缺部分补充完整：
S1 输入x；
S2 ________；
S3 计算y＝－x－1；
S4 输出y.
当x≥－1时，计算y＝x＋1，否则执行S3 [含绝对值的函数的函数值的算法要注意分类讨论思想的应用，本题中当x≥－1时y＝x＋1；当x＜－1时y＝－x－1，由此可完善算法．]
4．已知长方体的长、宽、高分别为a、b、c，写出求对角线长l的算法如下：
S1 输入长、宽、高即a，b，c的值．
S2 计算l＝的值．
S3 ________.
将算法补充完整，横线处应填________．
输出对角线长l的值 [算法要有输出，故第三步应为输出结果l的值．]
5．设计一个算法，求表面积为16π的球的体积．
[解] 法一：S1 取S＝16π.
S2 计算R＝(由于S＝4πR2)．
S3 计算V＝πR3.
S4 输出运算结果．
法二：S1 取S＝16π.
S2 计算V＝π3.
S3 输出运算结果．