冀教版数学九年级上第28章《圆》测试（含答案及解析）

圆
时间：100分钟 总分：100
题号 一 二 三 四 总分
得分


一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
如图所示，的半径为13，弦AB的长度是24，，垂足为N，则　　


A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
如图，AB是的直径，弦于点E，，的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为　　
A.
B. 3cm
C.
D. 6cm



如图，四边形ABCD为的内接四边形延长AB与DC相交于点G，，垂足为E，连接BD，，则的度数为　　
A.
B.
C.
D.






如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若，，则的半径为　　
A. 5
B.
C.
D. 4



如图，已知AC是的直径，点B在圆周上不与A、C重合，点D在AC的延长线上，连接BD交于点E，若，则　　


A. B. C. D.
如图，在中，，，以BC的中点O为圆心分别与AB，AC相切于D，E两点，则的长为　　
A.
B.
C.
D.



如图，将半径为2，圆心角为的扇形OAB绕点A逆时针旋转，点O，B的对应点分别为，，连接，则图中阴影部分的面积是　　
A.
B.
C.
D.



如图，AB是的直径，点C在上，连接AC、BC，点D是BA延长线上一点，且，若，，则CD的长是　　


A. B. 2 C. 1 D.
如图，四边形ABCD内接于，若四边形ABCO是平行四边形，则的大小为　　
A.
B.
C.
D.



如图，圆内接四边形ABCD的两组对边的延长线分别相交于点E，F，若，，
则　　
A.
B.
C.
D.







二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
如图，AB是的直径，C、D是上的两点，若，则______．






如图，?的半径为1，PA，PB是的两条切线，切点分别为A，连接OA，OB，AB，PO，若，则的周长为______．




圆锥底面圆的半径为2，母线长为5，它的侧面积等于______结果保留．
如图，已知圆周角，则圆心角______．







如图，AB是的直径，AC与相切，CO交于点若，则______






如图，已知等边的边长为6，以AB为直径的与边AC、BC分别交于D、E两点，则劣弧的长为______．





如图，AB是的弦，，点C是上的一个动点，且，若点M、N分别是AB、AC的中点，则MN长的最大值是______．





如图，OA，OB是的半径，点C在上，连接AC，BC，若，则______度





如图，在圆内接四边形ABCD中，O为圆心，，则的度数为______．





如图，半圆O的直径，弦，，则图中阴影部分的面积为______ ．


三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）
如图，在中，以AB为直径的分别与BC，AC相交于点D，E，且，过D作，垂足为F．
求证：DF是的切线；
若，，求的半径．















如图，是的外接圆，O点在BC边上，的平分线交于点D，连接BD、CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P．
求证：PD是的切线；
求证：∽；
当，时，求线段PB的长．












如图，已知CD是的直径，，垂足为C，点E为圆上一点，直线BE、CD相交于点A，且．
Ⅰ证明：直线AB是的切线；
Ⅱ当，，求的值．







如图，AB是的直径，弦，垂足为E，连接AC、BC，若，．
求的度数；
求的直径．
















四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）
如图，在中，，的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，是的外接圆．
求证：AC是的切线；
过点E作，垂足为H，求证：；
若，，求BF及AF长．













如图，AB为的直径，C是上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，，垂足为E，F是AE与的交点，AC平分．
求证：DE是的切线；
若，，求图中阴影部分的面积．









答案和解析
【答案】
1. A 2. A 3. C 4. C 5. D 6. B 7. C
8. D 9. C 10. C
11. ??
12. ??
13. ??
14. ??
15. 120??
16. ??
17. ??
18. 60??
19. ??
20. ??
21. 解：连接OD，
，，
为的中位线，
，
，
，
则DF为圆O的切线；
，，
，
，
，
，
，
为圆的直径，
，
，
设，则有，
根据勾股定理得：，
解得：，
，
则圆的半径为5．??
22. 证明：圆心O在BC上，
是圆O的直径，
，
连接OD，
平分，
，
，
，即，
，
，
为圆O的半径，
是圆O的切线；

证明：，
，
，
，
，，
，
∽；

解：为直角三角形，
，
，
垂直平分BC，
，
为圆O的直径，
，
在中，，即，
，
∽，
，
则．??
23. Ⅰ证明：连接OE，CE，OB，
为圆O的直径，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中
，
≌，
，
即，
是切线．

Ⅱ解：，，
在中，由勾股定理得：，
，，
∽，
，
，
．??
24. 解：直径，
，
度；

直径，，
，
在中，，
，
是直径，
，
在中，．??
25. 证明：如图，连接OE．
，
，
是圆O的直径．
平分，
，
，
，
，
，
，
是的切线；

如图，连结DE．
，于C，于H，
．
，，
．
在与中，
，
≌，
．

由得，又，
，
在中，，
，
，
，
，
∽，
，即，
，
，，
中，，
中，，
，
，
．??
26. 证明：连接OC，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
点C在圆O上，OC为圆O的半径，
是圆O的切线；

解：在中，
，，
，
在中，，
，
，，
，
，
，，
，
，

，
阴影部分的面积为．??
【解析】
1. 解：由题意可得，
，，，
，
，
故选A．
根据的半径为13，弦AB的长度是24，，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长．
本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．
2. 解：连接CB．
是的直径，弦于点E，
圆心O到弦CD的距离为OE；
同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半，，
；
在中，
，，
．
故选A．
根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE；由圆周角定理知，已知半径OC的长，即可在中求OE的长度．
本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．
3. 解：如图，、B、D、C四点共圆，
，
，
，
，
延长AE交于点M，
，
，
．
故选：C．
根据四点共圆的性质得：，由垂径定理得：，则．
本题考查了四点共圆的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，还考查了垂径定理的应用，属于基础题．
4. 解：连结OA，如图，设的半径为r，
，
，
在中，
，，，
，解得．
故选C．
连结OA，如图，设的半径为r，根据垂径定理得到，再在中利用勾股定理得到，然后解方程求出r即可．
本题考查了的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．
5. 解：连接EO．
，
，
，，
，
，
，
，
故选D．
连接EO，只要证明即可解决问题．
本题考查圆的有关知识、三角形的外角等知识，解题的关键是添加除以辅助线，利用等腰三角形的判定方法解决问题，属于中考常考题型．
6. 解：连接OE、OD，
设半径为r，
分别与AB，AC相切于D，E两点，
，，
是BC的中点，
是中位线，
，
，
同理可知：，
，
，

由勾股定理可知，
，

故选：B．
连接OE、OD，由切线的性质可知，，由于O是BC的中点，从而可知OD是中位线，所以可知，从而可知半径r的值，最后利用弧长公式即可求出答案．
本题考查切线的性质，解题的关键是连接OE、OD后利用中位线的性质求出半径r的值，本题属于中等题型．
7. 解：连接，，
将半径为2，圆心角为的扇形OAB绕点A逆时针旋转，
，
是等边三角形，
，，
点中上，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
图中阴影部分的面积．
故选：C．
连接，，根据旋转的性质得到，推出是等边三角形，得到，推出是等边三角形，得到，得到，根据图形的面积公式即可得到结论．
本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
8. 解：连接OC，
是的直径，
．
，
．
，
．
，，
，
．
，
，
．
故选D．
连接OC，先根据AB是的直径得出，再由得出，根据可知，由三角形外角的性质得出，再由，得出，故可得出，再由可知，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．
本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
9. 解：设的度数，的度数；
四边形ABCO是平行四边形，
；
，；而，
，
解得：，，，
故选：C．
设的度数，的度数，由题意可得，求出即可解决问题．
该题主要考查了圆周角定理及其应用问题；应牢固掌握该定理并能灵活运用．
10. 解：四边形ABCD是圆内接四边形，
，
是的一个外角，
，
，
故选：C．
根据圆内接四边形的性质求出，根据三角形的外角的性质求出，根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是圆内接四边形的性质和三角形的外角的性质，掌握圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角是解题的关键．
11. 解：是的直径，
，
，
，
．
故答案为．
根据圆周角定理的推论由AB是的直径得，再利用互余计算出，然后再根据圆周角定理求的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
12. 解：、PB是半径为1的的两条切线，
，，OP平分，，
而，
，是等边三角形，
，
的周长．
故答案为：．
根据切线的性质得到，，OP平分，，推出是等边三角形，根据直角三角形的性质得到，于是得到结论．
本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，三角形的周长的计算，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
13. 解：根据圆锥的侧面积公式：，
故答案为：．
根据圆锥的底面半径为4，母线长为5，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．
此题主要考查了圆锥侧面积公式掌握圆锥侧面积公式：是解决问题的关键．
14. 解：，
．
故答案为．
根据圆周角定理即可得出结论．
本题考查了圆周角定理在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．
15. 解：与相切，
，
，
，
，
故答案为：120．
根据切线的性质求出，求出，根据圆周角定理得出，代入求出即可．
本题考查了切线的性质和圆周角定理，能根据定理得出和是解此题的关键．
16. 解：连接OD、OE，如图所示：
是等边三角形，
，
，，
、是等边三角形，
，
，
，
的长；
故答案为：．
连接OD、OE，先证明、是等边三角形，得出，求出，再由弧长公式即可得出答案．
本题考查了等边三角形的性质与判定、弧长公式；熟练掌握弧长公式，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．
17. 解：如图，点M，N分别是AB，AC的中点，
，
当BC取得最大值时，MN就取得最大值，当BC是直径时，BC最大，
连接BO并延长交于点，连接，
是的直径，
．
，，
，
，
．
故答案为：．
根据中位线定理得到MN的长最大时，BC最大，当BC最大时是直径，从而求得直径后就可以求得最大值．
本题考查了三角形的中位线定理、等腰直角三角形的性质及圆周角定理，解题的关键是了解当什么时候MN的值最大，难度不大．
18. 解：，
，
故答案为：60．
根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得答案．
此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
19. 解：，
，
、B、C、D四点共圆，
，
，
故答案为：．
根据圆周角定理求出，根据圆内接四边形性质得出，即可求出答案．
本题考查了圆内接四边形的性质，解决本题的关键是求出的度数和得出．
20. 解：弦，
，
．
故答案为：．
由可知，点A、O到直线CD的距离相等，结合同底等高的三角形面积相等即可得出，进而得出，根据扇形的面积公式即可得出结论．
本题考查了扇形面积的计算以及平行线的性质，解题的关键是找出本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过分割图形找出面积之间的关系是关键．
21. 连接OD，由，，得到OD为三角形ABC的中位线，得到OD与AC平行，根据DF垂直于AC，得到DF垂直于OD，即可得证；
由直角三角形两锐角互余求出的度数，利用两直线平行同位角相等求出的度数，再由，利用等边对等角求出的度数，设，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出圆的半径．
此题考查了切线的判定，圆周角定理，三角形中位线定理，勾股定理，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握切线的判定方法是解本题的关键．
22. 由直径所对的圆周角为直角得到为直角，再由AD为角平分线，得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到OD与PD垂直，即可得证；
由PD与BC平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到，根据同角的补角相等得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证；
由三角形ABC为直角三角形，利用勾股定理求出BC的长，再由OD垂直平分BC，得到，根据的相似，得比例，求出所求即可．
此题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定与性质，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键．
23. 连接OE，CE，OB，求出，证出≌，推出，根据切线的判定推出即可；
证∽，推出，求出，解直角三角形求出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，切线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．
24. 由垂径定理知，，；
由垂径定理知，点E是CD的中点，有，AB是直径，，再求出AC的长，利用的余弦即可求解．
本题利用了垂径定理和圆周角定理及锐角三角函数的概念求解．
25. 连接OE，由于BE是角平分线，则有；而，就有，等量代换有，那么利用内错角相等，两直线平行，可得；又，所以，即AC是的切线；
连结DE，先根据AAS证明≌，再由全等三角形的对应边相等即可得出．
先证得∽，根据相似三角形的性质求得，进而根据直角三角形斜边中线的性质求得，进一步求得OH，然后解直角三角形即可求得OA，得出AF．
本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，三角形相似的判定和性质以及解直角三角形等要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点即为半径，再证垂直即可．
26. 连接OC，先证明，进而得到，于是得到，进而证明DE是的切线；
分别求出的面积和扇形OBC的面积，利用即可得到答案．
本题主要考查了切线的判定以及扇形的面积计算，解的关键是证明，解的关键是求出扇形OBC的面积，此题难度一般．
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