人教版初中数学九年级上册21.2.4一元二次方程根与系数的关系 同步练习题（解析版）

第二十一章《一元二次方程根与系数的关系》 同步练习题

一、选择题（每小题只有一个正确答案）
1．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是　　
A． B． C． 且 D．
2．若关于x的一元二次方程2x2﹣3x﹣k=0的一个根为1，则另一个根为（　　）
A． 2 B． ﹣1 C． D．
3．命题“关于x的一元二次方程必有实数解”是假命题则在下列选项中，可以作为反例的是　　
A． B． C． D．
4．已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（　　）
A． 3 B． 1 C． ﹣1 D． ﹣3
5．已知x=2是关于x的方程x2﹣（m+4）x+4m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为（　　）
A． 6 B． 8 C． 10 D． 8或10
6．若α，β是一元二次方程3x2+2x－9=0的两根，则的值是（??? ）.
A． B． － C． － D．


二、填空题
7．一元二次方程的两根分别为a和b，则的值为______．
8．已知关于x的方程没有实数根，则m的取值范围是______．
9．设m、n是一元二次方程的两个根，则______．
10．已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-4x-5=0有两个不相等的实数根,则m的最小正整数值为______.

三、解答题
11．已知方程x2﹣（k+1）x﹣6=0是关于x的一元二次方程．
（1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根．
12．已知关于x的方程有两个相等的实数根，请先化简代数式，并求出该代数式的值．
13．己知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若=﹣1，求k的值．
14．已知关于x的一元二次方程的两个实数根为x1、x2且x1＋2x2＝9，求m的值.
试卷第2页，总2页

参考答案
1．C
【解析】
【分析】
根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【详解】
关于x的一元二次方程有实数根，
，
解得：且．
故选：C．
【点睛】
本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键．
2．C
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系，由两根之和可以求出方程的另一个根.
【详解】
设方程的另一个根是，则
，
解得：，
即另一个根为.
故选：.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系.解答关于的一元二次方程的另一个根时，可以直接利用根与系数的关系解答.
3．C
【解析】
【分析】
由方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出b的范围即可做出判断．
【详解】
方程，必有实数解，
，
解得：或，
则命题“关于x的一元二次方程，必有实数解”是假命题则在下列选项中，可以作为反例的是，
故选：C．
【点睛】
此题考查了命题与定理，以及根的判别式，熟练掌握举反例说明命题为假命题的方法是解本题的关键．
4．B
【解析】
【分析】根据根与系数的关系得α+β=﹣1，αβ=﹣2，求出α+β和αβ的值，再把要求的式子进行整理，即可得出答案．
【详解】∵α，β是方程x2+x﹣2=0的两个实数根，
∴α+β=﹣1，αβ=﹣2，
∴α+β﹣αβ=﹣1-（-2）=-1+2=1，
故选B ．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，牢记两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
5．C
【解析】
【分析】
把x=2代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．
【详解】
把x=2代入方程得4-2（m+4）+4m=0，
解得m=2，
则原方程为x2-6x+8=0，
解得x1=2，x2=4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为2时，则△ABC的周长为4+4+2=10；
②当△ABC的腰为2，底边为4时，不能构成三角形．
综上所述，该△ABC的周长为10．
故选：C
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了三角形三边的关系．
6．C
【解析】分析：根据根与系数的关系可得出α+β=-、αβ=-3，将其代入=中即可求出结论．
详解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x-9=0的两根，
∴α+β=-，αβ=-3，
∴===．
故选：C．
点睛：本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-、两根之积等于是解题的关键．
7．26
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系得，，代入计算可得．∵方程的两根分别为a和b，
【详解】
∴，，
则，
故答案为：26．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
8．
【解析】
【分析】
由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出结论．
【详解】
关于x的方程没有实数根，
，
解得：．
故答案为：．
【点睛】
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键．
9．2
【解析】
【分析】
由根与系数的关系即可求出答案．
【详解】
由题意可知：，即
，
原式
故答案为：2
【点睛】
本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
10．2
【解析】分析：
由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根可得 ，解此不等式组求得m的最小正整数解即可.
详解：
∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且，
∴m的最小整数值为2.
故答案为：2.
点睛：熟知“若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则需同时满足两个条件：（1）；（2）△=”是解答本题的关键.
11．（1）证明见解析；（2）k的值为﹣2，方程的另一个根，为﹣3．
【解析】
【分析】
（1）通过计算判别式的值得到△=（k+1）2+24＞0，从而可判断方程根的情况；
（2）设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得到，然后解方程组即可得到k和t的值．
【详解】
（1）∵△=（k+1）2﹣4×（﹣6）=（k+1）2+24＞0
∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的另一个根为t，根据题意得：
，解得：．
所以k的值为﹣2，方程的另一个根为﹣3．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=．也考查了根的判别式．
12．，-1.
【解析】
【分析】
关于的方程有两个相等的实数根，则，可得，然后根据分式有意义的条件和分式的化简求值方法进行解答即可.
【详解】
∵关于x的方程x2﹣2ax+a=0有两个相等的实数根，
∴（﹣2a）2﹣4a=0，即4a2﹣4a=0，4a（a-1）=0 ,
∴a=0或a=1.

∵∴取a=0.
∴原式=-1.
【点睛】
本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系：
（1） 方程有两个不相等的实数根；
（2） 方程有两个相等的实数根；
（3） 方程没有实数根.
13．（1）k＞﹣；（2）k=3．
【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2=﹣2k﹣3、x1x2=k2，结合=﹣1即可得出关于k的分式方程，解之经检验即可得出结论．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2=0有两个不相等的实数根，
∴△=（2k+3）2﹣4k2＞0，
解得：k＞﹣；
（2）∵x1、x2是方程x2+（2k+3）x+k2=0的实数根，
∴x1+x2=﹣2k﹣3，x1x2=k2，
∴=﹣1，
解得：k1=3，k2=﹣1，
经检验，k1=3，k2=﹣1都是原分式方程的根，
又∵k＞﹣，
∴k=3．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合=﹣1找出关于k的分式方程．
14．
【解析】【分析】由根与系数的关系可得，x1x2=-m2，再根据x1＋2x2＝9可求出x1、x2的值，代入x1x2=-m2即可求得m的值.
【详解】由根与系数可知：
，x1x2=-m2，
解方程组，得： ，
∴x1x2=-5，即，
∴.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.
一元二次方程根与系数的关系：若x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根，则有x1+x2=，x1x2=.