3.2 万有引力定律的应用学案（粤教版必修2）

本资料来自于资源最齐全的２１世纪教育网www.21cnjy.com
§3.2 万有引力定律的应用
【学习目标】
【知识和技能】
1、会利用万有引力定律计算天体的质量。
2、理解并能够计算卫星的环绕速度。
3、知道第二宇宙速度和第三宇宙速度及其含义。
【过程和方法】
1、了解万有引力定律在探索宇宙奥秘中的重要作用，感受科学定律的巨大魅力。
2、体会科学探索中，理论和实践的关系。
3、体验自然科学中的人文精神。
【情感、态度和价值观】
培养对万有引力定律的理解和利用有限的已知条件进行近似计算的能力。21世纪教育网
【学习重点】
1、利用万有引力定律计算天体质量的思路和方法
2、发现海王星和冥王星的科学案例21世纪教育网21世纪教育网
3、计算环绕速度的方法和意义
4、第二宇宙速度和第三宇宙速度及其含义
【知识要点】
万有引力定律在天文学上的应用。
①基本方法：
（i）把天体的运动看成匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供：
（ii）在忽略天体自转影响时，天体表面的重力加速度：，R为天体半径。
②天体质量，密度的估算。
③环绕天体的绕行速度，角速度、周期与半径的关系。
④三种宇宙速度
⑤同步卫星：相对于地面静止，定点在赤道正上方与地球自转有相同的周期。
21世纪教育网
【疑难解析】
重力及重力加速度与纬度的关系(地面上的物体考虑地球自转)
（1）万有引力、重力、向心力的关系
万有引力,方向指向地心O点,它产生一两个效果:垂直指向地轴的向心力F1和压紧(向)地面的重力G,其中向心力F1=mrω2=mRcosφω2= mRω2cosφ 重力
（2）讨论：
Ⅰ.向心力的大小及其变化，重力与万有引力的夹角大小
对向心力F1= mRω2cosφ从赤道到两极,纬度升高φ变大,向心力减小.在两极φ=π/2,向心力为零,在赤道φ=0, F1=mRω2为最大值.估算最大向心力的大小N=3.3×10-2×m(N) 即最大的向心力相对重力来说也是非常小的,随着纬度φ的增大,向心力将变得更小.在力三角形中,重力G与万有引力F的夹角α很小.
Ⅱ.纬度增大，重力的变化
同时,随着纬度φ的增大,向心力F向与万有引力F的夹角(也是φ)增大,使得重力G的大小也在不断增大,且与万有引力F的夹角α不断减小,更加接近与万有引力方向重合.到达南北两极时,向心力为零,重力等于万有引力(大小相等,方向重合)，即在两极位置： .因此在粗略的计算中,可认为重力等于万有引力.
Ⅲ.赤道上物体的受力, 设想地球自转角速度可以改变，当地球角速度等于多少时，赤道表面处的物体的重力等于零？物体会“漂”起来？
在赤道上,对质量为m的物体,由牛顿第二定律得:,这里的FN大小就等于赤道上物体的重力,即FN=G=mg赤,设想地球自转角速度ω缓慢地增大, 不变, 增大,所以FN=G=mg赤减小.当FN=0时,,若自转角速度ω继续增大,,则物体会“飘”起来,地球就会解体.若用g表示地球正常自转时地表的重力加速度,则,所以rad/s=1.24×10-3rad/s，而地球自转的角速度rad/s=7.2×10-5rad/s，因此ω=17.2ω自时，即自转周期h≈1.4h≈84min时，赤道上物体即将“飘”起来。(近地卫星的转动周期约85min，可由赤道上“飘”着的物体联想到近地卫星)
讨论与说明：
如果星球的各部分之间是通过万有引力结合起来的，随着星球自转角速度的增大，星球中什么位置最容易被“瓦解”，要使星球不被瓦解，其自转的角速度必须满足什么条件？
在现行的中学物理中，在没有特别说明的情况下，都不考虑地球自转的影响，认为物体的重力mg等于地球对物体的万有引力F。
【典型例题】
【例1】在天体运动中，将两颗彼此距离较近的恒星称为双星。它们围绕两球连线上的某一点作圆周运动。由于两星间的引力而使它们在运动中距离保持不变。已知两星质量分别为M1和M2，相距L，求它们的角速度。
解：如图，设M1的轨道半径为r1，M2的轨道半径为r2，
由于两星绕O点做匀速圆周运动的角速度相同，都设为，
根据牛顿第二定律有：
而
以上三式联立解得：
【例2】地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的3.8倍，则地球表面重力加 速度是月球表面重力加速度的多少倍？如果分别在地球和月球表面以相同初速度上抛一物体，物体在地球上上升高度是在月球上上升高度的几倍？
解：⑴设想地球表面有一质量为m的物体，忽略自转，21世纪教育网
则
同理在月球表面： ∴
⑵由竖直上抛运动规律可得，上升的最大高度
【例3】月球表面重力加 速度只有地球表面重力加速度的，一根绳子在地球表面能拉着3kg的重物产生最大为10m/s2的竖直向上的加速度，g地取10m/s2，将重物和绳子带到月球表面用该绳子能使重物产生在月球表面竖直向上的最大加速度是多大？
解：由牛顿第二定律可知：对于这个重物，
在地球表面：
在月球表面：
∴[来源:21世纪教育网]
【规律总结】
1.解决天体运动的一般方法
我们在应用万有引力定律解决有关天体(行星或卫星)运动的问题时，首先要明确哪个是中心天体，哪个是环绕天体，明确研究的对象.然后将研究对象的运动建立理想化模型，即将天体运动近似成圆周运动.最后扣住两条思路：一是万有引力提供环绕天体的向心力；二是万有引力产生环绕天体距离中心天体某高度处的重力.具体可以表示如下：
(1)提供向心力：GMm/r2=ma→a= GM/r2
GMm/r2=mv2/r→v=
GMm/r2=mω2r→ω=
GMm/r2=m(2π/T)2r→T=2π；
(2)产生重力：GMm/r2=mg (g为某高度处的重力加速度，或认为是环绕天体在该高度的轨道上做圆周运动的向心加速度).
2.关于宇宙速度
(1)关于第一宇宙速度，同学们首先要建立理想模型进行推导，即我们要清楚在推导时作了两个近似处理：一是将近地卫星环绕轨迹近似成圆形轨道；二是卫星的环绕半径近似成地球的半径R.
即推导原理是：GMm/r2=mv2/r→v=
r=R时将有关数据代入，得：v1=7.9 km/s.
3.了解三个宇宙速度
第一宇宙速度：v1=7.9 km/s
第二宇宙速度：v2=11.2 km/s21世纪教育网
第三宇宙速度：v3=16.7 km/s.
4.关于地球同步卫星
这个问题在教材的资料活页栏目中有较详细的介绍，同步卫星的主要特点归纳起来有五个方面，这些特点归根究底是因为卫星公转的角速度和地球自转的角速度相同，从而使任何质量、任何国家发射的地球同步卫星在角速度、周期、线速度、向心加速度、轨道半径的五个量是唯一确定的.根据上面第1点中的有关公式可计算得：T=24 h，ω=7.3×10－5 rad/s，v=3.08 km/s， r=4.23×104 km，a=0.23 m/s2.
【当堂反馈】
1、地球上有两位相距非常远的观察者，都发现自己的正上方有一颗人造地球卫星，相对自己静止不动，则这两位观察者的位置以及两颗卫星到地球中心的距离可能是（ ）
A． 一人在南极，一人在北极，两卫星到地球中心的距离一定相等
B． 一人在南极，一人在北极，两卫星到地球中心的距离可以不等，但应成整数倍
C． 两人都在赤道上，卫星到地球中心的距离一定相等
D． 两人都在赤道上，两卫星到地球中心的距离可以不等，但应成整数倍
2、根据万有引力定律和牛顿第二定律说明：为什么不同物体在同一地球表面的重力加速度都是相等的？为什么高山上的重力加速度比地面的小？
3、1957年10月4日，世界上第一颗人造地球卫星在苏联发射成功。卫星重83.6千克，轨道半径是，周期是。假设卫星沿圆轨道运行，请根据有关数据估算地球的质量．
4、已知月球的质量是，半径是，月球表面的自由落体加速度有多大？这对宇航员在月球表面的行动会产生什么影响？
5、利用所学知识，推导第一宇宙速度的另一表达式．
6、金星的半径是地球的0.95倍，质量为地球的0.82倍，金星表面的自由落体加速度是多大？金星的第一宇宙速度是多大？
7、在圆轨道上运动的质量为m的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球半径R，地面上的重力加速度为g，求（1）卫星运动的线速度；（2）卫星运动的周期。
8、某小报载：，国发射了一颗质量 1000 kg，周期为 1 h的人造环月卫星。一位同学记不住引力恒量G的数值，且手边没有可查找的资料，但他记得月球半径约为地球半径的，月球表面重力加速度约为地球表面重力加速度的，经过推理，他认定该报道是则假新闻。试写出他的论证方案（地球半径约为）。
9、地球质量约为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的3.8倍，则地球表面重力加速度是月球表面重力加速度的多少倍？如果分别在地球和月球表面以相同初速度上抛一物体，物体在地球上上升高度是在月球上上升高度的几倍？
10、月球表面重力加速度只有地球表面重力加速度的，一根绳子在地球表面能拉着3kg的重物产生最大为10m/s2的竖直向上的加速度，g地=10m/s2，将重物和绳子带到月球表面，用该绳子能使重物产生在月球表面竖直向上的最大加速度是多大？
11、地球可视为球体，自转周期为T，在它两极处，用弹簧秤测某物体重力为P，在它的赤道上，用弹簧秤测同一物体的重力为0.9P，地球的平均密度是多少？
12、中子星是由密集的中子组成的星体，具有极大的密度，通过观察已知某中子星的自转角速度，该中子星并没有因为自转而解体，根据这些事实人们可以推知中子星的密度，试写出中子星的密度最小值的表达式为 ，计算出该中子星的密度至少为 。（保留二位有效数字，假设中子通过万有引力结合成球状晶体）
13、已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度），其中G、M、R分别是引力常量、地球质量和半径。已知，光速，求下列问题：⑴逃逸速度大于真空中光速的天体叫黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量，求它的可能最大半径。⑵目前天文观测范围内，物质的平均密度为10－27kg/m3，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中速度，因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙半径至少多大？
21世纪教育网
【参考答案】
1、答案：C
解析：同步卫星由于其公转周期与地球的自转周期相同，根据万有引力定律和匀速圆周运动的规律，GMm/r2=m(2π/T)2 ，可知其轨道半径是唯一确定的，即它与地面的高度是相同的，所以，正确答案是C。
2、解析：根据万有引力定律F=GMm/r2和F=ma；万有引力提供重力加速度（忽略物体随地球的自转），所以a=F/M= GM/r2,可见在同一地球表面的重力加速度a=g是跟物体本身的形状、状态、质量等因素无关；但是从结论式可知g与物体离地心的距离r有关，r越大，g越小。
3、答案：5.9×1024kg
解析：根据万有引力和圆周运动规律有，GMm/r2=m(2π/T)2， 即地球质量M=4π2 r3/GT2=4×3.142× （6.8×106）3/6.67×10-11×（5.6×103）2=5.9×1024kg.
点评：求某个天体的质量，必须要把这个天体当作中心天体，然后利用其环绕天体的有关量来求解。
4、思路：利用万有引力定律求出物体在月球表面受到的重力（引力），再根据牛顿第二定律即可以求解。
解析：由万有引力定律F=GMm/r2=6.67×10-11×7.3×1022/（1.7×106）2m
所以a=F/m=1.63m/s2.由于月球表面的引力比较小，所以宇航员在月球表面进行各项科研活动带来很多不便，如行走困难，生活不能像地球上自如等。
5、思路：我们可以根据万有引力产生重力，然后星体重力提供其绕近地轨道做圆周运动的向心力的思想来进行推导。
解析：设地球半径为R，地球表面的重力加速度为g。我们可以认为物体所受的重力提供星体作近地圆周轨道的向心力，即mv2/R=mg，可得：。
6、思路：根据万有引力提供星体作圆周运动的向心力和产生重力的思想，即F=mv2/r，F=GMm/r2=mg，分别对金星表面和地球表面的这个规律列两个方程，即可求解。
解析：(1) 由于万有引力产生重力，设金星和地球的半径、质量及星球表面的自由落体的加速度分别为r1、m1、g1;r2、m2、g2。分别对金星和地球列两个方程：
GMm1/r12=m1g1--------------(1)
GMm2/r22=m2g2--------------(2)
(1)÷(2)式得：g1= m1/ m2×r22/ r12× g2=8.9m/s2
(2) 重力提供星体作圆周运动的向心力。设金星和地球的半径、质量及星球做圆周运动的速度分别为r1、m1、v1;r2、m2、v2。分别对金星和地球列两个方程：
m1g1=m1v12/r1
m2g2=m2v22/r2
(1)÷(2)式得：v1=7.3（km/s）
点评：根据有关规律列方程，然后利用比值方法求解是解决这类问题的有效方法，同学们要认真领会和把握。
7、答案： ；
思路：本题要利用万有引力定律和圆周运动的规律，即万有引力和提供卫星作圆周运动的向心力，但是由于地球质量未知，我们要设有的已知条件g，把引力常量G和地球质量M整体代替。法利用现
解析：（1）已知r=2R，由于万有引力提供卫星作圆周运动的向心力，所以有：
GMm/r2= mv2/r-------（1）
在地球表面附近，GMm/r2=mg，得GM=gR2-----------(2)
由（1）（2）式得：V===
（2）GMm/r2=m(2π/T)2---------------------（3）
由（1）（3）两式得：T=2π=
8、思路：我们的想法是从周期上去寻找突破口，设法计算人造环月卫星的周期是否可能是1h，问题是引力恒量G和月球质量未知，所以我们要充分利用现有条件取代引力恒量G和月球质量M1，得出有关的结论去推翻不符合规律的地方。
解析：设地球的半径为R，表面的重力加速度为g，月球的质量和半径分别为M1和R1，卫星运行轨道半径为r。由已知条件月球表面重力加速度约为地球表面重力加速度的，可得：mg=6GM1m/R12, 得GM1=1/6g×1/16R2=gR2/96。
因为GMm/r2=m(2π/T)2，所以T=2π=2π
当r=R1时，卫星有最小周期，即Tmin=2π=6.15×103s=1.71h
环月卫星的最小周期为1.71h，显然报道上所说的周期1h是不可能的，所以这是一则假新闻。
9 解：⑴设想地球表面有一质量为m的物体，忽略自转，
则 同理在月球表面：
∴
⑵由竖直上抛运动规律可得，上升的最大高度
（以上下标为1的量属月球，下标为2的量属地球。）
点评：前面已经知道地球上不同纬度、不同高度的地方，重力加速度不同，这里我们又得到不同星球由于质量半径不同，在表面对同一物体的引力不同，重力加速度也不同，同一物体从一个星球到另一星球，质量不变，重力发生变化。
10 解：由牛顿第二定律可知：对于这个重物，
在地球表面：
在月球表面：
∴
点评：此类问题用牛顿第二定律列式时，一定要注意物体的重力有无变化。
11 分析：重力是由于地球的吸引而产生的，但不能认为重力就是地球对物体的吸引力。只有在两极处，重力才等于万有引力，在其他地方，由于地球自转，物体的重力都小于万有引力，严格来讲，重力是万有引力的一个分力，另一个分力提供物体随地球自转所需要的向心力。
解：设物体质量为m，地球质量为M，半径为R。
在两极处：物体重力等于万有引力，
在赤道处：地球对物体的万有引力与弹簧对物体的拉力的合力提供向心力。由牛顿第二定律：
两式联立可得：
地球的平均密度
点评：这里要注意重力与万有引力的关系，但由于重力与地球的万有引力差别极小，通常忽略地球自转影响，可认为地面上物体的重力等于地球对物体的万有引力
12 分析：中子刚好没有因为自转而解体，中子星密度最小，此时，万有引力提供向心力。取中子星赤道上质量为m的小部分列方程：
∴ 21世纪教育网
代入数据得：13 分析：⑴把地球上第二宇宙速度的公式应用到黑洞上，则式中M、R为黑洞的质量和半径。
当逃逸速度等于光速时黑洞半径最大：
⑵同理，应用到宇宙这个假想的“均匀球体”上：
则：
代入数据得：光年
点评：信息题关键是要认真阅读材料，选出有用的信息，用学过的知识或题中给出的新知识予以解决。
【反思】
收获
疑问
M1
M2
O
21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网