2018-2019学年高二数学新人教B版必修五学案：第1章 1.1.1 正弦定理

第一章 解三角形
1.1 正弦定理和余弦定理
1.1.1 正弦定理
学习目标：1.掌握正弦定理及基本应用．(重点)2.会判断三角形的形状．(难点)3.能根据正弦定理确定三角形解的个数．(难点、易混点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．正弦定理
2．解三角形
(1)一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素．
(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
思考：利用正弦定理解三角形需要哪些条件？
[提示] 需要两角及一边或两边及其一边的对角．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正弦定理不适用于钝角三角形．( )
(2)在△ABC中，等式bsin A＝asin B总能成立．( )
(3)在△ABC中，若sin A＝sin B，则三角形是等腰三角形．( )
[解析] (1)×.正弦定理适用于任意三角形．
(2)√.由正弦定理知＝，即bsin A＝asin B.
(3)√.由正弦定理可知＝，即a＝b，所以三角形为等腰三角形．
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝3，则AC＝________.
2 [由正弦定理得：＝，
所以AC＝＝2.]
3．在△ABC中，若a＝3，b＝，∠A＝，则∠C＝________.
[由正弦定理得：＝，
所以sin B＝.
又a>b，所以∠A>∠B，
所以∠B＝，
所以∠C＝π－＝.]
4．在△ABC中，－－＝________.
0 [由于＝＝，所以－－＝＋＝0.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
类型1
已知两角及一边解三角形
例1 已知△ABC，根据下列条件，解三角形：
(1)a＝20，∠A＝30°，∠C＝45°；
(2)a＝8，∠B＝60°，∠C＝75°.
[解] (1)∵∠A＝30°，∠C＝45°；
∴B＝180°－(∠A＋∠C)＝105°，
由正弦定理得b＝＝＝40sin(45°＋60°)＝10(＋)；
c＝＝＝20，
∴∠B＝105°，b＝10(＋)，c＝20.
(2)∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝180°－(60°＋75°)＝45°，
由正弦定理＝，
得b＝＝＝4，
由正弦定理＝，
得c＝＝＝
＝4(＋1)．
∴∠A＝45°，b＝4，c＝4(＋1)．
[规律方法] 已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：
(1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角.
(2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边.
[跟踪训练]
1．在△ABC中，a＝5，∠B＝45°，∠C＝105°，求边c.
[解] 由三角形内角和定理知∠A＋∠B＋∠C＝180°，
所以∠A＝180°－(∠B＋∠C)＝180°－(45°＋105°)＝30°.
由正弦定理＝，
得c＝a·＝5·＝5·
＝5·
＝(＋)．
类型2
已知两边及一边的对角解三角形
例2 在△ABC中，分别根据下列条件解三角形：
(1)a＝1，b＝，∠A＝30°；
(2)a＝，b＝1，∠B＝120°.
[解] (1)根据正弦定理，sin B＝＝＝.
∵b>a，∴∠B>∠A＝30°，∴∠B＝60°或120°.
当∠B＝60°时，∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(30°＋60°)＝90°，
∴c＝＝＝2；
当∠B＝120°时，∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(30°＋120°)＝30°＝∠A，∴c＝a＝1.
(2)根据正弦定理，sin A＝＝＝>1.
因为sin A≤1.所以A不存在，即无解．
[规律方法] 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法：
(1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角，大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一.
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论.
[跟踪训练]
2．已知△ABC，根据下列条件，解三角形：
(1)a＝2，c＝，∠C＝；
(2)a＝2，c＝，∠A＝.
[解] (1)∵＝，
∴sin A＝＝.
∵c>a，∴∠C>∠A.∴∠A＝.
∴∠B＝，b＝＝
＝＋1.
(2)∵＝，
∴sinC＝＝.
又∵a当∠C＝时，∠B＝，b＝＝＋1.
当∠C＝时，∠B＝，b＝＝－1.]
类型3
利用正弦定理判断三角形的形状
[探究问题]
1．已知△ABC的外接圆O的直径长为2R，试借助△ABC的外接圆推导出正弦定理．
[提示] 如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则∠BCD＝90°，
∠BAC＝∠BDC，在Rt△BCD中，BC＝BD·sin∠BDC，所以a＝2Rsin A，
即＝2R，同理＝2R，＝2R，
所以＝＝＝2R.
2．根据正弦定理的特点，我们可以利用正弦定理解决哪些类型的解三角形问题？
[提示] 利用正弦定理，可以解决：(1)已知两边和其中一边的对角解三角形；
(2)已知两角和其中一角的对边解三角形．
3．由＝＝可以得到a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，那么由正弦定理还可以得到哪些主要变形？
[提示] (1)＝，＝，＝.
(2)＝，＝，＝.
(3)asin B＝bsin A，asin C＝csin A，bsin C＝csin B.
例3 在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状．
[思路探究] ①∠A＝π－(∠B＋∠C)，
②边角转化，sin A＝，sin B＝，sin C＝.
[解] 法一：在△ABC中，根据正弦定理：＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴＝＋，
即a2＝b2＋c2，
∴∠A＝90°，∴∠B＋∠C＝90°，
由sin A＝2sin Bcos C，
得sin 90°＝2sin Bcos(90°－B)，
∴sin2B＝.
∵∠B是锐角，∴sin B＝，
∴∠B＝45°，∠C＝45°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
法二：在△ABC中，根据正弦定理，得
sin A＝，sin B＝，sin C＝(R为△ABC外接圆的半径)．
∵sin2A＝sin2B＋sin2C，
∴a2＝b2＋c2，
∴△ABC是直角三角形且∠A＝90°.
∵∠A＝180°－(∠B＋∠C)，
sin A＝2sin Bcos C，
∴sin(B＋C)＝2sin BcosC.
∴sin Bcos C－cos Bsin C＝0，
即sin(B－C)＝0.∴∠B－∠C＝0，即∠B＝∠C.
∴△ABC是等腰直角三角形．
[规律方法] 依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：
(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用∠A＋∠B＋∠C＝π这个结论.在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.
[跟踪训练]
3．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断△ABC的形状.
[解] 在△ABC中，由正弦定理得＝，
∴＝，∴＝.
又∵a2tan B＝b2tan A，∴＝，
∴＝，
∴sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B.
∴2∠A＝2∠B或2∠A＋2∠B＝π，
即∠A＝∠B或∠A＋∠B＝.
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．在△ABC中，若sin A＞sin B，则∠A与∠B的大小关系为( )
A．∠A＞∠B
B．∠A＜∠B
C．∠A≥∠B
D．∠A，∠B的大小关系不能确定
A [因为＝，所以＝.
因为在△ABC中，sin A>0，sin B>0，sin A＞sin B，
所以＝>1，所以a>b，
由a＞b知∠A＞∠B.]
2．在△ABC中，若c＝2acos B，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等边三角形 D．不等边三角形
B [由正弦定理知c＝2Rsin C，a＝2Rsin A，
故sin C＝2sin Acos B＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin Acos B＝cos Asin B，
即sin(A－B)＝0，所以∠A＝∠B.
故△ABC为等腰三角形．]
3．在△ABC中，AB＝，∠A＝45°，∠B＝60°，则BC＝_____.
3－ [利用正弦定理＝，
而∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝75°，
故BC＝＝＝3－.]
4．已知方程x2－(b cos A)x＋a cos B＝0的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，∠A、∠B为两内角，试判断这个三角形的形状．
[解] 设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系得∴bcos A＝acos B.
由正弦定理得2Rsin Bcos A＝2Rsin Acos B(R为△ABC外接圆的半径)，
∴sin Acos B－cos Asin B＝0，sin(A－B)＝0.
∵∠A、∠B为△ABC的内角，
∴0<∠A<π，0<∠B<π，－π<∠A－∠B<π，
∴∠A－∠B＝0，即∠A＝∠B.
故△ABC为等腰三角形．