2018-2019学年高二数学新人教B版必修五学案：第1章 1.1.2 余弦定理

1.1.2 余弦定理
学习目标：1.掌握余弦定理及其推论．(重点)2.掌握正、余弦定理的综合应用．(难点)3.能应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．余弦定理
(1)三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，
即a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C.
(2)应用余弦定理我们可以解决两类解三角形问题．
①已知三边，求三角．
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．
思考：利用余弦定理只能解决以上两类问题？
[提示] 是
2．余弦定理的变形
(1)余弦定理的变形：
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝.
(2)利用余弦定理的变形判定角：
在△ABC中，c2＝a2＋b2?∠C为直角；c2>a2＋b2?∠C为钝角；c2[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在三角形中，已知两边及一边的对角，可用正弦定理解三角形，但不能用余弦定理去解；( )
(2)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形；( )
(3)利用余弦定理，可解决已知三角形三边求角问题；( )
(4)在三角形中，勾股定理是余弦定理的一个特例．( )
[解析] (1)×.由正、余弦定理的特征可知在三角形中，已知两边及一边的对角，既可以用正弦定理，也可以用余弦定理求解．
(2)√.余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．
(3)√.结合余弦定理公式及三角函数知识可知正确．
(4)√.余弦定理可以看作勾股定理的推广．
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
2．在△ABC中，已知a＝4，b＝6，∠C＝120°，则边c＝________.
2 [根据余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c＝2.]
3．在△ABC中，a＝1，b＝，c＝2，则∠B＝________.
60° [cos B＝＝＝，∠B＝60°.]
4．在△ABC中，若a2＝b2＋bc＋c2，则∠A＝________.
120° [∵a2＝b2＋bc＋c2，
∴b2＋c2－a2＝－bc，
∴cos A＝＝＝－，
又∵0°＜∠A＜180°，
∴∠A＝120°.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
类型1
已知两边及一角解三角形
例1 已知△ABC，根据下列条件解三角形：
a＝，b＝，∠B＝45°.
[解] 由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accos B.
∴2＝3＋c2－2·c.
即c2－c＋1＝0，解得c＝或c＝.
当c＝时，由余弦定理，得cos A＝＝＝.
∵0°<∠A<180°，∴∠A＝60°，∴∠C＝75°.
当c＝时，由余弦定理，得cos A＝＝＝－.
∵0°<∠A<180°，∴∠A＝120°，∠C＝15°.
故c＝，∠A＝60°，∠C＝75°或c＝，∠A＝120°，∠C＝15°.]
[规律方法] 已知两边及一角解三角形有以下两种情况：(1)若已知角是其中一边的对角，有两种解法，一种方法是利用正弦定理先求角，再求边；另一种方法是用余弦定理列出关于另一边的一元二次方程求解.(2)若已知角是两边的夹角.则直接运用余弦定理求出另外一边，然后根据边角关系利用正弦定理求解或者直接利用余弦定理求角.
[跟踪训练]
1．在△ABC中，已知a＝5，b＝3，∠C的余弦值是方程5x2＋7x－6＝0的根，求第三边长c.
[解] 5x2＋7x－6＝0可化为(5x－3)(x＋2)＝0.
∴x1＝，x2＝－2(舍去)．
∴cos C＝.
根据余弦定理，
c2＝a2＋b2－2abcos C＝52＋32－2×5×3×＝16.
∴c＝4，即第三边长为4.
类型2
已知三边或三边关系解三角形
例2 (1)已知△ABC的三边长为a＝2，b＝2，c＝ ＋，求△ABC的各角度数．
(2)已知△ABC的三边长为a＝3，b＝4，c＝，求△ABC的最大内角．
[解] (1)由余弦定理得：
cos A＝＝＝，
∴∠A＝60°.
cos B＝＝＝，
∴∠B＝45°，∴∠C＝180°－∠A－∠B＝75°.
(2)∵c>a，c>b，∴∠C最大．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，
即37＝9＋16－24cos C，
∴cos C＝－，
∵0°<∠C<180°，
∴∠C＝120°.
∴△ABC的最大内角为120°.
[规律方法] 1.已知三角形三边求角时，可先利用余弦定理求角，再用正弦定理求解，在用正弦定理求解时，要根据边的大小确定角的大小，防止产生增解或漏解.,2.若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边解三角形.
[跟踪训练]
2．在△ABC中，已知BC＝7，AC＝8，AB＝9.试求AC边上的中线长.
[解] 由余弦定理和条件，得cos A＝＝＝，
设中线长为x，由余弦定理，得
x2＝＋AB2－2··ABcosA＝42＋92－2×4×9×＝49，∴x＝7.
所以AC边上的中线长为7.
类型3
正、余弦定理的综合应用
[探究问题]
1．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2，则sin2A＝sin2B＋sin2C成立吗？反之说法正确吗？为什么？
[提示] 设△ABC的外接圆半径为R.
由正弦定理的变形，将a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，代入a2＝b2＋c2可得sin2A＝sin2B＋sin2C.反之将sin A＝，sin B＝，sin C＝代入sin2A＝sin2B＋sin2C可得a2＝b2＋c2.因此，这两种说法均正确．
2．在△ABC中，若c2＝a2＋b2，则∠C＝成立吗？反之若∠C＝，则c2＝a2＋b2成立吗？为什么？
[提示] 因为c2＝a2＋b2，所以a2＋b2－c2＝0，由余弦定理的变形cos C＝＝0，即cos C＝0，所以∠C＝，反之若∠C＝，则cos C＝0，即＝0，所以a2＋b2－c2＝0，即c2＝a2＋b2.
例3 在△ABC中，若(a－c·cos B)·sin B＝(b－c·cos A)·sin A，判断△ABC的形状．
[思路探究] 角边转化．
[解] 法一：∵(a－c·cos B)·sin B＝(b－c·cos A)·sin A，
∴由正、余弦定理可得：
·b＝·a，
整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，
即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，
∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.
∴a2＋b2＝c2或a＝b.
故△ABC为直角三角形、等腰三角形或等腰直角三角形．
法二：根据正弦定理，原等式可化为：
(sin A－sin Ccos B)sin B＝(sin B－sin Ccos A)sin A，
即sin Ccos Bsin B＝sin Ccos Asin A.
∵sin C≠0，∴sin Bcos B＝sin Acos A，
∴sin 2B＝sin 2A.
∴2∠B＝2∠A或2∠B＋2∠A＝π，
即∠A＝∠B或∠A＋∠B＝.
故△ABC是等腰三角形、直角三角形或等腰直角三角形．
[规律方法] 1.方法一是用余弦定理将等式转化为边之间的关系式，方法二是借助于正弦定理，将已知等式转化为角的三角函数关系式.这两种方法是判断三角形形状的常用手段.
2.一般地，如果遇到的式子含角的余弦或是边的二次式，要考虑用余弦定理；反之，若遇到的式子含角的正弦或是边的一次式，则大多用正弦定理；若是以上特征不明显，则要考虑两个定理都有可能用.
[跟踪训练]
3．在△ABC中，已知cos2＝，判断△ABC的形状．
[解] 法一：在△ABC中，由已知cos2＝，得＝，
∴cos A＝.
根据余弦定理，得＝.
∴b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2，
△ABC是直角三角形．
∴法二：在△ABC中，设其外接圆半径为R，由正弦定理，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
由cos2＝知，cos A＝.
∴cos A＝，即sin B＝sin Ccos A.
∵∠B＝π－(∠A＋∠C)，
∴sin(A＋C)＝sin Ccos A，
∴sin Acos C＝0.
∵∠A，∠C都是△ABC的内角，
∴∠A≠0，∠A≠π.∴cos C＝0，∴∠C＝.
∴△ABC是直角三角形．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，则cos C的值为( )
A． B．－
C． D．－
A [根据正弦定理，a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，设a＝3k，b＝2k，c＝3k(k>0)．
则有cos C＝＝.]
2．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
C [∵2cos Bsin A＝sin C，
∴2××a＝c，
∴a＝b.故△ABC为等腰三角形．]
3．在△ABC中，若a2＋c2－b2＝ac，则∠B的值为________．
[根据余弦定理，cos B＝＝＝，又∠B∈(0，π)，所以∠B＝.]
4．在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝2，AC＝2，则满足条件的三角形有几个？
[解] 设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B，
∴22＝a2＋(2)2－2a×2cos 30°，
即a2－6a＋8＝0，解得a＝2或a＝4.
当a＝2时，三边为2,2,2可组成三角形；
当a＝4时，三边为4,2,2也可组成三角形．
∴满足条件的三角形有两个．