1.2 应用举例
第1课时 距离和高度问题
学习目标：1.能将实际问题转化为解三角形问题．(难点)2.能够用正、余弦定理等知识和方法求解与距离、高度有关的实际应用问题．(重点)
[自 主 预 习·探 新 知]
实际测量中的有关名词、术语
名称
定义
图示
基线
在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线
铅垂
平面
与地面垂直的平面
坡角
坡面与水平面的夹角
α为坡角
坡比
坡面的垂直高度与水平宽度之比
坡比：i＝
仰角
在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角
俯角
在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时视线与水平线的夹角
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)一般来说，在测量过程中基线越长，测量精确度越低．( )
(2)已知三角形的三个角，能够求其三条边．( )
(3)两个不可到达的点之间的距离无法求得．( )
(4)坡面与水平面的夹角称之为坡角．( )
(5)坡面的水平宽度与坡面的铅直高度之比称为坡比．( )
[解析] (1)×.因为在测量过程中基线越长，测量的精确度越高．
(2)×.因为要解三角形，至少要知道这个三角形的一条边．
(3)×.两个不可到达的点之间的距离我们可以借助余弦定理求得．
(4)√.由坡角的定义可知．
(5)×.因为坡比是指坡面的铅直高度与坡面的水平宽度的比．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
[合 作 探 究·攻 重 难]
类型1
测量距离问题
例1 要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距 km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之间的距离．
[思路探究] 将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形．
[解] 如图所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，
∴AC＝CD＝ km.
在△BCD中，∠BCD＝45°，
∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.
∴BC＝＝.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝()2＋－2×××cos 75°
＝3＋2＋－＝5，
∴AB＝(km)，∴A，B之间的距离为 km.
[规律方法] 测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，运用正弦定理解决.
[跟踪训练]
1．如图1?2?1，设B、C两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在C的同侧，在所在的河岸边选定一点A，测出A、C的距离是100 m，∠BAC＝45°，∠BCA＝60°，求B、C两点间的距离．
图1?2?1
[解] 在△ABC中，AC＝100，∠BAC＝45°，∠BCA＝60°，
则∠B＝180°－(∠BAC＋∠BCA)＝75°，
由正弦定理，得BC＝AC＝＝100(－1)．
即B，C两点间的距离为100(－1)m.
2．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为( )
A．α>β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
B [由图知α＝β.
]
类型2
测量高度问题
例2 (1)如图1-2-2，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝100米，点C位于BD上，则山高AB等于( )
图1?2?2
A．100米 B．50米
C．50米 D．50(＋1)米
(2)在一幢20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是( )
A．20 m B．20(1＋)m
C．10(＋)m D．20(＋)m
[解析] (1)设山高为h，则由题意知
CB＝h，DB＝h，
所以h－h＝100，即h＝50(＋1)．
(2)如图，由条件知四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD＝20 m，BC＝AD＝20 m.
在△DCE中，∠EDC＝60°，∠DCE＝90°，CD＝20 m，∴EC＝CD·tan 60°＝20 m．∴BE＝BC＋CE＝(20＋20) m．选B.
[答案] (1)D (2)B
[规律方法] 解决测量高度问题的一般步骤：
(1)画图：根据已知条件画出示意图.
(2)分析三角形：分析与问题有关的三角形.
(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解.在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用.
[跟踪训练]
3．某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m)．如图1-2-3所示，竖直放置的标杆BC的高度h＝4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值．
图1-2-3
[解] 由AB＝，BD＝，
AD＝及AB＋BD＝AD，
得＋＝，
解得H＝
＝＝124.
因此，算出的电视塔的高度H是124 m.
类型3
与立体几何有关的测量高度问题
[探究问题]
1．已知A，B是海平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足．试画出符合题意的示意图．
[提示] 用线段CD表示山，用△DAB表示海平面．结合题中相应的距离及角度，画出立体图形，如图所示：
2．在探究1中若要求山高CD怎样求解？
[提示] 由探究1知CD⊥平面ABD，首先在△ABD中利用正弦定理求出AD的长，然后在Rt△ACD中求出CD.
例3 如图1-2-4，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.
图1-2-4
[思路探究] 利用方程的思想，设AB＝h.表示出BC＝h，BD＝＝h，然后在△BCD中利用余弦定理求解．
[解] 在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若设AB＝h，则BC＝h.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝h.
在△BCD中，由余弦定理可得
CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，
即2002＝h2＋(h)2－2·h·h·，
所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)，
即塔高AB＝200米．
[规律方法] 测量高度问题的两个关注点：(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题.(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路.
[跟踪训练]
4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是( )
A．100 m B．400 m
C．200 m D．500 m
D [由题意画出示意图，设塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知得BD＝h m，在△BCD中，由余弦定理得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m)．]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1. 如图1-2-5，在河岸AC上测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是( )
图1-2-5
A．a，c，α B．b，c，α
C．c，a，β D．b，α，γ
D [由α，γ可求出β，由α，β，b，可利用正弦定理求出BC.故选D.]
2．如图1-2-6，某人向东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是________．
图1-2-6
4 [由余弦定理：x2＋9－3x＝13，
整理得：x2－3x－4＝0，解得x＝4.]
3．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从 甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________m.
20 [甲楼的高为20tan 60°＝20×＝20(m)；
乙楼的高为：20－20tan 30°＝20－20×＝(m)．]
4．如图1-2-7所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C.测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A，B两点的距离为________m.
图1-2-7
50 [由题意知∠ABC＝30°，由正弦定理，得＝，
∴AB＝＝
＝50(m)．]
5．江岸边有一炮台高30 m．江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m.
30 [设两条船所在位置分别为A，B两点，炮台底部所在位置为C点，在△ABC中，由题意可知
AC＝＝30(m)，
BC＝＝30(m)，∠C＝30°，
AB2＝(30)2＋302－2×30×30×cos 30°＝900，
∴AB＝30(m)．]
第2课时 角度问题
学习目标：1.能灵活运用正弦定理及余弦定理解角度问题．(重点)2.会将实际问题转化为解三角形问题．(难点)3.能根据题意画出几何图形．(易错点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．方位角
从指北方向按顺时针转到目标方向线所成的水平角．如点B的方位角为α(如图1-2-18所示)．
方位角的取值范围：0°～360°.
图1-2-18
2．方向角
从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若P在Q的北偏东44°，则Q在P的东偏北44°方向．( )
(2)如图1-2-19所示，该角可以说成北偏东110°.( )
图1-2-19
(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系，其范围均是.( )
(4)若点A在点C的北偏东30°方向，点B在点C的南偏东60°方向，且AC＝BC，则点A在点B北偏西15°方向．( )
[解析] (1)错误．因若P在Q的北偏东44°，则Q应在P的南偏西44°.
(2)错误．因本图所标角应为方位角，可以说成点A的方位角为110°.
(3)错误．因为方向角的范围为0°～90°，而方位角的范围为0°～360°.
(4)正确．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．某次测量中，A在B的南偏东34°27′，B在A的( )
A．北偏西34°27′ B．北偏东55°33′
C．北偏西55°33′ D．南偏西55°33′
A [如图所示．
]
3．已知两座建筑A，B与规划测量点C的距离相等，A在C的北偏东40°，B在C的南偏东60°，则A在B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
B [如图，因为△ABC为等腰三角形，
所以∠CBA＝(180°－80°)＝50°，
60°－50°＝10°.
即北偏西10°.]
4．某人从A处出发、沿北偏西60°行走2 km到达B处，再沿正东方向行走2 km到达C处，则A、C两地的距离为________km.
2 [如图所示，∠ABC＝30°，又AB＝2，BC＝2，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB×BCcos∠ABC＝12＋4－2×2×2×＝4，
AC＝2，所以A、C两地的距离为2 km.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
类型1
角度问题
例1 (1)如图1-2-20，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
图1-2-20
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东80° D．南偏西80°
(2)有一拦水坝的横断面是等腰梯形，它的上底长为6 m，下底长为10 m，高为2m，那么此拦水坝斜坡的坡比和坡角分别是( )
A.，60° B．，60°
C.，30° D．，30°
[思路探究] (1)两座灯塔A，B与观察站C的距离相等，说明∠A与∠B有何大小关系？灯塔B在观察站南偏东60°，说明∠CBD是多少度？
(2)本小题关键是理解坡比与坡角的意义．
[解析] (1)由条件及图可知，∠A＝∠B＝40°，又∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°.
(2)如图所示，横断面是等腰梯形ABCD，AB＝10 m，CD＝6 m，高DE＝2 m，则AE＝＝2 m，
∴tan ∠DAE＝＝＝，
∴∠DAE＝60°.
[答案] (1)D (2)B
[规律方法] 测量角度问题画示意图的基本步骤：
[跟踪训练]
1．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东________，大小为________km/h.
60° 20 [如图，∠AOB＝60°，由余弦定理知OC2＝202＋202－800cos 120°＝1 200，
故OC＝20，∠COY＝30°＋30°＝60°.
]
类型2
求航向的角度
例2 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile的C处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile/h的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.
[思路探究] 本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t，找出等量关系，然后解三角形．
[解] 如图所示，根据题意可知AC＝10，∠ACB＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h，并在B处与渔轮相遇，则AB＝21t，BC＝9t，在△ABC中，根据余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 120°，所以212t2＝102＋81t2＋2×10×9t×，即360t2－90t－100＝0，解得t＝或t＝－(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为 h.
此时AB＝14，BC＝6.
在△ABC中，根据正弦定理得＝，
所以sin∠CAB＝＝，
即∠CAB≈21.8°或∠CAB≈158.2°(舍去)．
即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.
所以舰艇以66.8°的方位角航行，需 h才能靠近渔轮．
[规律方法] 1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解.
2.在解三角形问题中，求某些角的度数时，最好用余弦定理求角.因为余弦函数在(0，π)上是单调递减的，而正弦函数在(0，π)上不是单调函数，一个正弦值可以对应两个角.但角在上时，用正、余弦定理皆可.
[跟踪训练]
2．某海上养殖基地A，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°相距20(＋1) n mile的海面上有一台风中心，影响半径为20 n mile，正以每小时10 n mile的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且＋1 h后开始影响基地持续2 h．求台风移动的方向.
[解] 如图所示，设预报时台风中心为B，开始影响基地时台风中心为C，基地刚好不受影响时台风中心为D，则B，C，D在一直线上，且AD＝20，AC＝20.
由题意AB＝20(＋1)，DC＝20，
BC＝(＋1)·10.
在△ADC中，∵DC2＝AD2＋AC2，
∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°.
在△ABC中，由余弦定理得
cos∠BAC＝＝.
∴∠BAC＝30°，又∵B位于A南偏东60°，60°＋30°＋90°＝180°，∴D位于A的正北方向，又∵∠ADC＝45°，
∴台风移动的方向为向量的方向．即北偏西45°方向．
答：台风向北偏西45°方向移动．
类型3
求解速度问题
[探究问题]
1．某物流投递员沿一条大路前进，从A到B，方位角是50°，距离是4 km，从B到C，方位角是80°，距离是8 km，从C到D，方位角是150°，距离是6 km，试画出示意图．
[提示] 如图所示：
2．在探究1中，若投递员想在半小时之内，沿小路直接从A点到C，则此人的速度至少是多少？
[提示] 如探究1图，在△ABC中，∠ABC＝50°＋(180°－80°)＝150°，由余弦定理得AC＝＝，则此人的最小速度为v＝＝8(km/h)．
3．在探究1中若投递员以24 km/h的速度匀速沿大路从A到D前进，10分钟后某人以16 km/h的速度沿小路直接由A到C追投递员，问在C点此人能否与投递员相遇？
[提示] 投递员到达C点的时间为t1＝＝(小时)＝30(分钟)，追投递员的人所用时间由探究2可知t2＝≈0.55 小时＝33分钟；由于30<33＋10，所以此人在C点不能与投递员相遇．
例3 如图1-2-21所示，一辆汽车从O点出发沿一条直线公路以50公里/小时的速度匀速行驶(图中的箭头方向为汽车行驶方向)，汽车开动的同时，在距汽车出发点O点的距离为5公里、距离公路线的垂直距离为3公里的M点的地方有一个人骑摩托车出发想把一件东西送给汽车司机．问骑摩托车的人至少以多大的速度匀速行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了多少公里？
图1-2-21
[思路探究] 根据已知图形构造三角形．利用余弦定理建立速度与时间的函数求解．
[解] 作MI垂直公路所在直线于点I，则MI＝3，∵OM＝5，∴OI＝4，∴cos∠MOI＝.
设骑摩托车的人的速度为v公里/小时，追上汽车的时间为t小时，
由余弦定理得(vt)2＝52＋(50t)2－2×5×50t×，
即v2＝－＋2 500＝25＋900≥900，
∴当t＝时，v取得最小值为30，
∴其行驶距离为vt＝＝公里．
故骑摩托车的人至少以30公里/小时的速度行驶才能实现他的愿望，此时他驾驶摩托车行驶了公里．
[规律方法] 解决实际问题应注意的问题：
(1)首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步.
(2)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，要正确使用正、余弦定理解决问题.
[跟踪训练]
3．如图1-2-22，在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船．
图1-2-22
此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船？
[解] 设缉私船用t h在D处追上走私船，
则有CD＝10t，BD＝10t，
在△ABC中，∵AB＝－1，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝(－1)2＋22－2·(－1)·2·cos 120°＝6，
∴BC＝，
且sin∠ABC＝·sin∠BAC＝·＝.
∴∠ABC＝45°.
∴BC与正北方向垂直．
∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD＝＝＝，
∴∠BCD＝30°.
即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的时间为( )
A．0.5 h B．1 h
C．1.5 h D．2 h
B
2．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )
A．50 m B．100 m
C．120 m D．150 m
A [设水柱高度是h m，水柱底端为C(图略)，则在△ABC中，∠A＝60°，AC＝h，AB＝100，BC＝h，根据余弦定理得，(h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m．]
3．已知两灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________km.
a [由题意知∠ACB＝120°，AC＝BC＝a，由余弦定理，
得AB2＝a2＋a2－2a×a×cos 120°＝3a2，AB＝a.]
4．一轮船从A点沿北偏东70°的方向行驶10海里至海岛B，又从B沿北偏东10°的方向行驶10海里至海岛C，若此轮船从A点直接沿直线行驶至海岛C，则此船沿________方向行驶________海里至海岛C.
北偏东40° 10 [在△ABC中，∠ABC＝110°＋10°＝120°.
又AB＝BC，故∠CAB＝∠ACB＝30°，
AC＝＝10.
故此船沿着北偏东70°－30°＝40°方向行驶了10海里到达海岛C.]
5．如图1-2-23，某海轮以60海里/时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东60°，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30°，海轮改为北偏东60°的航向再行驶80分钟到达C点，求P，C间的距离.
图1-2-23
[解] 因为AB＝40，∠BAP＝120°，∠ABP＝30°，
所以∠APB＝30°，所以AP＝40，
所以BP2＝AB2＋AP2－2AP·AB·cos 120°
＝402＋402－2×40×40×＝402×3，
所以BP＝40.
又∠PBC＝90°，BC＝80，
所以PC2＝BP2＋BC2＝(40)2＋802＝11 200，
所以PC＝40海里．
第3课时 三角形中的几何计算
学习目标：1.掌握三角形的面积公式的应用．(重点) 2.掌握正、余弦定理与三角函数公式的综合应用．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．三角形的面积公式
(1)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc分别表示a，b，c边上的高)；
(2)S＝absin C＝bcsin A＝casin B；
(3)S＝(a＋b＋c)·r(r为内切圆半径)．
2．三角形中常用的结论
(1)∠A＋∠B＝π－∠C，＝－；
(2)在三角形中大边对大角，反之亦然；
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；
(4)三角形的诱导公式
sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C，
tan(A＋B)＝－tan C，
sin ＝cos ，
cos ＝sin .
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)已知三角形的三边长为a，b，c，内切圆的半径为r，则三角形的面积S＝(a＋b＋c)r.( )
(2)在△ABC中，若c＝b＝2，S△ABC＝，则∠A＝60°.( )
(3)在△ABC中，若a＝6，b＝4，∠C＝30°，则S△ABC的面积是6.( )
(4)在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则∠A＝∠B.( )
[解析] (1)错误．因为一个三角形可以分割成三个分别以a，b，c为底，以内切圆的半径为高的三角形，所以三角形的面积为S＝ar＋br＋cr＝(a＋b＋c)r.
(2)错误．由三角形面积公式S＝bcsin A得，
×2×2×sin A＝，所以sin A＝，则∠A＝60°或∠A＝120°.
(3)正确．因为三角形的面积S＝absin C＝×6×4×sin 30°＝6.
(4)错误．因为在△ABC中，若sin 2A＝sin 2B，则2∠A＝2∠B或2∠A＝π－2∠B，即∠A＝∠B或∠A＝－∠B.
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．在△ABC中，a＝6，∠B＝30°，∠C＝120°，则△ABC的面积为________
9 [由题知∠A＝180°－120°－30°＝30°.∴＝，∴b＝6，∴S＝×6×6×sin 120°＝9.]
3．在△ABC中，ab＝60，S△ABC＝15，△ABC的外接圆半径为，则边c的长为________．
3 [S△ABC＝absin C＝15，∴sin C＝.
由正弦定理＝2R，∴c＝2R×sin C＝3.]
4．若△ABC的面积为，BC＝2，∠C＝60°，则边AB的长度等于________.
2 [在△ABC中，由面积公式得S＝BC·AC·sin C＝×2·AC·sin 60°＝AC＝，
∴AC＝2.
∵BC＝2，∠C＝60°，
∴△ABC为等边三角形．
∴AB＝2.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
类型1
三角形面积的计算
例1 (1)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，∠B＝，∠C＝，则△ABC的面积为( )
A．2＋2 B.＋1
C．2－2 D．－1
(2)在△ABC中，S△ABC＝(a2＋b2－c2)，则∠C＝__________.
(3)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积S△ABC＝，则边BC的长为________．
[思路探究] (1)利用正弦定理求边c，然后利用三角形面积公式求解．
(2)由三角形面积S＝absin C与余弦定理cos C＝相结合求解．
(3)由已知可先利用三角形面积公式S＝bcsin A求出AC，然后利用余弦定理求BC.
[解析] (1)由正弦定理＝及已知条件得c＝2，又sin A＝sin(B＋C)＝×＋×＝.
从而S△ABC＝bcsin A＝×2×2×＝＋1.
(2)由S△ABC＝(a2＋b2－c2)得
absin C＝(a2＋b2－c2)，即sin C＝.
∴sin C＝cos C，即tan C＝1，∴∠C＝.
(3)由S△ABC＝，得AB·AC·sin A＝，
即×2AC×＝，
∴AC＝1.由余弦定理得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A
＝22＋12－2×2×1×＝3.∴BC＝.
[答案] (1)B (2) (3)
[规律方法] 1.由于三角形的面积公式有三种形式，实际使用时要结合题目的条件灵活运用.2.如果已知两边及其夹角可以直接求面积，否则先用正、余弦定理求出需要的边或角，再套用公式计算.
[跟踪训练]
1．已知在△ABC中，cos A＝－，cos B＝，BC＝5，求△ABC的面积.
[解] 由cos A＝－，得sin A＝＝.
由cos B＝，得sin B＝＝.
所以sin C＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B
＝×＋×＝－＝.
由正弦定理得AC＝＝＝.
所以△ABC的面积为S＝·BC·AC·sin C＝×5××＝.
类型2
三角形的证明问题
例2 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.
证明：＝.
[思路探究] 由左往右证，可由边化角展开；由右往左证，可由角化边展开．
[解] 法一：由余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，
∴a2－b2＝b2－a2－2bccos A＋2accos B，
整理得：＝.
依正弦定理有＝，＝，
∴＝＝.
法二：＝
＝＝＝.
[规律方法] 1.三角恒等式证明的三个基本原则
(1)统一边角关系.
(2)由繁推简.
(3)目标明确，等价转化.
2.三角恒等式证明的基本途径
(1)把角的关系通过正、余弦定理转化为边的关系，然后进行化简、变形.
(2)把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理，然后利用三角函数公式进行恒等变形.
[跟踪训练]
2．在△ABC中，求证：＝.
[证明] 由正弦定理得右边＝
＝
＝
＝＝＝左边．
∴原等式成立．
类型3
三角形中的综合问题
[探究问题]
1．如图1-2-28所示，图中共有几个三角形？线段AD分别是哪些三角形的边，∠B是哪些三角形的内角？
图1-2-28
[提示] 在图形中共有三个三角形，分别为△ABC，△ABD，△ADC；线段AD是△ADC与△ABD的公共边，∠B既是△ABC的内角，又是△ABD的内角．
2．在探究1中，若sin B＝sin ∠ADB，则△ABD是什么形状的三角形？在此条件下若已知AB＝m，DC＝n，如何求出AC?
[提示] 若sin B＝sin ∠ADB，则△ABD为等腰三角形，在此条件下，可在△ABD中先求出AD，然后利用余弦定理在△ADC中求出AC，也可以在△ABD中先求出BD，然后在△ABC中，利用余弦定理求出AC.
3．在探究1的图形中若已知∠B与∠C的大小，如何表示(或求)∠A，如何用∠B与∠C的正、余弦值表示∠A的正弦值？
[提示] ∠A＝π－(∠B＋∠C)，sin A＝sin[π－(B＋C)]
＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C.
例3 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知∠A＝，bsin－csin＝a.
(1)求证：∠B－∠C＝；
(2)若a＝，求△ABC的面积．
[思路探究] (1)先由正弦定理化边为角，再化简即证．
(2)结合第(1)问可直接求出B，C.再利用面积公式求值；也可以作辅助线导出b，c的大小关系，再由余弦定理求值，最后用面积公式求解．
[解] 证明：(1)由bsin－csin＝a，应用正弦定理，
得sin Bsin－sin Csin＝sin A，
所以sin B－sin Csin B＋cos B＝，
整理得sin Bcos C－cos Bsin C＝1，即sin(B－C)＝1，
因为0<∠B<π，0<∠C<π，从而∠B－∠C＝.
(2)因为∠B＋∠C＝π－∠A＝，所以∠B＝π，∠C＝.
由a＝，∠A＝得b＝＝2sin ，c＝＝2sin ，所以△ABC的面积S＝bcsin A＝sin ·sin ＝cos sin ＝.
[规律方法] 1.解三角形综合问题，除灵活运用正、余弦定理及三角形的有关知识外，一般还要用到三角函数，三角恒等变换，平面向量等知识，因此掌握正、余弦定理，三角函数的公式及性质是解题关键.
2.三角形问题中，涉及变量取值范围或最值问题要注意函数思想的应用.
3．如图1-2-29，在四边形ABCD中，AC＝CD＝AB＝1，·＝1，sin∠BCD＝.
图1-2-29
(1)求BC边的长；
(2)求四边形ABCD的面积．
[解] (1)∵AC＝CD＝AB＝1，
∴·＝||·||·cos∠BAC＝2cos∠BAC＝1，∴cos∠BAC＝，∴∠BAC＝60°.
在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝22＋12－2×2×1×＝3，∴BC＝.
(2)由(1)知，在△ABC中，有AB2＝BC2＋AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴S△ABC＝BC·AC＝××1＝.
又∠BCD＝∠ACB＋∠ACD＝90°＋∠ACD，
sin∠BCD＝，∴cos∠ACD＝，
从而sin∠ACD＝＝，
∴S△ACD＝AC·CD·sin∠ACD＝×1×1×＝.
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝＋＝.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a＝5，b＝4，cos C＝，则△ABC的面积是( )
A．8 B．6
C．4 D．2
B [∵cos C＝，∠C∈(0，π)，∴sin C＝，
∴S△ABC＝absin C＝×5×4×＝6.故选B.]
2．已知△ABC的面积为，且b＝2，c＝，则( )
A．∠A＝30° B．∠A＝60°
C．∠A＝30°或150° D．∠A＝60°或120°
D [∵S＝bcsin A＝，
∴×2×sin A＝，∴sin A＝，
∴∠A＝60°或120°.故选D.]
3．在△ABC中，已知AB＝3，∠A＝120°，且△ABC的面积为，则BC边的长为________.
7 [∵S△ABC＝×3×b×sin 120°＝，∴b＝5，∴由余弦定理得a2＝32＋52－2×3×5×cos 120°＝49，∴a＝7，即BC＝7.]
4．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知∠B＋∠C＝，a＝，b＝1，则S△ABC等于________．
[因为∠B＋∠C＝π，所以∠A＝π－π＝，
由＝，得＝，则sin B＝，
因为a>b，所以∠A>∠B，则∠B＝，
所以∠C＝，
所以S△ABC＝absin C＝××1×1＝.]
5．在△ABC中，内角∠A，∠B，∠C对边的边长分别为a，b，c，已知c＝2，∠C＝.
(1)若△ABC的面积等于，求a，b；
(2)若sin B＝2sin A，求△ABC的面积．
[解] (1)由余弦定理，得a2＋b2－ab＝4.
因为△ABC的面积等于，
所以absin C＝，得ab＝4.
联立方程
解得
(2)由正弦定理，已知条件可化为b＝2a.
联立方程
解得
所以△ABC的面积S＝absin C＝.
