人教版必修五 第二章 数列 综合测试卷

数列 综合测试
一、单选题（共12小题，每题5分，共60分）
1．等比数列中，，则公比（ ）
A． B． C． D．
2．已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ）
A． B． 10 C． D．
3．设为等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
4．记为数列的前项和，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．正项等比数列中，，，则的值是　　
A． 4 B． 8 C． 16 D． 64
6．公比不为1的等比数列的前项和为，且，，成等差数列，若，则（ ）
A． -5 B． 0 C． 5 D． 7
7．已知，，是一个等比数列的前三项，则的值为（ ）
A． -4或-1 B． -4 C． -1 D． 4或1
8．两等差数列的前项和分别为且，则（ ）
A． B． C． D．
9．已知等比数列的前n项和为，若，且，，成等差数列，则　　
A． 10 B． 12 C． 18 D． 30
10．设是等差数列的前项和，,则（ ）
A． B． C． D．
11．设等差数列的前n项和为,若,,则当取最小值时,等于 (　）
A． B． C． D．
12．已知等比数列的前项和为，且满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．下面有四个结论:
①若数列的前项和为 (为常数),则为等差数列;
②若数列是常数列,数列是等比数列,则数列是等比数列;
③在等差数列中,若公差,则此数列是递减数列;
④在等比数列中,各项与公比都不能为.
其中正确的结论为__________(只填序号即可).
14．已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y＝x2－2x＋3的顶点是(b，c)，则ad＝________.
15．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.若数列{an}是等和数列，且a1＝－1，公和为1，那么这个数列的前2 018项和S2 018＝________.
16．设数列满足， ___________．
三、解答题（共6小题，第17题10分，其余12分，共70分）
17（10分）．已知数列中，，．
（1）求；
（2）若，求数列的前5项的和.
18（12分）．已知各项都不为零的无穷数列满足: ；
(1)证明为等差数列,并求时数列中的最大项:
(2)若为数列中的最小项,求的取值范围.
19（12分）．已知数列的前项和，且
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和．
20（12分）．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且．
Ⅰ求；
Ⅱ设，求数列的前n项和．
21（12分）．正项等差数列中，已知，，且，，构成等比数列的前三项.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前项和.
22（12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7.
（Ⅰ）求{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设，n∈N*，求数列{cn}的前n项和
参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
A
C
B
C
A
B
C
A
C
B
C
10．C
【解析】
【分析】
先根据已知求出d,再求.
【详解】
因为，
所以，
故答案为：C
11．B
【解析】
【分析】
先根据条件解出公差，再根据等差数列求和公式得，最后根据二次函数性质求最值取法.
【详解】
因为,,
所以，
因此当时，取最小值，选B.
12．C
【解析】
【分析】
利用先求出，然后计算出结果
【详解】
根据题意，当时，
故当时，
数列是等比数列
则，故
解得
故选
【点睛】
本题主要考查了等比数列前项和的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础
13．③④
14．2
15．1 009
16．
【解析】
【分析】
对条件进行化简然后运用累加法和裂项求和法推导出通项
【详解】
......
累加可得
，
故答案为
17．(1);(2)77.
【解析】
【分析】
：（1），则数列是首项为2，公比为2的等比数列，求解即可。
（2）利用分组求和，分为一个等差数列和一个等比数列，利用数列求和公式求解。
【详解】
：（1），
则数列是首项为2，公比为2的等比数列，
；
（2），
.
18．(1)证明见解析，最大项为.
(2) .
【详解】
(1)由
是等差数列,且公差:
当时,
数列递减数列,最大项为
(2)由(1)知；
当时,数列是正项递增数列,此数列没有最大项,
从而数列中就没有最小项，故；
由数列是递增数列,且是的最小项，
是数列中的最大负项，
从而有
又 .
的取值范围是：.
19．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】
（Ⅰ）由 得
所以当时，
当时，
所以
检验符合
（Ⅱ） 由（1）可知
所以.设数列的前项和为，则：

所以数列的前项和为.
20．（1）（2）
【详解】
解：Ⅰ由题意得，两式作差得，
又数列各项均为正数，所以，即
当时，有，得，则，
故数列为首项为2公差为2的等差数列，所以
Ⅱ
所以
21．(1)，.(2).
【解析】
【分析】
（1）由题意结合数列的性质可得数列的公差，则，结合的通项公式可得.
（2）结合(1)中取得的结果错位相减可得数列的前项和.
【详解】
（1）设等差数列的公差为，则由已知得：
，即，
又，解得或（舍去），
，
所以，
又，，所以，
所以.
（2）因为，
，
两式相减得 ，
则.
22．（1）an＝2n－1，n∈N*；bn＝2n－1，n∈N*.（2）
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据各项均为正项的等比数列，求得q的表达式，进而求得q与d的值。由a1＝b1＝1，求得{an}和{bn}的通项公式。
(Ⅱ)数列Cn是由{}与的和组成的新数列求和，分别利用错位相减法和等差数列求和，再合并在一起。
【详解】
解：(Ⅰ)设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意q＞0.
由已知，有 消去d，整理得q4－2q2－8＝0，
又因为q＞0，解得q＝2，所以d＝2.
所以数列{an}的通项公式为an＝2n－1，n∈N*；
数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1，n∈N*.
(Ⅱ)由(1)有，设{}的前n项和为Sn，的前n项和为则Sn＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n－1，
2Sn＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)×2n－1＋(2n－1)×2n，
上述两式相减，得
－Sn＝1＋22＋23＋…＋2n－(2n－1)×2n＝2n＋1－3－(2n－1)×2n＝－(2n－3)×2n－3，
所以，Sn＝(2n－3)·2n＋3，n∈N*
.＝
所以数列的前n项和为.