2.1 一元一次方程
一、方程及一元一次方程的相关概念
1、方程：含有________的等式叫做方程．
2、方程的解：使方程左右两边的值________的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的________．
3、解方程：求方程的________的过程叫做解方程．
4、一元一次方程：只含有________未知数、未知数的最高次数为________，并且两边都为整式的方程，叫做一元一次方程，
（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）
（2）一元一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）
二、等式的性质
性质1：等式两边________（或________）同一个数(或式子)，结果仍________.
若a=b，那么a±c=b±c
性质2：等式两边________同一个数，或________同一个不为0的数，结果仍相等.
若a=b，那么有a·c=b·c或a÷c=b÷c （c≠0）
三、解一元一次方程的一般步骤
1、去分母；
2、________；
3、移项；
4、________；
5、系数化为1．
四、一元一次方程与实际问题
1、审题：分析题意，弄清哪些是已知的，哪些是未知的，它们之间的数量关系；
2、设________：未知数有直接与间接两种，恰当的设未知数有利于列方程和解方程，以直接设未知数居多；
3、根据已知条件找出相等的关系
4、列出________；
5、解方程；
6、检验并写出________．
考点一： 辨别一元一次方程
方程，，，中一元一次方程有（ ）个.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式跟进1方程是关于x的一元一次方程，则=___
考点二： 等式的性质应用
已知等式3a=2b+5，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A．3a﹣5=2b B．3a+1=2b+6 C．3ac=2bc+5 D．a=
变式跟进2下列运用等式的性质，变形正确的是（ ）
A．若x=y，则x﹣5=y+5 B．若a=b，则ac=bc
C．若，则2a=3b D．若x=y，则
考点三：一元一次方程的解
已知x=1是方程x+2a=﹣1的解，那么a的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
变式跟进3若关于x的方程2x+m-3(m-1)=1+x的解为负数，则m的范围是_________
考点四：一元一次方程的应用
某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6·1儿童节”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元一次方程为( )
A．1.2×0.8x＋2×0.9(60＋x)=87 B．1.2×0.8x＋2×0.9(60－x)=87
C．2×0.9x＋1.2×0.8(60＋x)=87 D．2×0.9x＋1.2×0.8(60－x)=87
变式跟进4某件商品的标价是330元，按标价的八折销售可获利10%，则这种商品的进价为_________________________元。
一、单选题
1.（2017?杭州）设x，y，c是实数，（?? ）
A、若x=y，则x+c=y﹣c B、若x=y，则xc=yc C、若x=y，则 D、若 ，则2x=3y
2.（2017·丽水）若关于x的一元一次方程x-m+2=0的解是负数，则m的取值范围是（?? ）
A、m≥2 B、m>2 C、m<2 D、m≤2
3.（2017?深圳）一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出 双，列出方程（?? ）
A、 B、 C、 D、
4.（2017?滨州）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（??? ）
A、22x=16（27﹣x） B、16x=22（27﹣x） C、2×16x=22（27﹣x） D、2×22x=16（27﹣x）
5.（2017?恩施州）某服装进货价80元/件，标价为200元/件，商店将此服装打x折销售后仍获利50%，则x为（?? ）
A、5 B、6 C、7 D、8
6.（2017?长沙）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（?? ）
A、24里 B、12里 C、6里 D、3里
7．（2018·通辽）一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是（ ）
A．亏损20元 B．盈利30元 C．亏损50元 D．不盈不亏
8．（2018?邵阳）程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：
一百馒头一百僧，大僧三个更无争，
小僧三人分一个，大小和尚得几丁．
意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是（ ）
A．大和尚25人，小和尚75人 B．大和尚75人，小和尚25人
C．大和尚50人，小和尚50人 D．大、小和尚各100人
9．（2018?武汉）将正整数1至2018按一定规律排列如下表：
平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ）
A．2019 B．2018 C．2016 D．2013
二、填空题
10.（2016?常州）若代数式x﹣5与2x﹣1的值相等，则x的值是________．
11.（2017·金华）若 ________
12.（2017?乌鲁木齐）一件衣服售价为200元，六折销售，仍可获利20%，则这件衣服的进价是________元．
13.（2017?荆门）已知：派派的妈妈和派派今年共36岁，再过5年，派派的妈妈的年龄是派派年龄的4倍还大1岁，当派派的妈妈40岁时，则派派的年龄为________岁．
14.（2017?遵义）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，请问：所分的银子共有________两．（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）
15．（2018?曲靖）一个书包的标价为115元，按8折出售仍可获利15%，该书包的进价为_____元．
16．（2018?呼和浩特）文具店销售某种笔袋，每个18元，小华去购买这种笔袋，结账时店员说：“如果你再多买一个就可以打九折，价钱比现在便宜36元”，小华说：“那就多买一个吧，谢谢，”根据两人的对话可知，小华结账时实际付款_____元．
17．（2018?菏泽）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是__________．
三、解答题
18.（2017?湖州）对于任意实数 ， ，定义关于“ ”的一种运算如下： ．例如： ， ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的取值范围．
19．（2018?张家界）列方程解应用题
《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊價各幾何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元.求人数和羊价各是多少？
20．（2018?长春）学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元，店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润．
（1）求每套课桌椅的成本；
（2）求商店获得的利润．
一、选择题
1．（2017福建莆田月考）下列方程中，一元一次方程是（ ）
A. 2=1 B. 3–5 C. 3+7=10 D.
2．（2017江苏宿迁月考）关于x的方程3x+5=0与3x+3k=1的解相同，则k=（ ）
A．﹣2 B． C．2 D．﹣
3．（2017江苏宿迁月考）某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个赢利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店（ ）
A．赚了10元 B．赔了10元 C．赚了50元 D．不赔不赚
4．（2018·邵阳冲刺卷）下列各方程中，是一元一次方程的是（ ）
A．x﹣2y=4 B．xy=4 C．3y﹣1=4 D．
5．（2018·邵阳模拟）大箱子装洗衣粉36千克，把大箱子里的洗衣粉分装在4个大小相同的小箱子里，装满后还剩余2千克洗衣粉，则每个小箱子装洗衣粉（?? ）
A．6.5千克 B．7.5千克 C．8.5千克?? D．9.5千克
6．（2018·湖南模拟）下列各题正确的是（ ）
A．由7x=4x﹣3移项得7x﹣4x=36
B．由去分母得2（2x﹣1）=1+3（x﹣3）
C．由2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）=1去括号得4x﹣2﹣3x﹣9=1
D．由2（x+1）=x+7去括号、移项、合并同类项得x=5
7．（2018·杭州一模）小马虎同学在解关于的方程时，误将看成，得方程的解，则原方程正确的解为（ ）
A． B．2 C． D．
8．（2018·拱墅二模）某班分两组志愿者去社区服务，第一组20人，第二组26人．现第一组发现人手不够，需第二组支援．问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍？设抽调x人，则可列方程（ ）
A．20=2（26﹣x） B．20+x=2×26 C．2（20+x）=26﹣x D．20+x=2（26﹣x）
二、填空题
9．（2017福建福州模拟）某同学在计算11+x的值时，误将“+”看成了“﹣”，计算结果为20，那么11+x的值应为________．
10．（2017江西南昌模拟）若关于x的方程2x+m-3(m-1)=1+x的解为负数，则m的范围是_________
11．（2017四川长宁联考）全班同学去春游，准备租船游玩，如果比计划减少一条船，则每条船正好坐9个同学，如果比计划增加一条船，每条船正好坐6个同学，则这个班有_____个同学，计划租用_____条船。
12．（2017广东模拟）如图，△ABC和△DEF有一部分重叠在一起（图中阴影部分），重叠部分的面积是△ABC面积的，是△DEF面积的，且△ABC与△DEF面积之和为26，则重叠部分面积是____．
13．（2018·哈尔滨二模）已知是关于x的方程的根，则a的值是______．
14．（2018·北京二模）某校为学生购买名著《三国演义》100套、《西游记》80套，共用了12000元，《三国演义》每套比《西游记》每套多16元，求《三国演义》和《西游记》每套各多少元？设西游记每套x元，可列方程为_____________________.
15．（2018·大庆月考）一件衣服先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利28元，那么这件衣服的成本是_____元．
16．（2018·枣阳模拟）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为________元.
三、解答题
17．（2017广西南宁月考）解方程： .
18．（2017福建莆田月考）情景：
试根据图中信息，解答下列问题：
（1）购买8根跳绳需___________元，购买14根跳绳需___________元；
（2）小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元，你认为有这种可能吗？若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有，请说明理由．
19．（2018·下塘三模）某市出租车的收费标准是：行程不超过3千米起步价为10元，超过3千米后每千米增收1.8元．某乘客出租车x千米．
（1）试用关于x的式子分情况表示该乘客的付费．
（2）如果该乘客坐了8千米，应付费多少元？
（3）如果该乘客付费26.2元，他坐了多少千米？
20．（2018·柳州模拟）学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。
2.1 一元一次方程
一、方程及一元一次方程的相关概念
1、方程：含有未知数的等式叫做方程．
2、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值叫方程的解，含有一个未知数的方程的解也叫做方程的根．
3、解方程：求方程的解的过程叫做解方程．
4、一元一次方程：只含有一个未知数、未知数的最高次数为1，并且两边都为整式的方程，叫做一元一次方程，
（1）一元一次方程的标准形式：ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）
（2）一元一次方程的最简形式：ax=b（其中x是未知数，a、b是已知数，a≠0）
二、等式的性质
性质1：等式两边加（或减）同一个数(或式子)，结果仍相等.
若a=b，那么a±c=b±c
性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
若a=b，那么有a·c=b·c或a÷c=b÷c （c≠0）
三、解一元一次方程的一般步骤
1、去分母；
2、去括号；
3、移项；
4、合并同类项；
5、系数化为1．
四、一元一次方程与实际问题
1、审题：分析题意，弄清哪些是已知的，哪些是未知的，它们之间的数量关系；
2、设未知数：未知数有直接与间接两种，恰当的设未知数有利于列方程和解方程，以直接设未知数居多；
3、根据已知条件找出相等的关系
4、列出方程；
5、解方程；
6、检验并写出答语．
考点一： 辨别一元一次方程
方程，，，中一元一次方程有（ ）个.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】一元一次方程是指：只含有一个未知数，且未知数最高次数为一次的整式方程.根据定义可得：第三个为一元一次方程.
【点评】利用一元一次方程的定义进行判断.
变式跟进1方程是关于x的一元一次方程，则=___
【答案】-2
【解析】由一元一次方程的特点得：|a|?1=1，a?2≠0，
解得：a=?2.
故答案为：?2.
【点评】本题考查一无一次方程定义的应用，要注意一元一次方程成立的条件：一个未知数，未知数最高次数为1次，整式方程.
考点二： 等式的性质应用
已知等式3a=2b+5，则下列等式中不一定成立的是（ ）
A．3a﹣5=2b B．3a+1=2b+6 C．3ac=2bc+5 D．a=
【答案】C
【解析】在等式的两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；在等式的左右两边同时乘以或同时除以一个不为零的数，等式仍然成立.由此可知A、B、D成立，不一定成立的是C.
【点评】利用等式的基本性质进行判断即可.
变式跟进2下列运用等式的性质，变形正确的是（ ）
A．若x=y，则x﹣5=y+5 B．若a=b，则ac=bc
C．若，则2a=3b D．若x=y，则
【答案】B
【解析】解：A、根据等式性质1，x=y两边同时加5得x+5=y+5；
B、根据等式性质2，等式两边都乘以c，即可得到ac=bc；
C、根据等式性质2，等式两边同时乘以2c应得2a=2b；
D、根据等式性质2，a≠0时，等式两边同时除以a，才可以得=．
故选B．
【点评】本题主要考查等式的性质．运用等式性质1必须注意等式两边所加上的（或减去的）必须是同一个数或整式；运用等式性质2必须注意等式两边所乘的（或除的）数或式子不为0，才能保证所得的结果仍是等式．
考点三：一元一次方程的解
已知x=1是方程x+2a=﹣1的解，那么a的值是（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
【解析】根据方程解的定义，将方程的解代入方程可得关于字母系数a的一元一次方程，从而可求出a的值．
解：把x=1代入方程，得：1+2a=﹣1，
解得：a=﹣1．
故选A．
【解析】已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解．可把它叫做“有解就代入”．
变式跟进3若关于x的方程2x+m-3(m-1)=1+x的解为负数，则m的范围是_________
【答案】m<1
【解析】解：去括号得2x+m-3m+3=1+x，
移项合并同类项得x=2m-2，
由解为负数可得2m-2＜0
解得m＜1.
故答案为：m＜1.
【点评】先用含字母m的式子表示出关于x的方程的解，再列不等式即可求出字母m的取值范围..
考点四：一元一次方程的应用
某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6·1儿童节”举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元．若设铅笔卖出x支，则依题意可列得的一元一次方程为( )
A．1.2×0.8x＋2×0.9(60＋x)=87 B．1.2×0.8x＋2×0.9(60－x)=87
C．2×0.9x＋1.2×0.8(60＋x)=87 D．2×0.9x＋1.2×0.8(60－x)=87
【答案】B
【解析】解：铅笔x只，则圆珠笔(60－x)只，铅笔的单价为1.2×0.8，圆珠笔的单价为2×0.9，然后根据总价87元列出方程.
【点评】根据题中的相等关系建立一元一次方程.
变式跟进4某件商品的标价是330元，按标价的八折销售可获利10%，则这种商品的进价为_________________________元。
【答案】240
【解析】设这种商品每件的进价为x元， 根据题意得：330×80%-x=10%x， 解得：x=240， 则这种商品每件的进价为240元． 故答案是：240
【点评】本题主要考查一元一次方程的实际应用，解题的关键在于要掌握好标价、售价、折扣、进价、利润之间的关系.
一、单选题
1.（2017?杭州）设x，y，c是实数，（?? ）
A、若x=y，则x+c=y﹣c B、若x=y，则xc=yc C、若x=y，则 D、若 ，则2x=3y
【答案】B 【解析】解：A、两边加不同的数，故A不符合题意； B、两边都乘以c，故B符合题意； C、c=0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意； D、两边乘以不同的数，故D不符合题意； 故选：B． 【点评】根据等式的性质，可得答案．
2.（2017·丽水）若关于x的一元一次方程x-m+2=0的解是负数，则m的取值范围是（?? ）
A、m≥2 B、m>2 C、m<2 D、m≤2
【答案】C 【解析】解：解x-m+2=0得x=m-2， ∵x<0， ∴m-2<0， 则m<2. 故选C. 【点评】解出一元一次方程的解，由解是负数，解不等式即可.
3.（2017?深圳）一球鞋厂，现打折促销卖出330双球鞋，比上个月多卖10%，设上个月卖出 双，列出方程（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D 【解析】解：依题可得：x（1+10%）=330.故答案为D. 【点评】根据题意即可列出方程.
4.（2017?滨州）某车间有27名工人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的产品，每人每天生产螺母16个或螺栓22个，若分配x名工人生产螺栓，其他工人生产螺母，恰好使每天生产的螺栓和螺母配套，则下面所列方程中正确的是（??? ）
A、22x=16（27﹣x） B、16x=22（27﹣x） C、2×16x=22（27﹣x） D、2×22x=16（27﹣x）
【答案】D 【解析】解：设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母， ∵一个螺栓套两个螺母，每人每天生产螺母16个或螺栓22个， ∴可得2×22x=16（27﹣x）． 故选D． 【点评】设分配x名工人生产螺栓，则（27﹣x）名生产螺母，根据每天生产的螺栓和螺母按1：2配套，可得出方程．
5.（2017?恩施州）某服装进货价80元/件，标价为200元/件，商店将此服装打x折销售后仍获利50%，则x为（?? ）
A、5 B、6 C、7 D、8
【答案】B 【解析】解：根据题意得：200× ﹣80=80×50%， 解得：x=6． 故选B． 【点评】根据利润=售价﹣进价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
6.（2017?长沙）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是，有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到达目的地，则此人第六天走的路程为（?? ）
A、24里 B、12里 C、6里 D、3里
【答案】C 【解析】解：设第一天走了x里， 依题意得：x+ x+ x+ x+ x+ x=378， 解得x=192． 则（ ）5x=（ ）5×192=6（里）． 故选：C． 【点评】设第一天走了x里，则第二天走了 x里，第三天走了 × x…第六天走了（ ）5x里，根据路程为378里列出方程并解答．
7．（2018·通辽）一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是（ ）
A．亏损20元 B．盈利30元 C．亏损50元 D．不盈不亏
【答案】A
【解析】设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元，根据销售收入﹣进价=利润，即可分别得出关于x、y的一元一次方程，解之即可得出x、y的值，再由两件商品的销售收入﹣成本=利润，即可得出商店卖这两件商品总的亏损20元．
解：设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元，
根据题意得：150﹣x=25%x，150﹣y=﹣25%y，
解得：x=120，y=200，
∴150+150﹣120﹣200=﹣20（元），
故选A．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.
8．（2018?邵阳）程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：
一百馒头一百僧，大僧三个更无争，
小僧三人分一个，大小和尚得几丁．
意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是（ ）
A．大和尚25人，小和尚75人 B．大和尚75人，小和尚25人
C．大和尚50人，小和尚50人 D．大、小和尚各100人
【答案】A
【解析】根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数=100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100，依此列出方程即可．
解：设大和尚有x人，则小和尚有（100﹣x）人，
根据题意得：3x+=100，
解得x=25，
则100﹣x=100﹣25=75（人），
所以，大和尚25人，小和尚75人，
故选A．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.
9．（2018?武汉）将正整数1至2018按一定规律排列如下表：
平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ）
A．2019 B．2018 C．2016 D．2013
【答案】D
【解析】设中间数为x，则另外两个数分别为x﹣1、x+1，进而可得出三个数之和为3x，令其分别等于四个选项中数，解之即可得出x的值，由x为整数、x不能为第一列及第八列数，即可确定x值，此题得解．
解：设中间数为x，则另外两个数分别为x﹣1、x+1，
∴三个数之和为（x﹣1）+x+（x+1）=3x，
根据题意得：3x=2019或3x=2018或3x=2016或3x=2013，
解得：x=673或x=672（舍去）或x=672或x=671，
∵673=84×8+1，
∴2019不合题意，舍去；
∵672=84×8，
∴2016不合题意，舍去；
∵671=83×7+7，
∴三个数之和为2013，
故选D．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
二、填空题
10.（2016?常州）若代数式x﹣5与2x﹣1的值相等，则x的值是________．
【答案】-4 【解析】解：根据题意得：x﹣5=2x﹣1， 解得：x=﹣4， 故答案为：﹣4 【点评】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
11.（2017·金华）若 ________
【答案】 【解析】解：根据等式的性质，两边都加上1， +1=+1, 则=, 故答案为：. 【点评】根据等式的性质1，等式两边都加上1，等式仍然成立可得出答案。
12.（2017?乌鲁木齐）一件衣服售价为200元，六折销售，仍可获利20%，则这件衣服的进价是________元．
【答案】100 【解析】解：设进价是x元，则（1+20%）x=200×0.6， 解得：x=100． 则这件衬衣的进价是100元． 故答案为100． 【点评】此题的等量关系：实际售价=标价的六折=进价×（1+获利率），设未知数，列方程求解即可．
13.（2017?荆门）已知：派派的妈妈和派派今年共36岁，再过5年，派派的妈妈的年龄是派派年龄的4倍还大1岁，当派派的妈妈40岁时，则派派的年龄为________岁．
【答案】12 【解析】解：设今年派派的年龄为x岁，则妈妈的年龄为（36﹣x）岁， 根据题意得：36﹣x+5=4（x+5）+1， 解得：x=4， ∴36﹣x﹣x=28， ∴40﹣28=12（岁）． 故答案为：12． 【点评】设今年派派的年龄为x岁，则妈妈的年龄为（36﹣x）岁，根据再过5年派派的妈妈的年龄是派派年龄的4倍还大1岁，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，将其代入36﹣x﹣x中可求出二者的年龄差，再用40减去该年龄差即可求出当派派的妈妈40岁时派派的年龄．
14.（2017?遵义）明代数学家程大位的《算法统宗》中有这样一个问题（如图），其大意为：有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，请问：所分的银子共有________两．（注：明代时1斤=16两，故有“半斤八两”这个成语）
【答案】46 【解析】解：设有x人，依题意有 7x+4=9x﹣8， 解得x=6， 7x+4=42+4=46． 答：所分的银子共有46两． 故答案为：46． 【点评】可设有x人，根据有一群人分银子，如果每人分七两，则剩余四两；如果每人分九两，则还差八两，根据所分的银子的总两数相等可列出方程，求解即可．
15．（2018?曲靖）一个书包的标价为115元，按8折出售仍可获利15%，该书包的进价为_____元．
【答案】80
【解析】设该书包的进价为x元，根据销售收入-成本=利润，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：设该书包的进价为x元，
根据题意得：115×0.8-x=15%x，
解得：x=80．
答：该书包的进价为80元．
故答案为：80．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
16．（2018?呼和浩特）文具店销售某种笔袋，每个18元，小华去购买这种笔袋，结账时店员说：“如果你再多买一个就可以打九折，价钱比现在便宜36元”，小华说：“那就多买一个吧，谢谢，”根据两人的对话可知，小华结账时实际付款_____元．
【答案】486
【解析】设小华购买了x个笔袋，根据原单价×购买数量（x﹣1）﹣打九折后的单价×购买数量（x）=节省的钱数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出小华购买的数量，再根据总价=单价×0.9×购买数量，即可求出结论．
解：设小华购买了x个笔袋，
根据题意得：18（x﹣1）﹣18×0.9x=36，
解得：x=30，
∴18×0.9x=18×0.9×30=486，
即小华结账时实际付款486元，
故答案为：486．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
17．（2018?菏泽）一组“数值转换机”按下面的程序计算，如果输入的数是36，则输出的结果为106，要使输出的结果为127，则输入的最小正整数是__________．
【答案】15
【解析】设输出结果为y，观察图形我们可以得出x和y的关系式为：，将y的值代入即可求得x的值．
解：∵
当y=127时， 解得：x=43；
当y=43时，解得：x=15；
当x=15时, 解得 不符合条件。
则输入的最小正整数是15.
故答案为：15.
【点评】考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键.
三、解答题
18.（2017?湖州）对于任意实数 ， ，定义关于“ ”的一种运算如下： ．例如： ， ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】（1）2017；（2）x＜4
【解析】（1）解：依题可得：3x=2×3-x=-2011. ????? ∴x=2017. （2）解：依题可得：x3=2x-3＜5. ????? ∴x＜4. 即x的取值范围为x＜4. 【点评】（1）根据题意列方程2×3-x=-2011求解即可.（2）根据题意列不等式2x-3＜5求解即可.
19．（2018?张家界）列方程解应用题
《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊價各幾何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元.求人数和羊价各是多少？
【答案】21人,羊为150元
【解析】可设买羊人数为未知数，等量关系为：5×买羊人数+45=7×买羊人数+3，把相关数值代入可求得买羊人数，代入方程的等号左边可得羊价．
解：设买羊为x人，则羊价为（5x+45）元钱，
5x+45=7x+3，
x=21（人），
5×21+45=150（员），
答：买羊人数为21人，羊价为150元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
20．（2018?长春）学校准备添置一批课桌椅，原计划订购60套，每套100元，店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方实际订购了72套，每套减价3元，但商店获得了同样多的利润．
（1）求每套课桌椅的成本；
（2）求商店获得的利润．
【答案】（1）每套课桌椅的成本为82元．（2）商店获得的利润为1080元．
【解析】（1）设每套课桌椅的成本为x元，根据利润=销售收入﹣成本结合商店获得的利润不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）根据总利润=单套利润×销售数量，即可求出结论．
解：（1）设每套课桌椅的成本为x元，
根据题意得：60×100﹣60x=72×（100﹣3）﹣72x，
解得：x=82，
答：每套课桌椅的成本为82元；
（2）60×（100﹣82）=1080（元），
答：商店获得的利润为1080元．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
一、选择题
1．（2017福建莆田月考）下列方程中，一元一次方程是（ ）
A. 2=1 B. 3–5 C. 3+7=10 D.
【答案】A
【解析】一元一次方程是指只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1次的整式方程.由此可知，选项A满足题意，故选A.
【点评】根据一元一次方程的定义进行判断.
2．（2017江苏宿迁月考）关于x的方程3x+5=0与3x+3k=1的解相同，则k=（ ）
A．﹣2 B． C．2 D．﹣
【答案】C
【解析】第一个方程为3x+5=0，第二个方程为：3x+3k－1=0，根据方程的解相同可得：3k－1=5，解得：k=2.
【点评】把第一个方程的解代入第二个方程即可.
3．（2017江苏宿迁月考）某商店有两个进价不同的计算器都卖了80元，其中一个赢利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中，这家商店（ ）
A．赚了10元 B．赔了10元 C．赚了50元 D．不赔不赚
【答案】A
【解析】第一个的进价为：80÷(1+60%)=50元，第二个的进价为：80÷(1－20%)=100元，则80×2－(50+100)=10元，即盈利10元.
【点评】考查一元一次方程的应用
4．（2018·邵阳冲刺卷）下列各方程中，是一元一次方程的是（ ）
A．x﹣2y=4 B．xy=4 C．3y﹣1=4 D．
【答案】C
【解析】利用一元一次方程的定义判断即可．
解：各方程中，是一元一次方程的是3y-1=4，
故选C．
【点评】此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．
5．（2018·邵阳模拟）大箱子装洗衣粉36千克，把大箱子里的洗衣粉分装在4个大小相同的小箱子里，装满后还剩余2千克洗衣粉，则每个小箱子装洗衣粉（?? ）
A．6.5千克 B．7.5千克 C．8.5千克?? D．9.5千克
【答案】C
【解析】设每个小箱子装洗衣粉x千克，根据题意列方程即可．
解：设每个小箱子装洗衣粉x千克，由题意得：
4x+2=36，
解得：x=8.5，
即每个小箱子装洗衣粉8.5千克，
故选C．
【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题，弄清题意，找出等量关系是解答本题的关键.
6．（2018·湖南模拟）下列各题正确的是（ ）
A．由7x=4x﹣3移项得7x﹣4x=36
B．由去分母得2（2x﹣1）=1+3（x﹣3）
C．由2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）=1去括号得4x﹣2﹣3x﹣9=1
D．由2（x+1）=x+7去括号、移项、合并同类项得x=5
【答案】D
【解析】分析：根据解一元一次方程的步骤计算，并判断．
详解：A．由7x=4x﹣3移项得7x﹣4x=﹣3，故错误；
B．由=1+去分母得2（2x﹣1）=6+3（x﹣3），故错误；
C．由2（2x﹣1）﹣3（x﹣3）=1去括号得4x﹣2﹣3x+9=1，故错误；
D．正确．
故选D．
【点评】本题主要考查一元一次方程的解法，注意移项要变号，但没移的不变；去分母时，常数项也要乘以分母的最小公倍数；去括号时，括号前是“﹣”号的，括号里各项都要变号．
7．（2018·杭州一模）小马虎同学在解关于的方程时，误将看成，得方程的解，则原方程正确的解为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】把x=-2代入方程3a+x=13中求出a的值,确定出方程,求出解即可.
解：根据题意得:x=-2为方程3a+x=13的解, 把x=-2代入得:3a-2=13, 解得:a=5,即方程为15-x=13, 解得:x=2, 故选B．
【点评】本题考查了一元一次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值.
8．（2018·拱墅二模）某班分两组志愿者去社区服务，第一组20人，第二组26人．现第一组发现人手不够，需第二组支援．问从第二组调多少人去第一组才能使第一组的人数是第二组的2倍？设抽调x人，则可列方程（ ）
A．20=2（26﹣x） B．20+x=2×26 C．2（20+x）=26﹣x D．20+x=2（26﹣x）
【答案】D
【解析】设抽调x人，则调后一组有（20+x）人，第二组有（26-x）人，根据关键语句：使第一组的人数是第二组的2倍列出方程即可．
解：设抽调x人，由题意得：
20+x=2（26-x），
故选：D．
【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，确定相等关系，并据此列出方程．
二、填空题
9．（2017福建福州模拟）某同学在计算11+x的值时，误将“+”看成了“﹣”，计算结果为20，那么11+x的值应为________．
【答案】2
【解析】根据题意得：11?x=20，
解得x=?9，
则11+x=11+(?9)=2
故答案为：2
【点评】利用题中所阐述的相等关系列出方程即可.
10．（2017江西南昌模拟）若关于x的方程2x+m-3(m-1)=1+x的解为负数，则m的范围是_________
【答案】m<1
【解析】去括号得2x+m-3m+3=1+x，移项合并同类项得x=2m-2，由解为负数可得2m-2＜0解得m＜1.
故答案为：m＜1.
【点评】考查一元一次方程的解法与不等式的解集.
11．（2017四川长宁联考）全班同学去春游，准备租船游玩，如果比计划减少一条船，则每条船正好坐9个同学，如果比计划增加一条船，每条船正好坐6个同学，则这个班有_____个同学，计划租用_____条船。
【答案】 36个同学 5条船
【解析】解：设这个班共有x名同学，由题意，得
， 解得：x=36， 则（条）． 【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解答时根据需要的船的数量关系建立方程是关键．
12．（2017广东模拟）如图，△ABC和△DEF有一部分重叠在一起（图中阴影部分），重叠部分的面积是△ABC面积的，是△DEF面积的，且△ABC与△DEF面积之和为26，则重叠部分面积是____．
【答案】4
【解析】解：设△ABC面积为S，则△DEF面积为26﹣S，
∵叠部分的面积是△ABC面积的，是△DEF面积的，
∴S=（26﹣S），
解得：S=14，
∴重叠部分面积=×14=4.
【点评】利用题中的关于阴影面积找出相等关系列方程即可.
13．（2018·哈尔滨二模）已知是关于x的方程的根，则a的值是______．
【答案】-2
【解析】根据方程根的定义把代入方程,组成一个新的方程,再解出a来即可.
解:把代入,得
-a-2=0
解得:a=-2.
故答案为a=-2.
【点评】本题考查了方程根的定义,正确理解方程根的定义是解题的关键.
14．（2018·北京二模）某校为学生购买名著《三国演义》100套、《西游记》80套，共用了12000元，《三国演义》每套比《西游记》每套多16元，求《三国演义》和《西游记》每套各多少元？设西游记每套x元，可列方程为_____________________.
【答案】
【解析】由题意可得购买西《西游记》共花费了80x元，购买《三国演义》共花费100（x+16）元，然后根据：购买《西游记》花费的钱+购买《三国演义》花费的钱=12000即可列出对应的方程了.
解：设《西游记》每套x元，根据题意可得：
100（x+16）+80x=12000.
故答案为：100（x+16）+80x=12000.
【点评】由题意分别列出购买《西游记》和《三国演义》所花费的钱，并找到等量关系：购买《西游记》花费的钱+购买《三国演义》花费的钱=12000，是正确解答本题的关键.
15．（2018·大庆月考）一件衣服先按成本提高50%标价，再以8折（标价的80%）出售，结果获利28元，那么这件衣服的成本是_____元．
【答案】140
【解析】解：设这件衣服的成本是x元，根据题意得：
x（1+50%）×80%﹣x=28，
解得：x=140．
答：这件衣服的成本是140元；
故答案为：140．
16．（2018·枣阳模拟）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品标价为200元，按标价的五折销售，仍可获利20元，则这件商品的进价为________元.
【答案】80
【解析】设该商品的进价为x元，根据售价﹣进价=利润，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：设该商品的进价为x元，根据题意得：
200×0.5﹣x=20，
解得：x=80．
故答案为：80．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，根据售价﹣进价=利润，列出关于x的一元一次方程是解题的关键．
三、解答题
17．（2017广西南宁月考）解方程： .
【答案】x=1
【解析】解：去分母，得： 12-2（2x+1）=3(1+x)
去括号，得：12-4x-2=3+3x
移项得，12-2-3=4x+3x
合并同类项，得7x=7
系数化为1，得：x=1.
【点评】先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可得解.
18．（2017福建莆田月考）情景：
试根据图中信息，解答下列问题：
（1）购买8根跳绳需___________元，购买14根跳绳需___________元；
（2）小红比小明多买2根，付款时小红反而比小明少5元，你认为有这种可能吗？若有，请求出小红购买跳绳的根数；若没有，请说明理由．
【答案】(1)、200；280；(2)、有,11根
【解析】解：(1)、25×825×14×0．8=280元．
(2)、设小红购买跳绳x根，则25×0．8x=25（x﹣2）﹣5，
解得x=11，故有这种可能，小红购买跳绳11根．
【点评】(1)用每根的钱数根的钱数乘以14，再乘以0．8；(2)设小红跳绳的根数为未知数，小红付款打折了，小明没打折，列一元一次方程求解，解值应是正整数，否则不可能．
19．（2018·下塘三模）某市出租车的收费标准是：行程不超过3千米起步价为10元，超过3千米后每千米增收1.8元．某乘客出租车x千米．
（1）试用关于x的式子分情况表示该乘客的付费．
（2）如果该乘客坐了8千米，应付费多少元？
（3）如果该乘客付费26.2元，他坐了多少千米？
【答案】（1）当行程不超过3千米即x≤3时时，收费10元；当行程超过3千米即x＞3时，收费为（8x+4.6）元．（2）乘客坐了8千米，应付费19元；（3）他乘坐了12千米．
【解析】（1）需要分类讨论：行程不超过3千米和行程超过3千米，根据两种收费标准进行计算；
（2）把x=8代入（1）中相应的代数式进行求值即可；
（3）设他坐了x千米，根据该乘客付费26.2元列出方程求解即可．
解：（1）当行程不超过3千米即x≤3时时，收费10元；
当行程超过3千米即x＞3时，收费为：10+（x﹣3）×1.8=1.8x+4.6（元）．
（2）当x=8时，1.8x+4.6=1.8×8+4.6=19（元）．
答：乘客坐了8千米，应付费19元；
（3）设他坐了x千米，
由题意得：10+（x﹣3）×1.8=26.2，
解得x=12．
答：他乘坐了12千米．
【点评】该题考查了一元一次方程的应用，列代数式及求代数式的值等问题；解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，进而列出式子．
20．（2018·柳州模拟）学校分配学生住宿，如果每室住8人，还少12个床位，如果每室住9人，则空出两个房间。求房间的个数和学生的人数。
【答案】房间数为30个，学生252人.
【解析】设房间数是x间，按照每室住8人，还少12个床位，那总人数就是；按照每室住9人，空出两个房间，那么总人数可以表示为：由总人数相等列出方程求出房间数，进而求出总人数．
解：设房间数是x，由题意得：
(x?2)×9=8x+12，
9x?18=8x+12，
9x?8x=12+18，
x=30；
8x+12=8×30+12=252(人)；
答：房间的个数是30个,学生的人数是252人.
【点评】考查一元一次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系.
