2.2 二元一次方程组
一、相关概念
1、二元一次方程：含有________个未知数，并且含未知数的项的次数都是________，像这样的方程叫做二元一次方程.一般形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0).
2、二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的________叫做二元一次方程组的解.
3、二元一次方程组：方程组中有________个未知数，含有未知数的项的次数都是________，并且一共________个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
6、三元一次方程:含有________个未知数，并且含有未知数的项的次数都是________的________方程.
4、三元一次方程组：方程组中有________个未知数，含有未知数的项的次数都是________，并且一共________个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
5、方程组的解：一般地，方程组中所有方程的________解叫做这个方程组的解.
二、二元一次方程组的解法
1、消元思想：将未知数的个数由多化________，逐一解决的想法，叫做消元思想.
2、代入法：将一个未知数用含有另一个未知数的________表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
3、加减法：当两个方程中同一未知数的系数相等或________时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
三、一次方程组与实际问题
1、________题：分析题意，弄清哪些是已知的，哪些是未知的，它们之间的数量关系；
2、________未知数：根据题中的数量关系设出未知数；
3、根据已知条件找出________的关系
4、________出方程组；
5、________方程组；
6、________并写出________语．
考点一：二元一次方程的定义
方程2x﹣=0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y﹣2x=0，x2﹣x+1=0中，二元一次方程的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
变式跟进1若关于x、y的方程是二元一次方程，则m+n ________ .
考点二：二元一次方程组的解
二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
变式跟进2如图，在一个三角形三个顶点和中心处的每个“○”中各填有一个式子，如果图中任意三个“○”中的式子之和均相等，那么a的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
考点三：解含字母系数的二元一次方程组
如果关于x，y二元一次方程组的解满足，那么a的取值范围是________．
变式跟进3若方程组的解中x与y相等，则m的值为（ ）.
A.0 B.10 C.20 D.3
考点四：解三元一次方程组
解方程组：
变式跟进4已知a+b=16，b+c=12，c+a=10，则a+b+c等于（ ）
A. 19 B. 38 C. 14 D. 22
考点五：一次方程组的应用
北京延庆总工会在推出“世界葡萄博览园畅游优惠活动”.活动期间，工会会员成人票优惠价每张48元，学生门票每张20元，某天共售出门票3000张，共收入68400元，这天售出成人票和学生票各多少张？
变式跟进5如图，7个大小、形状完全相同的小长方形组成1个周长为68的大长方形，则大长方形的面积为_____________.
一、选择题
1、（2016?黔东南州）小明在某商店购买商品A、B共两次，这两次购买商品A、B的数量和费用如表：
购买商品A的数量（个）
购买商品B的数量（个）
购买总费用（元）
第一次购物
4
3
93
第二次购物
6
6
162
若小丽需要购买3个商品A和2个商品B，则她要花费（? ）
A、64元 B、65元 C、66元 D、67元
2、（2016?齐齐哈尔）足球比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某足球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数可能是（ ）
A、1或2 B、2或3 C、3或4 D、4或5
3、（2016?龙东）为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把5m长的彩绳截成2m或1m的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
4、（2017·嘉兴）若二元一次方程组 的解为 则 （?? ）
A、 B、 C、 D、
5、（2017?随州）小明到商店购买“五四青年节”活动奖品，购买20只铅笔和10本笔记本共需110元，但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元，设每支铅笔x元，每本笔记本y元，则可列方程组（?? ）
A、 B、
C、 D、
6、（2017?内江）端午节前夕，某超市用1680元购进A、B两种商品共60件，其中A型商品每件24元，B型商品每件36元．设购买A型商品x件、B型商品y件，依题意列方程组正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
7．（2018·东营）小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（ ）
A．19 B．18 C．16 D．15
8．（2018·常德）阅读理解：，，，是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，例如：.二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：；其中，，.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（ ）
A． B． C． D． 方程组的解为
9．（2018·温州）学校八年级师生共466人准备参加社会实践活动，现已预备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满．设49座客车x辆，37座客车y辆，根据题意可列出方程组（ ???）
A． B． C． D．
二、填空题
10、（2016?盐城）李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需________分钟．
11、（2017?包头）若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，则ab的值为________．
12、（2017?宜宾）若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+y＞0，则m的取值范围是________．
13、（2017?北京）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为________．
14、（2017?大连）某班学生去看演出，甲种票每张30元，乙种票每张20元，如果36名学生购票恰好用去860元，设甲种票买了x张，乙种票买了y张，依据题意，可列方程组为________．
15．（2018·大连）《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？设有x匹大马，y匹小马，根据题意可列方程组为______．
16．（2018·随州）已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则a+b=_____．
三、解答题
17、（2016?达州）已知x，y满足方程组 ，求代数式（x﹣y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）的值．
18、（2017?张家界）某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后了出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如下表：
批发价（元）
零售价（元）
黑色文化衫
10
25
白色文化衫
8
20
假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑白两种文化衫各多少件？
19、（2017?宁波）2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．
(1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？
(2)若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？
20．（2018·益阳）益马高速通车后，将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低。马迹塘一农户需要将A，B两种农产品定期运往益阳某加工厂，每次运输A，B产品的件数不变，原来每运一次的运费是1200元，现在每运一次的运费比原来减少了300元，A，B两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元∕件）如下表所示：
品种
A
B
原来的运费
45
25
现在的运费
30
20
（1）求每次运输的农产品中A，B产品各有多少件？
（2）由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的总件数增加8件，但总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍，问产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？
1．（2017广州海珠模拟）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2017湖南邵阳月考）以为解的二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
3．（2017山东枣庄期末）已知a，b满足方程组，则a+b的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
4．（2017山东高密期末）用代入法解方程组较简单的方法是（ ）
A．由①得y=x，然后代入②消去y B．由②得y=2x﹣5，然后代入①消去y
C．将①代入②消去x D．由②得x=（5+y），然后代入①消去x
5．（2018?安徽联考）方程组的解为，则被遮盖的两个数M、N分别为
A.4，2 B.1，3 C.2，3 D.2，4
6．（2018?邵阳冲刺）已知是方程2x﹣ay=3b的一个解，那么a﹣3b的值是（?? ）
A.2 B.0 C.﹣2 D.1
7．（2018?温州联考）已知方程组的解为，现给出另一个方程组，它的解为（ ）
A. B. C. D.
8．（2018?阿城模拟）小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路她去学校共用了16分钟假设小颖上坡路的平均速度是3千米时，下坡路的平均速度是5千米时若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为
A. B. C. D.
二、填空题
9．（2017甘肃武威期末）已知方程3x+2y=5，用含x的代数式表示y，则y=___.
10．（2017江苏启东期中）若方程6的两个解是， 则_________,________
11．（2017内蒙古赤峰期末）若是关于a，b的二元一次方程ax+ay－b=7的一个解，则代数式x2+2xy+y2－1的值是_________．
12．（2017浙江杭州月考）方程组的解满足方程x+y+a=0，那么 a的值是_____.
13．（2018?包头二模）若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为______．
14．（2018?昆明月考）我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：
“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组 ．
15．（2018?东阳模拟）如图，在长为10m，宽为8m的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．则其中一个小矩形花圃的周长是______m．
16．（2018?广州模拟）一、二两班共有95人，他们的体育达标率为60%，如果一班的体育达标率为40%，二班达标率为78%，求一、二两班的人数各是多少？若设一、二两班的学生人数各有x人、y人．
（1）填写表：
表格依次填_____，_____，_____，_____，_____．
（2）列出二元一次方程组：_____．
三、解答题
17．（2017浙江杭州模拟）若关于x，y的方程组与有相同的解，求：
(1)这个相同的解；
(2)m，n的值．
18．（2017安徽蚌埠月考）为了提倡低碳经济，某公司为了更好得节约能源，决定购买一批节省能源的10台新机器．现有甲、乙两种型号的设备，其中每台的价格如下表．经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元．
（1）求， 的值；
（2）经预算：该公司购买的节能设备的资金不超过110万元，请列式解答有几种购买方案可供选择；
19．（2018?邵阳二模）解方程组： ．
20．（2018?温州模拟）某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
若该工厂准备用不超过10000元的资金去购买A，B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，已知A型板材每张30元，B型板材每张90元，求最多可以制作竖式箱子多少只？
若该工厂仓库里现有A型板材65张、B型板材110张，用这批板材制作两种类型的箱子，问制作竖式和横式两种箱子各多少只，恰好将库存的板材用完？
若该工厂新购得65张规格为的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材不计损耗，用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于20只，且材料恰好用完，则能制作两种箱子共______只
2.2 二元一次方程组
一、相关概念
1、二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.一般形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0).
2、二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程组的解.
3、二元一次方程组：方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一共两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组.
6、三元一次方程:含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程.
4、三元一次方程组：方程组中有 三 个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一共三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
5、方程组的解：一般地，方程组中所有方程的公共解叫做这个方程组的解.
二、二元一次方程组的解法
1、消元思想：将未知数的个数由多化少，逐一解决的想法，叫做消元思想.
2、代入法：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
3、加减法：当两个方程中同一未知数的系数相等或相反时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
三、一次方程组与实际问题
1、审题：分析题意，弄清哪些是已知的，哪些是未知的，它们之间的数量关系；
2、设未知数：根据题中的数量关系设出未知数；
3、根据已知条件找出相等的关系
4、列出方程组；
5、解方程组；
6、检验并写出答语．
考点一：二元一次方程的定义
方程2x﹣=0，3x+y=0，2x+xy=1，3x+y﹣2x=0，x2﹣x+1=0中，二元一次方程的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】D
【解析】 解：2x﹣=0是分式方程，不是二元一次方程；
3x+y=0是二元次方程；
2x+xy=1不是二元一次方程；
3x+y﹣2x=0是二元一次方程；
x2﹣x+1=0不是二元一次方程．
故选：D．
【点评】含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
变式跟进1若关于x、y的方程是二元一次方程，则m+n ________ .
【答案】2
【解析】解：根据题意可列方程组，
解得，
所以，
故答案为：2.
【点评】根据二元一次方程的定义即可列出关于m与n的方程组即可得出答案.
考点二：二元一次方程组的解
二元一次方程组的解为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：①+②，得 3x=9，解得x=3，把x=3代入①，
得3+y=5，y=2，
所以原方程组的解为
【点评】根据加减消元法，可得方程组的解．
变式跟进2如图，在一个三角形三个顶点和中心处的每个“○”中各填有一个式子，如果图中任意三个“○”中的式子之和均相等，那么a的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 0
【答案】A
【解析】由题意得： ，
整理得： ，
解得：
【点评】根据题意中的“图中任意三个“○”中的式子之和均相等”列出二元一次方程组，解之即可.
考点三：解含字母系数的二元一次方程组
如果关于x，y二元一次方程组的解满足，那么a的取值范围是________．
【答案】
【解析】解：
由①+②得4x+4y=4+a，
x+y=1+，
∴由x+y<2，得
1+<2，
即<1，
解得，a<4.
故答案是：a<4.
【点评】先用加减法解二元一次方程组，再代入不等式即可求出a的取值范围..
变式跟进3若方程组的解中x与y相等，则m的值为（ ）.
A.0 B.10 C.20 D.3
【答案】B
【解析】根据题意可得：x=y，结合2x+3y=1可得：x=y=，将x和y的值代入第二个方程可得：（m-1）+（m+1）=4，解得：m=10.
【点评】根据题意，将y转化为x，即可求出x、y值，代入第二个方程即可得到m的值.
考点四：解三元一次方程组
解方程组：
【答案】
【解析】解：①-③得： ④
④-②得：
∴
将代入②得：
将， 代入③得：
∴该方程组的解为
【点评】用加减消元法解方程即可.
变式跟进4已知a+b=16，b+c=12，c+a=10，则a+b+c等于（ ）
A. 19 B. 38 C. 14 D. 22
【答案】A
【解析】解：，
①+②+③得2a+2b+2c=38，
所以a+b+c=19．
故选A．
【点评】本题考查了解三元一次方程组：利用加减消元或代入消元把解三元一次方程组的问题转化为解二元一次方程组．
考点五：一次方程组的应用
北京延庆总工会在推出“世界葡萄博览园畅游优惠活动”.活动期间，工会会员成人票优惠价每张48元，学生门票每张20元，某天共售出门票3000张，共收入68400元，这天售出成人票和学生票各多少张？
【答案】成人门票300张，学生门票2700张．
【解析】解：设成人门票x张，学生门票y张．
依题意可列方程组
解得
答：成人门票300张，学生门票2700张．
【点评】此题考查了二元一次方程的应用，注意：找出问题中的已知条件及它们之间的关系；找出题中两个关键的未知量，并用字母表示出来；挖掘题目中的关系，找出等量关系，列出二元一次方程；根据未知数的实际意义求其整数解.
变式跟进5如图，7个大小、形状完全相同的小长方形组成1个周长为68的大长方形，则大长方形的面积为_____________.
【答案】280
【解析】解：设小长方形的长为x，宽为y ，由题意得
，
解得 ，
所以大长方形的面积为：10×4×7=280.
【点评】本题是一个信息题目，根据图示可以找出小长方形的长与宽之间的数量关系，根据已知条件可以得到等量关系，然后利用这些等量关系即可列出方程组解决问题．
一、选择题
1、（2016?黔东南州）小明在某商店购买商品A、B共两次，这两次购买商品A、B的数量和费用如表：
购买商品A的数量（个）
购买商品B的数量（个）
购买总费用（元）
第一次购物
4
3
93
第二次购物
6
6
162
若小丽需要购买3个商品A和2个商品B，则她要花费（? ）
A、64元 B、65元 C、66元 D、67元
【答案】C 【解析】解：设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元， 根据题意，得 ， 解得： ． 答：商品A的标价为12元，商品B的标价为15元； 所以3×12+2×15=66元， 故选C 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程组．设商品A的标价为x元，商品B的标价为y元，由题意得等量关系：①4个A的花费+3个B的花费=93元；②6个A的花费+6个B的花费=162元，根据等量关系列出方程组，再解即可．
2、（2016?齐齐哈尔）足球比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某足球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数可能是（ ）
A、1或2 B、2或3 C、3或4 D、4或5
【答案】 C 【解析】解：设该队胜x场，平y场，则负（6﹣x﹣y）场， 根据题意，得：3x+y=12，即：x= ， ∵x、y均为非负整数，且x+y≤6， ∴当y=0时，x=4；当y=3时，x=3； 即该队获胜的场数可能是3场或4场， 故选：C． 【点评】设该队胜x场，平y场，则负（6﹣x﹣y）场，根据：胜场得分+平场得分+负场得分=最终得分，列出二元一次方程，根据x、y的范围可得x的可能取值．本题主要考查二元一次方程的实际应用，根据相等关系列出方程是解题的关键，要熟练根据未知数的范围确定方程的解．
3、（2016?龙东）为了丰富学生课外小组活动，培养学生动手操作能力，王老师让学生把5m长的彩绳截成2m或1m的彩绳，用来做手工编织，在不造成浪费的前提下，你有几种不同的截法（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
【答案】 C 【解析】解：截下来的符合条件的彩绳长度之和刚好等于总长5米时，不造成浪费， 设截成2米长的彩绳x根，1米长的y根， 由题意得，2x+y=5， 因为x，y都是正整数，所以符合条件的解为：
、 、 ， 则共有3种不同截法， 故选：C． 【点评】截下来的符合条件的彩绳长度之和刚好等于总长9米时，不造成浪费，设截成2米长的彩绳x根，1米长的y根，由题意得到关于x与y的方程，求出方程的正整数解即可得到结果．此题考查了二元一次方程的应用，弄清题意列出方程是解本题的关键．
4、（2017·嘉兴）若二元一次方程组 的解为 则 （?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D 【解析】解:将两个方程相加，可得(x+y)+(3x-5y)=3+4， 得4x-4y=7, 则x-y=. 即a-b= 故选D. 【点评】求a-b，则由两方程相加，方程的左边可变为4x-4y，即可解出x-y.
5、（2017?随州）小明到商店购买“五四青年节”活动奖品，购买20只铅笔和10本笔记本共需110元，但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元，设每支铅笔x元，每本笔记本y元，则可列方程组（?? ）
A、 B、
C、 D、
【答案】B 【解析】解：设每支铅笔x元，每本笔记本y元， 根据题意得 ． 故选B． 【点评】设每支铅笔x元，每本笔记本y元，根据购买20只铅笔和10本笔记本共需110元，但购买30支铅笔和5本笔记本只需85元可列出方程组．
6、（2017?内江）端午节前夕，某超市用1680元购进A、B两种商品共60件，其中A型商品每件24元，B型商品每件36元．设购买A型商品x件、B型商品y件，依题意列方程组正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
【答案】B．
【解析】解：设购买A型商品x件、B型商品y件，依题意列方程组：
．
故选B．
【点评】根据题意可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决．本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程组．
7．（2018·东营）小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同．由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图所示，则第三束气球的价格为（ ）
A．19 B．18 C．16 D．15
【答案】B
【解析】设一个笑脸气球的单价为x元/个，一个爱心气球的单价为y元/个，根据前两束气球的价格，即可得出关于x、y的方程组，用前两束气球的价格相加除以2，即可求出第三束气球的价格．
详解：设一个笑脸气球的单价为x元/个，一个爱心气球的单价为y元/个，
根据题意得：，
方程（①+②）÷2，得：2x+2y=18．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（2018·常德）阅读理解：，，，是实数，我们把符号称为阶行列式，并且规定：，例如：.二元一次方程组的解可以利用阶行列式表示为：；其中，，.问题：对于用上面的方法解二元一次方程组时，下面说法错误的是（ ）
A． B． C． D． 方程组的解为
【答案】C
【解析】根据阅读材料中提供的方法逐项进行计算即可得.
解：A、D==2×（-2）-3×1=﹣7，故A选项正确，不符合题意；
B、Dx==﹣2﹣1×12=﹣14，故B选项正确，不符合题意；
C、Dy==2×12﹣1×3=21，故C选项不正确，符合题意；
D、方程组的解：x==2，y==﹣3，故D选项正确，不符合题意，
故选C．
【点评】本题考查了阅读理解型问题，考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系，读懂题意，根据材料中提供的方法进行解答是关键.
9．（2018·温州）学校八年级师生共466人准备参加社会实践活动，现已预备了49座和37座两种客车共10辆，刚好坐满．设49座客车x辆，37座客车y辆，根据题意可列出方程组（ ???）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设49座客车 x 辆，37座客车 y 辆，根据49座和37座两种客车共10辆，及10辆车共坐466人，且刚好坐满，即可列出方程组.
解: 设49座客车 x 辆，37座客车 y 辆，
根据题意得 ：.
故答案为：A.
【点评】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组.
二、填空题
10、（2016?盐城）李师傅加工1个甲种零件和1个乙种零件的时间分别是固定的，现知道李师傅加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟，则李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需________分钟．
【答案】 40 【解析】解：设李师傅加工1个甲种零件需要x分钟，加工1个乙种零件需要y分钟， 依题意得： ， 由①+②，得 7x+14y=140， 所以x+2y=20， 则2x+4y=40， 所以李师傅加工2个甲种零件和4个乙种零件共需40分钟． 故答案是：40． 【点评】设李师傅加工1个甲种零件需要x分钟，加工1个乙种零件需要y分钟，根据题中“加工3个甲种零件和5个乙种零件共需55分钟；加工4个甲种零件和9个乙种零件共需85分钟”列出方程组并解答．
11、（2017?包头）若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ，则ab的值为________．
【答案】1 【解析】解：∵关于x、y的二元一次方程组 的解是 ， ∴ ， 解得a=﹣1，b=2， ∴ab=（﹣1）2=1． 故答案为1． 【点评】将方程组的解 代入方程组 ，就可得到关于a、b的二元一次方程组，解得a、b的值，即可求ab的值．
12、（2017?宜宾）若关于x、y的二元一次方程组 的解满足x+y＞0，则m的取值范围是________．
【答案】m＞﹣2 【解析】解： ， ①+②得2x+2y=2m+4， 则x+y=m+2， 根据题意得m+2＞0， 解得m＞﹣2． 故答案是：m＞﹣2． 【点评】首先解关于x和y的方程组，利用m表示出x和y，代入x+y＞0即可得到关于m的不等式，求得m的范围．
13、（2017?北京）某活动小组购买了4个篮球和5个足球，一共花费了435元，其中篮球的单价比足球的单价多3元，求篮球的单价和足球的单价．设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，依题意，可列方程组为________．
【答案】 【解析】解：设篮球的单价为x元，足球的单价为y元，由题意得： ， 故答案为： ． 【点评】根据题意可得等量关系：①4个篮球的花费+5个足球的花费=435元②篮球的单价﹣足球的单价=3元，根据等量关系列出方程组即可．
14、（2017?大连）某班学生去看演出，甲种票每张30元，乙种票每张20元，如果36名学生购票恰好用去860元，设甲种票买了x张，乙种票买了y张，依据题意，可列方程组为________．
【答案】 【解析】解：设甲种票买了x张，乙种票买了y张，根据题意，得： ， 故答案为 ． 【点评】设甲种票买了x张，乙种票买了y张，根据“36名学生购票恰好用去860元”作为相等关系列方程组．
15．（2018·大连）《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？设有x匹大马，y匹小马，根据题意可列方程组为______．
【答案】
【解析】根据题意可以列出相应的方程组，从而可以解答本题．
解：由题意可得，，
故答案为：
【点评】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
16．（2018·随州）已知是关于x，y的二元一次方程组的一组解，则a+b=_____．
【答案】5
【解析】根据方程组解的定义，把问题转化为关于a、b的方程组，求出a、b即可解决问题；
解：∵是关于x，y的二元一次方程组的一组解，
∴，解得，
∴a+b=5，
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，理解题意，用转化的思想解答是解题的关键.
三、解答题
17、（2016?达州）已知x，y满足方程组 ，求代数式（x﹣y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）的值．
【答案】
【解析】解：原式=x2﹣2xy+y2﹣x2+4y2=﹣2xy+5y2 ， ， ①+②得：3x=﹣3，即x=﹣1， 把x=﹣1代入①得：y= ， 则原式= + = ． 【点评】求出方程组的解得到x与y的值，原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并后代入计算即可求出值．此题考查了代数式求值，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18、（2017?张家界）某校组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，购买了黑白两种颜色的文化衫共140件，进行手绘设计后了出售，所获利润全部捐给山区困难孩子．每件文化衫的批发价和零售价如下表：
批发价（元）
零售价（元）
黑色文化衫
10
25
白色文化衫
8
20
假设文化衫全部售出，共获利1860元，求黑白两种文化衫各多少件？
【答案】黑色文化衫60件，白色文化衫80件
【解析】解：设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依题意得
， 解得 ， 答：黑色文化衫60件，白色文化衫80件 【点评】设黑色文化衫x件，白色文化衫y件，依据黑白两种颜色的文化衫共140件，文化衫全部售出共获利1860元，列二元一次方程组进行求解．
19、（2017?宁波）2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举行．本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作协议．某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多1500元．
(1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？
(2)若甲、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多少万件？
【答案】（1）甲种商品的销售单价是900元，乙种商品的销售单价是600元. （2）至少销售甲产品2万件.
【解析】（1）解：设甲种商品的销售单价是χ元，乙种商品的销售单击是y元.根据题意，
得
解得：
答：甲种商品的销售单价是900元，乙种商品的销售单价是600元. （2）解：设销售甲产品a万件，则销售乙产品（8-a）万件.
根据题意，得900a+600(8-a)≥5400，
解得：a≥2.
答：至少销售甲产品2万件 【点评】（1）设甲种商品的销售单价是χ元，乙种商品的销售单击是y元；根据题意可列出二元一次方程组，解之即可.（2）设销售甲产品a万件，则销售乙产品（8-a）万件； 根据题意列出一元一次不等式方程，解之即可.
20．（2018·益阳）益马高速通车后，将桃江马迹塘的农产品运往益阳的运输成本大大降低。马迹塘一农户需要将A，B两种农产品定期运往益阳某加工厂，每次运输A，B产品的件数不变，原来每运一次的运费是1200元，现在每运一次的运费比原来减少了300元，A，B两种产品原来的运费和现在的运费（单位：元∕件）如下表所示：
品种
A
B
原来的运费
45
25
现在的运费
30
20
（1）求每次运输的农产品中A，B产品各有多少件？
（2）由于该农户诚实守信，产品质量好，加工厂决定提高该农户的供货量，每次运送的总件数增加8件，但总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍，问产品件数增加后，每次运费最少需要多少元？
【答案】（1）每次运输的农产品中A产品有10件，每次运输的农产品中B产品有30件，（2）产品件数增加后，每次运费最少需要850元．
【解析】（1）设每次运输的农产品中A产品有x件，每次运输的农产品中B产品有y件，根据表中的数量关系列出关于x和y的二元一次方程组，解之即可，
（2）设增加m件A产品，则增加了（8-m）件B产品，设增加供货量后得运费为W元，根据（1）的结果结合图表列出W关于m的一次函数，再根据“总件数中B产品的件数不得超过A产品件数的2倍”，列出关于m的一元一次不等式，求出m的取值范围，再根据一次函数的增减性即可得到答案．
解：（1）设每次运输的农产品中A产品有x件，每次运输的农产品中B产品有y件，
根据题意得：
，
解得：，
答：每次运输的农产品中A产品有10件，每次运输的农产品中B产品有30件，
（2）设增加m件A产品，则增加了（8-m）件B产品，设增加供货量后得运费为W元，
增加供货量后A产品的数量为（10+m）件，B产品的数量为30+（8-m）=（38-m）件，
根据题意得：W=30（10+m）+20（38-m）=10m+790，
由题意得：38-m≤2（10+m），
解得：m≥6，
即6≤m≤8，
∵一次函数W随m的增大而增大
∴当m=6时，W最小=850，
答：产品件数增加后，每次运费最少需要850元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用和一元一次不等式得应用，解题的关键：（1）正确根据等量关系列出二元一次方程组，（2）根据数量关系列出一次函数和不等式，再利用一次函数的增减性求最值．
1．（2017广州海珠模拟）方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：，
①+②得：2x=4，即x=2，
把x=2代入①得：y=1，
则方程组的解为，
故选D
【点评】利用加减消元法求出方程组的解方程组
2．（2017湖南邵阳月考）以为解的二元一次方程组是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 解：将代入各个方程组，
可知刚好满足条件．
所以答案是．
故选：C．
【点评】所谓“方程组”的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，可以将代入方程．同时满足的就是答案．
3．（2017山东枣庄期末）已知a，b满足方程组，则a+b的值为（ ）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【答案】B
【解析】解：，
①+②×5得：16a=32，即a=2，
把a=2代入①得：b=2，
则a+b=4，
故选B．
【点评】求出方程组的解得到a与b的值，即可确定出a+b的值．
4．（2017山东高密期末）用代入法解方程组较简单的方法是（ ）
A．由①得y=x，然后代入②消去y B．由②得y=2x﹣5，然后代入①消去y
C．将①代入②消去x D．由②得x=（5+y），然后代入①消去x
【答案】C
【解析】解：用代入法解方程组较简单的方法是将①代入②消去x．
故选C
考点：解二元一次方程组．
【点评】观察方程组第一个方程的特点得到利用代入法消去x较为简便．
5．（2018?安徽联考）方程组的解为，则被遮盖的两个数M、N分别为
A.4，2 B.1，3 C.2，3 D.2，4
【答案】A
【解析】本题主要将x=1代入x+y=3得出y和N，再将x，y的值代入方程组即可．
解：将代入得
，
，
，
将，代入得
，
故选A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解满足方程组中每一个方程是解题的关键.本题应用了转化的数学思想.
6．（2018?邵阳冲刺）已知是方程2x﹣ay=3b的一个解，那么a﹣3b的值是（?? ）
A.2 B.0 C.﹣2 D.1
【答案】C
【解析】根据方程的解得定义，将x、y的值代入方程后移项可得答案．
解：根据题意，将代入方程2x-ay=3b，得：
2+a=3b，
∴a-3b=-2，
故选C．
【点评】本题主要考查对二元一次方程的解，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，理解题意并能得到关于a、b的等式是解此题的关键．
7．（2018?温州联考）已知方程组的解为，现给出另一个方程组，它的解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对比方程组可得： 解方程组即可.
解：对比方程组可得：
解得：
故选D.
【点评】考查二元一次方程组的解法，熟练掌握整体代入法是解题的关键.
8．（2018?阿城模拟）小颖家离学校1200米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路她去学校共用了16分钟假设小颖上坡路的平均速度是3千米时，下坡路的平均速度是5千米时若设小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意可列方程组为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】两个等量关系为：上坡用的时间+下坡用的时间=16；上坡用的时间×上坡的速度+下坡用的时间×下坡速度=1200，把相关数值代入即可求解．
解：小颖上坡用了x分钟，下坡用了y分钟，根据题意得
，
故选B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，弄清题意，找准合适的等量关系列出方程组是解题的关键.
二、填空题
9．（2017甘肃武威期末）已知方程3x+2y=5，用含x的代数式表示y，则y=___.
【答案】
【解析】 ， ， .
【点评】利用等式性质进行恒等变形即可.
10．（2017江苏启东期中）若方程6的两个解是， 则_________,________
【答案】 m=4 n=2
【解析】解：把， 分别代入mx+ny=6， 得， （1）+（2），得 3m=12， m=4， 把m=4代入（2），得 8-n=6， 解得n=2． 所以m=4，n=2．
【点评】将解代入即可得到关于m和n的二元一次方程组.
11．（2017内蒙古赤峰期末）若是关于a，b的二元一次方程ax+ay－b=7的一个解，则代数式x2+2xy+y2－1的值是_________．
【答案】24
【解析】把a=1，b=?2代入ax+ay?b=7，得
x+y=5，
∴x2+2xy+y2－1=（x+y）2－1=5 2?1=24.
故答案为：24.
【点评】将解代入可得x与y的和，再利用整体思想整体代入即可.
12．（2017浙江杭州月考）方程组的解满足方程x+y+a=0，那么 a的值是_____.
【答案】1
【解析】将①代入②可得：2(y+5)-y=7，解得：y=-3，将y=-3代入①可得：x=2，则x+y+a=2-3+a=0，则a=1.
【点评】利用消元思想进行求解.
13．（2018?包头二模）若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为______．
【答案】
【解析】先用含k的代数式表示x、y，即解关于x，y的方程组，再代入2x+3y=6中可得．
解：根据题意得，消元得．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键是理解题意，运用三元一次方程组的知识，解出k的数值．
14．（2018?昆明月考）我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题：
“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组 ．
【答案】
【解析】设大、小和尚各有x，y人，则可以列方程组：
．
15．（2018?东阳模拟）如图，在长为10m，宽为8m的矩形空地上，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．则其中一个小矩形花圃的周长是______m．
【答案】12m
【解析】由图形可看出：小矩形的2个长+一个宽=10m，小矩形的2个宽+一个长=8m，设出长和宽，列出方程组即可得答案．
设小矩形的长为xm，宽为ym， 由题意得：
，
①+②得，3x+3y=18
∴x+y=6
所以，其中一个小矩形花圃的周长是2（x+y）=2×6=12m． 故答案为：12m．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，做题的关键是：弄懂题意，找出等量关系，列出方程组．
16．（2018?广州模拟）一、二两班共有95人，他们的体育达标率为60%，如果一班的体育达标率为40%，二班达标率为78%，求一、二两班的人数各是多少？若设一、二两班的学生人数各有x人、y人．
（1）填写表：
表格依次填_____，_____，_____，_____，_____．
（2）列出二元一次方程组：_____．
【答案】（1）x，y，40%x，78%y，57；（2）.
【解析】解：（1）首先根据所设知：一、二两班的学生人数各有x人、y人，
再根据一班的体育达标率为40%，二班达标率为78%，
可表示一班、二班的体育达标人数分别是40%x，78%y，
根据总达标率知总达标人数是60%×95＝57人；
故答案为x，y，40%x，78%y，57；
（2）根据两班共有95人，得方程为x+y=95；
根据他们的体育达标率为60%，得方程为40%x+78%y=57；
所得的方程组是.
故答案为.
三、解答题
17．（2017浙江杭州模拟）若关于x，y的方程组与有相同的解，求：
(1)这个相同的解；
(2)m，n的值．
【答案】（1）这个相同的解是；（2）
【解析】解：(1)由题意解方程组：得：
答：这个相同的解是
(2)把代入方程组，化简
解得：
【点评】（1）联立两方程中不含m，n的方程求出相同的解即可；（2）把求出的解代入剩下的方程中求出m与n的值即可．
18．（2017安徽蚌埠月考）为了提倡低碳经济，某公司为了更好得节约能源，决定购买一批节省能源的10台新机器．现有甲、乙两种型号的设备，其中每台的价格如下表．经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元．
（1）求， 的值；
（2）经预算：该公司购买的节能设备的资金不超过110万元，请列式解答有几种购买方案可供选择；
【答案】（1）；（2）有6种购买方案．
【解析】解：（1）由题意得： ， ∴ ；
（2）设购买污水处理设备甲型设备x台，乙型设备（10﹣x）台，
则：12x+10（10﹣x）≤110， ∴x≤5，
∵x取非负整数∴x=0，1，2，3，4，5， ∴有6种购买方案．
【点评】本题考查一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式及所求量的等量关系．要会用分类的思想来讨论求得方案的问题．
19．（2018?邵阳二模）解方程组： ．
【答案】
【解析】通过观察用加减法消元法即可解此题．
解：①×5+②×2，得
23m=138，
解，得m=6
把m的值代入①，得
n=1．
所以方程组的解是.
【点评】解题关键是掌握二元一次方程组的加减消元法和代入消元法．
20．（2018?温州模拟）某工厂准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．
若该工厂准备用不超过10000元的资金去购买A，B两种型号板材，并全部制作竖式箱子，已知A型板材每张30元，B型板材每张90元，求最多可以制作竖式箱子多少只？
若该工厂仓库里现有A型板材65张、B型板材110张，用这批板材制作两种类型的箱子，问制作竖式和横式两种箱子各多少只，恰好将库存的板材用完？
若该工厂新购得65张规格为的C型正方形板材，将其全部切割成A型或B型板材不计损耗，用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于20只，且材料恰好用完，则能制作两种箱子共______只
【答案】（1）最多可以做25只竖式箱子；（2）能制作竖式、横式两种无盖箱子分别为5只和30只；（3）47或49．
【解析】表示出竖式箱子所用板材数量进而得出总金额即可得出答案；设制作竖式箱子a只，横式箱子b只，利用A型板材65张、B型板材110张，得出方程组求出答案；设裁剪出B型板材m张，则可裁A型板材张，进而得出方程组求出符合题意的答案．
解：设最多可制作竖式箱子x只，则A型板材x张，B型板材4x张，根据题意得
解得．
答：最多可以做25只竖式箱子．
设制作竖式箱子a只，横式箱子b只，根据题意，
得，
解得：．
答：能制作竖式、横式两种无盖箱子分别为5只和30只．
设裁剪出B型板材m张，则可裁A型板材张，由题意得：
，整理得，，．
竖式箱子不少于20只，
或22，这时，或，．
则能制作两种箱子共：或．
故答案为：47或49．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，列出等式．
