3.1.1 两角差的余弦公式
课后篇巩固探究
1.cos 285°等于( )
A. B.
C. D.-
解析cos 285°=cos(360°-75°)
=cos 75°=cos(30°+45°)
=cos 30°cos 45°-sin 30°sin 45°=.
答案A
2.计算的值是( )
A. B.- C. D.-
解析
=.
答案C
3.若a=(cos 100°,sin 100°),b=(cos 10°,sin 10°),则a·b=( )
A.cos 110° B.sin 110° C.1 D.0
解析a·b=cos 100°cos 10°+sin 100°sin 10°=cos(100°-10°)=cos 90°=0.
答案D
4.满足sin αsin β=-cos αcos β的一组值是( )
A.α=β=90° B.α=18°,β=72°
C.α=130°,β=40° D.α=140°,β=40°
解析由sin αsin β=-cos αcos β可得cos(α-β)=0,因此α-β=k·180°+90°,只有C项符合.
答案C
5.若sin α-sin β=,cos α-cos β=,则cos(α-β)的值为( )
A. B. C. D.1
解析由sin α-sin β=,cos α-cos β=,得sin2α+sin2β-2sin αsin β=,cos2α+cos2β-2cos αcos β=,以上两式相加得2-2(sin αsin β+cos αcos β)=1,所以sin αsin β+cos αcos β=,故cos(α-β)=.
答案A
6.若cos θ=-,θ∈,则cos= .?
解析∵cos θ=-,θ∈,∴sin θ=-.
∴cos=cos θcos+sin θsin
=-=-.
答案-
7.化简cos(α-55°)·cos(α+5°)+sin(α-55°)·sin(α+5°)= .?
解析原式=cos [(α-55°)-(α+5°)]=cos(-60°)=.
答案
8.若0<α<,-<β<0,cos,cos,则cos= .?
解析因为0<α<,所以+α<,
又cos,所以sin,
因为-<β<0,所以,
又cos,所以sin.
于是cos=cos =
coscos+sinsin=
.
答案
9.若x∈,且sin x=,求2cos+2cos x的值.
解因为x∈,sin x=,所以cos x=-.
于是2cos+2cos x
=2+2cos x
=2+2cos x
=sin x+cos x=.
10.已知α,β∈,sin(α+β)=-,sin,求cos的值.
解∵α,β∈,
∴α+β∈,β-.
又∵sin(α+β)=-,sin,
∴cos(α+β)=.
cos=-=-.
∴cos=cos
=cos(α+β)cos+sin(α+β)sin
==-.
11.如图,在平面直角坐标系xOy中,单位圆O与x轴交于点P0,以Ox为始边分别作出角α,β,α-β,其终边分别和单位圆交于点P1,P2,P3.由||=||,你能推导出两角差的余弦公式吗?
解该问题实际上给出了用距离公式推导C(α-β)的方法.推导过程如下:
易知P0(1,0),P1(cos α,sin α),P2(cos β,sin β),P3(cos(α-β),sin(α-β)),
则=(cos(α-β)-1,sin(α-β)),
=(cos α-cos β,sin α-sin β),
又||=||,即||2=||2,
所以[cos(α-β)-1]2+sin2(α-β)=(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2,
化简得cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
课后篇巩固探究
A组 基础巩固
1.若sin=cos,则tan α=( )
A.-1 B.0 C. D.1
解析由已知得cos α-sin α=cos α-sin α,因此sin α=cos α,于是tan α=-1.
答案A
2.已知a=(2sin 35°,2cos 35°),b=(cos 5°,-sin 5°),则a·b=( )
A. B.1 C.2 D.2sin 40°
解析a·b=2sin 35°cos 5°-2cos 35°sin 5°=2sin(35°-5°)=2sin 30°=1.
答案B
3.若tan(α+β)=,tan(α-β)=,则tan 2α=( )
A. B. C. D.
解析tan 2α=tan [(α+β)+(α-β)]=.
答案D
4.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-cos(θ+15°)的值等于 ( )
A.±1 B.1 C.-1 D.0
解析原式=sin [(θ+45°)+30°]+cos(θ+45°)-cos [(θ+45°)-30°]
=sin(θ+45°)+cos(θ+45°)+cos(θ+45°)-
=sin(θ+45°)+cos(θ+45°)-cos(θ+45°)-sin(θ+45°)=0.
答案D
5.设α∈,β∈,且tan α=,则( )
A.3α-β= B.3α+β=
C.2α-β= D.2α+β=
解析由tan α=,得,得sin αcos β-cos αsin β=cos α,sin(α-β)=sin.
又α∈,β∈,
故α-β=-β,即2α-β=.
答案C
6.化简:= .?
解析原式=
==-1.
答案-1
7.已知tan(α+β)=,tan,则tan的值为 .?
解析因为tan(α+β)=,tan,
所以tan
=tan
=.
答案
8.若α是锐角,且满足sin,则cos α的值为 .?
解析∵α是锐角,∴-<α-.
又sin,
∴cos.
∴cos α=cos
=coscos-sinsin
=.
答案
9.tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°的值是 .?
解析∵tan 60°=,
∴tan 23°+tan 37°=tan 23°tan 37°,
∴tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°=.
答案
10.化简求值:
(1)sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β);
(2)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α);
(3)cos 21°·cos 24°+sin 159°·sin 204°.
解(1)原式=sin(α+β+α-β)=sin 2α.
(2)原式=cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α)
=sin [(10°+α)-(70°+α)]=sin(-60°)=-.
(3)原式=cos 21°cos 24°+sin(180°-21°)sin(180°+24°)=cos 21°cos 24°-sin 21°sin 24°
=cos(21°+24°)=cos 45°=.
11.已知cos α=-,tan β=,π<α<,0<β<,求α-β的值.
解法一由cos α=-,π<α<,得sin α=-,tan α=2,又tan β=,
于是tan(α-β)==1.
又由π<α<,0<β<,可得-<-β<0,
<α-β<,因此α-β=.
解法二由cos α=-,π<α<,得sin α=-.
由tan β=,0<β<,
得sin β=,cos β=.
所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β
==-.
又由π<α<,0<β<,可得-<-β<0,<α-β<,因此,α-β=.
B组 能力提升
1.已知α∈,tan=-3,则sin α=( )
A. B.- C. D.±
解析tan α=tan
=-,因为α∈,
所以α∈,故sin α=.
答案A
2.导学号68254102设α,β都为锐角,且cos α=,sin(α+β)=,则sin β等于( )
A. B.
C. D.-
解析∵α为锐角,cos α=,∴sin α=.
∵α,β都为锐角,∴0<α+β<π.
∵sin(α+β)=,∴cos(α+β)=±.
当cos(α+β)=-时,sin β=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α
=;
当cos(α+β)=时,sin β=sin[(α+β)-α]
=sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α
==-,
与已知β为锐角矛盾.∴sin β=.
答案B
3.若将函数f(x)=sin 2x+cos 2x的图象向右平移φ个单位长度,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是 ( )
A. B. C. D.
解析由题意f(x)=sin 2x+cos 2x=sin,将其图象向右平移φ个单位长度,得函数y=sinsin的图象,要使图象关于y轴对称,则-2φ=+kπ,解得φ=-,当k=-1时,φ取最小正值.
答案C
4.已知cos(α+β)=,cos(α-β)=-,则cos αcos β= .?
解析由已知得cos αcos β-sin αsin β=,cos αcos β+sin αsin β=-,
两式相加得2cos αcos β=0,故cos αcos β=0.
答案0
5.已知△ABC中,tan Atan B-tan A-tan B=,则C的大小为 .?
解析依题意,=-,即tan(A+B)=-,又0
答案
6.已知α,β均为锐角,且tan β=,求tan(α+β)的值.
解tan β==tan,因为α,β均为锐角,所以--α<,0<β<,
又y=tan x在上是单调函数,所以β=-α,即α+β=,tan(α+β)=1.
7.导学号68254103已知向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),|a-b|=.
(1)求cos(α-β)的值;
(2)若-<β<0<α<,且sin β=-,求sin α的值.
解(1)∵a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),
∴|a|=|b|=1,
∴|a-b|2=a2-2a·b+b2=1+1-2(cos αcos β+sin αsin β)=2-2cos(α-β).又∵|a-b|=,
∴|a-b|2=2-2cos(α-β)=,
∴cos(α-β)=.
(2)∵-<β<0<α<,∴0<α-β<π,
由cos(α-β)=可得sin(α-β)=,由sin β=-,可得cos β=,∴sin α=sin [(α-β)+β]
=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β
=.
8.已知函数f(x)=(cos x-sin x)sin-2asin x+b(a>0)有最大值1和最小值-4,求a,b的值.
解f(x)=(cos x-sin x)sin-2asin x+b=(cos2x-sin2x)-2asin x+b=(1-2sin2x)-2asin x+b=-(sin x+a)2++a2+b.
当a≥1时,f(x)的最小值等于f,最大值等于f,依题意得
解得a=,b=-1.
当0解得a=-1(舍去)或a=--1(舍去).
综上可得a=,b=-1.
3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课后篇巩固探究
A组 基础巩固
1.=( )
A.- B.- C. D.
解析原式=cos2-sin2=cos,
故选D.
答案D
2.若tan α=3,则的值等于( )
A.2 B.3 C.4 D.6
解析=2tan α=2×3=6.
答案D
3.已知sin,则cos的值为( )
A. B. C. D.
解析cos=cos
=1-2sin2=1-2×.
答案D
4.若α为锐角,3sin α=tan α=tan β,则tan 2β等于( )
A. B. C.- D.-
解析因为α为锐角,3sin α=tan α,所以cos α=,则tan α=2,即tan β=2,所以tan 2β==-.
答案D
5.若,则tan 2α=( )
A.- B. C.- D.
解析等式左边分子、分母同时除以cos α(显然cos α≠0),得,解得tan α=-3,
∴tan 2α=.
答案B
6.已知α∈,sin α=,则tan 2α= .?
解析由α∈,sin α=,得cos α=-,tan α==-,tan 2α==-.
答案-
7.化简:= .?
解析原式==tan 2α.
答案tan 2α
8.若cos(75°+α)=,则sin(60°+2α)= .?
解析依题意,cos(75°+α)=,则cos(150°+2α)=2cos2(α+75°)-1=2×-1=-,sin(60°+2α)=-cos(90°+60°+2α)=-cos(150°+2α)=.
答案
9.求下列各式的值:
(1);
(2)2tan 15°+tan215°;
(3)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°.
解(1)原式=
=
=
==1.
(2)原式=tan 30°(1-tan215°)+tan215°
=(1-tan215°)+tan215°=1.
(3)(方法一)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°
=cos 20°cos 40°cos 80°=.
(方法二)令x=sin 10°sin 50°sin 70°,
y=cos 10°cos 50°cos 70°.
则xy=sin 10°cos 10°sin 50°cos 50°sin 70°cos 70°
=sin 20°·sin 100°·sin 140°
=sin 20°sin 80°sin 40°
=cos 10°cos 50°cos 70°=y.
∵y≠0,∴x=.
从而有sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°=.
10.已知sin α+cos α=,α∈,sin,β∈.
(1)求sin 2α和tan 2α的值;
(2)求cos(α+2β)的值.
解(1)由题意得(sin α+cos α)2=,即1+sin 2α=,∴sin 2α=,又易知2α∈,
∴cos 2α=,∴tan 2α=.
(2)∵β∈,β-,sin,
∴cos,
∴sin 2=2sincos.
又sin 2=-cos 2β,∴cos 2β=-.
又易知2β∈,∴sin 2β=.
又cos2α=,∴cos α=,∴sin α=,
∴cos(α+2β)=cos αcos 2β-sin αsin 2β==-.
B组 能力提升
1.4sin 80°-=( )
A. B.- C. D.2-3
解析4sin 80°-
=
==-.
答案B
2.若α∈,且cos2α+cos,则tan α= ( )
A. B. C. D.或-7
解析cos2α+cos=cos2α-sin 2α=cos2α-2sin αcos α=,整理得3tan2α+20tan α-7=0,解得tan α=或tan α=-7.又α∈,所以tan α=,故选C.
答案C
3.若tan α=,则tan= .?
解析∵tan α=,∴tan 2α=.
∴tan=-7.
答案-7
4.已知角α,β为锐角,且1-cos 2α=sin αcos α,tan(β-α)=,则β= .?
解析由1-cos 2α=sin αcos α,得1-(1-2sin2α)
=sin αcos α,
即2sin2α=sin αcos α.∵α为锐角,∴sin α≠0,
∴2sin α=cos α,即tan α=.
(方法一)由tan(β-α)=
=,得tan β=1.∵β为锐角,∴β=.
(方法二)tan β=tan(β-α+α)=
==1.∵β为锐角,∴β=.
答案
5.已知函数f(x)=.
(1)求f的值;
(2)当x∈时,求函数g(x)=f(x)+sin 2x的最大值和最小值.
解(1)f(x)=
=
==2cos 2x,
所以f=2cos=2cos .
(2)g(x)=cos 2x+sin 2x=sin.
因为x∈,所以2x+,
所以当x=时,g(x)max=,
当x=0时,g(x)min=1.
6.已知函数f(x)=4tan xsin·cos.
(1)求f(x)的定义域与最小正周期;
(2)讨论f(x)在区间上的单调性.
解(1)f(x)的定义域为.
f(x)=4tan xcos xcos
=4sin xcos
=4sin x
=2sin xcos x+2sin2x-
=sin 2x+(1-cos 2x)-
=sin 2x-cos 2x=2sin.
所以f(x)的最小正周期T==π.
(2)令z=2x-,函数y=2sin z的单调递增区间是,k∈Z.由-+2kπ≤2x-+2kπ,得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.
设A=,B=x-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,易知A∩B=.所以,当x∈时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.
3.2 简单的三角恒等变换
课后篇巩固探究
1.cos2的值为( )
A. B. C. D.
解析cos2.
答案B
2.已知α为第一象限角,且tan α=,则sin 的值为( )
A. B.- C.± D.
解析因为α为第一象限角,且tan α=,所以cos α=,而是第一或第三象限角.当是第一象限角时,sin ;当是第三象限角时,sin =-=-,故sin =±.
答案C
3.若函数f(x)=(1+tan x)cos x,则f=( )
A. B.- C.1 D.
解析∵f(x)=cos x=cos x+sin x=2sin,∴f=2sin=2sin.
答案D
4.设a=cos 7°+sin 7°,b=,c=,则有( )
A.b>a>c B.a>b>c C.a>c>b D.c>b>a
解析因为a=cos 7°+sin 7°=sin 30°·cos 7°+cos 30°·sin 7°=sin 37°,b==tan 38°,c==sin 36°,又tan 38°>sin 38°>sin 37°>sin 36°.所以b>a>c.
答案A
5.已知,则的值等于( )
A. B.- C. D.-
解析因为=1,而,所以,故.
答案A
6.设函数f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)ω>0,|φ|<的最小正周期为π,且f(-x)=f(x),则( )
A.f(x)在上单调递减
B.f(x)在上单调递减
C.f(x)在上单调递增
D.f(x)在上单调递增
解析f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)
=sin,由最小正周期为π得ω=2,
由f(-x)=f(x)可知f(x)为偶函数,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=cos 2x,在上单调递减.
答案A
7.若tan α=,则= .?
解析因为tan α=,所以=7.
答案7
8.已知f(x)=sin x+cos x,且锐角θ满足f(θ)=2,则θ= .?
解析因为f(x)=sin x+cos x=2=2sin,又因为f(θ)=2,
所以2sin=2,解得θ=.
答案
9.已知cos=m,则cos x+cos= .?
解析因为cos x+cos=cos x+cos xcos +sin xsin cos x+sin x=cos,所以cos x+cosm.
答案m
10.导学号68254108已知sin α=,sin(α+β)=,α,β均为锐角,求cos 的值.
解∵0<α<,∴cos α=,
∵0<α<,0<β<,∴0<α+β<π,
若0<α+β<,∵sin(α+β)∴α+β<α,∴β<0,与已知矛盾,
∴<α+β<π,∴cos(α+β)=-,
∴cos β=cos [(α+β)-α]=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α=-.
∵0<β<,∴0<,
∴cos .
11.已知sin A+sin B+sin C=0,cos A+cos B+cos C=0,求证:cos2A+cos2B+cos2C=.
证明由已知,得sin A+sin B=-sin C, ①
cos A+cos B=-cos C. ②
和差化积,得2sincos=-sin C. ③
2coscos=-cos C. ④
∵当cos=0时,sin C=cos C=0,不满足题意,∴cos≠0.
③÷④,得tan=tan C.
∴cos(A+B)==cos 2C.
①2+②2,得2+2cos(A-B)=1,
即cos(A-B)=-,
∴cos2A+cos2B+cos2C
=(1+cos 2A+1+cos 2B+1+cos 2C)
=[2cos(A+B)cos(A-B)+cos 2C]
=.
