1.1.1 任意角
课后篇巩固探究
1.200°角是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析因为180°<200°<270°,第三象限角α的取值范围为k·360°+180°<α
答案C
2.在-360°≤α<0°范围内与60°角终边相同的角为( )
A.-300° B.-300°,60°
C.60° D.420°
解析与60°角终边相同的角α可表示为α=60°+k·360°,当k=-1时,α=-300°,故在-360°≤α<0°范围内与60°角终边相同的角为-300°.
答案A
3.若角θ是第四象限角,则90°+θ是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析如图,将θ的终边按逆时针方向旋转90°得90°+θ的终边,则90°+θ是第一象限角.
答案A
4.与610°角终边相同的角的集合为( )
A.{α|α=k·360°+230°,k∈Z}
B.{α|α=k·360°+250°,k∈Z}
C.{α|α=k·360°+70°,k∈Z}
D.{α|α=k·360°+270°,k∈Z}
解析因为610°=360°+250°,所以250°角与610°角是终边相同的角,所以与610°角终边相同的角的集合是{α|α=k·360°+250°,k∈Z}.
答案B
5.角α=45°+k×180°(k∈Z)的终边落在( )
A.第一或第三象限 B.第一或第二象限
C.第二或第四象限 D.第三或第四象限
解析当k是偶数时,角α是第一象限角,当k是奇数时,角α是第三象限角.
答案A
6.导学号68254000已知集合M=x=±45°,k∈Z,P=,则M,P之间的关系为( )
A.M=P B.M?P
C.M?P D.M∩P=?
解析对于集合M,x=±45°=k·90°±45°=(2k±1)·45°,k∈Z,对于集合P,x=±90°=k·45°±90°=(k±2)·45°,k∈Z.∴M?P.
答案B
7.已知角α,β的终边关于直线x+y=0对称,且α=-60°,则β= .?
解析在-90°到0°的范围内,-60°角的终边关于直线y=-x对称的射线的对应角为-45°+15°=-30°,所以β=-30°+k·360°,k∈Z.
答案-30°+k·360°,k∈Z
8.已知点P(0,-1)在角α的终边上,则所有角α组成的集合S= .?
解析由已知得角α的终边落在y轴的非正半轴,所以其集合为{α|α=k·360°-90°,k∈Z}.
答案{α|α=k·360°-90°,k∈Z}
9.终边落在图中阴影部分所示的区域内(包括边界)的角的集合为 .?
解析
由图易知在0°~360°范围内,终边落在阴影区域内(包括边界)的角为45°≤α≤90°与225°≤α≤270°,故终边落在阴影部分所示的区域内(包括边界)的角的集合为{α|k·360°+45°≤α≤k·360°+90°,k∈Z}∪{α|k·360°+225°≤α≤k·360°+270°,k∈Z}={α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}.
答案{α|k·180°+45°≤α≤k·180°+90°,k∈Z}
10.已知α=-1 910°.
(1)把α写成β+k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式,并指出它是第几象限角;
(2)求θ,使θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.
解(1)设α=β+k·360°(k∈Z),
则β=-1 910°-k·360°(k∈Z).
令-1 910°-k·360°≥0,
解得k≤-=-5.
k的最大整数解为k=-6,求出相应的β=250°,
于是α=250°-6×360°,它是第三象限角.
(2)令θ=250°+n·360°(n∈Z),
取n=-1,-2就得到符合-720°≤θ<0°的角.
250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.
故θ=-110°或θ=-470°.
11.导学号68254001已知角α的终边在图中阴影部分所表示的范围内(不包括边界),写出角α的集合.
解在0°~360°范围内,终边落在阴影部分内的角为30°<α<150°与210°<α<330°,∴所有满足题意的角α的集合为{α|k·360°+30°<α12.导学号68254002已知α,β都是锐角,且α+β的终边与-280°角的终边相同,α-β的终边与670°角的终边相同,求角α,β的大小.
解由题意可知,α+β=-280°+k·360°,k∈Z.
∵α,β都是锐角,∴0°<α+β<180°.
取k=1,得α+β=80°. ①
α-β=670°+k·360°,k∈Z.
∵α,β都是锐角,∴-90°<α-β<90°.
取k=-2,得α-β=-50°. ②
由①②,得α=15°,β=65°.
1.1.2 弧度制
课后篇巩固探究
1.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为( )
A.π B.-π
C.π D.-π
解析显然分针在1点到3点20分这段时间里,顺时针转过了两周又一周的,用弧度制表示就是-4π-×2π=-π.
答案B
2.若α=-3,则角α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析因为-π<-3<-,所以α=-3的终边在第三象限.
答案C
3.将2 025°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式是( )
A.10π- B.10π+
C.12π- D.10π+
解析2 025°=5×360°+225°,又225°=,故2 025°化成α+2kπ(0≤α<2π,k∈Z)的形式为10π+.
答案B
4.导学号68254003集合中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
解析当k=2n,n∈Z时,2nπ+≤α≤2nπ+,表示第一象限中的一部分角;当k=2n+1,n∈Z时,2nπ+≤α≤2nπ+,表示第三象限中的一部分角,故选C.
答案C
5.已知一扇形的周长为20 cm,当这个扇形的面积最大时,半径r的值为( )
A.4 cm B.5 cm
C.6 cm D.7 cm
解析设扇形的圆心角为α,由题意可得2r+αr=20?α=,所以扇形的面积S=αr2=×r2=10r-r2=-(r-5)2+25,所以当r=5时,扇形的面积最大.
答案B
6.设集合M=,N={α|-π<α<π},则M∩N等于 .?
解析当k=-1,0,1,2时M中的角满足条件,故M∩N=.
答案
7.若角α的终边与角的终边关于直线y=x对称,且α∈(-4π,4π),则α= .?
解析
如图所示,设角的终边为OA,OA关于直线y=x对称的射线为OB,则以OB为终边且在0到2π之间的角为,
故以OB为终边的角的集合为{α|α=2kπ+,k∈Z}.
∵α∈(-4π,4π),∴-4π<2kπ+<4π,
∴-∵k∈Z,∴k=-2,-1,0,1.
∴α=-,-.
答案-,-
8.
圆O的半径为1,P为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形(正方形的顶点A和点P重合)沿着圆周逆时针滚动.经过若干次滚动,点A第一次回到点P的位置,则点A走过的路程长度为 .?
解析
因为圆O的半径r=1,正方形的边长a=1,所以以正方形的一边为弦时所对应的圆心角为,正方形在圆周上滚动时,点的位置如图所示,故当点A首次回到点P的位置时,正方形在圆周上滚动了2圈,而自身滚动了3圈.设第i(i∈N*)次滚动点A的路程为Ai,则A1=×AB=,A2=×AC=,A3=×DA=,A4=0,所以点A所走过的路程长度为3(A1+A2+A3+A4)=π.
答案π
9.已知α=-800°.
(1)把α改写成β+2kπ(k∈Z,0≤β<2π)的形式,并指出α是第几象限角;
(2)求角γ,使γ与角α的终边相同,且γ∈.
解(1)∵-800°=-3×360°+280°,280°=,
∴α=+(-3)×2π.
∵角α与终边相同,∴角α是第四象限角.
(2)∵与角α终边相同的角可写为2kπ+,k∈Z的形式,而γ与α终边相同,∴γ=2kπ+,k∈Z.
又γ∈,∴-<2kπ+,k∈Z,
解得k=-1.∴γ=-2π+=-.
10.导学号68254005如图,已知扇形AOB的圆心角为120°,半径长为6,求:
(1)的长;
(2)弓形(阴影部分)的面积.
解(1)∵120°=,∴=6×=4π,∴的长为4π.
(2)过点O作OD⊥AB于点D,则D为AB的中点,
AB=2BD=2·OB·cos 30°
=2×6×=6,
OD=OB·sin 30°=6×=3.
∵S扇形AOB=·OB=×4π×6=12π,
S△OAB=·AB·OD=×6×3=9,
∴S弓形=S扇形AOB-S△OAB=12π-9.
∴弓形的面积为12π-9.
第1课时 三角函数的定义
课后篇巩固探究
1.若sin α<0,且tan α>0,则α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
答案C
2.tan的值等于( )
A. B.- C. D.
解析tan=tan=tan.
答案A
3.已知角α的终边过点P(2sin 60°,-2cos 60°),则sin α的值为( )
A. B. C.- D.-
解析∵sin 60°=,cos 60°=,
∴点P的坐标为(,-1),
∴sin α==-.
答案D
4.下列三角函数值的符号判断错误的是( )
A.sin 165°>0 B.cos 280°>0
C.tan 170°>0 D.tan 310°<0
解析165°是第二象限角,因此sin 165°>0正确;280°是第四象限角,因此cos 280°>0正确;170°是第二象限角,因此tan 170°<0,故C错误;310°是第四象限角,因此tan 310°<0正确.
答案C
5.若一个角α的终边上有一点P(-4,a),且sin α·cos α=,则a的值为( )
A.4 B.±4
C.-4或- D.
解析依题意可知α角的终边在第三象限,点P(-4,a)在其终边上,且sin α·cos α=,所以,解得a=-4或a=-.
答案C
6.导学号68254006设角α是第二象限角,且=-cos,则角是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析∵角α是第二象限角,∴为第一或第三象限角.
又=-cos,∴cos<0.
∴角是第三象限角.
答案C
7.在△ABC中,若sin Acos Btan C<0,则△ABC是( )
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
解析因为sin A>0,所以cos B,tan C中一定有一个小于0,即B,C中一定有一个钝角,故△ABC是钝角三角形.
答案C
8.已知角α的终边经过点P(x,-6),且tan α=-,则x的值为 .?
解析由已知,得tan α==-,即=-,解得x=10.
答案10
9.函数y=的定义域为 .?
解析要使函数式有意义,需由①得-4≤x≤4,由②得2kπ≤x≤2kπ+π(k∈Z),故函数的定义域为[-4,-π]∪[0,π].
答案[-4,-π]∪[0,π]
10.求下列各式的值:
(1)sin+tan;
(2)sin(-1 380°)cos 1 110°+tan 405°.
解(1)原式=sin+tan=sin+tan.
(2)原式=sin (-4×360°+60°)cos(3×360°+30°)+tan(360°+45°)=sin 60°cos 30°+tan 45°=+1=.
11.导学号68254007已知=-,且lg cos α有意义.
(1)试判断角α的终边所在的象限;
(2)若角α的终边上一点M,且|OM|=1(O为坐标原点),求m的值及sin α的值.
解(1)由=-,可知sin α<0.由lg cos α有意义,可知cos α>0,∴角α的终边在第四象限.
(2)∵|OM|=1,∴+m2=1,解得m=±.
又α是第四象限角,故m<0,从而m=-.
由正弦函数的定义可知
sin α==-.
12.导学号68254008已知角α的终边在直线y=-3x上,求10sin α+的值.
解设角α的终边上任一点为P(k,-3k)(k≠0),
则x=k,y=-3k,r=|k|.
当k>0时,r=k,α是第四象限角,
sin α==-,
,
所以10sin α+=10×+3
=-3+3=0;
当k<0时,r=-k,α为第二象限角,
sin α=,
=-,
所以10sin α+=10×+3×(-)
=3-3=0.
综上,10sin α+=0.
第2课时 三角函数线
课后篇巩固探究
1.角和角有相同的( )
A.正弦线 B.余弦线
C.正切线 D.不能确定
解析由于=π+,即两角的终边在一条直线上,因而它们的正切线相同.
答案C
2.下列判断错误的是( )
A.当α一定时,单位圆中的正弦线一定
B.单位圆中有相同的正弦线的角相等
C.α和α+π有相同的正切线
D.有相同正切线的两个角的终边在同一直线上
解析∵30°和390°有相同的正弦线,但30°和390°不相等,∴B错误,其他选项A,C,D都正确.
答案B
3.若角α的正弦线、余弦线、正切线的数量分别为a1,b1,c1,角-α的正弦线、余弦线、正切线的数量分别为a2,b2,c2,则有( )
A.a1=a2,b1=b2 B.a1=a2,c1=c2
C.a1=-a2,b1=b2 D.a1=-a2,c1=c2
解析由三角函数线的作法可知,a1=-a2,b1=b2,c1=-c2,故选C.
答案C
4.角α的正弦线、余弦线和正切线的数量分别为a,b,c,如果<α<,那么a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>c B.b>c>a
C.c>b>a D.a>c>b
解析
作出角α的正弦线MP,余弦线OM,正切线AT.
∵<α<,∴|OM|<|MP|<|AT|,且有向线段OM,MP的方向与坐标轴负方向相同,切线AT与y轴正方向相同.∴tan α>cos α>sin α,即c>b>a.
答案C
5.设a=sin(-1),b=cos(-1),c=tan(-1),则有( )
A.aC.c解析如图,作出角α=-1 rad的正弦线、余弦线及正切线,显然b=cos(-1)=OM>0,c=tan(-1)=AT答案C
6.如图,在平面直角坐标系xOy中,角α的终边与单位圆相交于点A.若点A的纵坐标为,则cos α= .?
解析由题图知,α是第二象限角.
∵点A的纵坐标为,
∴横坐标为-,∴cos α=x=-.
答案-
7.若θ∈,则sin θ的取值范围是 .?
解析
由图可知sin,sin=-1,>sin θ>-1,
即sin θ∈.
答案
8.导学号68254009设a=sin,b=cos,c=tan,则a,b,c的大小顺序为 .(按从小到大的顺序排列)?
解析
如图,在单位圆O中分别作出角的正弦线M1P1,角的正弦线M2P2,余弦线OM2,正切线AT.
由=π-知M1P1=M2P2.
又,易知AT>M2P2>OM2,
∴cos答案b9.导学号68254010求函数y=logsin x(2cos x+1)的定义域.
解由题意知
即
如图,作出三角函数线,阴影部分区域(不包括边界及y轴的非负半轴)即为所求角的范围.
即0考虑终边相同的角可得函数的定义域为.
10.导学号68254011利用三角函数线写出满足下列条件的角x的集合.
(1)sin x>-,且cos x>;
(2)tan x≥-1.
解(1)由图①知,当sin x>-,且cos x>时,角x的集合为.
(2)由图②知,当tan x≥-1时,角x的集合为,即.
1.2.2 同角三角函数的基本关系
课后篇巩固探究
1.已知cos θ=,且<θ<2π,则的值为( )
A. B.- C. D.-
解析因为cos θ=,且<θ<2π,
所以sin θ=-=-.
所以tan θ=-,故=-.选D.
答案D
2.若α为第三象限角,则的值为 ( )
A.3 B.-3 C.1 D.-1
解析因为α为第三象限角,所以原式==-3.
答案B
3.已知α是第四象限角,tan α=-,则sin α=( )
A. B.- C. D.-
解析∵α是第四象限角,∴sin α<0.
由tan α=-,得=-,
∴cos α=-sin α.
由sin2α+cos2α=1,得sin2α+=1,
∴sin2α=1,sin α=±.
∵sin α<0,∴sin α=-.
答案D
4.(2018全国Ⅲ高考)若sin α=,则cos 2α=( )
A. B. C.- D.-
解析cos 2α=1-2sin2α=1-2×.
答案B
5.已知cos α+sin α=-,则sin αcos α的值为( )
A.- B.± C.- D.±
解析由已知得(cos α+sin α)2=sin2α+cos2α+2sin αcos α=1+2sin αcos α=,解得sin αcos α=-.
答案A
6.化简的结果为( )
A.-cos 160° B.cos 160°
C. D.
解析原式=
==|cos 160°|
=-cos 160°.故选A.
答案A
7.导学号68254013若cos α+2sin α=-,则tan α等于 ( )
A. B.2 C.- D.-2
解析(方法一)由联立消去cos α,
得(--2sin α)2+sin2α=1.
化简得5sin2α+4sin α+4=0,∴(sin α+2)2=0,
∴sin α=-.∴cos α=--2sin α=-.
∴tan α==2.
(方法二)∵cos α+2sin α=-,
∴cos2α+4sin αcos α+4sin2α=5.
∴=5.
∴=5,∴tan2α-4tan α+4=0.
∴(tan α-2)2=0,∴tan α=2.
答案B
8.若tan2x-sin2x=,则tan2xsin2x= .?
解析tan2xsin2x=tan2x(1-cos2x)
=tan2x-tan2xcos2x=tan2x-sin2x=.
答案
9.已知cos,0<α<,则sin= .?
解析∵sin2+cos2=1,
∴sin2=1-.
∵0<α<,∴<α+.
∴sin.
答案
10.已知tan α,是关于x的方程x2-kx+k2-3=0的两个实根,且3π<α<π,则cos α+sin α= .?
解析∵tan α·=k2-3=1,∴k=±2,而3π<α<π,则tan α+=k=2,得tan α=1,则sin α=cos α=-,∴cos α+sin α=-.
答案-
11.化简:.
解原式=
==1.
12.证明:.
证明∵左边=
=
==右边,
∴原等式成立.
13.若<α<2π,化简:.
解∵<α<2π,∴sin α<0.
∴原式
=
=
=
=-=-.
14.已知θ∈(0,π),且sin θ,cos θ是方程25x2-5x-12=0的两个根,求sin3θ+cos3θ和tan θ-的值.
解法一由题意得sin θ+cos θ=,sin θcos θ=-,易知θ≠.
∴sin3θ+cos3θ=(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ)
=(sin θ+cos θ)(1-sin θcos θ)
=×1+=.
tan θ-
=.
∵θ∈(0,π),sin θcos θ<0,
∴sin θ>0,cos θ<0,则sin θ-cos θ>0.
∴sin θ-cos θ=.
∴tan θ-=-.
解法二方程25x2-5x-12=0的两根分别为和-.
∵θ∈(0,π),且sin θcos θ=-<0,
∴sin θ>0,cos θ<0,则sin θ=,cos θ=-,
∴sin3θ+cos3θ=3+-3=,
tan θ-=-=-.
第1课时 诱导公式二、三、四
课后篇巩固探究
1.已知sin,则角θ的终边在( )
A.第一或第二象限 B.第二或第三象限
C.第一或第四象限 D.第三或第四象限
解析由已知得-sin θ=,所以sin θ=-,故角θ的终边在第三或第四象限.
答案D
2.sin-cos-tan的值为( )
A.-2 B.0 C. D.1
解析原式
=-sin-cos-tan
=-sin-cos-tan
=-+cos+tan=-+1=1.
答案D
3.若cos(π-α)=-,则cos(-2π-α)的值为( )
A. B.± C.- D.±
解析∵cos(π-α)=-cos α=-,∴cos α=.
∴cos(-2π-α)=cos(-α)=cos α=.
答案A
4.已知tan(π-α)=,则=( )
A. B.- C. D.-
解析由已知得-tan α=,所以tan α=-.
于是
==-.
答案B
5.记cos(-80°)=k,则tan 100°等于( )
A. B.-
C. D.-
解析∵cos(-80°)=cos 80°=k,sin 80°=,∴tan 100°=-tan 80°=-.故选B.
答案B
6.若角7π-α的终边与单位圆的交点坐标是,则cos(α-2 018π)=( )
A.± B.± C. D.-
解析依题意,sin(7π-α)=,即sin α=,于是cos α=±,故cos(α-2 018π)=cos α=±.
答案A
7.设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x.当0≤x<π时,f(x)=0,则f=( )
A. B. C.0 D.-
解析反复利用f(x+π)=f(x)+sin x,将f进行转化,再利用诱导公式求值.f=f+sin =f+sin +sin =f+sin +sin +sin =2sin +sin-=.
答案A
8.已知tan=5,则tan= .?
解析tan=tan
=-tan=-5.
答案-5
9.已知sin(45°+α)=,则sin(135°-α)= .?
解析sin(135°-α)=sin[180°-(45°+α)]=sin(45°+α)=.
答案
10.设tan(5π+α)=m,则= .?
解析∵tan(5π+α)=tan α=m,∴原式=.
答案
11.在△ABC中,给出下列四个式子:
①sin(A+B)+sin C;
②cos(A+B)+cos C;
③sin(2A+2B)+sin 2C;
④cos(2A+2B)+cos 2C.
其中为定值的有 .(填序号)?
解析∵A+B+C=π,∴sin(A+B)+sin C=sin(π-C)+sin C=2sin C;cos(A+B)+cos C=cos(π-C)+cos C=0;sin(2A+2B)+sin 2C=sin(2π-2C)+sin 2C=0;cos(2A+2B)+cos 2C=cos(2π-2C)+cos 2C=2cos 2C.所以②③的值为定值.
答案②③
12.导学号68254016已知<α<,cos=m(m≠0),则tan= .?
解析由<α<,可得α+.
因为cos=m<0,
所以sin,
所以tan.
所以tan=tan
=-tan=-.
答案-
13.已知sin(3π+α)=.求:
.
解∵sin(3π+α)=,∴sin α=-.
原式=
=-sin α=.
14.导学号68254017(1)已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根,求的值;
(2)已知sin(4π+α)=sin β,cos(6π+α)=cos(2π+β),且0<α<π,0<β<π,求α和β的值.
解(1)因为方程5x2-7x-6=0的两根为2和-,
所以sin α=-.
由sin2α+cos2α=1,得cos α=±=±.
当cos α=时,tan α=-;
当cos α=-时,tan α=.
所以原式=
=tan α=±.
(2)因为sin(4π+α)=sin β,
所以sin α=sin β. ①
因为cos(6π+α)=cos (2π+β),
所以cos α=cos β. ②
①2+②2,得sin2α+3cos2α=2(sin2β+cos2β)=2,
所以cos2α=,即cos α=±.
又0<α<π,所以α=或α=.
又0<β<π,当α=时,由②得β=;
当α=时,由②得β=.
所以α=,β=或α=,β=.
第2课时 诱导公式五、六
课后篇巩固探究
A组 基础巩固
1.若α∈,则=( )
A.sin α B.-sin α C.cos α D.-cos α
解析∵α∈,∴sin α<0.∴=-sin α.
答案B
2.如果|sin α|=,且α是第二象限角,那么sin=( )
A.- B. C.- D.
解析由已知得sin α=,因为α是第二象限角,
所以cos α=-=-.
所以sin=-sin=-cos α=.
答案D
3.在直角坐标系中,若α与β的终边关于y轴对称,则下列等式恒成立的是( )
A.sin(α+π)=sin β B.sin(α-π)=sin β
C.sin(2π-α)=-sin β D.sin(-α)=sin β
解析设角α的终边与单位圆的交点为(x,y),则角β的终边与单位圆的交点为(-x,y),于是sin β=y=sin α,亦即sin(2π-α)=-sin β.
答案B
4.在△ABC中,若sin,则cos=( )
A.- B.- C. D.
解析∵A+B+C=π,∴.
∴sin=sin=cos .
答案D
5.已知cos(60°+α)=,且-180°<α<-90°,则cos(30°-α)的值为( )
A.- B. C.- D.
解析由-180°<α<-90°,得-120°<60°+α<-30°.又cos(60°+α)=>0,所以-90°<60°+α<-30°,即-150°<α<-90°,所以120°<30°-α<180°,cos(30°-α)<0,所以cos(30°-α)=sin(60°+α)=-=-=-.
答案A
6.若cos α=,且α是第四象限的角,则cos= .?
解析因为α是第四象限的角,
所以sin α=-=-.
于是cos=-cos
=sin α=-.
答案-
7.求值:sin2+sin2= .?
解析∵-α++α=,
∴sin2=sin2
=cos2.
∴sin2+sin2
=sin2+cos2=1.
答案1
8.若sin,则cos2= .?
解析sin=cos θ=,则cos2=sin2θ=1-cos2θ=1-.
答案
9.化简:
.
解原式
=
=.
10.已知角α的终边经过点P.
(1)求sin α的值;
(2)求的值.
解(1)∵P,|OP|=1,∴sin α=-.
(2),由三角函数定义知cos α=,故所求式子的值为.
B组 能力提升
1.已知π<α<2π,cos(α-9π)=-,则cos的值为( )
A. B.- C.- D.
解析因为cos(α-9π)=-cos α=-,
所以cos α=.
又因为α∈(π,2π),所以sin α=-=-,cos=-sin α=.
答案D
2.已知角α的终边上有一点P(1,3),则的值为( )
A.- B.- C.- D.-4
解析
=.
因为角α终边上有一点P(1,3),
所以tan α=3,所以原式==-.故选A.
答案A
3.对于函数f(x)=asin(π-x)+bx+c(其中a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f(1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是( )
A.4和6 B.3和1
C.2和4 D.1和2
解析∵sin(π-x)=sin x,∴f(x)=asin x+bx+c,则f(1)=asin 1+b+c,f(-1)=asin (-1)+b×(-1)+c=-asin 1-b+c,∴f(-1)=-f(1)+2c ①.把f(1)=4,f(-1)=6代入①式,得c=5∈Z,故排除A;把f(1)=3,f(-1)=1代入①式,得c=2∈Z,故排除B;把f(1)=2,f(-1)=4代入①式,得c=3∈Z,故排除C;把f(1)=1,f(-1)=2代入①式,得c=?Z,故选D.
答案D
4.导学号68254018sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°= .?
解析sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin245°+cos244°+…+cos21°=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)+sin245°=44+.
答案
5.已知函数f(x)=cosx-,x∈R.若cos θ=,θ∈,2π,则fθ-= .?
解析fθ-=cosθ-=cosθ-=cos-θ=sin θ,由已知可得θ为第四象限角,所以sin θ<0,故sin θ=-=-,fθ-=sin θ=×-=-.
答案-
6.导学号68254020是否存在角α,β,α∈,β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=coscos(-α)=-cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.
解由条件,得
①2+②2得sin2α+3cos2α=2,∴sin2α=.
又α∈,
∴α=或α=-.
将α=代入②,得cos β=.
又β∈(0,π),∴β=,代入①可知符合.
将α=-代入②得cos β=,
又β∈(0,π),∴β=,代入①可知不符合.
综上可知,存在α=,β=满足条件.
1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象
课后篇巩固探究
1.函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的简图是( )
解析y=sin(-x)=-sin x,x∈[0,2π]的图象可看作是由y=sin x,x∈[0,2π]的图象关于x轴对称得到的,故选B.
答案B
2.已知cos x=-,且x∈[0,2π],则角x等于( )
A. B.
C. D.
解析如图:
由图象可知,x=.
答案A
3.已知f(x)=sin,g(x)=cos,则f(x)的图象( )
A.与g(x)的图象相同
B.与g(x)的图象关于y轴对称
C.向左平移个单位,得g(x)的图象
D.向右平移个单位,得g(x)的图象
解析由诱导公式,得f(x)=sin=cos x,所以f(x)=sin=cos x的图象向右平移个单位,得到g(x)的图象.
答案D
4.函数y=-xcos x的部分图象是( )
解析令y=f(x),因为f(x)的定义域为R,f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcos x=-f(x),所以函数y=-xcos x是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除A,C选项;因为当x∈0,时,y=-xcos x<0,所以排除B选项.
答案D
5.方程sin x=的根的个数是( )
A.7 B.8 C.9 D.10
解析在同一平面直角坐标系中作出y=sin x与y=的图象(如图所示),由图象,得两函数的图象有7个不同交点,即方程sin x=的根的个数是7,故选A.
答案A
6.当x∈[0,2π]时,满足sin≥-的x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析由sin≥-,得cos x≥-.
画出y=cos x,x∈[0,2π],y=-的图象,如图所示.
∵cos=cos=-,
∴当x∈[0,2π]时,由cos x≥-,
可得x∈.
答案C
7.导学号68254032在(0,2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析当x=时,sin=1>=0,故排除选项C,D,当0,故排除选项B.
答案A
8.函数y=的定义域是 .?
解析要使函数有意义,只需2cos x- ≥0,即cos x≥.由余弦函数图象知(如图),所求定义域为,k∈Z.
答案,k∈Z
9.函数y=2sin x与函数y=x图象的交点有 个.?
解析在同一平面直角坐标系中作出函数y=2sin x与y=x的图象可见有3个交点.
答案3
10.函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,则实数k的取值范围为 .?
解析f(x)=的图象如图所示,故由图象知1答案(1,3)
11.设0≤x≤2π,且|cos x-sin x|=sin x-cos x,则x的取值范围为 .?
解析因为|cos x-sin x|=sin x-cos x,所以sin x≥cos x,由y=sin x,y=cos x在[0,2π]上的图象,得≤x≤.
答案
12.利用正弦曲线,写出函数y=2sin x的值域是 .?
解析y=2sin x的部分图象如图.
当x=时,ymax=2,
当x=时,ymin=1,
故y∈[1,2].
答案[1,2]
13.利用“五点法”画出函数y=2-sin x,x∈[0,2π]的简图.
解(1)取值列表如下:
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
-1
0
y=2-sin x
2
1
2
3
2
(2)描点连线,图象如图所示:
14.导学号68254033用“五点法”作出函数y=1-2sin x,x∈[-π,π]的简图,并回答下列问题:
(1)观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间.
①y>1;②y<1.
(2)若直线y=a与y=1-2sin x,x∈[-π,π]的图象有两个交点,求a的取值范围.
解列表如下:
x
-π
-
0
π
sin x
0
-1
0
1
0
1-2sin x
1
3
1
-1
1
描点、连线得:
(1)由图象可知图象在直线y=1上方部分时y>1,在直线y=1下方部分时y<1,所以当x∈(-π,0)时,y>1;当x∈(0,π)时,y<1.
(2)如图所示,当直线y=a与y=1-2sin x有两个交点时,1第1课时 正弦函数、余弦函数的性质(一)
课后篇巩固探究
1.函数f(x)=-2sin的最小正周期为( )
A.6 B.2π
C.π D.2
解析T==2.
答案D
2.下列函数中,是奇函数的为( )
A.y=sin B.y=sin
C.y=3x-sin x D.y=x2+sin x
解析C选项中,令f(x)=3x-sin x,则f(-x)=3·(-x)-sin(-x)=-3x+sin x=-f(x),故函数是奇函数.
答案C
3.已知函数f(x)=sin 2x,则下列关于f(x)的叙述正确的是( )
A.f(x)是奇函数
B.f(x)是偶函数
C.f(x)的最小正周期为2π
D.f(x)的最小值不是-1
解析f(x)是奇函数;f(x)的最小正周期为T==π;f(x)的最大值是1,最小值是-1.故选A.
答案A
4.若函数f(x)=sin(3x+φ)(0≤φ<π)是一个偶函数,则φ等于( )
A.0 B. C. D.
解析因为sin=cos 3x,而函数y=cos 3x是偶函数,所以φ=.
答案B
5.设f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,且有f(x)=则f=( )
A. B.-
C.0 D.1
解析因为f(x)是定义域为R且最小正周期为2π的函数,所以f=f=f.
又因为0≤≤π,
所以f=f=sin.
答案A
6.函数y=cos(k>0)的最小正周期不大于2,则正整数k的最小值应是( )
A.10 B.11 C.12 D.13
解析∵T=≤2,∴k≥4π.
又k∈Z,∴正整数k的最小值为13.
答案D
7.已知函数f(x)是周期为2的奇函数,当0A.aC.c解析a=f=f=f=-f,
b=f=f=f=-f,
c=f=f=f.
∵当0∴c<0,0答案D
8.函数y=4sin(2x+π)的图象关于 对称.?
解析y=4sin(2x+π)=-4sin 2x,易证函数为奇函数,所以其图象关于原点对称.
答案原点
9.函数y=cos的最小正周期是 .?
解析因为y=cos,
所以T==2π×=4.
答案4
10.已知函数f(x)=sinωx+(ω>0),若函数f(x)的一个零点到最值点距离的最小值为,则ω的值为 .?
解析相邻的最值点与零点之间的区间长度为,也是函数f(x)的一个零点到最值点距离的最小值,从而,所以T=,ω=.
答案
11.导学号68254035定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x∈[3,4]时,f(x)=x-2,则有下面三个式子:
①f解析当0≤x≤1时,3≤-x+4≤4,f(-x+4)=-x+4-2=-x+2,
∴f[-(x-4)]=f(x-4)=f(x)=-x+2,
∴f(x)在[0,1]上是减函数.
∵1>sin>cos>0,1>sin 1>cos 1>0,1>cos>sin>0,∴ff.
答案②③
12.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若对任意的x≥0,都有f(x+2)=-,且当x∈[0,2π)时,f(x)=log2(x+1),试求f(-2 017)+f(2 019)的值.
解∵当x≥0时,f(x+2)=-,
∴f(x+4)=f(x),即4是f(x)(x≥0)的一个周期.
∴f(2 019)=f(3)=-=-1.
又f(-2 017)=f(2 017)=f(1)=log22=1,
∴f(-2 017)+f(2 019)=0.
13.已知函数y=sin x+|sin x|.
(1)画出这个函数的简图;
(2)这个函数是周期函数吗?如果是,求出它的最小正周期.
解(1)y=sin x+|sin x|
=
函数图象如图所示.
(2)由图象知该函数是周期函数,其图象每隔2π重复一次,故函数的最小正周期是2π.
14.导学号68254036定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈时,f(x)=sin x.
(1)求当x∈[-π,0]时,f(x)的解析式;
(2)画出函数f(x)在[-π,π]上的简图;
(3)求当f(x)≥时x的取值范围.
解(1)∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x).
∵当x∈时,f(x)=sin x,
∴当x∈时,f(x)=f(-x)=sin(-x)=-sin x.
又当x∈时,x+π∈,
f(x)的周期为π,∴f(x)=f(π+x)=sin(π+x)=-sin x.
∴当x∈[-π,0]时,f(x)=-sin x.
(2)如图.
(3)∵在[0,π]内,当f(x)=时,x=,
∴在[0,π]内,f(x)≥时,x∈.
又f(x)的周期为π,
∴当f(x)≥时,x∈,k∈Z.
第2课时 正弦函数、余弦函数的性质(二)
课后篇巩固探究
1.函数y=|sin x|的一个单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
解析画出y=|sin x|的图象即可求解.
故选C.
答案C
2.已知函数y=2cos x的定义域为,值域为[a,b],则b-a的值是( )
A.2 B.3 C.+2 D.2
解析根据函数y=2cos x的定义域为,故它的值域为[-2,1],可得b-a=1-(-2)=3.
答案B
3.已知函数y=3sin的图象是轴对称图形,则它的一条对称轴可以是( )
A.y轴 B.直线x=-
C.直线x= D.直线x=
解析A:当x=0时,2x+,不合题意;B:当x=-时,2x+=0,不合题意;C:当x=时,2x+,正确;D:当x=时,2x+,不合题意,故选C.
答案C
4.函数y=2sin的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析y=2sin=-2sin,函数y=sin的单调递减区间为y=2sin的单调递增区间,即2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z)?kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).
答案B
5.同时具有性质:
①最小正周期是π;②图象关于直线x=对称;③在上是增函数.
这样的一个函数可以为( )
A.y=sin B.y=cos
C.y=sin D.y=cos
解析周期是π的只有B,C,y=cos=cos=-sin,当x∈时,2x-,因此C是增函数,B是减函数,故选C.
答案C
6.若0<α<β<,a=sin,b=sin,则( )
A.ab
C.ab<1 D.ab>
解析∵0<α<β<,∴<α+<β+.
而正弦函数y=sin x在x∈上是增函数,
∴sin∴sinsin,即a答案A
7.导学号68254037函数y=sin2x+2cos x的最大值和最小值分别是( )
A.,- B.,-2
C.2,- D.2,-2
解析因为函数y=sin2x+2cos x=1-cos2x+2cos x=-(cos x-1)2+2,又cos x∈.
所以当cos x=-1,即x=π时,函数y取得最小值为-4+2=-2;当cos x=,即x=时,函数y取得最大值为-+2=.
答案B
8.函数y=sin |x|+sin x的值域是 .?
解析∵y=sin |x|+sin x=∴-2≤y≤2.
答案[-2,2]
9.若y=asin x+b的最大值为3,最小值为1,则ab= .?
解析当a>0时,
当a<0时,
所以ab=2或-2.
答案2或-2
10.若函数y=cos ωx(ω>0)在区间[0,1]上出现了50次最小值,则ω的取值范围是 .?
解析设函数的周期为T,由题意知又T=,则解得99π≤ω<101π.
答案[99π,101π)
11.函数y=2sin-cos(x∈R)的最小值为 .?
解析∵,
∴y=2sin-cos
=2cos-cos=cos.
∴ymin=-1.
答案-1
12.求函数y=sin2x+acos x+a-0≤x≤的最大值g(a).
解y=1-cos2x+acos x+a-=-cos x-2+a-,
∵0≤x≤,∴0≤cos x≤1,
∴当0≤≤1,即0≤a≤2时,cos x=时,函数取得最大值,
ymax=;
当>1,即a>2时,cos x=1时,函数取得最大值,ymax=;
当<0,即a<0时,cos x=0时,函数取得最大值,ymax=.
综上所述,g(a)=
13.导学号68254039已知函数f(x)=1-2a-2acos x-2sin2x的最小值为g(a),a∈R.
(1)求g(a);
(2)若g(a)=,求a及此时f(x)的最大值.
解(1)y=f(x)=1-2a-2acos x-2(1-cos2x),
令t=cos x,则y=2t2-2at-2a-1,t∈[-1,1],
当<-1,即a<-2时,ymin=f(-1)=1;
当-1≤≤1,即-2≤a≤2时,ymin=f=--2a-1.
当>1,即a>2时,ymin=f(1)=-4a+1.
故g(a)=
(2)由g(a)=,得a=-1,此时f(x)=2cos2x+2cos x+1,
当cos x=1时,f(x)max=5,此时x=2kπ,k∈Z.
14.导学号68254040已知函数f(x)=sin(ωx+φ)其中ω>0,|φ|<,若函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为,且直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴.
(1)求ω的值;
(2)求y=f(x)的单调递增区间;
(3)若x∈,求y=f(x)的值域.
解(1)因为函数y=f(x)的图象与x轴的任意两个相邻交点间的距离为,所以函数的周期T=π,所以ω==2.
(2)因为直线x=是函数y=f(x)图象的一条对称轴,所以2×+φ=kπ+,k∈Z,φ=kπ+,k∈Z.
又|φ|<,所以φ=.
所以函数的解析式是y=sin.
令2x+,k∈Z,
解得x∈,k∈Z.
所以函数的单调递增区间为,k∈Z.
(3)因为x∈,
所以2x+.
所以sin,
即函数的值域为.
1.4.3 正切函数的性质与图象
课后篇巩固探究
1.函数f(x)=的定义域为( )
A.
B.
C.
D.
解析由题意得k∈Z,所以x≠(k∈Z),选A.
答案A
2.若函数f(x)=tan与函数g(x)=sin的最小正周期相同,则ω=( )
A.±1 B.1 C.±2 D.2
解析∵函数g(x)的周期为=π,
∴=π,∴ω=±1.
答案A
3.函数y=tan的一个对称中心是( )
A.(0,0) B.
C. D.(π,0)
解析令x+,k∈Z,得x=,k∈Z,所以函数y=tan的对称中心是.
令k=2,可得函数的一个对称中心为.
答案C
4.函数f(x)=tan的单调递减区间为( )
A.,k∈Z
B.,k∈Z
C.,k∈Z
D.(kπ,(k+1)π),k∈Z
解析因为f(x)=tan=-tan,所以原函数的单调递减区间就是函数y=tan的单调递增区间.
所以kπ-≤x-≤kπ+,k∈Z,即kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.故原函数的单调递减区间是,k∈Z.
答案B
5.在区间范围内,函数y=tan x与函数y=sin x图象交点的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析在同一平面直角坐标系中,首先作出y=sin x与y=tan x在内的图象,需明确x∈时,有sin x答案C
6.函数y=tan的值域为 .?
解析∵-≤x≤,且x≠0,
∴-x≤,且-x≠.
∴由y=tan x的图象知y=tan的值域为(-∞,-1]∪[1,+∞).
答案(-∞,-1]∪[1,+∞)
7.给出下列四个结论:
①sin->sin-;②cos->cos-;
③tan >tan ;④tan >sin .
其中正确结论的序号是 .?
解析函数y=sin x是-,0上的增函数,0>->->-,所以sin->sin-,①正确;cos-=cos-6π-=cos ,cos-=cos-4π-=cos ,所以cos-=cos-,②不正确;函数y=tan x是,π上的增函数,<π,所以tan x>sin x,所以tan >sin ,④正确.
答案①④
8.已知函数y=tan ωx在内是减函数,则ω的取值范围为 .?
解析由题意可知ω<0,又,故-1≤ω<0.
答案[-1,0]
9.关于x的函数f(x)=tan(x+φ)有以下几种说法:
①对任意的φ,f(x)都是非奇非偶函数;
②f(x)的图象关于对称;
③f(x)的图象关于(π-φ,0)对称;
④f(x)是以π为最小正周期的周期函数.
其中不正确的说法的序号是 .?
解析①若取φ=kπ(k∈Z),则f(x)=tan x,此时,f(x)为奇函数,所以①错;观察正切函数y=tan x的图象,可知y=tan x关于(k∈Z)对称,令x+φ=,k∈Z,得x=-φ,分别令k=1,2知②,③正确,④显然正确.
答案①
10.导学号68254042方程-tan x=0在x∈内的根的个数为 .?
解析分别画出y=与y=tan x在x∈内的图象,如图.
易知y=与y=tan x在相应区间内有2个交点,原方程有2个根.
答案2
11.求函数y=-tan2x+4tan x+1,x∈的值域.
解∵-≤x≤,
∴-1≤tan x≤1.
令tan x=t,则t∈[-1,1].
∴y=-t2+4t+1=-(t-2)2+5.
∴当t=-1,即x=-时,ymin=-4,
当t=1,即x=时,ymax=4.
故所求函数的值域为[-4,4].
12.是否存在实数a,且a∈Z,使得函数y=tan-ax在区间上单调递增?若存在,求出a的一个值;若不存在,请说明理由.
解y=tan-ax=tan-ax+,
∵y=tan x在区间kπ-,kπ+(k∈Z)上为增函数,∴a<0,
又x∈,∴-ax∈-,-,
∴-ax∈,
∴
解得-≤a≤6-8k(k∈Z).
由-=6-8k得k=1,此时-2≤a≤-2.
∴a=-2<0,
∴存在a=-2∈Z,满足题意.
13.设函数f(x)=asinkx+和φ(x)=btankx-,k>0,若它们的最小正周期之和为,且f=φ,f=-φ+1,求f(x),φ(x)的解析式.
解f(x)=asinkx+的最小正周期T=.
φ(x)=btankx-的最小正周期T=.
∵,∴k=2.
∴f(x)=asin2x+,φ(x)=btan2x-,
∴f=asinπ+=-asin =-a.
φ=btanπ-=-btan =-b.
f=asin=acos a.
φ=btan=b.
∴
化简得
∴f(x)=sin2x+,φ(x)=tan2x-.
1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
课后篇巩固探究
A组 基础巩固
1.某同学用“五点法”画函数y=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<在一个周期内的简图时,列表如下:
ωx+φ
0
π
2π
x
y
0
2
0
-2
0
则有( )
A.A=0,ω=,φ=0
B.A=2,ω=3,φ=
C.A=2,ω=3,φ=-
D.A=1,ω=2,φ=-
解析由表格得A=2,,
∴ω=3.∴ωx+φ=3x+φ.
当x=时,3x+φ=kπ,k∈Z,
又|φ|<,∴φ=-.
答案C
2.函数y=sin在区间上的简图是( )
解析当x=0时,y=sin=-<0,故可排除B,D;当x=时,sin=sin 0=0,排除C.
答案A
3.要得到函数y=sin的图象,只需将函数y=sin的图象( )
A.向右平移个单位 B.向左平移个单位
C.向右平移个单位 D.向左平移个单位
解析因为y=sin=sin,所以应将函数y=sin的图象向右平移个单位.
答案C
4.在同一平面直角坐标系中,函数y=cos(x∈[0,2π])的图象和直线y=的交点个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.4
解析作出函数y=cosπ,x∈[0,2π]的图象及y=的图象可得,应选C.
答案C
5.有四种变换:
①向左平移个单位长度,再各点的横坐标缩短为原来的;
②向左平移个单位长度,再各点的横坐标缩短为原来的;
③各点横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度;
④各点横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度,
其中能使y=sin x的图象变为y=sin的图象的是( )
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
解析由y=sin x的图象变为y=sin的图象有两种图象变换方式,第一种:先平移,后伸缩,向左平移个单位长度,再各点的横坐标缩短为原来的;第二种:先伸缩,后平移;各点横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度.
答案A
6.把函数f(x)=cos图象上所有点的横坐标缩短到原来的,得到函数g(x)的图象,则g(x)的最小正周期是 .?
解析由已知得g(x)=cos,故最小正周期T=.
答案
7.已知函数y=Asin(ωx+φ)+m的最大值是4,最小值是0,最小正周期是,直线x=是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是( )
A.y=4sin4x+ B.y=2sin2x++2
C.y=2sin4x++2 D.y=2sin4x++2
解析由题意可得,A==2,m==2,ω==4,
∴φ=kπ+,
∴当k=1时,φ=,
∴符合条件的一个解析式为y=2sin4x++2.
答案D
8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0),若f(x)的图象向左平移个单位所得的图象与f(x)的图象向右平移个单位所得的图象重合,则ω的最小值为 .?
解析f=sin,f=sin,依题意得=2kπ-,k∈Z,即ω=4k,k∈Z,因为ω>0,所以当k=1时,ω的值最小,最小值为4.
答案4
9.已知函数f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,再把所得的图象沿x轴向左平移个单位长度,这样得到的图象与y=sin x的图象相同,求f(x)的解析式.
解反过来想,y=sin x的图象y=sin的图象y=sin的图象,即f(x)=sin的图象.
10.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如表:
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin(ωx+φ)
0
5
-5
0
(1)请将上表数据补充完整,填写在相应位置,并直接写出函数f(x)的解析式;
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象.若y=g(x)图象的一个对称中心为,求θ的最小值.
解(1)根据表中已知数据,解得A=5,ω=2,φ=-.
数据补全如下表:
ωx+φ
0
π
2π
x
Asin(ωx+φ)
0
5
0
-5
0
且函数表达式为f(x)=5sin.
(2)由(1)知f(x)=5sin,
得g(x)=5sin.
因为y=sin x图象的对称中心为(kπ,0),k∈Z.
令2x+2θ-=kπ,k∈Z,
解得x=-θ,k∈Z.
由于函数y=g(x)的图象关于点成中心对称,
令-θ=,k∈Z,
解得θ=,k∈Z.
由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值.
B组 能力提升
1.已知函数f(x)=sinωx+(ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cos ωx的图象,只要将y=f(x)的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
解析函数f(x)的最小正周期为π,则ω==2,所以f(x)=sin2x+.下面用诱导公式化同名,f(x)=sin2x+=cos-2x+=cos-2x=cos2x-=cos2x-.要想得到函数g(x)=cos 2x的图象,只要把f(x)解析式中的x换成x+即可,因此只需把函数f(x)的图象向左平移个单位长度即可.故选A.
答案A
2.导学号68254045若将函数f(x)=sin的图象向左移动之后的图象与原图象的对称中心重合,则正实数ω的最小值是( )
A. B. C. D.
解析将函数f(x)=sin的图象向左移动之后,可得y=sinsinωx+的图象.
由于所得的图象与原图象的对称中心重合,故所得图象与原图象相差半个周期的整数倍,所以=k·(k∈Z),故ω=(k∈Z),则正实数ω的最小值为.
答案A
3.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,为了得到g(x)=sin的图象,只需将y=f(x)的图象上 .?
解析∵f(x)的最小正周期为π,∴=π.
∴ω=2.∴f(x)=sin.
又g(x)=sin=sin,
∴只需将y=f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到g(x)=sin的图象.
答案所有点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变
4.若函数f(x)=sinωx+(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为,且该函数的图象关于点(x0,0)成中心对称,x0∈0,,则x0= .?
解析由f(x)=sinωx+(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为,知T=π,ω=2,又图象关于点(x0,0)成中心对称,得2x0+=kπ(k∈Z),而x0∈0,,则x0=π.
答案π
5.导学号68254046将函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-≤φ<图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移个单位长度得到y=sin x的图象.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)当x∈[0,3π]时,方程f(x)=m有唯一实数根,求m的取值范围.
解(1)将y=sin x的图象向左平移个单位长度可得y=sin的图象,保持纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,可得y=sin的图象,故f(x)=sin.
(2)令2kπ+x+≤2kπ+(k∈Z),
则4kπ+≤x≤4kπ+(k∈Z).
又x∈[0,3π],所以x∈,f(x)单调递增,x∈,f(x)单调递减,x∈,f(x)单调递增,所以f(x)max=1,f(x)min=-1,当x=0时,m=,当x=3π时,m=-.
故使方程f(x)=m有唯一实数根的m的取值范围为m∈∪{-1,1}.
6.已知点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))是函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<0图象上的任意两点,角φ的终边经过点P(1,-),且当|f(x1)-f(x2)|=4时,|x1-x2|的最小值为.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调递增区间;
(3)当x∈0,时,不等式mf(x)+2m≥f(x)恒成立,求实数m的取值范围.
解(1)∵角φ的终边经过点P(1,-),
∴tan φ=-,
∵-<φ<0,∴φ=-.
由当|f(x1)-f(x2)|=4时,|x1-x2|的最小值为,
得T=,即,∴ω=3.
∴f(x)=2sin3x-.
(2)由-+2kπ≤3x-+2kπ,k∈Z,
得-≤x≤,k∈Z,
故函数f(x)的单调递增区间为-(k∈Z).
(3)当x∈0,时,-≤f(x)≤1,
于是2+f(x)>0,则mf(x)+2m≥f(x),
等价于m≥=1-.
由-≤f(x)≤1,得的最大值为.
故实数m的取值范围是,+∞.
1.6 三角函数模型的简单应用
课后篇巩固探究
1.
如图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(单位:cm)和时间t(单位:s)的函数关系式为s=6sin,那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A.2π s B.π s C.0.5 s D.1 s
解析单摆来回摆动一次所需的时间即为函数s=6sin的一个周期T==1(s).
答案D
2.如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为( )
解析由题意可得f(x)=0≤f(x)≤,排除A,B,D,选项C满足函数的图象,故选C.
答案C
3.动点A(x,y)在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周.已知时间t=0时,点A的坐标是,则当0≤t≤12时,动点A的纵坐标y关于t(单位:秒)的函数的单调递增区间是( )
A.[0,1] B.[1,7]
C.[7,12] D.[0,1]和[7,12]
解析由已知可得该函数的周期为T=12,ω=.
又当t=0时,A,
则y=sin,由t∈[0,12],可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12].
答案D
4.为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图所示的坐标系,设秒针针尖位置P(x,y),若初始位置为P0,当秒针从P0(注:此时t=0)正常开始走时,点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( )
A.y=sin B.y=sin
C.y=sin D.y=sin
解析设y=sin(ωt+φ),其中ω<0.
由=60,得|ω|=,∴ω=-.
∴y=sin.
又当t=0时,y=,
∴φ=.
∴y=sin.
答案C
5.某地一天0~24时的气温y(单位:℃)与时间t(单位:h)的关系满足函数y=6sin+20(t∈[0,24]),则这一天的最低气温是 ℃.?
解析因为0≤t≤24,所以-t-,故当t-=-,即t=2时函数取最小值-6+20=14.
答案14
6.如图,点P是半径为r的砂轮边缘上的一个质点,它从初始位置P0开始,按逆时针方向以角速度ω(rad/s)做圆周运动,则点P的纵坐标y关于时间t的函数关系式为 .?
解析当质点P从P0转到点P位置时,点P转过的角度为ωt,
则∠POx=ωt+φ,
由任意角的三角函数定义知点P的纵坐标y=rsin(ωt+φ).
答案y=rsin(ωt+φ)
7.导学号68254055生物节律是描述体温、血压和其他易变的生理变化的每日生物模型.下表中给出了在24小时期间人的体温的典型变化(从夜间零点开始计时).
时间(时)
0
2
4
6
8
10
12
温度(℃)
36.8
36.7
36.6
36.7
36.8
37
37.2
时间(时)
14
16
18
20
22
24
温度(℃)
37.3
37.4
37.3
37.2
37
36.8
(1)作出这些数据的散点图;
(2)选用一个三角函数来近似描述这些数据;
(3)作出(2)中所选函数的图象.
解(1)散点图如下:
(2)设t时的体温y=Asin(ωt+φ)+C,
则C==37,A=37.4-37=0.4,
ω=.
由0.4sin+37=37.4,
得sin=1,取φ=-.
故可用函数y=0.4sin+37来近似描述这些数据.
(3)图象如下:
8.如图,在矩形ABCD中,AB=1,BC=,此矩形沿地面上一直线滚动,在滚动过程中始终与地面垂直,设直线BC与地面所成的角为θ,矩形周边上最高点离地面的距离为f(θ).
求:(1)θ的取值范围;
(2)f(θ)的解析式;
(3)f(θ)的值域.
解(1)观察可知BC与地面所成的角θ的取值范围为0,.
(2)如图,连接BD,则∠DBC=,过D作地面的垂线,垂足为E,在Rt△BED中,∠DBE=θ+,DB=2,
∴f(θ)=2sinθ+0≤θ≤.
(3)f(θ)=2sinθ+0≤θ≤,≤θ+,
∴≤sinθ+≤1,即f(θ)的值域为[1,2].
