2.6 实数课时作业

2.6 实数课时作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题
下列四个命题，正确的有（　　）个．
①有理数与无理数之和是有理数
②有理数与无理数之和是无理数
③无理数与无理数之和是无理数
④无理数与无理数之积是无理数．
A．1 B．2 C．3 D．4
两个无理数的和，差，积，商一定是（　　）
A．无理数 B．有理数 C．0 D．实数
实数的绝对值是（ ）
A． B． C． D． 1
计算﹣|﹣5|﹣=（　　）
A．﹣8 B．2 C．﹣4 D．﹣14
计算：的结果是（　　）
A．4 B．0 C．8 D．12
下列等式中：①=②=±4 ③=0.001 ④=﹣⑤=﹣⑥﹣（﹣）2=25中正确的有个．（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
若a2=9，=﹣2，则a+b=（　　）
A．﹣5 B．﹣11 C．﹣5或﹣11 D．±5或±11
若|a﹣|+（b+1）2=0，则的值是（　　）
A． B． C． D．
对于实数a，b，先定义一种新运算“★”如下：当a≥b时，a★b=a2+ab；当a＜b时，a★b=b2+ab；若2★m=24，则实数m等于（　　）
A．10 B．4 C．4或﹣6 D．4或﹣6或10
二 、填空题
的绝对值是　　　　　　，它的倒数　　　　　　．
计算：|﹣2|﹣=　 　．
用适当的符号填空：若b＞c＞0，则b﹣c　 　0，|c﹣b|　 　0，﹣　 　0．
实数a在数轴上的位置如图，则|a﹣|=　 　．
如图所示，把边长为1的正方形放在数轴上，以数1表示的点为圆心，正方形的对角线长为半径作弧，交数轴于点A，则点A表示的数是．
已知，且|a+b|=-a-b，则a-b的值是????．
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体称为集合．一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的．如一组数1，1，2，3，4就可以构成一个集合，记为A={1，2，3，4}．类比实数有加法运算，集合也可以“相加”．定义：集合A与集合B中的所有元素组成的集合称为集合A与集合B的和，记为A+B．若A={﹣2，0，1，5，7}，B={﹣3，0，1，3，5}，则A+B=　　．
三 、解答题
计算：（1）-（2）+++
（1）计算：|﹣|+2
（2）求x的值：25x2=36．
已知a，b为实数，且满足关系式：|a-2b|+（3a-b-10）2=0求：（1）a，b的值；
（2）-+5的平方根．
定义新运算，对于任意实数a，b，都有a?b=a（a﹣b）+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．
比如：2?5=2×（2﹣5）+1=2×（﹣3）+1=﹣6+1
（1）求（﹣2）?3的值；
（2）求?（﹣）的值．
小强同学在学习了本章的内容后设计了如下问题：定义：把形如a+b与a-b（a、b为有理数且b≠0，m为正整数且开方开不尽）的两个实数称为共轭实数．（1）请你举出一对共轭实数；（2）3与2是共轭实数吗？-2与2是共轭实数吗？（3）共轭实数a+b，a-b是有理数还是无理数？（4）你发现共轭实数ab与a-b的和、差有什么规律？
数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小白在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究：
操作一：
（1）折叠纸面，若使表示的点1与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与　　表示的点重合；
操作二：
（2）折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，回答以下问题：
①表示的点与数　　表示的点重合；
②若数轴上A．B两点之间距离为8（A在B的左侧），且A．B两点经折叠后重合，则A．B两点表示的数分别是　　；
操作三：
（3）在数轴上剪下9个单位长度（从﹣1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图）．若这三条线段的长度之比为1：1：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是　　．
答案解析
一 、选择题
【考点】实数的运算．
【分析】根据无理数、有理数的定义及实数的混合运算进行解答即可．
解：①有理数与无理数的和一定是有理数，故本小题错误；
②有理数与无理数的和一定是无理数，故本小题正确；
③例如﹣+=0，0是有理数，故本小题错误；
④例如（﹣）×=﹣2，﹣2是有理数，故本小题错误．
故选A．
【点评】本题考查的是实数的运算及无理数、有理数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键．
【分析】根据无理数的加减乘除运算的法则和无理数的定义即可判定．
解：因为+（﹣）=0，+=2，所以其和可以为有理数，也可为无理数；
因为﹣=0，﹣2=﹣，所以其差可以为有理数，也可为无理数；
因为=2，=，所以其积可以为有理数，也可为无理数；
因为=1，=，所以其商可以为有理数，也可为无理数．
所以两个无理数的和，差，积，商一定是实数．
故选D．
【考点】实数的性质．
【分析】 根据差的绝对值是大数减小数，可得答案．
解：实数的绝对值是2﹣．
故选：B．
【点评】本题考查了实数的性质，差的绝对值是大数减小数．
【分析】原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用平方根定义化简，计算即可得到结果．
解：原式=﹣5﹣3=﹣8．
故选A
【分析】首先根据算术平方根立方根的定义去掉根号，再计算可使计算简便．
解：原式=4﹣4=0．
故选B．
【分析】原式各项计算得到结果，即可作出判断．
解：①原式=，错误；②原式=|﹣4|=4，错误；③原式=10﹣3=0.001，正确；④原式=﹣，正确；⑤原式=﹣2，正确；⑥原式=﹣5，错误，
则正确的有3个，
故选B
【分析】利用平方根及立方根定义求出a与b的值，即可求出a+b的值．
解：∵a2=9，=﹣2，
∴a=3或﹣3，b=﹣8，
则a+b=﹣5或﹣11，
故选C
【分析】根据非负整数的性质得到a﹣=0，b+1=0，则a=，b=﹣1，然后把它们代入计算即可．
解：∵|a﹣|+（b+1）2=0，
∴a﹣=0，b+1=0，
∴a=，b=﹣1，
∴×2=×2=2．
故选A．
【分析】根据题意，（1）m≤2时，22+2m=24；（2）m＞2时，m2+2m=24；据此求出m的值是多少即可．
解：∵当a≥b时，a★b=a2+ab；当a＜b时，a★b=b2+ab，
∴（1）m≤2时，22+2m=24，
解得m=10，不满足题意．
∴（2）m＞2时，m2+2m=24，
解得m=﹣6或4，
∵﹣6＜2，
∴m=4．
综上，可得：m=4．
故选：B．
二 、填空题
【考点】 实数的性质．
【分析】根据绝对值的性质及倒数的概念，解答即可．
解：∵2＜，
∴的绝对值，即|2﹣|=﹣2；
根据倒数的概念，化简得，
==﹣2﹣．
故答案为：﹣2和﹣2﹣．
【点评】本题主要考查了绝对值的性质及倒数的概念：乘积为1的两个实数互为倒数．
【考点】 实数的运算．
【分析】首先计算开方，然后计算减法，求出算式的值是多少即可．
解：|﹣2|﹣
=2﹣2
=0
故答案为：0．
【分析】根据b＞c＞0，可得：b﹣c＞0，c﹣b＜0，据此逐项判定即可．
解：∵b＞c＞0，
∴b﹣c＞0，c﹣b＜0，
∴b﹣c＞0，|c﹣b|＞0，﹣＜0．
故答案为：＞、＞、＜．
【考点】实数与数轴．
【分析】根据数轴上点的位置判断出a﹣的正负，利用绝对值的代数意义化简即可得到结果．
解：∵a＜0，
∴a﹣＜0，
则原式=﹣a，
故答案为：﹣a
【考点】实数与数轴．
【分析】图中正方形的边长为1，则可根据勾股定理求出正方形对角线的长度．以对角线长度为半径作圆与x轴交于点A，则点A表示的数即为1加上对角线的长度．
解：应用勾股定理得，正方形的对角线的长度=，
以正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，所以数轴上的点A表示的数为：1+．
故答案为：．
【点评】本题主要考查勾股定理的知识，还要了解数轴上的点表示数的方法．解题关键是利用勾股定理求出正方形的对角线长度，同时要掌握圆上各点到圆点的距离相等都为半径．
【分析】根据|a+b|=-a-b，可知a+b＜0，分两种情况：①a＜0，b＜0；②a＜0，b＞0，分别求出a-b的值即可．解：|a+b|=-a-b，∴a+b＜0，∵，∴分两种情况：①当a＜0，b＜0时，此时a=-4，b=-3，a-b=-4-（-3）=-1；②当a＜0，b＞0，此时a=-4，b=3，a-b=-4-3=-7．故答案为：-1或-7．
【考点】实数的运算．
【分析】根据题中新定义求出A+B即可．
解：∵A={﹣2，0，1，5，7}，
B={﹣3，0，1，3，5}，
∴A+B={﹣3，﹣2，0，1，3，5，7}．
故答案为：{﹣3，﹣2，0，1，3，5，7}．
三 、解答题
【分析】（1）根据绝对值的意义，以及立方根的意义即可求解；（2）根据绝对值的意义，首先去掉绝对值符号，再合并同类二次根式即可．解：（1）原式=4+4=8；（2）原式=-1+-+2-+-2=-1．
【考点】实数的运算；平方根．
【分析】（1）首先求出|﹣|的大小，然后再用求出的绝对值的大小加上2，求出算式|﹣|+2的值是多少即可．
（2）首先求出x2的大小，然后根据平方根的求法，求出x的值是多少即可．
解：（1）|﹣|+2
=
=
（2）∵25x2=36，
∴x2=，
∴x=
【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
（2）此题还考查了平方根的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
【分析】（1）先根据非负数的性质列出关于ab的方程组，求出a、b的值即可；（2）把ab的值代入代数式进行计算即可．解：（1）∵a，b为实数，且满足关系式：|a-2b|+（3a-b-10）2=0∴，解得；
（2）∵a=4，b=2，∴原式=-+5=6-2+5=9．∵（±3）2=9，∴-+5的平方根是±3．
【考点】实数的运算．
【专题】新定义．
【分析】原式各项利用题中的新定义计算即可得到结果．
解：（1）根据题意得：（﹣2）?3=﹣2×（﹣2﹣3）+1=10+1=11；
（2）根据题意得：?（﹣）=×（+）+1=4+．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
【分析】（1）根据题意写出一对共轭实数即可；（2）利用新定义判断即可；（3）根据新定义得共轭实数是无理数；（4）求出共轭实数之和与之差，找出规律即可．解：（1）8-2与8+2是一对共轭实数；（2）3与2不是共轭实数，-2与2是共轭实数；（3）共轭实数a+b，a-b是无理数；（4）a+b+a-b=2a；（a+b）-（a-b）=2b．
【考点】实数与数轴．
【分析】（1）根据对称性找到折痕的点为原点O，可以得出﹣2与2重合；
（2）根据对称性找到折痕的点为﹣1，
①设表示的点与数a表示的点重合，根据对称性列式求出a的值；
②因为AB=8，所以A到折痕的点距离为4，因为折痕对应的点为﹣1，由此得出A．B两点表示的数；
（3）分三种情况进行讨论：设折痕处对应的点所表示的数是x，如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，所以设AB=a，BC=a，CD=2a，得a+a+2a=9，a=，得出AB、BC、CD的值，计算也x的值，同理可得出如图2、3对应的x的值．
解：操作一，
（1）∵表示的点1与﹣1表示的点重合，
∴折痕为原点O，
则﹣2表示的点与2表示的点重合，
故答案为：2；
操作二：
（2）∵折叠纸面，若使1表示的点与﹣3表示的点重合，
则折痕表示的点为﹣1，
①设表示的点与数a表示的点重合，
则﹣（﹣1）=﹣1﹣a，
a=﹣2﹣；
②∵数轴上A．B两点之间距离为8，
∴数轴上A．B两点到折痕﹣1的距离为4，
∵A在B的左侧，
则A．B两点表示的数分别是﹣5和3；
故答案为：①﹣2﹣，②﹣5和3；
操作三：
（3）设折痕处对应的点所表示的数是x，
如图1，当AB：BC：CD=1：1：2时，
设AB=a，BC=a，CD=2a，
a+a+2a=9，
a=，
∴AB=，BC=，CD=，
x=﹣1++=，
如图2，当AB：BC：CD=1：2：1时，
设AB=a，BC=2a，CD=a，
a+a+2a=9，
a=，
∴AB=，BC=，CD=，
x=﹣1++=，
如图3，当AB：BC：CD=2：1：1时，
设AB=2a，BC=a，CD=a，
a+a+2a=9，
a=，
∴AB=，BC=CD=，
x=﹣1++=，
综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或．
故答案为：或或．