鲁教版数学9年级上2.4《解直角三角形》测试（含答案及解析）

解直角三角形
时间：120分钟 总分：100
题号 一 二 三 四 总分
得分


一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
如图，中，，D是AB中点，点E在AC上，，则的值为　　
A.
B.
C.
D.



如图，在直角中，延长斜边BD到点C，使，连接AC，若，则的值　　
A. B. C. D.
如图，在中，，于D，，，设，那么的值是　　
A.
B.
C.
D.



在中，，，，则　　
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
如图，在矩形ABCD中，点E是边BC的中点，，垂足为F，则的值是　　


A. B. C. D.
如图，在中，，，，则BC的长度为　　


A. 2 B. 8 C. D.
如图，在中，，，，则BC的长是　　
A.
B. 4
C.
D.



如图，在等腰中，，，则AD：　　
A.
B.
C.
D.



如图，在中，，，点D是CB延长线上的一点，且，则的值为　　
A. B. C. D.
如图，在x轴的上方，直角绕原点O按顺时针方向旋转，若的两边分别与函数，的图象交于B、A两点，则的值的变化趋势为：　　


A. 逐渐变小 B. 逐渐变大 C. 时大时小 D. 保持不变
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
如图，已知在中，，，，点D在边BC上，将沿着过点D的一条直线翻折，使点B落在AB边上的点E处，联结CE、DE，当时，则BE的长是______．

如图，在中，，，将折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF为折痕，若，则的值为______．
如图，在中，，，垂足为点H，如果，那么的值是______．





如图，?中，，，，则______．
如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点若，，则BD的长是______．

如图，在中，，，，点D是AB的中点，点E是边BC上一动点，沿DE所在直线把翻折到的位置，交边BC于点F，若为直角三角形，则的长为______．
在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若，则______．
如图，点在反比例函数的图象上，轴于H，，则k的值为______．





如图，四边形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形，则______．

如图，在等腰中，，，D是AC上一点，过D作于点E，若，则CE的长为______．







三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）
如图，在中，，D是BC边上一点，，，设．
求、、的值；
若，求BD的长．












如图，AD是边BC上的高，，，，求AD的长．














如图，中，，垂足是D，若，，，求的值．














如图，在中，，，D为AC上一点，，，求AB的长．







四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）
如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，，，连结AF交CG于点K，H是AF的中点，连结CH．
求的值；
求CH的长．













如图，四边形ABCD为正方形，点E在边?AB上，点F在AB的延长线上，点G在边AD上，且，，连接DE、FG相交于点H．
若，如图，求的度数提示：连接CG，；?
若，如图，求的值．










答案和解析
1. C 2. D 3. D 4. D 5. A 6. A 7. D
8. D 9. A 10. D
11. ??
12. ??
13. ??
14. ??
15. 2??
16. 或2??
17. ??
18. 60??
19. ??
20. ??
21. 解：在中，
，，
．
，，；

在中，
，
即，
，
．??
22. 解：在中，，，
，
设，则有，
在中，，，
为等腰直角三角形，
，
解得：，．??
23. 解：，，
在中，，
，
，
，
，
．??
24. 解：，

又
．??
25. 解：四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，
，，，，，
，，
∽，
：：：3，
，
；
正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，，，
，，，
延长AD交EF于M，连接AC、CF，如图所示：
则，，，
四边形ABCD和四边形GCEF是正方形，
，
，
为AF的中点，
，
在中，由勾股定理得：，
．??
26. 解：如图?所示，连接CG、CF．

四边形ABCD是正方形，
，，
当时，，，
，
≌，
，，
，
，
，
且，
四边形EFCD为平行四边形，
，
．

过点F作，交DC于点M，如图所示，连接GM．

，四边形EFMD为平行四边形，
，，
，，
，
：：AE，
∽，
，
，
，
，又，
，
．??
【解析】
1. 解：中，，，
，，
是AB中点，，
，
，
，
，
，
，
．
设，则，．
在与中，
，
∽，
，即，
解得负值舍去，
．
在中，，
．
故选C．
先根据等腰三角形的性质与判定以及三角形内角和定理得出，，再证明∽，根据相似三角形的性质列出比例式，求出AE，然后在中利用余弦函数定义求出的值．
本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中证明∽是解题的关键．
2. 解：如图，延长AD，过点C作，垂足为E，
，即，
设，则，
，，
∽，
，
，，
，
．
故选D．
延长AD，过点C作，垂足为E，由，即，设，则，然后可证明∽，然后相似三角形的对应边成比例可得：，进而可得，，从而可求．
本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将放在直角三角形中．
3. 解：中，，于D，
，，
，
故选D．
求出，将求的问题转化为求的问题解答．
此题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两锐角互余；还考查了三角函数的定义以及转化思想．
4. 解：在中，，，，
，
故选：D．
在直角三角形ABC中，利用锐角三角函数定义表示出，将的值与BC的长代入求出AB的长即可．
此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．
5. 解：四边形ABCD是矩形，
，，
点E是边BC的中点，
，
∽，
，
，
，
点E是边BC的中点，
由矩形的对称性得：，
，设，则，
，
；
故选：A．
证明∽，得出，，由矩形的对称性得：，得出，设，则，由勾股定理求出，再由三角函数定义即可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
6. 解：在中，，，
，
．
故选：A．
根据角的正切值与三角形边的关系求解．
此题考查了解直角三角形的知识，解题的关键是能够选择合适的边角关系求解，难度不大．
7. 解：在中，，，，
，
即，
；
故选：D．
根据及特殊角的三角函数值解题即可．
本题考查了三角函数的定义及特殊角的三角函数值，是基础知识，需要熟练掌握．
8. 解：在中，，设，则，
又是等腰三角形，
，
：：．
故选D．
先在中求出CD，BC的长，进而可求解AD的长，即可得出线段的比值．
本题主要考查了简单的直角三角形的求解问题，应熟练掌握．
9. 解：如图，在中，，，
，．
，
，
．
故选：A．
通过解直角得到AC与BC、AB间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求的值．
本题考查了解直角三角形，利用锐角三角函数的概念解直角三角形问题．
10. 解：如图，分别过点A、B作轴、轴；
，
，
，
，
∽，
；
设，，
则，，，，
，；
，
；
∽，
，
由知为定值，
的大小不变，
故选：D．
作辅助线；首先证明∽，得到；设，，得到，，，，进而得到，，此为解决问题的关键性结论；运用三角函数的定义证明知为定值，即可解决问题．
该题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定等知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定等知识点来分析、判断、推理或解答．
11. 解：如图作于H．

在中，，，
，，，，
由题意，设，则，
，
，
，，
∽，
，
，
解得或舍弃，
，
故答案为
如图作于由题意，设，则，只要证明∽，可得，延长构建方程即可解决问题；
本题考查相似三角形的判定和性质、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
12. 解：在中，，，
，
由折叠的性质得到：≌，
，
，
，
．
又，
，
在直角中，，
．
故答案为：．
由题意得：≌，故；由三角形的内角和定理及平角的知识问题即可解决．
主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、三角形的内角和定理等知识来解决问题．
13. 解：如图，过点B作于D，设，
，，
，
根据勾股定理得，，
，
即，
解得，
所以，．
故答案为：．
过点B作于D，设，根据等腰三角形三线合一的性质可得，利用勾股定理列式表示出AC，再根据三角形的面积列方程求出BD，然后根据锐角的正弦对边：斜边求解即可．
本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，锐角三角函数，作辅助线构造出以为锐角的直角三角形是就解题的关键．
14. 解：，
故答案为：
根据和BC的值可以求出斜边AB的值．
本题考查了解直角三角形，解题的关键是熟记三角函数的定义，能够根据边和三角函数，求出其他的边．
15. 解：四边形ABCD是菱形，，
，，．
在中，，
，
，
．
故答案为2．
根据菱形的对角线互相垂直平分可得，，再解，根据，求出，那么．
本题考查了菱形的性质，解直角三角形，锐角三角函数的定义，掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
16. 解：当时，易知，，，．

当时，连接CD，

，，
，
≌，
，
综上所述，满足条件的的值为或2．
分两种情形分别求解即可．
本题考查翻折变换、勾股定理、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17. 解：四边形ABCD为矩形．
．
．
在直角三角形ABD中，，．
由勾股定理可知．
．
故答案为：．
矩形的对角线相等且互相平分，可得到是等边三角形，那么即可求得BD长，进而利用勾股定理可求得AD长．
本题考查矩形的性质及勾股定理的运用用的知识点为：矩形的对角线相等且互相平分．
18. 解：点在反比例函数的图象上，轴于H，
，
又，
，
，
，
故答案为：60．
利用锐角三角函数的定义，为的对边比邻边，求出OH的长，即可得到点P的坐标，进而得出k的值．
此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
19. 解：连接AG，
设正方形的边长为a，
，
，，
，
，
∽，
，
，
故答案为：
设正方形的边长为a，求出AC的长为，再求出与中夹的两边的比值相等，根据两边对应成比例、夹角相等，两三角形相似，即可判定与相似，进而得出．
本题主要利用两边对应成比例，夹角相等两三角形相似的判定和相似三角形对应角相等的性质，求出两三角形的对应边的比值相等是解本题的关键．
20. 解：在等腰中，，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
根据等腰直角三角形的性质得到，，根据三角函数的定义得到，求得，解直角三角形得到结论．
本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形也考查了等腰直角三角形的性质．
21. 根据勾股定理和锐角三角函数的概念来求解．
由和求得的，根据直角三角形锐角三角函数求出BC，从而求出BD的长．
考查综合应用解直角三角形、直角三角形性质和相似三角形的性质，进行逻辑推理能力和运算能力．
22. 在直角三角形ABC中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到，设，则有，利用勾股定理列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出BD的长，由题意得到三角形ACD为等腰直角三角形，进而确定出，求出AD的长即可．
此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：勾股定理，含30度直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．
23. 先利用三角函数求出BD，进而求出CD，最后用勾股定理即可得出结论．
此题主要考查了解直角三角形，锐角三角函数，求出BD是解本题的关键．
24. 由已知得为等腰直角三角形，所以，又因为已知的正弦值，即可求出AB的长．
直角三角形知识的牢固掌握和三角函数的灵活运用．
25. 由正方形的性质得出，，，，，证出∽，得出比例式求出，即可得出结果；
由正方形的性质求出，，，延长AD交EF于M，连接AC、CF，求出，，，根据正方形性质求出，根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据勾股定理求出AF，即可得出结果．
本题考查了相似三角形的判定与性质、三角函数、勾股定理，正方形的性质，直角三角形斜边上的中线性质；本题有一定难度，特别是中，需要通过作出辅助线运用直角三角形斜边上的中线性质才能得出结果．
26. 连接FC和如图，先证明≌，同理≌，再证明是等腰直角三角形即可．
如图2，过点F作交CD于M，连接GM，先证明∽，得，，再证明是直角三角形即可．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．
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