1.2 矩形的性质与判定优化练习设计（含原题版解析版）

【新北师大版九年级数学（上）同步练习】
§1.2《矩形的性质与判定》（原题版）
一.选择题：（每小题5分，共25分）
1. 如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（　　）
A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B. BD的长度增大
C. 四边形ABCD的面积不变 D. 四边形ABCD的周长不变
2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（　　）
A. ∠ABC=90° B. AC=BD C. OA=OB D. OA=AD
3.如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为(　　)
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
4. 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(3，4)，D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为(　　)
A. (3，1) B. (3，) C. (3，) D. (3，2)
5.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，O为对角线AC的中点，点P、Q分别从A和B两点同时出发，在边AB和BC上匀速运动，并且同时到达终点B、C，连接PO、QO并延长分别与CD、DA交于点M、N．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（　　）
A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小
二.填空题：（共25分）
6.如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为_____．
7. 如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE=____．
8. 如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=15，E、F分别为矩形外两点，DF=BE=4，AF=CE=3，则EF等于______．
9. 如图，矩形ABCD被分成四部分，其中△ABE、△ECF、△ADF的面积分别为2、3、4，则△AEF的面积为____．
10.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，点E，F分别为AD，CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD＝________．
三.解答题：（共50分）
11.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.
12.如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE，求证：四边形BCDE是矩形．
13.如图，在矩形ABCD中．点E在边AB上，∠CDE=∠DCE．
求证：AE=BE．
14.如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．
（1）求证：△AEF≌△DCE；
（2）若CD=1，求BE的长．
15.如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形
1.2《矩形的性质与判定》（解析版）
一.选择题：（每小题5分，共25分）
1. 如图，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化，下列判断错误的是（　　）
A. 四边形ABCD由矩形变为平行四边形
B. BD的长度增大
C. 四边形ABCD的面积不变
D. 四边形ABCD的周长不变
【答案】C
【解析】试题分析：由题意可知，当向右扭动框架时，BD可伸长，故BD的长度变大，四边形ABCD由矩形变为平行四边形 ，因为四条边的长度不变，所以四边形ABCD的周长不变.原来矩形ABCD的面积等于BC乘以AB，变化后平行四边形ABCD的面积等于底乘以高，即BC乘以BC边上的高，BC边上的高小于AB，所以四边形ABCD的面积变小了，故A,B,D说法正确，C说法错误.故正确的选项是C.
考点：1.四边形面积计算；2.四边形的不稳定性.
2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（　　）
A. ∠ABC=90° B. AC=BD C. OA=OB D. OA=AD
【答案】D
【解析】试题分析：本题考查了矩形的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．矩形的性质：四个角都是直角，对角线互相平分且相等；由矩形的性质容易得出结论．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=AC，OB=BD，∴OA=OB，∴A、B、C正确，D错误
3.如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为(　　)
A. 30° B. 45° C. 60° D. 75°
【答案】C
【解析】如图所示：
由题意可得：∠1=∠2,AN=MN,∠MGA=90°，
则NG=AM，故AN=NG，
则∠2=∠4，
∵EF∥AB，
∴∠4=∠3，
∴∠1=∠2=∠3=×90°=30°，
∴∠DAG=60°.
故选：C.
4. 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(3，4)，D是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为(　　)
A. (3，1) B. (3，) C. (3，) D. (3，2)
【答案】B
【解析】试题分析：如图，作点D关于直线AB的对称点H，连接CH与AB的交点为E，此时△CDE的周长最小，根据D为（，0），A（3，0）可得H为（ ，0），可得直线CH的解析式为，把x=3代入即可求得y=，从而求得点E的坐标为（3，）.
故选：B.
5.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，O为对角线AC的中点，点P、Q分别从A和B两点同时出发，在边AB和BC上匀速运动，并且同时到达终点B、C，连接PO、QO并延长分别与CD、DA交于点M、N．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（　　）
A. 一直增大 B. 一直减小 C. 先减小后增大 D. 先增大后减小
【答案】C
【解析】连接OB，根据点O是为对角线AC的中点可得△ABO和△BOC的面积相等，又点P、Q分别从A和B两点同时出发，在边AB和BC上匀速运动，并且同时到达终点B、C，连接PO、QO并延长分别与CD、DA交于点M、N．在整个运动过程中，然后把开始时、结束时、与中点时的△OPQ的面积与△ABC的面积相比即可进行判断．
解：如图所示，
连接OB，∵O是AC的中点，∴S△ABO=S△BOC=S△ABC，开始时，S△OBP=S△AOB=S△ABC，点P到达AC的中点时，点Q到达BC的中点时，S△OPQ=S△ABC，结束时，S△OPQ=S△BOC=S△ABC，所以，图中阴影部分面积的大小变化情况是：先减小后增大．故选C．
二.填空题：（共25分）
6.如图，在矩形ABCD中，M为BC边上一点，连接AM，过点D作DE⊥AM，垂足为E．若DE=DC=1，AE=2EM，则BM的长为_____．
【答案】
【解析】试题解析：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠AMB=∠DAE，
∵DE=DC，
∴AB=DE，
∵DE⊥AM，

在△ABM和△DEA中,
∴AM=AD，
∵AE=2EM，
∴BC=AD=3EM，
连接DM，如图所示：
在和中,

∴EM=CM，
∴BC=3CM，
设EM=CM=x，则BM=2x，AM=BC=3x，
在中,由勾股定理得： 解得：x=，
∴BM=；
故答案为：.
7. 如图，在矩形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，连接CE．若BC=7，AE=4，则CE=____．
【答案】5
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，∠D=90°.
∴∠AEB=∠CBE.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB.
∴CD=AE=4，DE=AD-AE=BC-AE=7-4=3.
在Rt△CDE中，根据勾股定理得CE=.
故答案为5.
8. 如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=15，E、F分别为矩形外两点，DF=BE=4，AF=CE=3，则EF等于______．
【答案】
【解析】由题意得： 都是直角三角形.
,

9. 如图，矩形ABCD被分成四部分，其中△ABE、△ECF、△ADF的面积分别为2、3、4，则△AEF的面积为____．
【答案】7
【解析】试题解析：设AB=a，BC=b，
∵△CEF，△ABE，△ADF的面积分别是2，3，4，
∴S△ABE=×a×BE=2，
∴BE=，
∴EC=BC-BE=b-，
∵S△CEF=×EC×FC=3，
∴FC=，
∴DF=CD-CF=a-，
∴S△ADF=×（a-）×b=4，
∴（ab）2-18ab+32=0，
解得：ab=16或ab=2（不合题意，舍去），
∴S△AEF=16-3-4-2=7
10.如图，在矩形ABCD中，AB＝1，点E，F分别为AD，CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD＝________．
【答案】
【解析】试题分析：连接EF，则可证明△EA′F≌△EDF，从而根据BF=BA′+A′F，得出BF的长，在Rt△BCF中，利用勾股定理可求出BC，即得AD的长度．
解：连接EF，
∵点E、点F是AD、DC的中点，
∴AE=ED，CF=DF=CD=AB=，
由折叠的性质可得AE=A′E，
∴A′E=DE，
在Rt△EA′F和Rt△EDF中，
∵，
∴Rt△EA′F≌Rt△EDF（HL），
∴A′F=DF=，
∴BF=BA′+A′F=AB+DF=1+=，
在Rt△BCF中，BC==．
∴AD=BC=．
故答案为：．
三.解答题：（共50分）
11.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.
【答案】证明见解析.
【解析】要证AE平分∠BAD，可转化为△ABE为等腰直角三角形，得AB=BE，又AB=CD，再将它们分别转化为两全等三角形的两对应边，根据全等三角形的判定，和矩形的性质，可确定ASA．即求证．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠BAD=90°，AB=CD，
∴∠BEF+∠BFE=90°．
∵EF⊥ED，
∴∠BEF+∠CED=90°．
∴∠BFE=∠CED．
∴∠BEF=∠EDC．
又∵EF=ED，
∴△EBF≌△DCE．
∴BE=CD．
∴BE=AB．∴∠BAE=∠BEA=45°．
∴∠EAD=45°．
∴∠BAE=∠EAD．
∴AE平分∠BAD．
12.如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC，且∠BAD＝∠CAE，求证：四边形BCDE是矩形．
【答案】证明见解析.
【解析】试题分析：求出∠BAE=∠CAD，证△BAE≌△CAD，推出∠BEA=∠CDA，BE=CD，得出平行四边形BCDE，根据平行线性质得出∠BED+∠CDE=180°，求出∠BED，根据矩形的判定求出即可．
试题解析：∵∠BAD=∠CAE，
∴∠BAD-∠BAC=∠CAE-∠BAC，
∴∠BAE=∠CAD，
∵在△BAE和△CAD中
∴△BAE≌△CAD（SAS），
∴∠BEA=∠CDA，BE=CD，
∵DE=CB，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵AE=AD，
∴∠AED=∠ADE，
∵∠BEA=∠CDA，
∴∠BED=∠CDE，
∵四边形BCDE是平行四边形，
∴BE∥CD，
∴∠CDE+∠BED=180°，
∴∠BED=∠CDE=90°，
∴四边形BCDE是矩形．
13.如图，在矩形ABCD中．点E在边AB上，∠CDE=∠DCE．
求证：AE=BE．
【答案】证明见解析
【解析】试题分析：
因为∠CDE=∠DCE，所以ED=EC，则可用HL证明Rt△DAE≌Rt△CBE，从而得AE=BE.
试题解析：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=90°，AD=BC，
∵∠CDE=∠DCE，
∴DE=CE，
在Rt△DAE和Rt△CBE中，，
∴Rt△DAE≌Rt△CBE（HL），
∴AE=BE．
14.如图，E，F分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，若EF=EC，且EF⊥EC．
（1）求证：△AEF≌△DCE；
（2）若CD=1，求BE的长．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】试题分析：（1）根据矩形的性质和已知条件可证明△AEF≌△DCE；
（2）由（1）可知AE=DC，在Rt△ABE中由勾股定理可求得BE的长
试题解析：（1）证明：在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵EF⊥EC，
∴∠FEC=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△AEF和△DCE中，
，
∴△AEF≌△DCE（AAS）
（2）解：由（1）知△AEF≌△DCE，
∴ AE=DC=1，
在矩形ABCD中，AB=CD=1，
在R△ABE中，AB2+AE2=BE2，即12+12=BE2，∴BE=．
15.如图，平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在AB、BC、CD、AD边上且AE=CG，AH=CF．
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）如果AB=AD，且AH=AE，求证：四边形EFGH是矩形
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】试题分析：（1）易证得△AEH≌△CGF，从而证得BE=DG，DH=BF．故有，△BEF≌△DGH，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形而得证．
（2）由题意知，平行四边形ABCD是菱形，连接AC，BD，则有AC⊥BD，由AB=AD，且AH=AE可证得HE∥BD，同理可得到HG∥AC，故HG⊥HE，又由（1）知四边形HGFE是平行四边形，故四边形HGFE是矩形．
试题解析：证明：（1）在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，
又∵AE=CG，AH=CF，
∴△AEH≌△CGF．
∴EH=GF．
在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC，
∴AB-AE=CD-CG，AD-AH=BC-CF，
即BE=DG，DH=BF．
又∵在平行四边形ABCD中，∠B=∠D，
∴△BEF≌△DGH．
∴GH=EF．
∴四边形EFGH是平行四边形．
（2）在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD．
设∠A=α，则∠D=180°-α．
∵AE=AH，∴∠AHE=∠AEH=．
∵AD=AB=CD，AH=AE=CG，
∴AD-AH=CD-CG，即DH=DG．
∴∠DHG=∠DGH=．
∴∠EHG=180°-∠DHG-∠AHE=90°．
又∵四边形EFGH是平行四边形，
∴四边形EFGH是矩形．