2.3 不等式（组）
一、不等式（组）的相关概念
1、用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示________关系的式子叫做不等式.
2、不等式的解：使不等式成立的未知数的________，叫做不等式的解.
3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的________，组成这个不等式的解集.
4、一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有________未知数，并且未知数的最高次数是________，像这样的不等式，叫做一元一次不等式.
5、一元一次不等式组：一般地，关于同一个________的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.
6、不等式组的解集：不等式组中的各不等式解集的________，就是不等式组的解集.
二、不等式的性质
不等式的基本性质1：
不等式的两边都________（或________）同一个数（或式子），不等号的方向不变.
不等式的基本性质2：
不等式的两边都________（或________）同一个正数，不等号的方向不变.
不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个________，不等号的方向改变.
三、解一元一次不等式（组）的步骤：
1、一元一次不等式的解法：
（1）去分母；（2）________；（3）移项；（4）________；（5）系数化为1．
2、一元一次不等式组的解法：
先求出各不等式的________，再确定解集的________.
注意：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便.
四、不等式（组）与实际问题
1、审：审清题意，弄懂已知什么，求什么，以及各个数量之间的关系.
2、________：只能设一个未知数，一般是与所求问题有直接关系的量.
3、找：找出题中所有的不等关系，特别是隐含的数量关系.
4、________：列出不等式组.
5、解：分别解出每个不等式的解集，再求其公共部分，最后得出结果.
6、检验并作________：根据所得结果作出回答.
考点一： 一元一次不等式（组）的判断
下列不等式中，是一元一次不等式组的有（ ）
①；②；③；④；⑤.
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
变式跟进1若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为
考点二： 不等式性质的应用
若x>y，则下列式子中错误的是（ ）
A. x－3>y－3 B. C. x+3>y+3 D. －3x>－3y
变式跟进2下列语句正确的是（ ）。
A．∵＞，∴＞ B．∵＜，∴＜
C．∵ax＞ay，∴x＞y D．∵＞，∴＞
考点三： 一元一次不等式（组）的解集
把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
变式跟进3如果不等式组 的解集是x＞3，则m的取值范围是__.
考点四： 不等式（组）的整数解
不等式9-x＞x+的正整数解的个数是 ( )
A、1 B、2 C、3 D、4
变式跟进4已知关于x的不等式组 整数解有4个，则b的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
考点五： 不等式（组）的实际应用
如图，a、b、c分别表示苹果、梨、桃子的质量．同类水果质量相等，则下列关系正确的是（ ）
A. a＞c＞b B. b＞a＞c C. a＞b＞c D. c＞a＞b
变式跟进5小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，共花费5600元．已知彩色地砖的单价是80元/块，单色地砖的单价是40元/块．
（1）两种型号的地砖各采购了多少块？
（2）如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共60块，且采购地砖的费用不超过3200元，那么彩色地砖最多能采购多少块？
一、选择题
1、（2016?内蒙古）如图，直线l经过第一、二、四象限，l的解析式是y=（m﹣3）x+m+2，则m的取值范围在数轴上表示为（? ）
A、 B、 C、 D、
2、（2017?益阳）如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是（?? ）
A、 B、 C、 D、
3、（2017?内江）不等式组 的非负整数解的个数是（?? ）
A、4 B、5 C、6 D、7
4、（2017?毕节市）关于x的一元一次不等式 ≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（?? ）
A、14 B、7 C、﹣2 D、2
5、（2017?齐齐哈尔）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买（?? ）
A、16个 B、17个 C、33个 D、34个
6．（2018·益阳）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2018·贵港）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A． a≤﹣3 B． a＜﹣3 C． a＞3 D． a≥3
8．（2018·台湾）如图的宣传单为莱克印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明，妮娜打算请此印刷公司设计一款母亲节卡片并印刷，她再将卡片以每张15元的价格贩售．若利润等于收入扣掉成本，且成本只考虑设计费与印刷费，则她至少需印多少张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成？（ ）
A． 112 B． 121 C． 134 D． 143
二、填空题
9、（2017?株洲）已知“x的3倍大于5，且x的一半与1的差不大于2”，则x的取值范围是________．
10、（2017?荆州）若关于x的分式方程 =2的解为负数，则k的取值范围为________．
11、（2017?黑龙江）不等式组 的解集是x＞﹣1，则a的取值范围是________．
12、（2017?烟台）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＜18”为一次程序操作，
若输入x后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是________．
13、（2017·台州）商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为________元/千克
14．（2018·伊春）不等式组有3个整数解，则a的取值范围是_____．
15．（2018·呼和浩特）若不等式组的解集中的任意x，都能使不等式x﹣5＞0成立，则a的取值范围是_____．
16．（2018·山西）2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过115cm．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为8：11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为 cm．
三、解答题
17、（2017·嘉兴）小明解不等式 的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
18、（2017·东营）为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元．
（1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？
（2）该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元．请问共有哪几种改扩建方案？
19．（2018·郴州）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
20．（2018·贺州）某自行车经销商计划投入7.1万元购进100辆A型和30辆B型自行车，其中B型车单价是A型车单价的6倍少60元．
（1）求A、B两种型号的自行车单价分别是多少元？
（2）后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过5.86万元，但购进这批自行年的总数不变，那么至多能购进B型车多少辆？
一、选择题
1．（2017温州模拟）不等式1﹣x≤0的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2017泉州模拟）如图，数轴上表示的是某一不等式组的解集，则这个不等式组可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2017杭州模拟）不等式组的整数解共有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2018·包头二模）将不等式组的解集表示在数轴上，下面表示正确的是
A． B．
C． D．
5．（2018?绵阳二模）解关于x的不等式，正确的结论是
A．无解 B．解为全体实数 C．当时无解 D．当时无解
6．（2018?南阳模拟）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围（ ）
A．m＞3 B．m＜3 C．m≤3 D．m≥3
7．（2018?乐山模拟）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是
A． B．
C． D．
8．（2018?天津模拟）如图是测量一物体体积的过程：
步骤一：将180 mL的水装进一个容量为300 mL的杯子中；
步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
步骤三：再将一个同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出.
根据以上过程，推测一个玻璃球的体积在下列哪一范围内？(1 mL=1 cm3)( ).
A．10 cm3以上，20 cm3以下 B．20 cm3以上，30 cm3以下
C．30 cm3以上，40 cm3以下 D．40 cm3以上，50 cm3以下
二、填空题
9．（2017重庆期中）x与的差的一半是正数，用不等式表示为______
10．（2017江西宜春期末）关于、的二元一次方程组的解满足不等式,则的取值范围是________．
11．（2017秦皇岛期末）某种商品的进价为15元，出售标价是22.5元，由于不景气销售情况不好，商店准备降价处理，但要保证利润不低于10%，那么该店最多降价 __________元出售该商品。
12．（2017山东德州模拟）某公司准备用10000元购进一批空调和风扇．已知空调每台2500元，风扇每台300元，该公司已购进空调3台，那么该公司最多还可以购进风扇______台．
13．（2017四川自贡期末）定义新运算：对于任意实数都有 ，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算.
例如： .
那么不等式的解集为 _________ .
14．（2018?哈尔滨二模）光明电器超市准备采购每台进价分别为190元、160元的A、B两种型号的电风扇，若用不多于5070的金额采购这两种型号的电风扇共30台，则最多能采购A中型号的电风扇______台
15．（2018?乐清模拟）某公司共有（50a－40）位员工参加元宵节游园活动，待游园活动进行到一半时，有（90－20a）位员工有事中途退场，若a为正整数，则该公司有员工____________人．
16．（2018?龙岩月考）非负数满足，设的最大值为，最小值为，则_______．
三、解答题
17．（2017山西大同期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
18．（2017湖南张家界模拟）某电器超市销售A、B两种不同型号的电风扇，每种型号电风扇的购买单价分别为每台310元，460元．
(1)若某单位购买A，B两种型号的电风扇共50台，且恰好支出20000元，求A，B两种型号电风扇各购买多少台？
(2)若购买A，B两种型号的电风扇共50台，且支出不超过18000元，求A种型号电风扇至少要购买多少台？
19．（2018?南京模拟）先阅读，再完成练习
一般地，数轴上表示数x的点与原点的距离，叫做数x的绝对值，记作|x|.
|x|＜3
x表示到原点距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于﹣3而小于3的数，它们到原点距离小于3，所以|x|＜3的解集是﹣3＜x＜3；
|x|＞3
x表示到原点距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于﹣3的数或大于3的数，它们到原点距离大于3，所以x＞3的解集是x＜﹣3或x＞3
解答下面的问题：
（1）不等式|x|＜5的解集为 ，不等式|x|＞5的解集为 ．
（2）不等式|x|＜m（m＞0）的解集为 ．不等式|x|＞m（m＞0）的解集为 ．
（3）解不等式|x﹣3|＜5．
（4）解不等式|x﹣5|＞3．
20．（2018?哈尔滨一模）某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用320元购进的A种纪念品与用400元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比A种纪念品的进价贵10元．
求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少？
若该商店A种纪念品每件售价45元，B种纪念品每件售价60元，这两种纪念品共购进200件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于1600元，求A种纪念品最多购进多少件．
2.3 不等式（组）
一、不等式（组）的相关概念
1、用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式.
2、不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.
3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集.
4、一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式.
5、一元一次不等式组：一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组.
6、不等式组的解集：不等式组中的各不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集.
二、不等式的性质
不等式的基本性质1：
不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变.
不等式的基本性质2：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.
不等式的基本性质3：
不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.
三、解一元一次不等式（组）的步骤：
1、一元一次不等式的解法：
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1．
2、一元一次不等式组的解法：
先求出各不等式的解集，再确定解集的公共部分.
注意：求不等式组的解集一般借助数轴求解较方便.
四、不等式（组）与实际问题
1、审：审清题意，弄懂已知什么，求什么，以及各个数量之间的关系.
2、设：只能设一个未知数，一般是与所求问题有直接关系的量.
3、找：找出题中所有的不等关系，特别是隐含的数量关系.
4、列：列出不等式组.
5、解：分别解出每个不等式的解集，再求其公共部分，最后得出结果.
6、检验并作答：根据所得结果作出回答.
考点一： 一元一次不等式（组）的判断
下列不等式中，是一元一次不等式组的有（ ）
①；②；③；④；⑤.
A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
【答案】C
【解析】由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组.
③，④，⑤，是一元一次不等式组
①，②，不是一元一次不等式组
故选C.
【点评】本题属于基础应用题，只需学生熟练掌握一元一次不等式组的定义，即可完成.
变式跟进1若是关于x的一元一次不等式，则该不等式的解集为
【答案】x＜－3
【解析】先根据一元一次不等式的定义求出m的值，再解不等式即可.
由题意得，解得，
则原不等式为，解得x＜－3.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握一元一次不等式的定义：用不等号连接的，含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式.
考点二： 不等式性质的应用
若x>y，则下列式子中错误的是（ ）
A. x－3>y－3 B. C. x+3>y+3 D. －3x>－3y
【答案】D
【解析】A. 不等式两边都加3，不等号的方向不变，正确；
B.不等式两边都除以一个正数，不等号的方向不变，正确；
C. 不等式两边都减3，不等号的方向不变，正确；
D. 乘以一个负数，不等号的方向改变，错误。
故选D.
【点评】根据不等式的性质在不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变即可得出答案．
变式跟进2下列语句正确的是（ ）。
A．∵＞，∴＞ B．∵＜，∴＜
C．∵ax＞ay，∴x＞y D．∵＞，∴＞
【答案】D
【解析】当x＝0时，选项A不成立；
当x取0或负数时，选项B不成立；
当a 为负数时，选项C不成立；
总为正数，所以选项D成立.
故选D.
【点评】在不等式的左右两边同时乘以一个正数，则不等式仍然成立；在不等式的左右两边同时乘以一个负数，则不等式符号需要改变.
考点三： 一元一次不等式（组）的解集
把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：由①得：x＞﹣1；
由②得：x≤1；
所以不等式组的解集为：﹣1＜x≤1，
在数轴上表示为：
【点评】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
变式跟进3如果不等式组 的解集是x＞3，则m的取值范围是__.
【答案】．m≤3
【解析】解不等式组可得结果因为不等式组的解集是x＞3，所以结合数轴，根据“同大取大”原则，不难看出结果为m≤3.
【点评】根据解集，并结合数轴，即可判断出字母m的取值范围.
考点四： 不等式（组）的整数解
不等式9-x＞x+的正整数解的个数是 ( )
A、1 B、2 C、3 D、4
【答案】B
【解析】解：不等式的解集为：x＜，则符合条件的x的正整数为x=1和2.
【点评】先求出不等式的解集，再找出符合条件的正整数解即可.
变式跟进4已知关于x的不等式组 整数解有4个，则b的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：由①得：x≤b， 由②得：x≥5， ∴5≤x≤b． 因为有4个整数解，可以知道b可取5，6，7，8， ∴8≤b＜9， 所以可知的b取值为：8≤b＜9． 故选C．
【点评】本题主要考查了不等式组的解法，先解出不等式的解，然后根据整数解的个数确定b的取值范围．
考点五： 不等式（组）的实际应用
如图，a、b、c分别表示苹果、梨、桃子的质量．同类水果质量相等，则下列关系正确的是（ ）
A. a＞c＞b B. b＞a＞c C. a＞b＞c D. c＞a＞b
【答案】C
【解析】根据第二个天平可得：b=2a，根据第一个天平可得：2a3b，则abc.
【点评】本题主要考查不等式的应用，根据图形找出相等及不等关系即可.
变式跟进5小武新家装修，在装修客厅时，购进彩色地砖和单色地砖共100块，共花费5600元．已知彩色地砖的单价是80元/块，单色地砖的单价是40元/块．
（1）两种型号的地砖各采购了多少块？
（2）如果厨房也要铺设这两种型号的地砖共60块，且采购地砖的费用不超过3200元，那么彩色地砖最多能采购多少块？
【答案】(1)彩色地砖采购40块，单色地砖采购60块；(2)彩色地砖最多能采购20块．
【解析】解：（1）设彩色地砖采购x块，单色地砖采购y块，由题意，得
，
解得：．
答：彩色地砖采购40块，单色地砖采购60块
（2）设购进彩色地砖a块，则单色地砖购进（60﹣a）块，由题意，得
80a+40（60﹣a）≤3200，
解得：a≤20．
∴彩色地砖最多能采购20块．
【点评】（1）设彩色地砖采购x块，单色地砖采购y块，根据彩色地砖和单色地砖的总价为5600及地砖总数为100建立二元一次方程组求出其解即可；（2）设购进彩色地砖a块，则单色地砖购进（60﹣a）块，根据采购地砖的费用不超过3200元建立不等式，求出其解即可．
一、选择题
1、（2016?内蒙古）如图，直线l经过第一、二、四象限，l的解析式是y=（m﹣3）x+m+2，则m的取值范围在数轴上表示为（? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】 C 【解析】解：∵直线l经过第一、二、四象限， ∴ ， 解得：﹣2＜m＜3， 故选C． 【点评】首先根据函数的图象的位置确定m的取值范围，然后在数轴上表示出来即可确定选项．本题考查了一次函数的图象与系数的关系及在数轴上表示不等式的解集的知识，解题的关键是根据一次函数的性质确定m的取值范围，难度不大．
2、（2017?益阳）如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是（?? ）
A、 B、 C、 D、
【答案】D 【解析】解：∵﹣3处是空心圆点，且折线向右，2处是实心圆点，且折线向左， ∴这个不等式组的解集是﹣3＜x≤2． 故选D． 【点评】根据在数轴上表示不等式解集的方法即可得出答案．
3、（2017?内江）不等式组 的非负整数解的个数是（?? ）
A、4 B、5 C、6 D、7
【答案】B 【解析】解： ∵解不等式①得：x≥﹣ ， 解不等式②得：x＜5， ∴不等式组的解集为﹣ ≤x＜5， ∴不等式组的非负整数解为0，1，2，3，4，共5个， 故选B． 【点评】先求出不等式组的解集，再求出不等式组的非负整数解，即可得出答案．
4、（2017?毕节市）关于x的一元一次不等式 ≤﹣2的解集为x≥4，则m的值为（?? ）
A、14 B、7 C、﹣2 D、2
【答案】D 【解析】解： ≤﹣2， m﹣2x≤﹣6， ﹣2x≤﹣m﹣6， x≥ m+3， ∵关于x的一元一次不等式 ≤﹣2的解集为x≥4， ∴ m+3=4， 解得m=2． 故选：D． 【点评】本题是关于x的不等式，应先只把x看成未知数，求得x的解集，再根据x≥4，求得m的值．
5、（2017?齐齐哈尔）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3000元．若每个篮球80元，每个足球50元，则篮球最多可购买（?? ）
A、16个 B、17个 C、33个 D、34个
【答案】A 【解析】解：设买篮球m个，则买足球（50﹣m）个，根据题意得：
80m+50（50﹣m）≤3000， 解得：m≤16， ∵m为整数， ∴m最大取16， ∴最多可以买16个篮球． 故选：A． 【点评】设买篮球m个，则买足球（50﹣m）个，根据购买足球和篮球的总费用不超过3000元建立不等式求出其解即可．
6．（2018·益阳）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
解：
∵解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x≥-1，
∴不等式组的解集为-1≤x＜1，
在数轴上表示为：
，
故选A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键．
7．（2018·贵港）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（ ）
A． a≤﹣3 B． a＜﹣3 C． a＞3 D． a≥3
【答案】A
【解析】利用不等式组取解集的方法，根据不等式组无解求出a的取值范围即可．
解：∵不等式组无解，
∴a﹣4≥3a+2，
解得：a≤﹣3，
故选A．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的解集，熟知一元一次不等式组的解集的确定方法“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无处找”是解题的关键.
8．（2018·台湾）如图的宣传单为莱克印刷公司设计与印刷卡片计价方式的说明，妮娜打算请此印刷公司设计一款母亲节卡片并印刷，她再将卡片以每张15元的价格贩售．若利润等于收入扣掉成本，且成本只考虑设计费与印刷费，则她至少需印多少张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成？（ ）
A． 112 B． 121 C． 134 D． 143
【答案】C
【解析】设妮娜需印x张卡片，根据利润=收入﹣成本结合利润超过成本的2成，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，取其内最小的整数即可得出结论．
解：设妮娜需印x张卡片，
根据题意得：15x﹣1000﹣5x＞0.2（1000+5x），
解得：x＞133，
∵x为整数，
∴x≥134．
答：妮娜至少需印134张卡片，才可使得卡片全数售出后的利润超过成本的2成．
故选：C．
【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
二、填空题
9、（2017?株洲）已知“x的3倍大于5，且x的一半与1的差不大于2”，则x的取值范围是________．
【答案】＜x≤6 【解析】解：依题意有 ， 解得 ＜x≤6． 故x的取值范围是 ＜x≤6． 故答案为： ＜x≤6． 【点评】根据题意列出不等式组，再求解集即可得到x的取值范围．
10、（2017?荆州）若关于x的分式方程 =2的解为负数，则k的取值范围为________．
【答案】k＜3且k≠1 【解析】解：去分母得：k﹣1=2x+2， 解得：x= ， 由分式方程的解为负数，得到 ＜0，且x+1≠0，即 ≠﹣1， 解得：k＜3且k≠1， 故答案为：k＜3且k≠1 【点评】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为负数确定出k的范围即可．
11、（2017?黑龙江）不等式组 的解集是x＞﹣1，则a的取值范围是________．
【答案】a≤﹣ 【解析】解：解不等式x+1＞0，得：x＞﹣1， 解不等式a﹣ x＜0，得：x＞3a， ∵不等式组的解集为x＞﹣1， 则3a≤﹣1， ∴a≤﹣ ， 故答案为：a≤﹣ ． 【点评】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，结合不等式组的解集即可确定a的范围．
12、（2017?烟台）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否＜18”为一次程序操作，
若输入x后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是________．
【答案】x＜8 【解析】解：依题意得：3x﹣6＜18， 解得x＜8． 故答案是：x＜8． 【点评】根据运算程序，列出算式：3x﹣6，由于运行了一次就停止，所以列出不等式3x﹣6＜18，通过解该不等式得到x的取值范围．
13、（2017·台州）商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为________元/千克
【答案】10 【解析】解：售价至少应定为x元/千克，则依题可得： x（1-5%）×80≥760， ∴76x≥760, ∴x≥10, 故答案为10. 【点评】设售价至少应定为x元/千克，依题可得方程x（1-5%）×80≥760，从而得出答案.
14．（2018·伊春）不等式组有3个整数解，则a的取值范围是_____．
【答案】﹣2≤a＜﹣1．
【解析】先解不等式组确定不等式组的解集（利用含a的式子表示），根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
解:解不等式x﹣a＞0，得：x＞a，
解不等式1﹣x＞2x﹣5，得：x＜2，
∵不等式组有3个整数解，
∴不等式组的整数解为﹣1、 0、1，
则﹣2≤a＜﹣1，
故答案为：﹣2≤a＜﹣1．
【点评】本题考查不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
15．（2018·呼和浩特）若不等式组的解集中的任意x，都能使不等式x﹣5＞0成立，则a的取值范围是_____．
【答案】a≤﹣6
【解析】先求出每个不等式的解集，再根据已知得出关于a的不等式，求出不等式的解集，再判断即可．
解：，
∵解不等式①得：x＞﹣2a，
解不等式②得：x＞﹣a+2，
又∵不等式x﹣5＞0的解集是x＞5，
∴﹣2a≥5或﹣a+2≥5，
解得：a≤﹣2.5或a≤﹣6，
经检验a≤﹣2.5不符合，
故答案为：a≤﹣6．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和解一样 一次不等式组，能得出关于a的不等式是解此题的关键．
16．（2018·山西）2018年国内航空公司规定：旅客乘机时，免费携带行李箱的长，宽，高三者之和不超过115cm．某厂家生产符合该规定的行李箱．已知行李箱的宽为20cm，长与高的比为8：11，则符合此规定的行李箱的高的最大值为 cm．
【答案】55
【解析】利用长与高的比为8：11，进而利用携带行李箱的长、宽、高三者之和不超过115cm得出不等式求出即可．
解：设长为8x，高为11x，
由题意，得：19x+20≤115，
解得：x≤5，
故行李箱的高的最大值为：11x=55，
答：行李箱的高的最大值为55厘米．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意得出正确不等关系是解题关键．
三、解答题
17、（2017·嘉兴）小明解不等式 的过程如图．请指出他解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．
【答案】错误的编号有：①②⑤，正确解答见解析
【解析】解：错误的编号有：①②⑤； 去分母，得3（1+x）-2(2x+1)≤6 去括号，得3+3x-4x-2≤6 移项，得3x-4x≤6-3+2, 合并同类项，得-x≤5 两边都除以-1，得x≥-5. 【点评】去分母时，每项都要乘以6，不等号的右边，没有乘以6，故后面的答案都错了；步骤②的去括号出错，步骤⑤的不等号要改变方向
18、（2017·东营）为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元．
（1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？
（2）该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担．若国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元．请问共有哪几种改扩建方案？
【答案】（1）改扩建一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为1200万元和1800万元（2）共有3种方案
【解析】解：（1）设改扩建一所A类和一所B类学校所需资金分别为x万元和y万元
由题意得 ，
解得 ，
答：改扩建一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为1200万元和1800万元．
（2）设今年改扩建A类学校a所，则改扩建B类学校（10﹣a）所，
由题意得： ，
解得 ，
∴3≤a≤5，
∵x取整数，
∴x=3，4，5．
即共有3种方案：
方案一：改扩建A类学校3所，B类学校7所；
方案二：改扩建A类学校4所，B类学校6所；
方案三：改扩建A类学校5所，B类学校5所．
【点评】（1）可根据“改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元，改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元”，列出方程组求出答案；（2）要根据“国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元”来列出不等式组，判断出不同的改造方案．
19．（2018·郴州）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】﹣4＜x≤0.
【解析】先分别求出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集．
解：解不等式①，得：x＞﹣4，
解不等式②，得：x≤0，
则不等式组的解集为﹣4＜x≤0，
将解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
20．（2018·贺州）某自行车经销商计划投入7.1万元购进100辆A型和30辆B型自行车，其中B型车单价是A型车单价的6倍少60元．
（1）求A、B两种型号的自行车单价分别是多少元？
（2）后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过5.86万元，但购进这批自行年的总数不变，那么至多能购进B型车多少辆？
【答案】（1）A型自行车的单价为260元/辆，B型自行车的单价为1500元/辆；（2）至多能购进B型车20辆．
【解析】（1）设A型自行车的单价为x元/辆，B型自行车的单价为y元/辆，根据总价=单价×数量结合B型车单价是A型车单价的6倍少60元，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进B型自行车m辆，则购进A型自行车（130﹣m）辆，根据总价=单价×数量结合投入购车的资金不超过5.86万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
解：（1）设A型自行车的单价为x元/辆，B型自行车的单价为y元/辆，
根据题意得：，
解得：，
答：A型自行车的单价为260元/辆，B型自行车的单价为1500元/辆；
（2）设购进B型自行车m辆，则购进A型自行车（130﹣m）辆，
根据题意得：260（130﹣m）+1500m≤58600，
解得：m≤20，
答：至多能购进B型车20辆．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
一、选择题
1．（2017温州模拟）不等式1﹣x≤0的解在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】不等式1﹣x≤0，解得：x≥1，表示在数轴上，如图所示：
故选D
【点评】本题主要考查在数轴上表示不等式的解集．
2．（2017泉州模拟）如图，数轴上表示的是某一不等式组的解集，则这个不等式组可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【解析】
∵，
∴这个不等式组的解集为：﹣1＜x≤2，
A、解不等式组得：x＞1，故本选项错误；B、解不等式组得：﹣2＜x≤1，故本选项错误；
C、解不等式组得：﹣1≤x＜2，故本选项错误；D、解不等式组得：﹣1＜x≤2，故本选项正确．
【点评】解出四个选项中的不等式组的解集，并结合数轴即可判断.
3．（2017杭州模拟）不等式组的整数解共有（ ）个．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】解：
解得，﹣1≤x＜，
故不等式组的整数解是x=﹣1或x=0或x=1，
即不等式组的整数解有3个，
故选B．
【点评】先解出不等式组的解集，从而可以得到原不等式组有几个整数解，本题得以解决．
4．（2018·包头二模）将不等式组的解集表示在数轴上，下面表示正确的是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】首先解出两个不等式的解集；根据在数轴上表示不等式解集的方法分别把每个不等式的解集在数轴上表示出来即可．
解：
解不等式得， 解不等式得， 在数轴上表示为： 故选：A．
【点评】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键是掌握在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．
5．（2018?绵阳二模）解关于x的不等式，正确的结论是
A．无解 B．解为全体实数 C．当时无解 D．当时无解
【答案】C
【解析】根据两不等根据两不等式，大大取大，小小取小，大小中间找的规律进行讨论即可．
解：根据题意可得：当时，无解．
当时解为．
所以，当时，无解或当时解为．
故选：C．
【点评】本题考查不等式的解集，解答此题要根据不等式组解集的求法解答求不等式组的解集，应注意：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
6．（2018?南阳模拟）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围（ ）
A．m＞3 B．m＜3 C．m≤3 D．m≥3
【答案】C
【解析】根据“大大小小找不着”可得不等式2+m≥2m-1，即可得出m的取值范围．
解：
，
由①得：x＞2+m，
由②得：x＜2m﹣1，
∵不等式组无解，
∴2+m≥2m﹣1，
∴m≤3，
故选：C．
【点评】考查了解不等式组，根据求不等式的无解，遵循“大大小小解不了”原则，得出是解题关键．
7．（2018?乐山模拟）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】不到8棵意思是植树棵树在0棵和8棵之间，包括0棵，不包括8棵，关系式为：植树的总棵树位同学植树的棵树，植树的总棵树位同学植树的棵树，把相关数值代入即可．
解：位同学植树棵树为，
有1位同学植树的棵数不到8棵植树的棵数为棵，
可列不等式组为：，
即．
故选：C．
【点评】本题考查了列一元一次不等式组，得到植树总棵树和预计植树棵树之间的关系式是解决本题的关键；理解“有1位同学植树的棵数不到8棵”是解决本题的突破点．
8．（2018?天津模拟）如图是测量一物体体积的过程：
步骤一：将180 mL的水装进一个容量为300 mL的杯子中；
步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；
步骤三：再将一个同样的玻璃球放入水中，结果水满溢出.
根据以上过程，推测一个玻璃球的体积在下列哪一范围内？(1 mL=1 cm3)( ).
A．10 cm3以上，20 cm3以下 B．20 cm3以上，30 cm3以下
C．30 cm3以上，40 cm3以下 D．40 cm3以上，50 cm3以下
【答案】C
【解析】本题可设玻璃球的体积为x，再根据题意列出不等式组求得解集得出答案即可．
解：设玻璃球的体积为x，则有
解得30＜x＜40．
故一颗玻璃球的体积在30cm3以上，40cm3以下．
故选：C．
【点评】此题考查一元一次不等式组的运用，解此类题目常常要根据题意列出不等式组，再化简计算得出x的取值范围．
二、填空题
9．（2017重庆期中）x与的差的一半是正数，用不等式表示为______
【答案】（x﹣）＞0
【解析】根据题意可列不等式（x﹣）＞0.
【点评】根据题意列出不等式即可.
10．（2017江西宜春期末）关于、的二元一次方程组的解满足不等式,则的取值范围是________．
【答案】m>3
【解析】，
①-②得，x-y=2m-2，
∵x-y>4，
∴2m-2>4，
∴m>3.
【点评】利用整体思想先用含m的式子表示x-y，再列出不等式即可求解.
11．（2017秦皇岛期末）某种商品的进价为15元，出售标价是22.5元，由于不景气销售情况不好，商店准备降价处理，但要保证利润不低于10%，那么该店最多降价 __________元出售该商品。
【答案】6
【解析】先设最多降价x元出售该商品，则出售的价格是22.5-x-15元，再根据利润率不低于10%，列出不等式即可．
解：设最多降价x元出售该商品，则22.5-x-15≥15×10%，解得x≤6． 故该店最多降价6元出售该商品．
【点评】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．
12．（2017山东德州模拟）某公司准备用10000元购进一批空调和风扇．已知空调每台2500元，风扇每台300元，该公司已购进空调3台，那么该公司最多还可以购进风扇______台．
【答案】8
【解析】解：设可以购进电风扇x台。
由题意2500×3+300x 10000，
解得x，
∵x是整数，
∴x的最大整数是8，
∴该公司最多还可以购进风扇8台。
故答案为8
【点评】找不题中的不等关系列出不等式是解题的关键.
13．（2017四川自贡期末）定义新运算：对于任意实数都有 ，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算.
例如： .
那么不等式的解集为 _________ .
【答案】x＞1
【解析】∵，
∴等式可以化为，
解得.
故答案为：x＞1.
【点评】将新运算按要求转化为不等式是解题的关键所在.
14．（2018?哈尔滨二模）光明电器超市准备采购每台进价分别为190元、160元的A、B两种型号的电风扇，若用不多于5070的金额采购这两种型号的电风扇共30台，则最多能采购A中型号的电风扇______台
【答案】9
【解析】根据题意,可知设最多能采购A中型号的电风扇x台,则B种型号电风扇采购(30-x)台,根据采购两种型号的电风扇的金额不多于5070元,可列出不等式,解出不等式即可.
解: 最多能采购A中型号的电风扇x台,则B种型号电风扇采购(30-x)台,则依题得:
190x+160(30-x)5070
解之得: x9.
故答案为9.
【点评】本题考查了一元一次不等式的实际应用,正确理解题意,准确设出未知数,找到不等关系,根据不等关系列出方程是解题的关键.
15．（2018?乐清模拟）某公司共有（50a－40）位员工参加元宵节游园活动，待游园活动进行到一半时，有（90－20a）位员工有事中途退场，若a为正整数，则该公司有员工____________人．
【答案】60或110或160
【解析】根据实际意义50a-40以及90-20a都是正整数，且50a-40＞90-20a这几个条件即可求得a的值．
解：根据题意可得，
解得，
因而a=2或3或4，
所以开始时，有60或110或160位员工参加，
故答案为：60或110或160.
【点评】本题是根据实际意义列出不等式组，求不等式组的正整数解得问题，正确理解题意是解题的关键．
16．（2018?龙岩月考）非负数满足，设的最大值为，最小值为，则_______．
【答案】
【解析】由于已知a，b，c为非负数，所以m、n一定≥0；根据a+b=9和c﹣a=3推出c的最小值与a的最大值；然后再根据a+b=9和c﹣a=3把y=a+b+c转化为只含a或c的代数式，从而确定其最大值与最小值．
解：∵a，b，c为非负数，∴y=a+b+c≥0．
又∵c﹣a=3，∴c=a+3，∴c≥3．
∵a+b=9，∴y=a+b+c=9+c．
又∵c≥3， ∴c=3时y最小，即y最小=12，即n=12．
∵a+b=9，∴a≤9，∴y=a+b+c=9+c=9+a+3=12+a，
∴a=9时y最大，即y最大=21，即m=21，
∴m﹣n=21﹣12=9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是熟练掌握不等式的性质，求出y的最大值及最小值，难度较大．
三、解答题
17．（2017山西大同期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】
【解析】由 ;
得
∴;
∴.
∴不等式的解集为
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示.
【点评】按解不等式的基本步骤求解即可.
18．（2017湖南张家界模拟）某电器超市销售A、B两种不同型号的电风扇，每种型号电风扇的购买单价分别为每台310元，460元．
(1)若某单位购买A，B两种型号的电风扇共50台，且恰好支出20000元，求A，B两种型号电风扇各购买多少台？
(2)若购买A，B两种型号的电风扇共50台，且支出不超过18000元，求A种型号电风扇至少要购买多少台？
【答案】（1）购买A种型号电风扇20台，B型种型号电风扇30台；
（2）A种型号电风扇至少要购买34台
【解析】（1）设购买A种型号电风扇x套，B型号的电风扇y套，根据：“A，B两种型号的电风扇共50套、共支出20000元”列方程组求解可得；
（2）设购买A型号电风扇m套，根据：A型电风扇总费用+B型电风扇总费用≤18000，列不等式求解可得．
解：(1)设购买A种型号电风扇x台，B种型号电风扇y台，
根据题意，得： ， 解得：x=20，y=30，
答：购买A种型号电风扇20台，B型种型号电风扇30台．
(2)设购买A种型号电风扇m台，
根据题意，得：310m+460(50－m)≤18000，
解得：m≥33，
∵m为整数，∴m的最小值为34，
答：A种型号电风扇至少要购买34台．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出相等与不等关系，列方程组和不等式求解．
19．（2018?南京模拟）先阅读，再完成练习
一般地，数轴上表示数x的点与原点的距离，叫做数x的绝对值，记作|x|.
|x|＜3
x表示到原点距离小于3的数，从如图1所示的数轴上看：大于﹣3而小于3的数，它们到原点距离小于3，所以|x|＜3的解集是﹣3＜x＜3；
|x|＞3
x表示到原点距离大于3的数，从如图2所示的数轴上看：小于﹣3的数或大于3的数，它们到原点距离大于3，所以x＞3的解集是x＜﹣3或x＞3
解答下面的问题：
（1）不等式|x|＜5的解集为 ，不等式|x|＞5的解集为 ．
（2）不等式|x|＜m（m＞0）的解集为 ．不等式|x|＞m（m＞0）的解集为 ．
（3）解不等式|x﹣3|＜5．
（4）解不等式|x﹣5|＞3．
【答案】（1）﹣5＜x＜5、x＜﹣5或x＞5；（2）﹣m＜x＜m、x＜﹣m或x＞m；（3）﹣2＜x＜8；（4）x＞8或x＜2
【解析】（1）根据题意即可得；
（2）根据题意可得；
（3）将x?3看做整体得?5＜x?3＜5，解之即可；
（4）将x?5看做整体得x﹣5＞3或x﹣5＜﹣3，解之即可．
解：（1）不等式|x|＜5的解集为﹣5＜x＜5，不等式|x|＞5的解集为x＜﹣5或x＞5，
故答案为：﹣5＜x＜5、x＜﹣5或x＞5；
（2）不等式|x|＜m（m＞0）的解集为﹣m＜x＜m，不等式|x|＞m（m＞0）的解集为x＜﹣m或x＞m，
故答案为：﹣m＜x＜m、x＜﹣m或x＞m；
（3）|x﹣3|＜5，
∴﹣5＜x﹣3＜5，
∴﹣2＜x＜8；
（4）|x﹣5|＞3，
∴x﹣5＞3或x﹣5＜﹣3，
∴x＞8或x＜2．
【点评】此题考查解一元一次不等式，首先通过阅读把握题目中解题规律和方法，然后利用这些方法解决所给出的题目，所以解题关键是正确理解阅读材料的解题方法，才能比较好的解决问题．此题是一个绝对值的问题，有点难以理解，要反复阅读，充分理解题意．
20．（2018?哈尔滨一模）某商品经销店欲购进A、B两种纪念品，用320元购进的A种纪念品与用400元购进的B种纪念品的数量相同，每件B种纪念品的进价比A种纪念品的进价贵10元．
求A、B两种纪念品每件的进价分别为多少？
若该商店A种纪念品每件售价45元，B种纪念品每件售价60元，这两种纪念品共购进200件，这两种纪念品全部售出后总获利不低于1600元，求A种纪念品最多购进多少件．
【答案】 A种纪念品每件的进价为40元，B种纪念品每件的进价为50元； A种纪念品最多购进80件．
【解析】设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价为元，根据数量总价单价结合用320元购进的A种纪念品与用400元购进的B种纪念品的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
设购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件，根据总利润单件利润购买数量结合这两种纪念品全部售出后总获利不低于1600元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其内的最大值即可得出结论．
解：设A种纪念品每件的进价为x元，则B种纪念品每件的进价为元．
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
．
答：A种纪念品每件的进价为40元，B种纪念品每件的进价为50元．
设购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件，
根据题意得：，
解得：．
答：A种纪念品最多购进80件．
【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据数量间的关系，正确列出一元一次不等式．
