【走进重高汇编】八上数学第十一章 多边形及其内角和测试卷（第3节）
文档属性
| 名称 | 【走进重高汇编】八上数学第十一章 多边形及其内角和测试卷（第3节） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-09-17 10:41:31 | ||
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文档简介
【走进重高汇编】八上数学第十一章 多边形及其内角和（第3节）
一．选择题（共10小题）
1．如果一个正多边形的一个内角是140°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
2．当多边形边数增加一条时，多边形的内、外角和的变化情况是（ ）
A．内角和、外角和都不变 B．内角和、外角和各增加180°
C．内角和不变，外角和增加180° D．内角和增加180°，外角和不变
3．一个多边形的内角都相等，它的每一个外角都等于45度，则该多边形是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
4．如图1是四边形纸片ABCD，其中∠B=120°，∠D=50°．如果将其右下角向内折出△PCR，如图2所示，恰使CP∥AB，RC∥AD，则∠C的度数为（ ）
A．105° B．100° C．95° D．90°
5．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9
6．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
7．如图，小明将几块六边形纸片分别减掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新多边形的内角和为540°，则对应的是下列哪个图形（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=85°，则∠DPE=（ ）
A．100° B．130° C．120° D．95°
9．如图，从△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE，若∠C=60°．则∠1+∠2等于（ ）
A．240° B．120° C．230° D．200°
10．如图，四边形ABCD纸片中，已知∠A=160°，∠B=30°，∠C=60°，四边形ABCD纸片分别沿EF，GH，OP，MN折叠，使A与A′、B与B′、C与C′、D与D′重合，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7﹣∠8的值是（ ）
A．600° B．700° C．720° D．800°
二．填空题（共6小题）
11．如图，有一条公共边的正六边形和正方形如图放置，则∠α= 度．
12．如图所示，则（∠1+∠2﹣∠3）+（∠4+∠5﹣∠6）+（∠7+∠8﹣∠9）= 度．
13．如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…这样他以3m/s的速度匀速的一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 s．
14．已知如图，∠3+∠5+∠7=200°，则∠1+∠2+∠4+∠6+∠8= ．
15．如果一个多边形的所有内角从小到大排列起来，恰好依次增加相同的度数，设最小角的度数为100°，最大角的度数为140°，那么这个多边形是 边形．
16．在如图一、图二、图三中，分别是由1个、2个、n个正方形连接成的图形．在图1中，x=70°；在图二中，y=28°；通过（1）、（2）的计算，请写出图三中a+b+c+…+d与n的数量关系式 ．
三．解答题（共7小题）
17．小明在计算一个多边形的内角和，求得的内角和为2220°，经过检查发现少加了一个内角，请问这个内角为多少度？这个多边形是几边形？
18．已知n边形的内角和θ=（n﹣2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取720°；而乙同学说，θ也能取820°，甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n，若不对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．
19．如图，已知四边形ABCD，∠C=72°，∠D=81°．沿EF折叠四边形，使点A、B分别落在四边形内部的点A′、B′处，求∠1+∠2的大小．
20．已知凸四边形ABCD中，∠A=∠C=90°．
（1）如图1，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明；
（2）如图2，若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明．
21．四边形ABCD中，∠A=145°，∠D=75°．
（1）如图1，若∠B=∠C，试求出∠C的度数；
（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
（3）如图3，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．
22．如图，△ADE和△ABC中∠EAD=∠AED=∠BAC=∠BCA=45°，又有∠BAD=∠BCF．
（1）求∠ECF+DAC+∠ECA的度数；
（2）判断ED与FC的位置关系，并对你的结论加以证明．
23．已知：在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠E+∠F=100°，将△DEF如图摆放，使得∠D的两条边分别经过点B和点C．
（1）当将△DEF如图1摆放时，则∠ABD+∠ACD= 度
（2）当将△DEF如图2摆放时，请求出∠ABD+∠ACD的度数，并说明理由；
（3）能否将△DEF摆放到某个位置时，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB？直接写出结论 ．（填“能”或“不能”）
【走进重高汇编】八上数学第十一章 多边形及其内角和（第3节）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如果一个正多边形的一个内角是140°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°列式进行计算即可得解．
【解答】解：设这个正多边形的边数是n，
根据题意得，（n﹣2）?180°=140°?n，
解得n=9．故选：B．
2．当多边形边数增加一条时，多边形的内、外角和的变化情况是（ ）
A．内角和、外角和都不变 B．内角和、外角和各增加180°
C．内角和不变，外角和增加180° D．内角和增加180°，外角和不变
【分析】根据多边形的内角和定理以及外角和等于360°，计算后直接选择答案．
【解答】解：∵多边形内角和为（n﹣2）?180°，外角和为360°，
∴多边形边数增加一条，内角和增加180°，外角和不变．
故选：D．
3．一个多边形的内角都相等，它的每一个外角都等于45度，则该多边形是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
【分析】先利用360°÷45°求出多边形的边数即可求解．
【解答】解：多边形的边数为：360°÷45°=8，
故选：C．
4．如图1是四边形纸片ABCD，其中∠B=120°，∠D=50°．如果将其右下角向内折出△PCR，如图2所示，恰使CP∥AB，RC∥AD，则∠C的度数为（ ）
A．105° B．100° C．95° D．90°
【分析】根据平行线的性质得∠BPC=180°﹣∠B=60°，∠DRC=130°，再利用三角形的内角和求出∠C的度数．
【解答】解：∵CP∥AB，RC∥AD
∴∠BPC=180°﹣∠B=60°，∠DRC=130°
∴∠C=180°﹣60°﹣25°=95°．
故选：C．
5．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9
【分析】首先求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
【解答】解：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）?180°=1080°，
解得：n=8．
则原多边形的边数为7或8或9．
故选：D．
6．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】在DO延长线上找一点M，根据多边形的外角和为360°可得出∠BOM=140°，再根据邻补角互补即可得出结论．
【解答】解：在DO延长线上找一点M，如图所示．
∵多边形的外角和为360°，
∴∠BOM=360°﹣220°=140°．
∵∠BOD+∠BOM=180°，
∴∠BOD=180°﹣∠BOM=180°﹣140°=40°．
故选：A．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角以及邻补角，解题的关键是根据多边形的外角和为360°找出∠BOM=140°．
7．如图，小明将几块六边形纸片分别减掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新多边形的内角和为540°，则对应的是下列哪个图形（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据新多边形的内角和为540°，n边形的内角和公式为（n﹣2）?180°，由此列方程求n．
【解答】解：设这个新多边形的边数是n，
则（n﹣2）?180°=540°，
解得：n=5，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形外角与内角．此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解．
8．如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=85°，则∠DPE=（ ）
A．100° B．130° C．120° D．95°
【分析】根据三角形的高的定义可得∠ADC=∠AEB=90°，再根据四边形内角和为360°可得∠DPE=360°﹣90°﹣90°﹣85°=95°．
【解答】解：∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
∵∠A=85°，
∴∠DPE=360°﹣90°﹣90°﹣85°=95°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了多边形的内角，以及三角形的高，关键是掌握四边形内角和为360°．
9．如图，从△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE，若∠C=60°．则∠1+∠2等于（ ）
A．240° B．120° C．230° D．200°
【分析】根据题意可得出∠B+∠A，再根据四边形的内角和定理可求出∠1+∠2．
【解答】解：∵∠C=60°，
∴∠B+∠A=120°，
∵∠1+∠2+∠B+∠C=360°，
∴∠1+∠2=240°，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，三角形的内角和等于180°，解决本题的关键是求出∠B+∠A．
10．如图，四边形ABCD纸片中，已知∠A=160°，∠B=30°，∠C=60°，四边形ABCD纸片分别沿EF，GH，OP，MN折叠，使A与A′、B与B′、C与C′、D与D′重合，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7﹣∠8的值是（ ）
A．600° B．700° C．720° D．800°
【分析】先根据四边形内角和等于360°得出∠D的度数，根据三角形内角和定理和折叠的性质可以分别得到∠1+∠2，∠3+∠4，∠5+∠6的度数，根据三角形外角的性质和折叠的性质可以得到∠7﹣∠8的度数，再相加即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD中，∠A=160°，∠B=30°，∠C=60°，
∴∠D=360°﹣160°﹣30°﹣60°=110°，
∴∠1+∠2=360°﹣（180°﹣160°）×2=320°，
∠3+∠4=360°﹣（180°﹣110°）×2=220°，
∠5+∠6=360°﹣（180°﹣60°）×2=120°，
∠7﹣∠8=﹣（∠B+∠B′）=﹣60°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7﹣∠8
=320°+220°+120°﹣60°
=600°．
故选：A．
【点评】考查了四边形内角和等于360°，三角形内角和定理，折叠的性质，以及三角形外角的性质的综合应用．
二．填空题（共6小题）
11．如图，有一条公共边的正六边形和正方形如图放置，则∠α= 150 度．
【分析】求出正六边形和正方形的内角的度数，这两个角的度数与∠α的和是360°，即可求得．
【解答】解：正六边形的内角是：（6﹣2）?180÷6=120°；
正方形的角是90度．
则∠α=360﹣120﹣90=150°．
故答案为：150°．
【点评】本题主要考查了正多边形的内角和定理，n边形的内角和是（n﹣2）?180°．
12．如图所示，则（∠1+∠2﹣∠3）+（∠4+∠5﹣∠6）+（∠7+∠8﹣∠9）= 180 度．
【分析】利用多边形的内角和公式即可求出答案．
【解答】解：∵∠1+∠2+（360°﹣∠3）+∠4+∠5+（360°﹣∠6）+∠7+∠8+（360°﹣∠9）=180°?（9﹣2）=1260度，
∴（∠1+∠2﹣∠3）+（∠4+∠5﹣∠6）+（∠7+∠8﹣∠9）=1260﹣360×3=180°．
【点评】主要考查了多边形的内角和定理．n边形的内角和为：180°（n﹣2）．此类题型直接根据内角和公式计算可得．
13．如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…这样他以3m/s的速度匀速的一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 80 s．
【分析】由题意可知小亮所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案．
【解答】解：∵小亮从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，
∴根据外角和定理可知正多边形的边数为n=360°÷15°=24，
则一共走了24×10=240（m），
一共走了240÷3=80（s）．
故答案为：80．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数可直接让360°除以一个外角度数即可．
14．已知如图，∠3+∠5+∠7=200°，则∠1+∠2+∠4+∠6+∠8= 200° ．
【分析】连结AB、BC、CD，形成一个五边形和三个三角形．由三个三角形内角和和为540°得出（∠3+∠9+∠10）+（∠5+∠11+∠12）+（∠7+∠13+∠14）=180°×3=540°，将∠3+∠5+∠7=200°代入，求出∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14=540°﹣200°=340°．由五边形ABCDE的内角和为540°，得出∠1+∠2+∠9+∠10+∠4+∠11+∠12+∠6+∠13+∠14+∠8=540°，将∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14=340°代入，即可得出∠1+∠2+∠4+∠6+∠8=540°﹣340°=200°．
【解答】解：如图，连结AB、BC、CD．
∵（∠3+∠9+∠10）+（∠5+∠11+∠12）+（∠7+∠13+∠14）=180°×3=540°，
∴（∠3+∠5+∠7）+（∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14）=540°，
∵∠3+∠5+∠7=200°，
∴∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14=540°﹣200°=340°．
∵五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°=540°，
∴540°=∠1+∠2+∠9+∠10+∠4+∠11+∠12+∠6+∠13+∠14+∠8
=（∠1+∠2+∠4+∠6+∠8）+（∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14）
=（∠1+∠2+∠4+∠6+∠8）+340°，
∴∠1+∠2+∠4+∠6+∠8=540°﹣340°=200°．
故答案为200°
【点评】本题考查了多边形内角和定理，难度适中．准确作出辅助线利用数形结合是解题的关键．
15．如果一个多边形的所有内角从小到大排列起来，恰好依次增加相同的度数，设最小角的度数为100°，最大角的度数为140°，那么这个多边形是 六 边形．
【分析】根据内角和公式，设该多边形为n边形，内角和公式为180°?（n﹣2），因为最小角为100°，最大角140°，又依次增加的度数相同，则它的度数应该为．
【解答】解：设该多边形的边数为n．
则为=180?（n﹣2），解得n=6．
故这个多边形为六边形．
【点评】本题思维灵活，也可利用方程解答，方程思想是解多边形有关问题常要用到的思想方法．本题难度不大．
16．在如图一、图二、图三中，分别是由1个、2个、n个正方形连接成的图形．在图1中，x=70°；在图二中，y=28°；通过（1）、（2）的计算，请写出图三中a+b+c+…+d与n的数量关系式 a+b+c+…+d=90°n ．
【分析】连接各小正方形的对角线，然后根据正方形的对角线平分一组对角，多边形的内角和公式分别列式求出右边几个角的度数的和，从而找出变化规律即可得解．
【解答】解：如图，连接各小正方形的对角线，
图一中，61°+119°+20°+x+45°×2=360°，
所以，20°+x=360°﹣61°﹣119°﹣45°×2=90°，
图二中，61°+119°+31°+121°+45°×4+y=（5﹣2）?180°，
所以，31°+121°+y=540°﹣61°﹣119°﹣45°×4=180°，
…，
依此类推，a+b+c+…+d=（n+1+2﹣2）?180°﹣45°×2n﹣61°﹣119°=90°n．
故答案为：90°n．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式，正方形的对角线平分一组对角的性质，作辅助线构造出多边形是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
17．小明在计算一个多边形的内角和，求得的内角和为2220°，经过检查发现少加了一个内角，请问这个内角为多少度？这个多边形是几边形？
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°，用2220除以180，商就是n﹣2，余数就是加上的那个外角的度数．进而可以算出这个多边形的边数．
【解答】解：2220÷180=12…60，
则边数n=15，
这个内角的度数是：180°﹣60°=120°．
故这个内角为120度，这个多边形是15边形．
【点评】本题考查多边形内角和公式的灵活运用；关键是找到相应度数的等量关系．
18．已知n边形的内角和θ=（n﹣2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取720°；而乙同学说，θ也能取820°，甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n，若不对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．
【分析】（1）根据多边形内角和公式，列出方程求得θ的值，判断是否为整数即可；
（2）根据题意，列出方程（n﹣2）×180°+360°=（n+x﹣2）×180°，求得x的值即可．
【解答】解：（1）甲对，乙不对．
理由：∵当θ取720°时，720°=（n﹣2）×180°，
解得θ=6；
当θ取820°时，820°=（n﹣2）×180°，
解得θ=；
∵n为整数，
∴θ不能取820°；
（2）依题意得，
（n﹣2）×180°+360°=（n+x﹣2）×180°，
解得x=2．
【点评】本题主要考查了多边形内角和公式，解决问题的关键是掌握多边形内角和公式，解题时注意与多边形外角和的区别．
19．如图，已知四边形ABCD，∠C=72°，∠D=81°．沿EF折叠四边形，使点A、B分别落在四边形内部的点A′、B′处，求∠1+∠2的大小．
【分析】根据四边形的内角和为180°，有∠1+∠2+∠FEA1+∠EFB1+∠D+∠C=360°，又，∠C=72°，∠D=81°，则∠FEA1+∠EFB1+∠1+∠2=207°；又∠AEF+∠BFE+∠FEA1+∠EFB1+∠1+∠2=360°，∠FEA1+∠EFB1=∠AEF+∠BFE，即可求出答案．
【解答】解：由题意得：∠1+∠2+∠FEA1+∠EFB1+∠D+∠C=360°，
又∠C=72°，∠D=81°，
则∠FEA1+∠EFB1+∠1+∠2=207°；
又∠AEF+∠BFE+∠FEA1+∠EFB1+∠1+∠2=360°，
又四边形A1B1FE是四边形ABEF翻转得到的，
∴∠FEA1+∠EFB1=∠AEF+∠BFE，
∴∠FEA1+∠EFB1=153°，
∴∠1+∠2=54°．
【点评】本题考查了翻转变换及多边形的内角和的知识，有一定难度，找准各个角的关系是关键．
20．已知凸四边形ABCD中，∠A=∠C=90°．
（1）如图1，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明；
（2）如图2，若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明．
【分析】（1）DE⊥BF，延长DE交BF于G．易证∠ADC=∠CBM．可得∠CDE=∠EBF．即可得∠EGB=∠C=90゜，则可证得DE⊥BF；
（2）DE∥BF，连接BD，易证∠NDC+∠MBC=180゜，则可得∠EDC+∠CBF=90゜，继而可证得∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC=180゜，则可得DE∥BF．
【解答】解：（1）DE⊥BF，
延长DE交BF于点G
∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°
又∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°
∵∠ABC+∠MBC=180°
∴∠ADC=∠MBC，
∵DE、BF分别平分∠ADC、∠MBC
∴∠EDC=∠ADC，∠EBG=∠MBC，
∴∠EDC=∠EBG，
∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°
∠EBG+∠BEG+∠EGB=180°
又∵∠DEC=∠BEG∴∠EGB=∠C=90
∴DE⊥BF；
（2）DE∥BF，
连接BD，
∵DE、BF分别平分∠NDC、∠MBC
∴∠EDC=∠NDC，∠FBC=∠MBC，
∵∠ADC+∠NDC=180°
又∵∠ADC=∠MBC
∴∠MBC+∠NDC=180°
∴∠EDC+∠FBC=90°，
∵∠C=90°∴∠CDB+∠CBD=90°
∴∠EDC+∠CDB+∠FBC+∠CBD=180°
即∠EDB+∠FBD=180°，
∴DE∥BF．
【点评】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
21．四边形ABCD中，∠A=145°，∠D=75°．
（1）如图1，若∠B=∠C，试求出∠C的度数；
（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
（3）如图3，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．
【分析】（1）根据四边形的内角和即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠ABE=35°，∠BED=105°，由∠ABC的角平分线BE交DC于点E，得到∠CBE=∠ABE=35°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（3）根据四边形的性质得到∠ABC+∠BCD=140°，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠A=145°，∠D=75°，
∴∠B=∠C=（360°﹣145°﹣75°）=70°；
（2）∵BE∥AD，∠A=145°，∠D=75°，
∴∠ABE=180°﹣∠A=35°，∠BED=180°﹣∠D=105°，
∵∠ABC的角平分线BE交DC于点E，
∴∠CBE=∠ABE=35°，
∴∠C=∠BED﹣∠EBC=70°；
（3）∵∠A=145°，∠D=75°，
∴∠ABC+∠BCD=360°﹣∠A﹣∠D=140°，
∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，
∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠DCB）=70°，
∴∠BEC=110°．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和，多边形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出∠ABC+∠DCB的度数是解此题的关键．
22．如图，△ADE和△ABC中∠EAD=∠AED=∠BAC=∠BCA=45°，又有∠BAD=∠BCF．
（1）求∠ECF+DAC+∠ECA的度数；
（2）判断ED与FC的位置关系，并对你的结论加以证明．
【分析】（1）由题意易得∠ECF+DAC+∠ECA=45°+∠BCF+45°﹣∠BCF=90°；
（2）由凹四边形ADEC得内角和是360°以及已知易得∠ADE=90°，可得∠ECA+∠CED+∠CAD=∠EDA=90°，又（1）的结论是∠ECF+DAC+∠ECA=90°，∴∠CED=∠ECF，因此由内错角相等即知DE∥CF．
【解答】解：（1）∵∠ECF=∠ECB+∠BCF，
∴∠ECF+∠DAC+∠ECA
=（∠ECB+∠BCF）+∠DAC+∠ECA （∠BCF=∠BAD）
=（∠ECB+∠ECA）+（∠DAC+∠BAD）
=∠BCA+∠BAC
=45°+45°
=90°
即∠ECF+DAC+∠ECA=90°；
（2）ED和FC平行，理由如下：
∵∠EAD=∠AED=45°，
∴∠EDA=90°，
∴在C，E，D，A四点组成的凹四边形里，
∠ECA+∠CED+∠CAD=∠EDA=90°
又∵（1）的结论是∠ECF+DAC+∠ECA=90°，
∴∠CED=∠ECF，
∴DE∥CF（内错角相等，两直线平行）．
【点评】此题主要考查了角之间的和差关系、四边形的内角和、平行线的判定等知识点，有点难度，特别是凹四边形的应用不太常见．
23．已知：在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠E+∠F=100°，将△DEF如图摆放，使得∠D的两条边分别经过点B和点C．
（1）当将△DEF如图1摆放时，则∠ABD+∠ACD= 240 度
（2）当将△DEF如图2摆放时，请求出∠ABD+∠ACD的度数，并说明理由；
（3）能否将△DEF摆放到某个位置时，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB？直接写出结论 不能 ．（填“能”或“不能”）
【分析】（1）要求∠ABD+∠ACD的度数，只要求出∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD，利用三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣40°=140°；根据三角形内角和定理，∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°，∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD=140°+100°=240°；
（2）要求∠ABD+∠ACD的度数，只要求出∠ABC+∠ACB﹣（∠BCD+∠CBD）的度数．根据三角形内角和定理，∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°；根据三角形内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=140°，∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB﹣（∠BCD+∠CBD）=140°﹣100°=40°；
（3）不能．假设能将△DEF摆放到某个位置时，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB．则∠CBD+∠BCD=∠ABD+∠ACD=100°，那么∠ABC+∠ACB=200°，与三角形内角和定理矛盾，所以不能．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=40°
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣40°=140°
在△BCD中，∠D+∠BCD+∠CBD=180°
∴∠BCD+∠CBD=180°﹣∠D
在△DEF中，∠D+∠E+∠F=180°
∴∠E+∠F=180°﹣∠D
∴∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°
∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD=140°+100°=240°．
故答案为：240°；
（2）∠ABD+∠ACD=40°；
理由如下：
∵∠E+∠F=100°
∴∠D=180°﹣（∠E+∠F）=80°
∴∠ABD+∠ACD=180°﹣∠A﹣∠DBC﹣∠DCB
=180°﹣40°﹣（180°﹣80°）
=40°；
（3）不能．假设能将△DEF摆放到某个位置时，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB．则∠CBD+∠BCD=∠ABD+∠ACD=100°，那么∠ABC+∠ACB=200°，与三角形内角和定理矛盾，所以不能．
故答案为：不能．
【点评】考查三角形内角和定理，外角性质．熟练掌握这些性质是解题的关键．
一．选择题（共10小题）
1．如果一个正多边形的一个内角是140°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
2．当多边形边数增加一条时，多边形的内、外角和的变化情况是（ ）
A．内角和、外角和都不变 B．内角和、外角和各增加180°
C．内角和不变，外角和增加180° D．内角和增加180°，外角和不变
3．一个多边形的内角都相等，它的每一个外角都等于45度，则该多边形是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
4．如图1是四边形纸片ABCD，其中∠B=120°，∠D=50°．如果将其右下角向内折出△PCR，如图2所示，恰使CP∥AB，RC∥AD，则∠C的度数为（ ）
A．105° B．100° C．95° D．90°
5．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9
6．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
7．如图，小明将几块六边形纸片分别减掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新多边形的内角和为540°，则对应的是下列哪个图形（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=85°，则∠DPE=（ ）
A．100° B．130° C．120° D．95°
9．如图，从△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE，若∠C=60°．则∠1+∠2等于（ ）
A．240° B．120° C．230° D．200°
10．如图，四边形ABCD纸片中，已知∠A=160°，∠B=30°，∠C=60°，四边形ABCD纸片分别沿EF，GH，OP，MN折叠，使A与A′、B与B′、C与C′、D与D′重合，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7﹣∠8的值是（ ）
A．600° B．700° C．720° D．800°
二．填空题（共6小题）
11．如图，有一条公共边的正六边形和正方形如图放置，则∠α= 度．
12．如图所示，则（∠1+∠2﹣∠3）+（∠4+∠5﹣∠6）+（∠7+∠8﹣∠9）= 度．
13．如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…这样他以3m/s的速度匀速的一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 s．
14．已知如图，∠3+∠5+∠7=200°，则∠1+∠2+∠4+∠6+∠8= ．
15．如果一个多边形的所有内角从小到大排列起来，恰好依次增加相同的度数，设最小角的度数为100°，最大角的度数为140°，那么这个多边形是 边形．
16．在如图一、图二、图三中，分别是由1个、2个、n个正方形连接成的图形．在图1中，x=70°；在图二中，y=28°；通过（1）、（2）的计算，请写出图三中a+b+c+…+d与n的数量关系式 ．
三．解答题（共7小题）
17．小明在计算一个多边形的内角和，求得的内角和为2220°，经过检查发现少加了一个内角，请问这个内角为多少度？这个多边形是几边形？
18．已知n边形的内角和θ=（n﹣2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取720°；而乙同学说，θ也能取820°，甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n，若不对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．
19．如图，已知四边形ABCD，∠C=72°，∠D=81°．沿EF折叠四边形，使点A、B分别落在四边形内部的点A′、B′处，求∠1+∠2的大小．
20．已知凸四边形ABCD中，∠A=∠C=90°．
（1）如图1，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明；
（2）如图2，若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明．
21．四边形ABCD中，∠A=145°，∠D=75°．
（1）如图1，若∠B=∠C，试求出∠C的度数；
（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
（3）如图3，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．
22．如图，△ADE和△ABC中∠EAD=∠AED=∠BAC=∠BCA=45°，又有∠BAD=∠BCF．
（1）求∠ECF+DAC+∠ECA的度数；
（2）判断ED与FC的位置关系，并对你的结论加以证明．
23．已知：在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠E+∠F=100°，将△DEF如图摆放，使得∠D的两条边分别经过点B和点C．
（1）当将△DEF如图1摆放时，则∠ABD+∠ACD= 度
（2）当将△DEF如图2摆放时，请求出∠ABD+∠ACD的度数，并说明理由；
（3）能否将△DEF摆放到某个位置时，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB？直接写出结论 ．（填“能”或“不能”）
【走进重高汇编】八上数学第十一章 多边形及其内角和（第3节）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．如果一个正多边形的一个内角是140°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°列式进行计算即可得解．
【解答】解：设这个正多边形的边数是n，
根据题意得，（n﹣2）?180°=140°?n，
解得n=9．故选：B．
2．当多边形边数增加一条时，多边形的内、外角和的变化情况是（ ）
A．内角和、外角和都不变 B．内角和、外角和各增加180°
C．内角和不变，外角和增加180° D．内角和增加180°，外角和不变
【分析】根据多边形的内角和定理以及外角和等于360°，计算后直接选择答案．
【解答】解：∵多边形内角和为（n﹣2）?180°，外角和为360°，
∴多边形边数增加一条，内角和增加180°，外角和不变．
故选：D．
3．一个多边形的内角都相等，它的每一个外角都等于45度，则该多边形是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形
【分析】先利用360°÷45°求出多边形的边数即可求解．
【解答】解：多边形的边数为：360°÷45°=8，
故选：C．
4．如图1是四边形纸片ABCD，其中∠B=120°，∠D=50°．如果将其右下角向内折出△PCR，如图2所示，恰使CP∥AB，RC∥AD，则∠C的度数为（ ）
A．105° B．100° C．95° D．90°
【分析】根据平行线的性质得∠BPC=180°﹣∠B=60°，∠DRC=130°，再利用三角形的内角和求出∠C的度数．
【解答】解：∵CP∥AB，RC∥AD
∴∠BPC=180°﹣∠B=60°，∠DRC=130°
∴∠C=180°﹣60°﹣25°=95°．
故选：C．
5．一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9
【分析】首先求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
【解答】解：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2）?180°=1080°，
解得：n=8．
则原多边形的边数为7或8或9．
故选：D．
6．如图的七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线相交于O点．若图中∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为220°，则∠BOD的度数为何？（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【分析】在DO延长线上找一点M，根据多边形的外角和为360°可得出∠BOM=140°，再根据邻补角互补即可得出结论．
【解答】解：在DO延长线上找一点M，如图所示．
∵多边形的外角和为360°，
∴∠BOM=360°﹣220°=140°．
∵∠BOD+∠BOM=180°，
∴∠BOD=180°﹣∠BOM=180°﹣140°=40°．
故选：A．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角以及邻补角，解题的关键是根据多边形的外角和为360°找出∠BOM=140°．
7．如图，小明将几块六边形纸片分别减掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新多边形的内角和为540°，则对应的是下列哪个图形（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据新多边形的内角和为540°，n边形的内角和公式为（n﹣2）?180°，由此列方程求n．
【解答】解：设这个新多边形的边数是n，
则（n﹣2）?180°=540°，
解得：n=5，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形外角与内角．此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式来寻求等量关系，构建方程即可求解．
8．如图，在锐角△ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，且CD，BE相交于一点P，若∠A=85°，则∠DPE=（ ）
A．100° B．130° C．120° D．95°
【分析】根据三角形的高的定义可得∠ADC=∠AEB=90°，再根据四边形内角和为360°可得∠DPE=360°﹣90°﹣90°﹣85°=95°．
【解答】解：∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，
∴∠ADC=∠AEB=90°，
∵∠A=85°，
∴∠DPE=360°﹣90°﹣90°﹣85°=95°，
故选：D．
【点评】此题主要考查了多边形的内角，以及三角形的高，关键是掌握四边形内角和为360°．
9．如图，从△ABC纸片中剪去△CDE，得到四边形ABDE，若∠C=60°．则∠1+∠2等于（ ）
A．240° B．120° C．230° D．200°
【分析】根据题意可得出∠B+∠A，再根据四边形的内角和定理可求出∠1+∠2．
【解答】解：∵∠C=60°，
∴∠B+∠A=120°，
∵∠1+∠2+∠B+∠C=360°，
∴∠1+∠2=240°，
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，四边形的内角和定理，三角形的内角和等于180°，解决本题的关键是求出∠B+∠A．
10．如图，四边形ABCD纸片中，已知∠A=160°，∠B=30°，∠C=60°，四边形ABCD纸片分别沿EF，GH，OP，MN折叠，使A与A′、B与B′、C与C′、D与D′重合，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7﹣∠8的值是（ ）
A．600° B．700° C．720° D．800°
【分析】先根据四边形内角和等于360°得出∠D的度数，根据三角形内角和定理和折叠的性质可以分别得到∠1+∠2，∠3+∠4，∠5+∠6的度数，根据三角形外角的性质和折叠的性质可以得到∠7﹣∠8的度数，再相加即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD中，∠A=160°，∠B=30°，∠C=60°，
∴∠D=360°﹣160°﹣30°﹣60°=110°，
∴∠1+∠2=360°﹣（180°﹣160°）×2=320°，
∠3+∠4=360°﹣（180°﹣110°）×2=220°，
∠5+∠6=360°﹣（180°﹣60°）×2=120°，
∠7﹣∠8=﹣（∠B+∠B′）=﹣60°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7﹣∠8
=320°+220°+120°﹣60°
=600°．
故选：A．
【点评】考查了四边形内角和等于360°，三角形内角和定理，折叠的性质，以及三角形外角的性质的综合应用．
二．填空题（共6小题）
11．如图，有一条公共边的正六边形和正方形如图放置，则∠α= 150 度．
【分析】求出正六边形和正方形的内角的度数，这两个角的度数与∠α的和是360°，即可求得．
【解答】解：正六边形的内角是：（6﹣2）?180÷6=120°；
正方形的角是90度．
则∠α=360﹣120﹣90=150°．
故答案为：150°．
【点评】本题主要考查了正多边形的内角和定理，n边形的内角和是（n﹣2）?180°．
12．如图所示，则（∠1+∠2﹣∠3）+（∠4+∠5﹣∠6）+（∠7+∠8﹣∠9）= 180 度．
【分析】利用多边形的内角和公式即可求出答案．
【解答】解：∵∠1+∠2+（360°﹣∠3）+∠4+∠5+（360°﹣∠6）+∠7+∠8+（360°﹣∠9）=180°?（9﹣2）=1260度，
∴（∠1+∠2﹣∠3）+（∠4+∠5﹣∠6）+（∠7+∠8﹣∠9）=1260﹣360×3=180°．
【点评】主要考查了多边形的内角和定理．n边形的内角和为：180°（n﹣2）．此类题型直接根据内角和公式计算可得．
13．如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…这样他以3m/s的速度匀速的一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了 80 s．
【分析】由题意可知小亮所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案．
【解答】解：∵小亮从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，
∴根据外角和定理可知正多边形的边数为n=360°÷15°=24，
则一共走了24×10=240（m），
一共走了240÷3=80（s）．
故答案为：80．
【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数可直接让360°除以一个外角度数即可．
14．已知如图，∠3+∠5+∠7=200°，则∠1+∠2+∠4+∠6+∠8= 200° ．
【分析】连结AB、BC、CD，形成一个五边形和三个三角形．由三个三角形内角和和为540°得出（∠3+∠9+∠10）+（∠5+∠11+∠12）+（∠7+∠13+∠14）=180°×3=540°，将∠3+∠5+∠7=200°代入，求出∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14=540°﹣200°=340°．由五边形ABCDE的内角和为540°，得出∠1+∠2+∠9+∠10+∠4+∠11+∠12+∠6+∠13+∠14+∠8=540°，将∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14=340°代入，即可得出∠1+∠2+∠4+∠6+∠8=540°﹣340°=200°．
【解答】解：如图，连结AB、BC、CD．
∵（∠3+∠9+∠10）+（∠5+∠11+∠12）+（∠7+∠13+∠14）=180°×3=540°，
∴（∠3+∠5+∠7）+（∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14）=540°，
∵∠3+∠5+∠7=200°，
∴∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14=540°﹣200°=340°．
∵五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°=540°，
∴540°=∠1+∠2+∠9+∠10+∠4+∠11+∠12+∠6+∠13+∠14+∠8
=（∠1+∠2+∠4+∠6+∠8）+（∠9+∠10+∠11+∠12+∠13+∠14）
=（∠1+∠2+∠4+∠6+∠8）+340°，
∴∠1+∠2+∠4+∠6+∠8=540°﹣340°=200°．
故答案为200°
【点评】本题考查了多边形内角和定理，难度适中．准确作出辅助线利用数形结合是解题的关键．
15．如果一个多边形的所有内角从小到大排列起来，恰好依次增加相同的度数，设最小角的度数为100°，最大角的度数为140°，那么这个多边形是 六 边形．
【分析】根据内角和公式，设该多边形为n边形，内角和公式为180°?（n﹣2），因为最小角为100°，最大角140°，又依次增加的度数相同，则它的度数应该为．
【解答】解：设该多边形的边数为n．
则为=180?（n﹣2），解得n=6．
故这个多边形为六边形．
【点评】本题思维灵活，也可利用方程解答，方程思想是解多边形有关问题常要用到的思想方法．本题难度不大．
16．在如图一、图二、图三中，分别是由1个、2个、n个正方形连接成的图形．在图1中，x=70°；在图二中，y=28°；通过（1）、（2）的计算，请写出图三中a+b+c+…+d与n的数量关系式 a+b+c+…+d=90°n ．
【分析】连接各小正方形的对角线，然后根据正方形的对角线平分一组对角，多边形的内角和公式分别列式求出右边几个角的度数的和，从而找出变化规律即可得解．
【解答】解：如图，连接各小正方形的对角线，
图一中，61°+119°+20°+x+45°×2=360°，
所以，20°+x=360°﹣61°﹣119°﹣45°×2=90°，
图二中，61°+119°+31°+121°+45°×4+y=（5﹣2）?180°，
所以，31°+121°+y=540°﹣61°﹣119°﹣45°×4=180°，
…，
依此类推，a+b+c+…+d=（n+1+2﹣2）?180°﹣45°×2n﹣61°﹣119°=90°n．
故答案为：90°n．
【点评】本题考查了多边形的内角和公式，正方形的对角线平分一组对角的性质，作辅助线构造出多边形是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
17．小明在计算一个多边形的内角和，求得的内角和为2220°，经过检查发现少加了一个内角，请问这个内角为多少度？这个多边形是几边形？
【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）?180°，用2220除以180，商就是n﹣2，余数就是加上的那个外角的度数．进而可以算出这个多边形的边数．
【解答】解：2220÷180=12…60，
则边数n=15，
这个内角的度数是：180°﹣60°=120°．
故这个内角为120度，这个多边形是15边形．
【点评】本题考查多边形内角和公式的灵活运用；关键是找到相应度数的等量关系．
18．已知n边形的内角和θ=（n﹣2）×180°．
（1）甲同学说，θ能取720°；而乙同学说，θ也能取820°，甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n，若不对，说明理由；
（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．
【分析】（1）根据多边形内角和公式，列出方程求得θ的值，判断是否为整数即可；
（2）根据题意，列出方程（n﹣2）×180°+360°=（n+x﹣2）×180°，求得x的值即可．
【解答】解：（1）甲对，乙不对．
理由：∵当θ取720°时，720°=（n﹣2）×180°，
解得θ=6；
当θ取820°时，820°=（n﹣2）×180°，
解得θ=；
∵n为整数，
∴θ不能取820°；
（2）依题意得，
（n﹣2）×180°+360°=（n+x﹣2）×180°，
解得x=2．
【点评】本题主要考查了多边形内角和公式，解决问题的关键是掌握多边形内角和公式，解题时注意与多边形外角和的区别．
19．如图，已知四边形ABCD，∠C=72°，∠D=81°．沿EF折叠四边形，使点A、B分别落在四边形内部的点A′、B′处，求∠1+∠2的大小．
【分析】根据四边形的内角和为180°，有∠1+∠2+∠FEA1+∠EFB1+∠D+∠C=360°，又，∠C=72°，∠D=81°，则∠FEA1+∠EFB1+∠1+∠2=207°；又∠AEF+∠BFE+∠FEA1+∠EFB1+∠1+∠2=360°，∠FEA1+∠EFB1=∠AEF+∠BFE，即可求出答案．
【解答】解：由题意得：∠1+∠2+∠FEA1+∠EFB1+∠D+∠C=360°，
又∠C=72°，∠D=81°，
则∠FEA1+∠EFB1+∠1+∠2=207°；
又∠AEF+∠BFE+∠FEA1+∠EFB1+∠1+∠2=360°，
又四边形A1B1FE是四边形ABEF翻转得到的，
∴∠FEA1+∠EFB1=∠AEF+∠BFE，
∴∠FEA1+∠EFB1=153°，
∴∠1+∠2=54°．
【点评】本题考查了翻转变换及多边形的内角和的知识，有一定难度，找准各个角的关系是关键．
20．已知凸四边形ABCD中，∠A=∠C=90°．
（1）如图1，若DE平分∠ADC，BF平分∠ABC的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明；
（2）如图2，若BF、DE分别平分∠ABC、∠ADC的邻补角，判断DE与BF位置关系并证明．
【分析】（1）DE⊥BF，延长DE交BF于G．易证∠ADC=∠CBM．可得∠CDE=∠EBF．即可得∠EGB=∠C=90゜，则可证得DE⊥BF；
（2）DE∥BF，连接BD，易证∠NDC+∠MBC=180゜，则可得∠EDC+∠CBF=90゜，继而可证得∠EDC+∠CDB+∠CBD+∠FBC=180゜，则可得DE∥BF．
【解答】解：（1）DE⊥BF，
延长DE交BF于点G
∵∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°
又∵∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°
∵∠ABC+∠MBC=180°
∴∠ADC=∠MBC，
∵DE、BF分别平分∠ADC、∠MBC
∴∠EDC=∠ADC，∠EBG=∠MBC，
∴∠EDC=∠EBG，
∵∠EDC+∠DEC+∠C=180°
∠EBG+∠BEG+∠EGB=180°
又∵∠DEC=∠BEG∴∠EGB=∠C=90
∴DE⊥BF；
（2）DE∥BF，
连接BD，
∵DE、BF分别平分∠NDC、∠MBC
∴∠EDC=∠NDC，∠FBC=∠MBC，
∵∠ADC+∠NDC=180°
又∵∠ADC=∠MBC
∴∠MBC+∠NDC=180°
∴∠EDC+∠FBC=90°，
∵∠C=90°∴∠CDB+∠CBD=90°
∴∠EDC+∠CDB+∠FBC+∠CBD=180°
即∠EDB+∠FBD=180°，
∴DE∥BF．
【点评】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
21．四边形ABCD中，∠A=145°，∠D=75°．
（1）如图1，若∠B=∠C，试求出∠C的度数；
（2）如图2，若∠ABC的角平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
（3）如图3，若∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．
【分析】（1）根据四边形的内角和即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠ABE=35°，∠BED=105°，由∠ABC的角平分线BE交DC于点E，得到∠CBE=∠ABE=35°，根据三角形的外角的性质即可得到结论；
（3）根据四边形的性质得到∠ABC+∠BCD=140°，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：（1）∵∠A=145°，∠D=75°，
∴∠B=∠C=（360°﹣145°﹣75°）=70°；
（2）∵BE∥AD，∠A=145°，∠D=75°，
∴∠ABE=180°﹣∠A=35°，∠BED=180°﹣∠D=105°，
∵∠ABC的角平分线BE交DC于点E，
∴∠CBE=∠ABE=35°，
∴∠C=∠BED﹣∠EBC=70°；
（3）∵∠A=145°，∠D=75°，
∴∠ABC+∠BCD=360°﹣∠A﹣∠D=140°，
∵∠ABC和∠BCD的角平分线交于点E，
∴∠EBC+∠ECB=（∠ABC+∠DCB）=70°，
∴∠BEC=110°．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和，多边形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能求出∠ABC+∠DCB的度数是解此题的关键．
22．如图，△ADE和△ABC中∠EAD=∠AED=∠BAC=∠BCA=45°，又有∠BAD=∠BCF．
（1）求∠ECF+DAC+∠ECA的度数；
（2）判断ED与FC的位置关系，并对你的结论加以证明．
【分析】（1）由题意易得∠ECF+DAC+∠ECA=45°+∠BCF+45°﹣∠BCF=90°；
（2）由凹四边形ADEC得内角和是360°以及已知易得∠ADE=90°，可得∠ECA+∠CED+∠CAD=∠EDA=90°，又（1）的结论是∠ECF+DAC+∠ECA=90°，∴∠CED=∠ECF，因此由内错角相等即知DE∥CF．
【解答】解：（1）∵∠ECF=∠ECB+∠BCF，
∴∠ECF+∠DAC+∠ECA
=（∠ECB+∠BCF）+∠DAC+∠ECA （∠BCF=∠BAD）
=（∠ECB+∠ECA）+（∠DAC+∠BAD）
=∠BCA+∠BAC
=45°+45°
=90°
即∠ECF+DAC+∠ECA=90°；
（2）ED和FC平行，理由如下：
∵∠EAD=∠AED=45°，
∴∠EDA=90°，
∴在C，E，D，A四点组成的凹四边形里，
∠ECA+∠CED+∠CAD=∠EDA=90°
又∵（1）的结论是∠ECF+DAC+∠ECA=90°，
∴∠CED=∠ECF，
∴DE∥CF（内错角相等，两直线平行）．
【点评】此题主要考查了角之间的和差关系、四边形的内角和、平行线的判定等知识点，有点难度，特别是凹四边形的应用不太常见．
23．已知：在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠E+∠F=100°，将△DEF如图摆放，使得∠D的两条边分别经过点B和点C．
（1）当将△DEF如图1摆放时，则∠ABD+∠ACD= 240 度
（2）当将△DEF如图2摆放时，请求出∠ABD+∠ACD的度数，并说明理由；
（3）能否将△DEF摆放到某个位置时，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB？直接写出结论 不能 ．（填“能”或“不能”）
【分析】（1）要求∠ABD+∠ACD的度数，只要求出∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD，利用三角形内角和定理得出∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=180°﹣40°=140°；根据三角形内角和定理，∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°，∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD=140°+100°=240°；
（2）要求∠ABD+∠ACD的度数，只要求出∠ABC+∠ACB﹣（∠BCD+∠CBD）的度数．根据三角形内角和定理，∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°；根据三角形内角和定理得，∠ABC+∠ACB=180°﹣∠A=140°，∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠ACB﹣（∠BCD+∠CBD）=140°﹣100°=40°；
（3）不能．假设能将△DEF摆放到某个位置时，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB．则∠CBD+∠BCD=∠ABD+∠ACD=100°，那么∠ABC+∠ACB=200°，与三角形内角和定理矛盾，所以不能．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∠A=40°
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣40°=140°
在△BCD中，∠D+∠BCD+∠CBD=180°
∴∠BCD+∠CBD=180°﹣∠D
在△DEF中，∠D+∠E+∠F=180°
∴∠E+∠F=180°﹣∠D
∴∠CBD+∠BCD=∠E+∠F=100°
∴∠ABD+∠ACD=∠ABC+∠CBD+∠ACB+∠BCD=140°+100°=240°．
故答案为：240°；
（2）∠ABD+∠ACD=40°；
理由如下：
∵∠E+∠F=100°
∴∠D=180°﹣（∠E+∠F）=80°
∴∠ABD+∠ACD=180°﹣∠A﹣∠DBC﹣∠DCB
=180°﹣40°﹣（180°﹣80°）
=40°；
（3）不能．假设能将△DEF摆放到某个位置时，使得BD、CD同时平分∠ABC和∠ACB．则∠CBD+∠BCD=∠ABD+∠ACD=100°，那么∠ABC+∠ACB=200°，与三角形内角和定理矛盾，所以不能．
故答案为：不能．
【点评】考查三角形内角和定理，外角性质．熟练掌握这些性质是解题的关键．