【走进重高汇编】八上数学第十三章 轴对称图形测试卷 1-2节训练卷

【走进重高汇编】八上数学第十三章 轴对称图形（1-2节）　
一．选择题（共10小题）
1．下列图形中，是轴对称图形，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列图形中，对称轴条数最多的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列四个图形：
其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点．若GH的长为10cm，求△PAB的周长为（　　）
A．5cm B．10cm C．20cm D．15cm
5．如图，点N1，N2，…，N8将圆周八等分，连接N1N2，、N1N8、N4N5后，再连接一对相邻的两点后，形成的图形不是轴对称图形，则连接的这条线段可能是（　　）
A．N2N3 B．N3N4 C．N5N6 D．N7N8
6．如图，在四边形ABCD中，∠A=58°，∠C=100°，连接BD，E是AD上一点，连接BE，∠EBD=36°．若点A，C分别在线段BE，BD的中垂线上，则∠ADC的度数为（　　）
A．75° B．65° C．63° D．61°

第4题图 第5题图 第6题图
7．如图，AB的中垂线为CP交AB于点P，且AC=2CP．甲、乙两人想在AB上取D、E两点，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：甲作∠ACP、∠BCP的角平分线，分别交AB于D、E两点，则D、E即为所求；乙作AC、BC的中垂线，分别交AB于D、E两点，则D、E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列正确的是（　　）
A．两人都正确 B．两人都错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
8．已知正五边形的对称轴是过任意一个顶点与该顶点对边中点的直线．如图所示的正五边形中相邻两条对称轴所夹锐角α的度数为（　　）
A．75° B．72° C．70° D．60°
9．如图，若△A'B'C'与△ABC关于直线AB对称，则点C的对称点C’的坐标是（　　）
（0，﹣1） B．（0，﹣3） C．（3，0） D．（2，1）

第7题图 第8题图 第9题图
10．△ABC中，AB=AC，BC=10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D、E且DE=4，则AD+AE的值为（　　）
A．6 B．10 C．6或14 D．6或10
二．填空题（共6小题）
11．已知点P（x，x+y）与点Q（y+5，x﹣7）关于x轴对称，则点Q坐标为　 　．
12．如图，△ABC的内部有一点P，且D、E、F是P分别以AB、BC、AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠A=70°，∠B=60°，∠C=50°，则∠ADB+∠BEC+∠CFA=　 　．
13．如图，已知在△ABC中，BC=10cm，AB的垂直平分线EF交BC与点F，AC的垂直平分线MN交BC于点N，则△AFN的周长为　 　cm．
14．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长为　 　．
第12题图 第13题图 第14题图 第15题图
15．如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有　 　个．
16．如图，∠MON=45°，点P在∠MON内，OP=4，分别作点P关于OM、ON的对称点A、B，PA、PB分别交OM、ON于点C、D，连接AB分别交OM、ON于点E、F．
（1）比较大小：PC+CD+DP　 　PE+EF+FP；
（2）连接OA、OB，则△AOB的面积为　 　．
　
三．解答题（共7小题）
17．如图，在平面直角坐标系中，作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标和△A1B1C1的面积．
18．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，
（1）作图：作BC边的垂直平分线分别交BC，BD于点E，F（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度数．
19．如图，△ABC中，∠BAC=110°，BC=10，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，求：
（1）∠PAQ的度数；
（2）△APQ的周长．
20．如图，在∠AOB外有一点P，先作点P关于直线OA的对称点P1，再作点P关于直线OB的对称点P2．
（1）试猜想∠P1OP2与∠AOB的数量关系，并加以证明；
（2）当点P在∠AOB内部时，上述结论是否成立？画图加以证明．
21．如图，已知∠AOB=25°，把∠AOB绕顶点O按逆时针旋转55°到∠MON，点C、D分别是OB、OM上的点，分别作C点关于OA、ON的对称点E、F，连接DE、DF．
（1）求∠ECF的度数；
（2）说明DE=DF的理由．
22．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长；
（3）若∠BAC=110°，则∠DAE=　 　°．
23．（1）已知：如图RT△ABC中，∠ACB=90°，ED垂直平分AC交AB与D，求证：DA=DB=DC．
（2）利用上面小题的结论，继续研究：如图，点P是△FHG的边HG上的一个动点，PM⊥FH于M，PN⊥FG于N，FP与MN交于点K．当P运动到某处时，MN与FP正好互相垂直，请问此时FP平分∠HFG吗？请说明理由．
　

【走进重高汇编】八上数学第十三章 轴对称图形（1-2节）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列图形中，是轴对称图形，不是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐个判断即可．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义等知识点，能熟记中心对称图形和轴对称图形的定义的内容是解此题的关键．
2．下列图形中，对称轴条数最多的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．
【解答】解：A、有2条对称轴；
B、有4条对称轴；
C、有6条对称轴；
D、有3条对称轴；
对称轴条数最多的是C，
故选：C．
【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
3．下列四个图形：
其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据轴对称图形的定义对各图形分析判断即可得解．
【解答】解：第一个图形是轴对称图形，有2条对称轴，
第二个图形是轴对称图形，有2条对称轴，
第三个图形是轴对称图形，有2条对称轴，
第四个图形是轴对称图形，有3条对称轴，
所以，是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是3．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4．如图，∠MON内有一点P，P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，GH分别交OM、ON于A、B点．若GH的长为10cm，求△PAB的周长为（　　）
A．5cm B．10cm C．20cm D．15cm
【分析】连结PG、PH，如图，根据轴对称的性质得OM垂直平分PG，ON垂直平分PH，则根据线段垂直平分线的性质得AP=AG，BP=BH，于是利用等线段代换可得△PAB的周长=GH=10cm．
【解答】解：连结PG、PH，如图，
∵P点关于OM的轴对称点是G，P点关于ON的轴对称点是H，
∴OM垂直平分PG，ON垂直平分PH，
∴AP=AG，BP=BH，
∴△PAB的周长=AP+AB+BP
=AG+AB+BH
=GH
=10cm．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
5．如图，点N1，N2，…，N8将圆周八等分，连接N1N2，、N1N8、N4N5后，再连接一对相邻的两点后，形成的图形不是轴对称图形，则连接的这条线段可能是（　　）
A．N2N3 B．N3N4 C．N5N6 D．N7N8
【分析】根据轴对称图形的概念，对各选项提供的线段分析判断即可得解．
【解答】解：A、连接N2N3后形成的图形不是轴对称图形，故本选项正确；
B、连接N3N4后形成的图形是轴对称图形，故本选项错误；
C、连接N5N6后形成的图形是轴对称图形，故本选项错误；
D、连接N7N8后形成的图形是轴对称图形，故本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
6．如图，在四边形ABCD中，∠A=58°，∠C=100°，连接BD，E是AD上一点，连接BE，∠EBD=36°．若点A，C分别在线段BE，BD的中垂线上，则∠ADC的度数为（　　）
A．75° B．65° C．63° D．61°
【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AE=AB，BC=DC，再由∠A=58°，∠C=100°得出∠ABE及∠CBD的度数，根据∠EBD=36°得出∠ABC的度数，由四边形内角和定理即可得出结论．
【解答】解：∵点A，C分别在线段BE，BD的中垂线上，
∴AE=AB，BC=DC．
∵∠A=58°，∠C=100°，
∴∠ABE==61°，∠CBD==40°．
∵∠EBD=36°，
∴∠ABC=∠ABE+∠EBD+∠CBD=61°+36°+40°=137°，
∴∠ADC=360°﹣∠A﹣∠C﹣∠ABC=360°﹣58°﹣100°﹣137°=65°．
故选：B．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
　
7．如图，AB的中垂线为CP交AB于点P，且AC=2CP．甲、乙两人想在AB上取D、E两点，使得AD=DC=CE=EB，其作法如下：甲作∠ACP、∠BCP的角平分线，分别交AB于D、E两点，则D、E即为所求；乙作AC、BC的中垂线，分别交AB于D、E两点，则D、E即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列正确的是（　　）
A．两人都正确 B．两人都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
【分析】求出∠A=30°，∠ACP=60°，求出∠ACD=30°=∠A，即可推出AD=CD，同理BE=CE，即可判断甲，根据线段垂直平定县性质得出AD=CD，BE=CE，即可判断乙．
【解答】
解：甲、乙都正确，
理由是：∵CP是线段AB的垂直平分线，
∴BC=AC，∠APC=∠BPC=90°，
∵AC=2CP，
∴∠A=30°，
∴∠ACP=60°，
∵CD平分∠ACP，
∴∠ACD=∠ACP=30°，
∴∠ACD=∠A，
∴AD=DC，
同理CE=BE，
即D、E为所求；
∵D在AC的垂直平分线上，
∴AD=CD，
同理CE=BE，
即D、E为所求，
故选：A．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形性质，三角形的内角和定理，线段垂直平分线性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
8．已知正五边形的对称轴是过任意一个顶点与该顶点对边中点的直线．如图所示的正五边形中相邻两条对称轴所夹锐角α的度数为（　　）
A．75° B．72° C．70° D．60°
【分析】根据正五边形的性质与轴对称的性质，锐角α正好等于正五边形的中心角的度数，然后列式求解即可．
【解答】解：∵正五边形的中心角为：360°÷5=72°，
∴相邻两条对称轴所夹锐角α的度数为72°．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称的性质，根据正五边形的性质得到两对称轴的夹角正好等于中心角是解题的关键．
　
9．如图，若△A'B'C'与△ABC关于直线AB对称，则点C的对称点C’的坐标是（　　）
A．（0，﹣1） B．（0，﹣3） C．（3，0） D．（2，1）
【分析】根据对称的性质可知点C和对称点C′到直线AB的距离是相等的则易解．
【解答】解：∵△A'B'C'与△ABC关于直线AB对称，
∴通过网格上作图或计算可知，C’的坐标是（2，1）．
故选：D．
【点评】主要考查了坐标的对称特点．解此类问题的关键是要掌握轴对称的性质：对称轴垂直平分对应点的连线．利用此性质可在坐标系中得到对应点的坐标．
10．△ABC中，AB=AC，BC=10，AB的垂直平分线与AC的垂直平分线分别交BC于点D、E且DE=4，则AD+AE的值为（　　）
A．6 B．10 C．6或14 D．6或10
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，AE=CE，然后分两种情况讨论求解．
【解答】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点D、E，
∴AD=BD，AE=CE，
∴AD+AE=BD+CE，
∵BC=10，DE=4，
当BD与CE无重合时，如图1，
AD+AE=BD+CE=BC﹣DE=10﹣4=6，
当BD与CE有重合时，如图2，
AD+AE=BD+CE=BC+DE=10+4=14，
综上所述，AD+AE=6或14．
故选：C．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键，难点在于要分情况讨论．
　
二．填空题（共6小题）
11．已知点P（x，x+y）与点Q（y+5，x﹣7）关于x轴对称，则点Q坐标为　（4，﹣3）　．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得方程组，解方程组可得x、y的值，然后再代入Q（y+5，x﹣7）可得答案．
【解答】解：由题意得：，
解得，
则点Q坐标为（﹣1+5，4﹣7），
即（4，﹣3），
故答案为：（4，﹣3）．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．
　
12．如图，△ABC的内部有一点P，且D、E、F是P分别以AB、BC、AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠A=70°，∠B=60°，∠C=50°，则∠ADB+∠BEC+∠CFA=
　360°　．
【分析】连接AP，BP，CP后，根据轴对称的性质，可得到角相等，结合及周角的定义可知答案．
【解答】解：连接AP，BP，CP，
∵D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点
∴∠ADB=∠APB，∠BEC=∠BPC，∠CFA=∠APC，
∴∠ADB+∠BEC+∠CFA=∠APB+∠BPC+∠APC=360°．
故答案为：360°．
【点评】本题考查轴对称的性质，根据题意作出辅助线得到三对角相等是正确解答本题的关键．
　
13．如图，已知在△ABC中，BC=10cm，AB的垂直平分线EF交BC与点F，AC的垂直平分线MN交BC于点N，则△AFN的周长为　10　cm．
【分析】根据垂直平分线性质得AF=BF，AN=CN，所以△ANF周长=BC．
【解答】解：∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于F，N，
∴AF=BF，AN=CN，
∴C△AFN=AF+FN+AN=BF+FN+CN=BC=10．
故答案为：10．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
　
14．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为12cm，则△ABC的周长为　20cm　．
【分析】由DE是AC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，即可求得AC的长与AD=CD；又由△ABD的周长为12cm，即可求得AB+BC的长，继而求得△ABC的周长．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AC=2AE=8cm，AD=CD，
∵△ABD的周长为12cm，
∴AB+BD+AD=12cm，
即AB+BD+CD=AB+BC=12cm，
∴△ABC的周长为：AB+BC+AC=12+8=20（cm）．
故答案为：20cm．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与整体思想的应用．
　
15．如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，这样的白色小方格有　4　个．
【分析】根据轴对称图形的概念分别找出各个能成轴对称图形的小方格即可．
【解答】解：如图所示，有4个位置使之成为轴对称图形．
故答案为：4．
【点评】此题利用格点图，考查学生轴对称性的认识．此题关键是找对称轴，按对称轴的不同位置，可以有4种画法．
　
16．如图，∠MON=45°，点P在∠MON内，OP=4，分别作点P关于OM、ON的对称点A、B，PA、PB分别交OM、ON于点C、D，连接AB分别交OM、ON于点E、F．
（1）比较大小：PC+CD+DP　＞　PE+EF+FP；
（2）连接OA、OB，则△AOB的面积为　8　．
【分析】（1）由轴对称图形的性质可知AC=PC，AE=PE，PD=DB，PF=FB，最后依据两点之间线段最短即可得出答案；
（2）由题意可知△AOB为等腰直角三角形，然后依据三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：（1）由轴对称的性质可知：AC=PC，AE=PE，PD=DB，PF=FB，
∴PC+CD+DP=AC+CD+DB，PE+EF+FP=AE+EF+FB．
∵AC+CD+DB＞AE+EF+FB，
∴PC+CD+DP＞PE+EF+FP．
（2）由轴对称的性质可知；OP=OB=OA=4，∠AOM=∠MOP，∠BON=∠PON．
∵∠MON=45°，
∴∠AOB=2∠MON=2×45°=90°．
∴=8．
故答案为：（1）＞；（2）8．
【点评】本题主要考查的是轴对称的性质，依据轴对称图形的性质找出相等的角和相等的线段是解题的关键．
　
三．解答题（共7小题）
17．如图，在平面直角坐标系中，作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标和△A1B1C1的面积．
【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出结合三角形面积求法得出答案．
【解答】解：如图所示：△A1B1C1，即为所求，点A1的坐标为：（﹣2，﹣1），
△A1B1C1的面积为：3×4﹣×1×3﹣×1×3﹣×2×4=5．
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．
　
18．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，
（1）作图：作BC边的垂直平分线分别交BC，BD于点E，F（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF的度数．
【分析】（1）作线段BC的垂直平分线即可；
（2）在△FDC中，求出∠FDC，∠DFC即可解决问题；
【解答】解：（1）BC边的垂直平分线EF如图所示；
（2）∵BD平分∠ABC，∠ABD=24°，
∴∠FBC=24°，
∵EF垂直平分BC，
∴BF=CF，
∴∠FCB=∠FBC=24°，
在△FDC中，∠FDC=∠A+∠ABD=60°+24°=84°，
∠DFC=∠FCB+∠FBC=24°+24°=48°，
∴∠ACF=180°﹣84°﹣48°=48°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图、线段的垂直平分线、三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
　
19．如图，△ABC中，∠BAC=110°，BC=10，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，求：
（1）∠PAQ的度数；
（2）△APQ的周长．
【分析】（1）由MP和NQ分别垂直平分AB和AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AP=BP，AQ=CQ，又由等腰三角形的性质，可求得∠BAP+∠CAQ=∠B+∠C，继而求得答案；
（2）由△APQ的周长为：AP+PQ+AQ=BP+PQ+CQ=BC，继而求得答案．
【解答】解：（1）∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC，
∴AP=BP，AQ=CQ，
∴∠BAP=∠A，∠CAQ=∠C，
∵∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣110°=70°，
∴∠BAP+∠CAQ=70°，
∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=40°；
（2）∵BC=10，
∴△APQ的周长为：AP+PQ+AQ=BP+PQ+CQ=BC=10．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握转化思想与数形结合思想的应用．
　
20．如图，在∠AOB外有一点P，先作点P关于直线OA的对称点P1，再作点P关于直线OB的对称点P2．
（1）试猜想∠P1OP2与∠AOB的数量关系，并加以证明；
（2）当点P在∠AOB内部时，上述结论是否成立？画图加以证明．
【分析】（1）利用轴对称图形的性质得出相等的角，进而得出∠P1OP2=∠3+∠4=∠1+∠2+2∠3=2∠2+2∠3=2（∠2+∠3）即可得出答案；
（2）利用轴对称图形的性质得出相等的角，进而得出∠P1OP2=∠1+∠2+∠3+∠4=2（∠2+∠3）即可得出答案．
【解答】解：（1）∠P1OP2=2∠AOB，
理由：如图1，∵点P关于直线OA的对称点P1，点P关于直线OB的对称点P2，
∴∠1=∠2，∠POB=∠BOP2，则∠1+∠2+∠3=∠4，
∴∠P1OP2=∠3+∠4=∠1+∠2+2∠3=2∠2+2∠3=2（∠2+∠3）=2∠AOB；
（2））∠P1OP2=2∠AOB，
理由：如图2，∵点P关于直线OA的对称点P1，点P关于直线OB的对称点P2，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠P1OP2=∠1+∠2+∠3+∠4=2（∠2+∠3）=2∠AOB．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质，利用对称得出相等的角是解题关键．
　
21．如图，已知∠AOB=25°，把∠AOB绕顶点O按逆时针旋转55°到∠MON，点C、D分别是OB、OM上的点，分别作C点关于OA、ON的对称点E、F，连接DE、DF．
（1）求∠ECF的度数；
（2）说明DE=DF的理由．
【分析】根据轴对称的性质，（1）∵C点关于OA、ON的对称点分别为E、F，∴OA、ON分别是EC、CF的垂直平分线，即而可求出∠ECF的度数；
（2）连接OE、OF，则OA、ON分别是EC、CF的垂直平分线，可得△OED≌△OFD，继而证明DE=DF．
【解答】解：（1）∵C点关于OA、ON的对称点分别为E、F，
∴OA、ON分别是EC、CF的垂直平分线，
∵∠AON=55°+25°=80°，
∴∠OCE=90°﹣∠COA=65°，∠OCF=90°﹣∠BON=35°，
∴∠ECF=∠OCE+∠OCF=100°．
（2）连接OE、OF，
由（1）知，OA、ON分别是EC、CF的垂直平分线，
∴OE=OC=OF，
由对称性知：∠EOA=∠AOB=25°∠NOF=∠NOB=55°，
∴∠EOD=∠FOD=80°，
在△OED与△OFD中，
，
∴△OED≌△OFD（SAS），
∴DE=DF．
【点评】本题考查了轴对称的性质和全等三角形的判定与性质，有一定难度，注意轴对称性质的灵活运用．
　
22．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为6cm．
（1）求BC的长；
（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长；
（3）若∠BAC=110°，则∠DAE=　40　°．
【分析】（1）由在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，可得AD=BD，AE=CE，继而可得BC=△ADE的周长；
（2）由在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，可得OA=OB=OC，继而求得答案；
（3）由∠BAC=110°，可求得∠BVAD+∠CAE=∠ABC+∠ACB，继而求得答案．
【解答】解：（1）∵在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，
∴AD=BD，AE=CE，
∵△ADE的周长为6cm．
∴B=BD+DE+CE=AD+DE+AE=6cm；
（2）连结OA、OB、OC，
∵在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，
∴OA=OB，OA=OC，
∴OA=OB=OC，
∵△OBC的周长为16cm，
∴OB+OC+BC=16cm，
∴OB=OC=5cm，
∴OA=5cm；
（3）∵AD=BD，AE=CE，
∴∠BAD=∠ABC，∠EAC=∠ACB，
∵∠BAC=110°，
∴∠ABC+∠ACB=70°，
∴∠BAD+∠EAC=70°，
∴∠DAE=∠BAC﹣（∠BAD+∠EAC）=40°．
故答案为：40．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
　
23．（1）已知：如图RT△ABC中，∠ACB=90°，ED垂直平分AC交AB与D，求证：DA=DB=DC．
（2）利用上面小题的结论，继续研究：如图，点P是△FHG的边HG上的一个动点，PM⊥FH于M，PN⊥FG于N，FP与MN交于点K．当P运动到某处时，MN与FP正好互相垂直，请问此时FP平分∠HFG吗？请说明理由．
【分析】（1）首先根据线段的垂直平分线的性质可以得到AD=CD，再利用等腰三角形的性质得到∠A=∠ACD，而∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=90°，由此即可得到∠B=∠BCD，再利用等腰三角形的性质即可证明题目结论；
（2）如图，作线段MF的垂直平分线交FP于点O，作线段FN的垂直平分线也必与FP交于点O，根据（1）的结论可以得到OM=OP=OF=ON，然后由此可以证明Rt△OKM≌Rt△OKN，然后利用线段性质得到MK=NK，由此可以证明△FKM≌△FKN，然后即可证明题目结论．
【解答】解：（1）∵ED垂直平分AC，
∴AD=CD，
∴∠A=∠ACD，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠BCD，
∴BD=CD，
∴DA=DB=DC；
（2）如图，作线段MF的垂直平分线交FP于点O，
∵PM⊥FH，PN⊥FG，
∴△MPF和△NPF都是直角三角形；
作线段MF的垂直平分线交FP于点O，
由（1）中所证可知OF=OP=OM；
作线段FN的垂直平分线也必与FP交于点O；
∴OM=OP=OF=ON，
又∵MN⊥FP，
∴∠OKM=∠OKN=90°，
∵OK=OK；
∴Rt△OKM≌Rt△OKN；
∴MK=NK；
∴△FKM≌△FKN；
∴∠MFK=∠NFK，
即FP平分∠HFG．
【点评】此题是一个探究性试题，利用第一问的结论解决第二问，实际上很难把两个问题联系起来，只有通过作辅助线才能把它们联系在一起，所以题目的辅助线是解题的关键．