【走进重高汇编】八上数学第十三章 等腰三角形与最短路径问题 3-4节训练卷
文档属性
| 名称 | 【走进重高汇编】八上数学第十三章 等腰三角形与最短路径问题 3-4节训练卷 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2019-04-04 09:03:42 | ||
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文档简介
【走进重高汇编】八上数学第十三章 等腰三角形与最短路径问题（3-4节）
一．选择题（共10小题）
1．关于等腰三角形和等边三角形的区别与联系，下列说法中不正确的是（ ）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 B．等边三角形是等腰三角形的特殊情况
C．等边三角形的底角与顶角相等 D．等边三角形包括等腰三角形
2．如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（ ）
A．AD=AE B．DB=EC C．∠ADE=∠C D．DE=BC
3．已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（ ）
A．60° B．45° C．40° D．30°
4．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（ ）
A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
5．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE，AC=5，BC=3，则BD的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
6．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（ ）
A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD
7．在钝角三角形ABC中，若AB=AC，D是BC上一点，AD把△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC的度数为（ ）
A．150° B．124° C．120° D．108°
8．点P是等边三角形ABC所在平面上一点，若P在△ABC的三个顶点所组成的△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，则这样的点P的个数为（ ）
A．1 B．4 C．7 D．10
9．如图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（ ）
A．8+2a B．8+a C．6+a D．6+2a
10．如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正方形ABCD，点P沿直线AB从右向左移动，当出现：点P与正方形四个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
第6题图 第9题图 第10题图
二．填空题（共6小题）
11．如图，在等腰△ABC的两腰AB、BC上分别取点D和E，使DB=DE，此时恰有∠ADE=∠ACB，则∠B的度数是 ．
12．等腰三角形的两边长为4，9．则它的周长为 ．
13．如图，BC=BD，AD=AE，DE=CE，∠A=36°，则∠B= ．
14．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为 cm．
第11题图 第13题图 第14题图
15．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=110°，AD是BC边上的中线，且BD=BE，则∠AED度数是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm．动点D从点A出发，以每秒1cm的速度沿射线AC运动，当t= 时，△ABD为等腰三角形．
第15题图 第16题图
三．解答题（共7小题）
17．画图题，保留作图痕迹，不写作法．
（1）如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
（2）如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小．
18．已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD是∠ABC的平分线，点E是BC上一点，且BD=BE．求∠DEC的度数．
19．如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE．
20．如图所示，△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．
（1）若∠AFD=155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD=∠B．
21．图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
（1）如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；
（2）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，N是AB上任一点（不与A、B重合），过N作NM⊥AB交BC所在直线于M，
（1）若∠A=30°．求∠NMB的度数；
（2）如果将（1）中∠A的度数改为68°，其余条件不变，求∠NMB的度数；
（3）综合（1）（2），你发现有什么样的规律性，试证明之；
（4）若将（1）中的∠A改为直角或钝角，你发现的规律是否仍然成立？
23．数学课上，同学们探究下面命题的正确性：
（1）顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形，为此，请你解答：如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，射线BD平分∠ABC交AC于点D．求证：△DAB与△BCD都是等腰三角形；
（2）在证明了该命题后，有同学发现：下面两个等腰三角形如图2也具有这种特性．请你在图2中分别画出一条线段，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数．
【走进重高汇编】八上数学第十三章 等腰三角形与最短路径问题（3-4节）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．关于等腰三角形和等边三角形的区别与联系，下列说法中不正确的是（ ）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．等边三角形是等腰三角形的特殊情况
C．等边三角形的底角与顶角相等
D．等边三角形包括等腰三角形
【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质进行分析，从而得到答案．
【解答】解：A、有一个角是60°的等腰三角形的三个内角都是60°，则该等腰三角形是等边三角形．故本选项正确；
B、等边三角形是底边与腰相等的等腰三角形，即等边三角形是特殊的等腰三角形．故本选项正确；
C、等边三角形的三个内角都是60°，所以等边三角形的底角与顶角相等．故本选项正确；
D、等腰三角形包括等边三角形．故本选项错误；
故选：D．
【点评】此题主要考查等腰三角形与等边三角形的性质之间的关系．等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
2．如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（ ）
A．AD=AE B．DB=EC C．∠ADE=∠C D．DE=BC
【分析】由DE与BC平行，得到三角形ADE与三角形ABC相似，由相似得比例，根据AB=AC，得到AD=AE，进而确定出DB=EC，再由两直线平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代换得到∠ADE=∠C，而DE不一定为中位线，即DE不一定为BC的一半，即可得到正确选项．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴=，∠ADE=∠B，
∵AB=AC，
∴AD=AE，DB=EC，∠B=∠C，
∴∠ADE=∠C，
而DE不一定等于BC，
故选：D．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解本题的关键．
3．已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（ ）
A．60° B．45° C．40° D．30°
【分析】过C作CE∥直线m，由l∥m，推出l∥m∥CE，根据平行线的性质得到∠ACE=∠α，∠BCE=∠CBF=20°，即∠α+∠CBF=∠ACB=60°，即可求出答案．
【解答】解：过C作CE∥直线m
∵l∥m，
∴l∥m∥CE，
∴∠ACE=∠α，∠BCE=∠CBF=20°，
∵等边△ABC，
∴∠ACB=60°，
∴∠α+∠CBF=∠ACB=60°，
∴∠α=40°．
故选：C．
【点评】本题主要考查对平行线的性质，等边三角形的性质，平行公理及推论等知识点的理解和掌握，此题是一个比较典型的题目，题型较好．
4．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（ ）
A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°
【分析】根据等腰三角形的性质推出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，根据三角形的外角性质求出∠B=25°，由三角形的内角和定理求出∠BDE，根据平角的定义即可求出选项．
【解答】解：∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，
∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，
∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，
∴∠B=25°，
∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，
∴∠BDE=∠BED=（180°﹣25°）=77.5°，
∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°，
故选：D．
【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．
5．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE，AC=5，BC=3，则BD的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【分析】由已知条件判定△BEC的等腰三角形，且BC=CE；由等角对等边判定AE=BE，则易求BD=BE=AE=（AC﹣CE）．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，
∴BC=CE．
又∵∠A=∠ABE，
∴AE=BE．
∴BD=BE=AE=（AC﹣BC）．
∵AC=5，BC=3，
∴BD=（5﹣3）=1．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质．注意等腰三角形“三线合一”性质的运用．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（ ）
A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD
【分析】根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、添加BD=CE，可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误；
B、添加AD=AE，根据等边对等角可得∠ADE=∠AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB=∠EAC，故本选项错误；
C、添加DA=DE无法求出∠DAB=∠EAC，故本选项正确；
D、添加BE=CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，小综合题，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
7．在钝角三角形ABC中，若AB=AC，D是BC上一点，AD把△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC的度数为（ ）
A．150° B．124° C．120° D．108°
【分析】从已知条件结合图形，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理列出方程求解即可．
【解答】解：设∠ABC为x．
（180°﹣x）÷2+x+2x=180°
解得x=36°
∴180°﹣36°×2=108°．
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握定理是解决本题的关键．题目比较简单，属于基础题．
8．点P是等边三角形ABC所在平面上一点，若P在△ABC的三个顶点所组成的△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，则这样的点P的个数为（ ）
A．1 B．4 C．7 D．10
【分析】①以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P2两点；以B为圆心，AB为半径囝弧交BC的垂直平分线于点P3，这样在AB的垂直平分线上有三点，②同样在AC，BC的垂直平分线上也分别有三点；③还有一点就是AB，BC，AC三条边的垂直平分线的交点；相加即可得出答案．
【解答】解：①以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P2两点；以B为圆心，AB为半径囝弧交BC的垂直平分线于点P3，这样在AB的垂直平分线上有三点，
②同样在AC，BC的垂直平分线上也分别有三点；
③还有一点就是AB，BC，AC三条边的垂直平分线的交点；
共3+3+3+1=10点．
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和等腰三角形的判定，线段垂直平分线性质等知识点的综合运用．
9．如图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（ ）
A．8+2a B．8+a C．6+a D．6+2a
【分析】△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，根据等腰三角形的性质求解．
【解答】解：∵△MNP中，∠P=60°，MN=NP
∴△MNP是等边三角形．
又∵MQ⊥PN，垂足为Q，
∴PM=PN=MN=4，NQ=NG=2，MQ=a，∠QMN=30°，∠PNM=60°，
∵NG=NQ，
∴∠G=∠QMN，
∴QG=MQ=a，
∵△MNP的周长为12，
∴MN=4，NG=2，
∴△MGQ周长是6+2a．
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，难度一般，认识到△MNP是等边三角形是解决本题的关键．
10．如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正方形ABCD，点P沿直线AB从右向左移动，当出现：点P与正方形四个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【分析】根据正方形的性质，利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到直线AB上会发出警报的点P的个数．
【解答】解：当BC=BP时，△BCP为等腰三角形；
当P与B重合时，△APC为等腰三角形；
当P运动到AB边的中点时，PD=PC，此时△PCD为等腰三角形；
当P与A重合时，△PBD为等腰三角形；
当PA=AD时，△PAD为等腰三角形；
当AP=AC时，△APC是等腰三角形，这时有2个；
当BD=BP时，△BDP 是等腰三角形，这时有2个；
综上，直线AB上会发出警报的点P有9个．
故选：C．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定，以及正方形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．如图，在等腰△ABC的两腰AB、BC上分别取点D和E，使DB=DE，此时恰有∠ADE=∠ACB，则∠B的度数是 20° ．
【分析】设∠B=x．先由DB=DE，根据等边对等角得出∠DEB=∠B=x，根据三角形外角的性质得出∠ADE=∠DEB+∠B=2x，由∠ADE=∠ACB得出∠ACB=4x．再由AB=BC，得出∠ACB=∠A=4x，然后在△ABC中，根据三角形内角和定理列出方程4x+x+4x=180°，解方程即可求出∠B的度数．
【解答】解：设∠B=x．
∵DB=DE，
∴∠DEB=∠B=x，
∴∠ADE=∠DEB+∠B=2x，
∴∠ACB=2∠ADE=4x．
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠A=4x．
在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴4x+x+4x=180°，
∴x=20°．
即∠B的度数是20°．
故答案为20°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理，难度适中．设出适当的未知数，用代数方法解几何题是一种常用的方法．
12．等腰三角形的两边长为4，9．则它的周长为 22 ．
【分析】由于题目没有说明4和9，哪个是底哪个是腰，所以要分类讨论．
【解答】解：当腰长为4，底长为9时；4+4＜9，不能构成三角形；
当腰长为9，底长为4时；9﹣4＜9＜9+4，能构成三角形；
故等腰三角形的周长为：9+9+4=22．
故填22．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
13．如图，BC=BD，AD=AE，DE=CE，∠A=36°，则∠B= 36° ．
【分析】由AD=AE，∠A=36°，根据等边对等角的性质，即可求得∠ADE的度数，又由三角形外角的性质，即可求得∠CED的度数，由DE=CE，求得∠EDC的度数，然后根据平角的定义，求得∠BDC的度数，又由BC=BD，即可求得∠B的值．
【解答】解：∵AD=AE，∠A=36°，
∴∠ADE=∠AED==72°，
∴∠DEC=∠A+∠ADE=36°+72°=108°，
∵DE=CE，
∴∠EDC=∠ECD==36°，
∴∠CDB=180°﹣∠ADE﹣∠EDC=72°，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠CDB=72°，
∴∠B=180°﹣∠BCD﹣∠CDB=36°．
故答案为：36°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等边对等角定理的应用．
14．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为 8 cm．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC?AD=×4×AD=12，解得AD=6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8cm．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
15．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=110°，AD是BC边上的中线，且BD=BE，则∠AED度数是 107.5° ．
【分析】由已知条件易得∠B=35°，△BED中根据等腰三角形的性质可得∠BED的度数，求其补角可得答案．
【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=110°，
∴∠B=∠C=×（180°﹣∠BAC）=×（180°﹣110°）=35°，
∵BD=BE，
∴∠BED=∠BDE=×（180°﹣∠B）=×（180°﹣35°）=72.5°，
∴∠AED=180°﹣72.5°=107.5°．
故答案为：107.5°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理及等腰三角形的性质；做题时两次运用了等边对等角的性质及三角形内角和定理，要熟练掌握并能灵活应用这些知识．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm．动点D从点A出发，以每秒1cm的速度沿射线AC运动，当t= 5、6、 时，△ABD为等腰三角形．
【分析】根据勾股定理求出AC，分为三种情况：①若AB=AD，②若BA=BD，则AD=2AC，③若DA=DB，求出即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，由勾股定理得：AC=3cm，
由运动可知：AD=t，且△ABD时等腰三角形，
有三种情况：
①若AB=AD，则t=5；
②若BA=BD，则AD=2AC，即t=6；
③若DA=DB，则在Rt△BCD中，CD=t﹣3，BC=4，BD=t，
即（t﹣3）2+42=t2，
解得：t=，
综合上述：符合要求的t值有3个，分别为5，6，．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，运用分类讨论思想是本题的关键．
三．解答题（共7小题）
17．画图题，保留作图痕迹，不写作法．
（1）如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
（2）如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小．
【分析】（1）利用要使所用的输气管线最短则作A点关于直线l的对称点A′，连接A′B，与直线l交于点P，P点即为所求；
（2）根据（1）的作法，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求．
【解答】解：（1）如图（1）所示：当在P′点位置，可得A′P′+BP′＞A′B，即P点位置较短，同理可得，
点P即为所求，
；
（2）如图（2）所示：作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求；
【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求△PDE周长的最小值，求出DP+PE的最小值即可是解题关键．
18．已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD是∠ABC的平分线，点E是BC上一点，且BD=BE．求∠DEC的度数．
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据角平分线的定义求出∠DBE，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算求出∠DEB，然后根据平角定义列式计算即可得解．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=（180°﹣∠A）=（180°﹣100°）=40°，
∵BD是角平分线，
∴∠DBE=∠ABC=×40°=20°，
∵BE=BD，
∴∠DEB=（180°﹣∠DBE）=（180°﹣20°）=80°，
∴∠DEC=180°﹣∠DEB=180°﹣80°=100°．
故∠DEC的度数是100°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
19．如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE．
【分析】过E作EF∥AB交BC延长线于F，根据等腰三角形的性质及平行线的性质可推出∠F=∠FCE，从而可得到BD=CE=EF，再根据AAS判定△DGB≌△EGF，根据全等三角形的性质即可证得结论．
【解答】证明：过E作EF∥AB交BC延长线于F．
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵EF∥AB，
∴∠F=∠B，
∵∠ACB=∠FCE，
∴∠F=∠FCE，
∴CE=EF，
∵BD=CE，
∴BD=EF，
在△DBG与△GEF中，，
∴△DGB≌△EGF（AAS），
∴GD=GE．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．
20．如图所示，△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．
（1）若∠AFD=155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD=∠B．
【分析】（1）求得∠A的度数后利用四边形的内角和定理求得结论即可；
（2）连接FB，根据AB=BC，且点F是AC的中点，得到BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=∠ABC，证得∠CFD=∠CBF后即可证得∠CFD=∠ABC．
【解答】解：（1）∵∠AFD=155°，
∴∠DFC=25°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC=∠AED=90°，
在Rt△EDC中，
∴∠C=90°﹣25°=65°，
∵AB=BC，
∴∠C=∠A=65°，
∴∠EDF=360°﹣65°﹣155°﹣90°=50°．
（2）连接BF
∵AB=BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=∠ABC，
∴∠CFD+∠BFD=90°，
∠CBF+∠BFD=90°，
∴∠CFD=∠CBF，
∴∠CFD=∠ABC．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是从复杂的图形中找到相等的线段，这是利用等腰三角形性质的基础．
21．图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
（1）如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；
（2）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）等边三角形的性质可以得出△ACN，△MCB两边及其夹角分别对应相等，两个三角形全等，得出线段AN与线段BM相等．（2）平角的定义得出∠MCN=60°，通过证明△ACE≌△MCF得出CE=CF，根据等边三角形的判定得出△CEF的形状．
【解答】解：（1）∵△ACM与△CBN都是等边三角形，
∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°．
∴∠MCN=60°，∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中
，
∴△ACN≌△MCB（SAS）．
∴AN=BM．
（2）∵∠ACM═60°，∠MCN=60°，
∴∠ACM=∠MCN，
∵△ACN≌△MCB，
∴∠CAE=∠CMB．
在△ACE和△MCF中
∴△ACE≌△MCF（ASA）．
∴CE=CF．
∴△CEF的形状是等边三角形．
【点评】本题考查了SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，同时考查了等边三角形的性质和判定．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，N是AB上任一点（不与A、B重合），过N作NM⊥AB交BC所在直线于M，
（1）若∠A=30°．求∠NMB的度数；
（2）如果将（1）中∠A的度数改为68°，其余条件不变，求∠NMB的度数；
（3）综合（1）（2），你发现有什么样的规律性，试证明之；
（4）若将（1）中的∠A改为直角或钝角，你发现的规律是否仍然成立？
【分析】（1）利用等腰三角形的性质可先求得∠B，在Rt△BMN中利用三角形内角和可求得∠NMB；
（2）方法同（1）；
（3）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可找到∠A与∠NMB之间的关系，可证明结论；
（4）结合（3）的证明，可知仍然成立，证明方法同（3）．
【解答】解：
（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B==90°﹣∠A，
∵MN⊥AB，
∴∠BNM=90°，
∴∠NMB=90°﹣∠B=∠A=15°；
（2）当∠A=68°时，同理仍有∠NMB=∠A=34°；
（3）规律：∠NMB=∠A，证明如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B==90°﹣∠A，
∵MN⊥AB，
∴∠BNM=90°，
∴∠NMB=90°﹣∠B=∠A；
（4）当∠A为钝角或直角时，仍然有∠NMB=∠A．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角及三角形内角和为180°是解题的关键．
23．数学课上，同学们探究下面命题的正确性：
（1）顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形，为此，请你解答：如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，射线BD平分∠ABC交AC于点D．求证：△DAB与△BCD都是等腰三角形；
（2）在证明了该命题后，有同学发现：下面两个等腰三角形如图2也具有这种特性．请你在图2中分别画出一条线段，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数．
【分析】（1）根据等边对等角，及角平分线定义易得∠1=∠2=36°，∠C=72°，那么∠BDC=72°，则可得AD=BD=CB，得到△ABD与△DBC都是等腰三角形；
（2）把等腰直角三角形分为两个小的等腰直角三角形即可，把108°的角分为36°和72°即可．
【解答】（1）证明：在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2=36°
∴∠3=∠1+∠A=72°，
∴∠1=∠A，∠3=∠C，
∴AD=BD，BD=BC，
∴△ABD与△BDC都是等腰三角形．
（2）解：如下图所示：
【点评】本题考查了等腰三角形的判定；注意应根据题中所给的范例用类比的方法推测出把一般三角形分为两个等腰三角形的一般结论．
一．选择题（共10小题）
1．关于等腰三角形和等边三角形的区别与联系，下列说法中不正确的是（ ）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 B．等边三角形是等腰三角形的特殊情况
C．等边三角形的底角与顶角相等 D．等边三角形包括等腰三角形
2．如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（ ）
A．AD=AE B．DB=EC C．∠ADE=∠C D．DE=BC
3．已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（ ）
A．60° B．45° C．40° D．30°
4．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（ ）
A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°
第2题图 第3题图 第4题图 第5题图
5．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE，AC=5，BC=3，则BD的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
6．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（ ）
A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD
7．在钝角三角形ABC中，若AB=AC，D是BC上一点，AD把△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC的度数为（ ）
A．150° B．124° C．120° D．108°
8．点P是等边三角形ABC所在平面上一点，若P在△ABC的三个顶点所组成的△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，则这样的点P的个数为（ ）
A．1 B．4 C．7 D．10
9．如图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（ ）
A．8+2a B．8+a C．6+a D．6+2a
10．如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正方形ABCD，点P沿直线AB从右向左移动，当出现：点P与正方形四个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
第6题图 第9题图 第10题图
二．填空题（共6小题）
11．如图，在等腰△ABC的两腰AB、BC上分别取点D和E，使DB=DE，此时恰有∠ADE=∠ACB，则∠B的度数是 ．
12．等腰三角形的两边长为4，9．则它的周长为 ．
13．如图，BC=BD，AD=AE，DE=CE，∠A=36°，则∠B= ．
14．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为 cm．
第11题图 第13题图 第14题图
15．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=110°，AD是BC边上的中线，且BD=BE，则∠AED度数是 ．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm．动点D从点A出发，以每秒1cm的速度沿射线AC运动，当t= 时，△ABD为等腰三角形．
第15题图 第16题图
三．解答题（共7小题）
17．画图题，保留作图痕迹，不写作法．
（1）如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
（2）如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小．
18．已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD是∠ABC的平分线，点E是BC上一点，且BD=BE．求∠DEC的度数．
19．如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE．
20．如图所示，△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．
（1）若∠AFD=155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD=∠B．
21．图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
（1）如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；
（2）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，N是AB上任一点（不与A、B重合），过N作NM⊥AB交BC所在直线于M，
（1）若∠A=30°．求∠NMB的度数；
（2）如果将（1）中∠A的度数改为68°，其余条件不变，求∠NMB的度数；
（3）综合（1）（2），你发现有什么样的规律性，试证明之；
（4）若将（1）中的∠A改为直角或钝角，你发现的规律是否仍然成立？
23．数学课上，同学们探究下面命题的正确性：
（1）顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形，为此，请你解答：如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，射线BD平分∠ABC交AC于点D．求证：△DAB与△BCD都是等腰三角形；
（2）在证明了该命题后，有同学发现：下面两个等腰三角形如图2也具有这种特性．请你在图2中分别画出一条线段，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数．
【走进重高汇编】八上数学第十三章 等腰三角形与最短路径问题（3-4节）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．关于等腰三角形和等边三角形的区别与联系，下列说法中不正确的是（ ）
A．有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
B．等边三角形是等腰三角形的特殊情况
C．等边三角形的底角与顶角相等
D．等边三角形包括等腰三角形
【分析】根据等腰三角形的性质和等边三角形的性质进行分析，从而得到答案．
【解答】解：A、有一个角是60°的等腰三角形的三个内角都是60°，则该等腰三角形是等边三角形．故本选项正确；
B、等边三角形是底边与腰相等的等腰三角形，即等边三角形是特殊的等腰三角形．故本选项正确；
C、等边三角形的三个内角都是60°，所以等边三角形的底角与顶角相等．故本选项正确；
D、等腰三角形包括等边三角形．故本选项错误；
故选：D．
【点评】此题主要考查等腰三角形与等边三角形的性质之间的关系．等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
2．如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，则下列结论中不正确的是（ ）
A．AD=AE B．DB=EC C．∠ADE=∠C D．DE=BC
【分析】由DE与BC平行，得到三角形ADE与三角形ABC相似，由相似得比例，根据AB=AC，得到AD=AE，进而确定出DB=EC，再由两直线平行同位角相等，以及等腰三角形的底角相等，等量代换得到∠ADE=∠C，而DE不一定为中位线，即DE不一定为BC的一半，即可得到正确选项．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴=，∠ADE=∠B，
∵AB=AC，
∴AD=AE，DB=EC，∠B=∠C，
∴∠ADE=∠C，
而DE不一定等于BC，
故选：D．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解本题的关键．
3．已知：如图，l∥m，等边△ABC的顶点B在直线m上，边BC与直线m所夹锐角为20°，则∠α的度数为（ ）
A．60° B．45° C．40° D．30°
【分析】过C作CE∥直线m，由l∥m，推出l∥m∥CE，根据平行线的性质得到∠ACE=∠α，∠BCE=∠CBF=20°，即∠α+∠CBF=∠ACB=60°，即可求出答案．
【解答】解：过C作CE∥直线m
∵l∥m，
∴l∥m∥CE，
∴∠ACE=∠α，∠BCE=∠CBF=20°，
∵等边△ABC，
∴∠ACB=60°，
∴∠α+∠CBF=∠ACB=60°，
∴∠α=40°．
故选：C．
【点评】本题主要考查对平行线的性质，等边三角形的性质，平行公理及推论等知识点的理解和掌握，此题是一个比较典型的题目，题型较好．
4．如图，△ABC中，D为AB上一点，E为BC上一点，且AC=CD=BD=BE，∠A=50°，则∠CDE的度数为（ ）
A．50° B．51° C．51.5° D．52.5°
【分析】根据等腰三角形的性质推出∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，根据三角形的外角性质求出∠B=25°，由三角形的内角和定理求出∠BDE，根据平角的定义即可求出选项．
【解答】解：∵AC=CD=BD=BE，∠A=50°，
∴∠A=∠CDA=50°，∠B=∠DCB，∠BDE=∠BED，
∵∠B+∠DCB=∠CDA=50°，
∴∠B=25°，
∵∠B+∠EDB+∠DEB=180°，
∴∠BDE=∠BED=（180°﹣25°）=77.5°，
∴∠CDE=180°﹣∠CDA﹣∠EDB=180°﹣50°﹣77.5°=52.5°，
故选：D．
【点评】本题主要考查对等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，邻补角的定义等知识点的理解和掌握，熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．
5．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A=∠ABE，AC=5，BC=3，则BD的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
【分析】由已知条件判定△BEC的等腰三角形，且BC=CE；由等角对等边判定AE=BE，则易求BD=BE=AE=（AC﹣CE）．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，
∴BC=CE．
又∵∠A=∠ABE，
∴AE=BE．
∴BD=BE=AE=（AC﹣BC）．
∵AC=5，BC=3，
∴BD=（5﹣3）=1．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质．注意等腰三角形“三线合一”性质的运用．
6．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（ ）
A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD
【分析】根据全等三角形的判定与性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、添加BD=CE，可以利用“边角边”证明△ABD和△ACE全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误；
B、添加AD=AE，根据等边对等角可得∠ADE=∠AED，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠DAB=∠EAC，故本选项错误；
C、添加DA=DE无法求出∠DAB=∠EAC，故本选项正确；
D、添加BE=CD可以利用“边角边”证明△ABE和△ACD全等，再根据全等三角形对应角相等得到∠DAB=∠EAC，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，全等三角形的判定与性质，小综合题，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
7．在钝角三角形ABC中，若AB=AC，D是BC上一点，AD把△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC的度数为（ ）
A．150° B．124° C．120° D．108°
【分析】从已知条件结合图形，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理列出方程求解即可．
【解答】解：设∠ABC为x．
（180°﹣x）÷2+x+2x=180°
解得x=36°
∴180°﹣36°×2=108°．
故选：D．
【点评】本题考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握定理是解决本题的关键．题目比较简单，属于基础题．
8．点P是等边三角形ABC所在平面上一点，若P在△ABC的三个顶点所组成的△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，则这样的点P的个数为（ ）
A．1 B．4 C．7 D．10
【分析】①以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P2两点；以B为圆心，AB为半径囝弧交BC的垂直平分线于点P3，这样在AB的垂直平分线上有三点，②同样在AC，BC的垂直平分线上也分别有三点；③还有一点就是AB，BC，AC三条边的垂直平分线的交点；相加即可得出答案．
【解答】解：①以A为圆心，AB为半径画弧交BC的垂直平分线于点P1，P2两点；以B为圆心，AB为半径囝弧交BC的垂直平分线于点P3，这样在AB的垂直平分线上有三点，
②同样在AC，BC的垂直平分线上也分别有三点；
③还有一点就是AB，BC，AC三条边的垂直平分线的交点；
共3+3+3+1=10点．
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的性质和等腰三角形的判定，线段垂直平分线性质等知识点的综合运用．
9．如图，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ周长是（ ）
A．8+2a B．8+a C．6+a D．6+2a
【分析】△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，根据等腰三角形的性质求解．
【解答】解：∵△MNP中，∠P=60°，MN=NP
∴△MNP是等边三角形．
又∵MQ⊥PN，垂足为Q，
∴PM=PN=MN=4，NQ=NG=2，MQ=a，∠QMN=30°，∠PNM=60°，
∵NG=NQ，
∴∠G=∠QMN，
∴QG=MQ=a，
∵△MNP的周长为12，
∴MN=4，NG=2，
∴△MGQ周长是6+2a．
故选：D．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质，难度一般，认识到△MNP是等边三角形是解决本题的关键．
10．如图，一种电子游戏，电子屏幕上有一正方形ABCD，点P沿直线AB从右向左移动，当出现：点P与正方形四个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时，就会发出警报，则直线AB上会发出警报的点P有（ ）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【分析】根据正方形的性质，利用等腰三角形的判定方法，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到直线AB上会发出警报的点P的个数．
【解答】解：当BC=BP时，△BCP为等腰三角形；
当P与B重合时，△APC为等腰三角形；
当P运动到AB边的中点时，PD=PC，此时△PCD为等腰三角形；
当P与A重合时，△PBD为等腰三角形；
当PA=AD时，△PAD为等腰三角形；
当AP=AC时，△APC是等腰三角形，这时有2个；
当BD=BP时，△BDP 是等腰三角形，这时有2个；
综上，直线AB上会发出警报的点P有9个．
故选：C．
【点评】此题考查了等腰三角形的判定，以及正方形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．如图，在等腰△ABC的两腰AB、BC上分别取点D和E，使DB=DE，此时恰有∠ADE=∠ACB，则∠B的度数是 20° ．
【分析】设∠B=x．先由DB=DE，根据等边对等角得出∠DEB=∠B=x，根据三角形外角的性质得出∠ADE=∠DEB+∠B=2x，由∠ADE=∠ACB得出∠ACB=4x．再由AB=BC，得出∠ACB=∠A=4x，然后在△ABC中，根据三角形内角和定理列出方程4x+x+4x=180°，解方程即可求出∠B的度数．
【解答】解：设∠B=x．
∵DB=DE，
∴∠DEB=∠B=x，
∴∠ADE=∠DEB+∠B=2x，
∴∠ACB=2∠ADE=4x．
∵AB=BC，
∴∠ACB=∠A=4x．
在△ABC中，∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴4x+x+4x=180°，
∴x=20°．
即∠B的度数是20°．
故答案为20°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形等边对等角的性质，三角形外角的性质及三角形内角和定理，难度适中．设出适当的未知数，用代数方法解几何题是一种常用的方法．
12．等腰三角形的两边长为4，9．则它的周长为 22 ．
【分析】由于题目没有说明4和9，哪个是底哪个是腰，所以要分类讨论．
【解答】解：当腰长为4，底长为9时；4+4＜9，不能构成三角形；
当腰长为9，底长为4时；9﹣4＜9＜9+4，能构成三角形；
故等腰三角形的周长为：9+9+4=22．
故填22．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．
13．如图，BC=BD，AD=AE，DE=CE，∠A=36°，则∠B= 36° ．
【分析】由AD=AE，∠A=36°，根据等边对等角的性质，即可求得∠ADE的度数，又由三角形外角的性质，即可求得∠CED的度数，由DE=CE，求得∠EDC的度数，然后根据平角的定义，求得∠BDC的度数，又由BC=BD，即可求得∠B的值．
【解答】解：∵AD=AE，∠A=36°，
∴∠ADE=∠AED==72°，
∴∠DEC=∠A+∠ADE=36°+72°=108°，
∵DE=CE，
∴∠EDC=∠ECD==36°，
∴∠CDB=180°﹣∠ADE﹣∠EDC=72°，
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠CDB=72°，
∴∠B=180°﹣∠BCD﹣∠CDB=36°．
故答案为：36°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质等知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意等边对等角定理的应用．
14．如图，等腰三角形ABC底边BC的长为4cm，面积是12cm2，腰AB的垂直平分线EF交AC于点F，若D为BC边上的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长最短为 8 cm．
【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论．
【解答】解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC=BC?AD=×4×AD=12，解得AD=6cm，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴点B关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△BDM的周长最短=（BM+MD）+BD=AD+BC=6+×4=6+2=8cm．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．
15．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=110°，AD是BC边上的中线，且BD=BE，则∠AED度数是 107.5° ．
【分析】由已知条件易得∠B=35°，△BED中根据等腰三角形的性质可得∠BED的度数，求其补角可得答案．
【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=110°，
∴∠B=∠C=×（180°﹣∠BAC）=×（180°﹣110°）=35°，
∵BD=BE，
∴∠BED=∠BDE=×（180°﹣∠B）=×（180°﹣35°）=72.5°，
∴∠AED=180°﹣72.5°=107.5°．
故答案为：107.5°．
【点评】本题考查的是三角形内角和定理及等腰三角形的性质；做题时两次运用了等边对等角的性质及三角形内角和定理，要熟练掌握并能灵活应用这些知识．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm．动点D从点A出发，以每秒1cm的速度沿射线AC运动，当t= 5、6、 时，△ABD为等腰三角形．
【分析】根据勾股定理求出AC，分为三种情况：①若AB=AD，②若BA=BD，则AD=2AC，③若DA=DB，求出即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，由勾股定理得：AC=3cm，
由运动可知：AD=t，且△ABD时等腰三角形，
有三种情况：
①若AB=AD，则t=5；
②若BA=BD，则AD=2AC，即t=6；
③若DA=DB，则在Rt△BCD中，CD=t﹣3，BC=4，BD=t，
即（t﹣3）2+42=t2，
解得：t=，
综合上述：符合要求的t值有3个，分别为5，6，．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，运用分类讨论思想是本题的关键．
三．解答题（共7小题）
17．画图题，保留作图痕迹，不写作法．
（1）如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l上找几个点试一试，能发现什么规律？
（2）如图在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC=6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小．
【分析】（1）利用要使所用的输气管线最短则作A点关于直线l的对称点A′，连接A′B，与直线l交于点P，P点即为所求；
（2）根据（1）的作法，只要求出DP+PE的最小值即可，作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求．
【解答】解：（1）如图（1）所示：当在P′点位置，可得A′P′+BP′＞A′B，即P点位置较短，同理可得，
点P即为所求，
；
（2）如图（2）所示：作D点关于BC的对称点D′，连接D′E，与BC交于点P，P点即为所求；
【点评】此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求△PDE周长的最小值，求出DP+PE的最小值即可是解题关键．
18．已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BD是∠ABC的平分线，点E是BC上一点，且BD=BE．求∠DEC的度数．
【分析】根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC，再根据角平分线的定义求出∠DBE，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算求出∠DEB，然后根据平角定义列式计算即可得解．
【解答】解：∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=（180°﹣∠A）=（180°﹣100°）=40°，
∵BD是角平分线，
∴∠DBE=∠ABC=×40°=20°，
∵BE=BD，
∴∠DEB=（180°﹣∠DBE）=（180°﹣20°）=80°，
∴∠DEC=180°﹣∠DEB=180°﹣80°=100°．
故∠DEC的度数是100°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟记等腰三角形的两底角相等是解题的关键．
19．如图，△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证GD=GE．
【分析】过E作EF∥AB交BC延长线于F，根据等腰三角形的性质及平行线的性质可推出∠F=∠FCE，从而可得到BD=CE=EF，再根据AAS判定△DGB≌△EGF，根据全等三角形的性质即可证得结论．
【解答】证明：过E作EF∥AB交BC延长线于F．
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵EF∥AB，
∴∠F=∠B，
∵∠ACB=∠FCE，
∴∠F=∠FCE，
∴CE=EF，
∵BD=CE，
∴BD=EF，
在△DBG与△GEF中，，
∴△DGB≌△EGF（AAS），
∴GD=GE．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质的综合运用．
20．如图所示，△ABC中，AB=BC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，交AC于F．
（1）若∠AFD=155°，求∠EDF的度数；
（2）若点F是AC的中点，求证：∠CFD=∠B．
【分析】（1）求得∠A的度数后利用四边形的内角和定理求得结论即可；
（2）连接FB，根据AB=BC，且点F是AC的中点，得到BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=∠ABC，证得∠CFD=∠CBF后即可证得∠CFD=∠ABC．
【解答】解：（1）∵∠AFD=155°，
∴∠DFC=25°，
∵DF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠FDC=∠AED=90°，
在Rt△EDC中，
∴∠C=90°﹣25°=65°，
∵AB=BC，
∴∠C=∠A=65°，
∴∠EDF=360°﹣65°﹣155°﹣90°=50°．
（2）连接BF
∵AB=BC，且点F是AC的中点，
∴BF⊥AC，∠ABF=∠CBF=∠ABC，
∴∠CFD+∠BFD=90°，
∠CBF+∠BFD=90°，
∴∠CFD=∠CBF，
∴∠CFD=∠ABC．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是从复杂的图形中找到相等的线段，这是利用等腰三角形性质的基础．
21．图1、图2中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
（1）如图1，线段AN与线段BM是否相等？证明你的结论；
（2）如图2，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）等边三角形的性质可以得出△ACN，△MCB两边及其夹角分别对应相等，两个三角形全等，得出线段AN与线段BM相等．（2）平角的定义得出∠MCN=60°，通过证明△ACE≌△MCF得出CE=CF，根据等边三角形的判定得出△CEF的形状．
【解答】解：（1）∵△ACM与△CBN都是等边三角形，
∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°．
∴∠MCN=60°，∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中
，
∴△ACN≌△MCB（SAS）．
∴AN=BM．
（2）∵∠ACM═60°，∠MCN=60°，
∴∠ACM=∠MCN，
∵△ACN≌△MCB，
∴∠CAE=∠CMB．
在△ACE和△MCF中
∴△ACE≌△MCF（ASA）．
∴CE=CF．
∴△CEF的形状是等边三角形．
【点评】本题考查了SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等，同时考查了等边三角形的性质和判定．
22．如图，在△ABC中，AB=AC，N是AB上任一点（不与A、B重合），过N作NM⊥AB交BC所在直线于M，
（1）若∠A=30°．求∠NMB的度数；
（2）如果将（1）中∠A的度数改为68°，其余条件不变，求∠NMB的度数；
（3）综合（1）（2），你发现有什么样的规律性，试证明之；
（4）若将（1）中的∠A改为直角或钝角，你发现的规律是否仍然成立？
【分析】（1）利用等腰三角形的性质可先求得∠B，在Rt△BMN中利用三角形内角和可求得∠NMB；
（2）方法同（1）；
（3）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可找到∠A与∠NMB之间的关系，可证明结论；
（4）结合（3）的证明，可知仍然成立，证明方法同（3）．
【解答】解：
（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B==90°﹣∠A，
∵MN⊥AB，
∴∠BNM=90°，
∴∠NMB=90°﹣∠B=∠A=15°；
（2）当∠A=68°时，同理仍有∠NMB=∠A=34°；
（3）规律：∠NMB=∠A，证明如下：
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠B==90°﹣∠A，
∵MN⊥AB，
∴∠BNM=90°，
∴∠NMB=90°﹣∠B=∠A；
（4）当∠A为钝角或直角时，仍然有∠NMB=∠A．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等边对等角及三角形内角和为180°是解题的关键．
23．数学课上，同学们探究下面命题的正确性：
（1）顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形，为此，请你解答：如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，射线BD平分∠ABC交AC于点D．求证：△DAB与△BCD都是等腰三角形；
（2）在证明了该命题后，有同学发现：下面两个等腰三角形如图2也具有这种特性．请你在图2中分别画出一条线段，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数．
【分析】（1）根据等边对等角，及角平分线定义易得∠1=∠2=36°，∠C=72°，那么∠BDC=72°，则可得AD=BD=CB，得到△ABD与△DBC都是等腰三角形；
（2）把等腰直角三角形分为两个小的等腰直角三角形即可，把108°的角分为36°和72°即可．
【解答】（1）证明：在△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2=36°
∴∠3=∠1+∠A=72°，
∴∠1=∠A，∠3=∠C，
∴AD=BD，BD=BC，
∴△ABD与△BDC都是等腰三角形．
（2）解：如下图所示：
【点评】本题考查了等腰三角形的判定；注意应根据题中所给的范例用类比的方法推测出把一般三角形分为两个等腰三角形的一般结论．