新湘教版 数学 九年级上3.1.2 成比例线段教学设计
课题
3.1.2 成比例线段
单元
第三单元
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
知识与技能:
①了解两条线段的比和比例线段的概念,能根据条件写出比例线段;
②了解比例尺,并解决生活中的一些问题;
③了解黄金分割,能用黄金分割解决生活中的一些问题。?
过程与方法:通过现实情境,进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力,培养学生的数学应用意识,体会数学与自然、社会的密切联系。
情感态度与价值观:
①通过有关比例的计算,让学生懂得数学生活中的作用,从而增强学生学好数学的信心;?
②通过解答实际问题,激发学生学数学的兴趣,增长社会见识。
重点
①成比例线段的定义以及应用;
②黄金分割的定义、意义与应用。
难点
①成比例线段的定义以及应用;
②黄金分割的定义、意义与应用。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
回顾知识
+
导入新课
同学们,在上节课中,我们已经学习了有关比例的基本性质,在这节课中,我们将一起学习有关成比例线段的知识。在学习新课之前,我们一起学习下之前的知识:
【导入新课】如图, 在方格纸上(设小方格边长为单位1)有△ ABC与△ A′B′C′,它们的顶点都在格点上.试求出线段 AB,BC,AC,A′B′,B′C′,A′C′的长度,并计算AB与A′B′,BC与B′C′,AC与A′C′的长度的比值.
AB=2,BC=2,
A′B′=22,B′C′=4...
ABA'B'=222=0.5 BCB'C'=24=0.5
它们的比值都为0.5.
学生跟着教师回忆知识,并思考本节课的知识。
学生思考并回答问题。并跟着教师的讲解思路思考问题,并探究知识。
导入新课,利用导入的例子引起学生的注意力。
讲授新课
+
例题讲解
讲授新课
+
例题讲解
从刚刚导入新课的探究中,我们可以得到两条线段的比:
如果选用同一个长度单位得两条先线段AB,A'B'的长度分别是m , n,那么这两条线段的比mn就是它们长度的比,即
AB:A'B'= m : n 或ABA'B'=mn
如果把mn表示成比值k,那么ABA'B'=k,或AB=k · A'B',两条线段的比实际上就是两个数的比.
成比例线段:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫作成比例线段,简称比例线段.
例如,已知四条线段a,b, c,d,若 ab=cd,则a,b, c,d是比例线段.
2.如果作为比例内项的是两条相同的线段 ,即ab=bc,或 a:b=b:c,那么线段 b 叫做线段 a 和 c 的比例中项.
三种不同形式:① ab=bc ②a:b=b:c ③b2=ac.
接下来,我们看一些具体的例子:
【例1】已知线段 a,b,c,d 的长度分别为0.8 cm,2 cm,1.2 cm,3 cm,问 a,b,c,d 是比例线段吗?
解:∵ab=0.82=0.4, cd=1.23=0.4
∴ab=cd, ∴a,b,c,d 是比例线段.
【例2】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段:
(1)a=2,b=6,c=3,d=10;
解:∵ab=26=13、cd=310
∴ab≠cd
∴a,b,c,d 不是比例线段.
(2)a=2,b=3,c=23,d=3
解:∵ab=23=233、cd=233
∴ab=cd
∴a,b,c,d 是比例线段.
线段的比与成比例线段的异同
相同:都是线段的长度的比;
不相同:(1)数量上:线段的比是2条线段,成比例线段是4条线段.(2)形式上:成比例线段可写成“比例式”,而线段的比是等式.
问题:度量C到点A、B的距离, 能使ACAB与BCAC相等吗?
点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果ACAB=BCAC, 那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.
计算黄金比:
解:由ACAB=BCAC,得AC2 = AB·BC.
设AB = 1,AC = x,则BC = 1 – x.
∴ x2 = 1 ×(1 - x).
即 x2 + x – 1 = 0.
解方程得:x1= 5?12 、 x2=?5?12.
黄金比ACAB=5?12≈0.618
【例3】在设计人体雕像时,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部(全身)的高度比,可以增加视觉美感.按此比例,如果雕像的高为2m,那么它的下部应设计为多高?
解:设雕像的下部高为x m,则题意得:
2?xx=x2
整理得:x2+2x﹣4=0,
解得x1=5﹣1,x2=﹣5﹣1(舍去),
答:雕像的下部高为5﹣1 m.
接下来,我们欣赏下黄金分割的魅力:
雕塑--维纳斯:人的俊美,体现在头部及躯干是否符合黄金分割. 美神维纳斯,她身体的各个部位都暗藏比例0.618,虽然雕像残缺,却能仍让人叹服她不可言喻的美.
结合导入的思考和老师的讲解,利用探究理解和掌握成比例线段。
老师在例题讲解的时候,自己先思考,然后再听老师讲解。
老师在例题讲解的时候,自己先思考,然后再听老师讲解。
讲授知识,让学生掌掌握成比例线段。
让学生知道本节课的学习内容和重点。
例题讲解利于学生对知识的巩固和运用,能让学生知道本节课的学习内容和重点。
综合扩展
+
课堂练习
综合扩展
+
课堂练习
1.下列各组数中一定成比例的是( B )
A.2,3,6,9 B.-2,4,-4,8
C.-2, 3, 2,9 D.a,2m,c,2d
2.已知一个比例式的比例外项为m,n,比例内项为a,b,则下面所给的比例式正确的是( D )
A. m:n=a:b B.m:b=n:a.
C.m:a=n:b D.m:a=b:n.
3.已知ADAB=AEAC?,AB=15,AC=10,BD=6.求AE.
解:根据题意可知,ADAB=AEAC,
AB = 15 , AC = 10 , BD = 6.
则 AD = AB – BD =15 – 6= 9.
则AE=ADAB·AC=915×10=6
4.已知线段a=10mm , b=6cm, c=2cm , d=3cm.
(1)问:这四条线段是否成比例?为什么?
答:这四条线段成比例.
∵a=10mm=1cm
∴ac=12 ,db=36=12,∴ac=bd.
∴线段a、c、d、b成比例.
(2)想一想: 是否还可以写出其他几组成比例的线段.
答:可以.如:ad=cb、ca=bd、da=bc等.
5.点C是线段AB的黄金分割点,如果AB=4,求线段 AC的长度.
AC=4×0.618=2.472
AC=4×(1-0.618)=1.518
6.小明家搬进了新房,他买了一幅山水画,想挂到书房(书房高3米),请你帮他设计一下,挂在多高能给人赏心悦目的感觉?
离地面的高度 h=3×0.618=1.854m
【综合扩展】1.地图上的比例尺,表示图上距离比实际距离缩小的程度,因此也叫缩尺.
用公式表示为:比例尺=图上距离实际距离.
2.比例尺通常有三种表示方法.
①数字式:用数字的比例式或分数式表示比例尺的大小,例如地图上1厘米代表实地距离500千米,可写成:1∶50 000 000.
②线段式:在地图上画一条线段,并注明地图上1厘米所代表的实际距离.
③文字式:用文字直接写出地图上1厘米代表实地距离多少千米.
【做一做】1.在1 : 500000的地图上,若A、B两市的距离是64cm则两个城市间的实际距离是多少千米?
解:设A、B两市距离为x cm,则64x=1500000
∴x=64×500000=32000000(cm)=320(km).
答:两城市实际距离为320千米
2. 图3-8是天坛公园的平面图,图中的1 cm代表实际度的220 m.
(1)此平面图的比例尺.答:1:22000.
(2)从最南边的昭亨门到北天门的实际距离是多少米?
答:1892 m.
(3)用AB,CD分别表示图3-8中西天门与东天门的连线段,昭亨门与北天门的连线段,求ABCD.
答:ABCD=14521892=0.767
学生自主完课堂练习中的练习,然后在做完之后根据老师的讲解进一步巩固知识。
综合扩展时候,学生运用自己所学的知识去解决问题,然后听老师讲解,做一做的时候运用扩展的知识去解决问题。
综合扩展有利于学习对知识的灵活运用,利于学生对知识的扩展综合。
借助练习,检测学生的知识掌握程度,同时便于学生巩固知识。
借助练习、做一做等检测学生的知识掌握程度,同时便于学生巩固知识。
课堂小结
在课堂的最后,我们一起来回忆总结我们这节课所学的知识点:
跟着老师回忆知识,并记忆本节课的知识。
帮助学生加强记忆知识。
板书
比例的基本性质
借助板书,让学生知识本节课的重点。
作业
教材第66页练习第1、2题.
教材第67页练习3.1第3、4、6题.
3.1.2 成比例线段
班级:___________姓名:___________得分:__________
(满分:100分,考试时间:40分钟)
一.选择题(共5小题,每题8分)
1.下列线段中,能成比例的是( )
A.3cm、6cm、8cm、9cm B.3cm、5cm、6cm、9cm
C.3cm、6cm、7cm、9cm D.3cm、6cm、9cm、18cm
2.已知线段a=2,b=8,线段c是线段a、b的比例中项,则c=( )
A.2 B.±4 C.4 D.8
3.在比例尺为1:38 000的城市交通地图上,某条道路的长为5cm,则它的实际长度为( )
A.0.19 km B.1.9 km C.19 km D.190 km
4.黄金分割数是一个很奇妙的数,大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面,请你估算﹣1的值( )
A.在1.1和1.2之间 B.在1.2和1.3之间
C.在1.3和1.4之间 D.在1.4和1.5之间
5.点C为线段AB的黄金分割点,且AC>BC,下列说法正确的有( )
①AC=AB,②AC=AB,③AB:AC=AC:BC,④AC≈0.618AB
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二.填空题(共5小题,每题8分)
6.若(a+b+c≠0),则k= .
7.在比例尺为1:200000的城市交通地图上,某条道路的长为17cm,则这条道路的实际长度用科学记数法表示为 m.
8.如图,D为△ABC的边AB上一点,如果∠ACD=∠ABC时,那么图中 是AD和AB的比例中项.
9.大自然是美的设计师,即使是一片小小的树叶,也蕴含着“黄金分割”,如图,P为AB的黄金分割点(AP>PB),如果AB的长度为10cm,那么PB的长度为 cm.
10.已知线段AB=4,点P是线段AB的黄金分割点,且AP<BP,那么AP的长为 .
三.解答题(共3小题,第11、12题各5分,第13题10分)
11.已知线段a=0.3m,b=60cm,c=12dm.
(1)求线段a与线段b的比.
(2)如果线段a、b、c、d成比例,求线段d的长.
(3)b是a和c的比例中项吗?为什么?
12.如图,四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形,AB=3,AD=6.5,BF=2.
(1)求下列各线段的比:,,;
(2)指出AB,BC,CF,CD,EF,FB这六条线段中的成比例线段(写一组即可)
13.如图1,我们已经学过:点C将线段AB分成两部分,如果,那么称点C为线段AB的黄金分割点.某校的数学拓展性课程班,在进行知识拓展时,张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1,S2,如果,那么称直线l为该图形的黄金分割线.
如图2,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,∠C的平分线交AB于点D.
(1)证明点D是AB边上的黄金分割点;
(2)证明直线CD是△ABC的黄金分割点.
试题解析
一.选择题
1.D
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积,则四条线段叫成比例线段.
【解答】解:根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积,则四条线段叫成比例线段.
所给选项中,只有D符合,3×18=6×9,故选D.
【点评】理解成比例线段的概念,注意在线段两两相乘的时候,要让最小的和最大的相乘,另外两条相乘,看它们的积是否相等进行判断.
2.C
【分析】根据比例中项的定义得到c2=ab,然后利用算术平方根的定义求c的值.
【解答】解:∵线段c是线段a、b的比例中项,
∴c2=ab=2×8,
∴c=4.
故选:C.
【点评】本题考查了比例线段:对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等,如 a:b=c:d(即ad=bc),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.
3.B
【分析】根据比例尺=图上距离:实际距离,依题意列比例式直接求解即可.
【解答】解:设这条道路的实际长度为x,则,
解得x=190000cm=1.9km.
∴这条道路的实际长度为1.9km.
故选:B.
【点评】此题考查比例线段问题,能够根据比例尺正确进行计算,注意单位的转换.
4.B
【分析】根据≈2.236,可得答案.
【解答】解:∵≈2.236,
∴﹣1≈1.236,
故选:B.
【点评】本题考查了估算无理数的大小,利用≈2.236是解题关键.
5.C
【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值进行解答即可.
【解答】解:∵点C数线段AB的黄金分割点,
∴AC=AB,①正确;
AC=AB,②错误;
BC:AC=AC:AB,③正确;
AC≈0.618AB,④正确.
故选:C.
【点评】本题考查的是黄金分割的概念,掌握把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,他们的比值叫做黄金比是解题的关键.
二.填空题
6.2
【分析】去掉分母,然后整理求解即可.
【解答】解:∵===k,
∴a+b=ck,b+c=ak,c+a=bk,
∴(a+b)+(b+c)+(c+a)=ck+ak+bk,
∴(a+b+c)k=2(a+b+c),
∵a+b+c≠0,
∴k=2.
故答案为:2.
【点评】本题考查了比例的性质,比较简单,用含k的式子表示出分子是解题的关键.
7.3.4×104
【分析】根据比例尺=图上距离:实际距离,依题意列比例式直接求解即可.
【解答】解:设这条道路的实际长度为x,则,
解得x=3400000cm=3.4×104m.
∴这条道路的实际长度为3.4×104m.
故答案为;3.4×104
【点评】此题考查比例线段问题,能够根据比例尺正确进行计算,注意单位的转换.
8.AC
【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似,可得△ACD∽△ABC的关系,根据相似三角形的性质,可得答案.
【解答】解:在△ACD与△ABC中,
∠ACD=∠ABC,∠A=∠A,
∴△ACD∽△ABC,
∴=,
∴AC是AD和AB的比例中项.
故答案为AC.
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,比例线段,得出△ACD∽△ABC是解题的关键.
9.(15﹣5)
【分析】先利用黄金分割的定义计算出AP,然后计算AB﹣AP即得到PB的长.
【解答】解:∵P为AB的黄金分割点(AP>PB),
∴AP=AB=×10=5﹣5,
∴PB=AB﹣PA=10﹣(5﹣5)=(15﹣5)cm.
故答案为(15﹣5).
【点评】本题考查了黄金分割:把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),且使AC是AB和BC的比例中项(即AB:AC=AC:BC),叫做把线段AB黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点.其中AC=AB≈0.618AB,并且线段AB的黄金分割点有两个.
10.(6﹣2)
【分析】根据黄金分割点的定义和AP<BP得出PB=AB,代入数据即可得出BP的长度.
【解答】解:由于P为线段AB=4的黄金分割点,
且AP<BP,
则BP=×4=(2 ﹣2)cm.
∴AP=4﹣BP=6﹣2
故答案为:(6﹣2)cm.
【点评】本题考查了黄金分割.应该识记黄金分割的公式:较短的线段=原线段的 ,较长的线段=原线段的 .
三.解答题
11.【分析】(1)根据a=0.3m=30cm;b=60cm,即可求得a:b的值;
(2)根据线段a、b、c、d是成比例线段,可得=,再根据c=12dm=120cm,即可得出线段d的长;
(3)根据b2=3600,ac=30×120=3600,可得b2=ac,进而得出b是a和c的比例中项.
【解答】解:(1)∵a=0.3m=30cm;b=60cm,
∴a:b=30:60=1:2;
(2)∵线段a、b、c、d是成比例线段,
∴=,
∵c=12dm=120cm,
∴=,
∴d=240cm;
(3)是,理由:
∵b2=3600,ac=30×120=3600,
∴b2=ac,
∴b是a和c的比例中项.
【点评】本题主要考查了成比例线段,判段四条线段是否成比例,只要把四条线段按大小顺序排列好,判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可;求线段之比时,要先统一线段的长度单位.
12.【分析】(1)根据矩形的性质和线段的和差关系得到CD,EF,BC,CF,再代入数据即可求得各线段的比;
(2)根据成比例线段的定义写一组即可求解.
【解答】解:(1)∵四边形ABCD与四边形ABFE都是矩形,AB=3,AD=6.5,BF=2,
∴CD=EF=AB=3,BC=AD=6.5,CF=BC﹣BF=4.5,
∴==,==,=;
(2)成比例线段有=.
【点评】本题考查了矩形的性质,比例线段,解决问题的关键是得到CD,EF,BC,CF的值.
13.【分析】(1)易证△BCD∽△BAC,则有=,再由BC=CD=AD可得=,由此可得D是AB边上的黄金分割点;
(2)设△ABC的边AB上的高为h,则S△ADC=AD?h,S△DBC=DB?h,S△ABC=AB?h,即可得到=,=.由(1)得=,即可知=,由此可得CD是△ABC的黄金分割线.
【解答】解:(1)点D是边AB上的黄金分割点,理由如下:
∵∠A=36°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=72°.
∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠DCB=36°,
∴∠BDC=∠B=72°,∠ACD=∠A=36°,
∴BC=DC=AD.
∵∠A=∠BCD,∠B=∠B,
∴△BCD∽△BAC,
∴=.
∴=.
∴D是AB边上的黄金分割点;
(2)直线CD是△ABC的黄金分割线,理由如下:
设△ABC的边AB上的高为h,则
S△ADC=AD?h,S△DBC=DB?h,S△ABC=AB?h,
∴=,=.
∵D是AB的黄金分割点,
∴=,
∴=.
∴CD是△ABC的黄金分割线.
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的面积公式,需要注意的是:当比例顺序不确定时,应分情况讨论,避免出现漏解的现象.
课件29张PPT。3.1.2 成比例线段数学湘教版 九年级上回顾知识比例的性质?基本性质其它性质?????新知导入 如图, 在方格纸上(设小方格边长为单位1)有△ ABC与△ A′B′C′,它们的顶点都在格点上.试求出线段 AB,BC,AC,A′B′,B′C′,A′C′的长度,并计算AB与A′B′,BC与B′C′,AC与A′C′的长度的比值.????成比例线段成比例线段:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫作成比例线段,简称比例线段.? 注意:四条线段必须按顺序排列 若要判断四条线段a,b, c,d,是否成比例,则只需满足任意两条线段之比等于另外两条线段之比,四条线段不一定要按顺序排列。??? 【例1】已知线段 a,b,c,d 的长度分别为0.8 cm,2 cm,1.2 cm,3 cm,问 a,b,c,d 是比例线段吗?? 【例2】判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段: (1)a=2,b=6,c=3,d=10;???线段的比与成比例线段的异同1.相同:都是线段的长度的比;2.不相同:(1)数量上:线段的比是2条线段,成比例线段是4条线段.
(2)形式上:成比例线段可写成“比例式”,而线段的比是等式.??计算黄金比:如图,设线段AB的长度为1个单位,点C为线段AB上一点,且AC的长度为x个单位长度,则CB的长度为(1-x)个单位。求x。? 【例3】在设计人体雕像时,使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比,等于下部与全部(全身)的高度比,可以增加视觉美感.按此比例,如果雕像的高为2m,那么它的下部应设计为多高??雕塑--维纳斯人的俊美,体现在头部及躯干是否符合黄金分割.
美神维纳斯,她身体的各个部位都暗藏比例0.618,虽然雕像残缺,却能仍让人叹服她不可言喻的美.黄金分割的魅力巴黎圣母院联合国总部大厦古希腊巴台农神庙 黄金分割,尤其宽与长的比为黄金比的矩形,在古典及现代建筑中都有广泛的应用.黄金分割的魅力在人的面部,五官的分布越符合黄金分割,看起来就越美. 黄金分割的魅力 1.下列各组数中一定成比例的是( )
A.2,3,6,9 B.-2,4,-4,8
C.-2, 3, 2,9 D.a,2m,c,2d
2.已知一个比例式的比例外项为m,n,比例内项为a,b,则下面所给的比例式正确的是( )
A. m:n=a:b B.m:b=n:a.
C.m:a=n:b D.m:a=b:n.BD?? 4.已知线段a=10mm , b=6cm, c=2cm , d=3cm.
(1)问:这四条线段是否成比例?为什么??(2)想一想: 是否还可以写出其他几组成比例的线段.?5.点C是线段AB的黄金分割点,如果AB=4,求线段 AC的长度.AC=4×0.618=2.472
AC=4×(1-0.618)=1.518 6.小明家搬进了新房,他买了一幅山水画,想挂到书房(书房高3米),请你帮他设计一下,挂在多高能给人赏心悦目的感觉?离地面的高度 h=3×0.618=1.854m? 1.在1 : 500000的地图上,若A、B两市的距离是64cm则两个城市间的实际距离是多少千米?? 2. 图3-8是天坛公园的平面图,图中的1 cm代表实际度的220 m.(1)此平面图的比例尺(即图上长度与实际长度的比)是多少?(2)从最南边的昭亨门到北天门的实际距离是多少米?答:1:22000.答:1892 m.??成比例线段?线段的比成比例线段?黄金分割?定义黄金比?黄金分割点一条线段有两个黄金分割点.成比例线段?线段的比成比例线段?黄金分割?定义黄金比?黄金分割点一条线段有两个黄金分割点.作业布置教材第66页练习第1、2题.
教材第67页练习3.1第3、4、6题.谢谢21世纪教育网(www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料?一线教师?一线教研员?
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