《30°，45°，60°角的三角比》
教学目标
知识与技能
1．知道特殊锐角30°、45°、60°的三个三角函数值，并会求一些简单的含有特殊角的三角函数的表达式的值．
2．会根据特殊角的三角函数值说出该锐角的大小．
数学思考与问题解决
体验特殊锐角30°、45°、60°三角函数值的探索过程，体会数形结合思想在三角函数中的应用．
情感与态度
引导学生积极投人到探索新知的活动中，从中感受到获得新知的乐趣．
重点难点
重点
特殊角与其三角函数之间的对应关系．
难点
利用特殊角的三角函数值进行求值和化简．
教学设计
一、复习引入
1．什么是正弦、余弦、正切？
2．你能推导出30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值吗？
教师提出问题，学生根据所学回答，并尝试推导．
二、自主探究，合作交流
实践探索
请同学们画出含30°、45°、60°角的直角三角形，分别计算sin30°、sin45°、sin60°的值，以此类推求出30°、45°、60°角的所有三角函数值．
归纳结果：
教师提出要求，引导学生画图、推导，并让学生尝试列表记忆，并适时点拨，然后由小组推荐学生板演．
说明：①三角函数值是数值，可以和数一样进行运算．
②三角函数值和角的度数是一一对应的，即由值可以求角的度数，由角的度数可以知道三角函数值．
3、运用知识，体验成功
例1 （课本第43页）求下列各式的值：
(1)sin30°·cos45°；
(2)tan45°-cos60°.
例2 （课本第43页）在Rt△ABC中，已知求锐角A的度数.
教师引导，提问学生所需的三角函数值，代入计算．学生写出过程，注意书写的规范性．
学生独立完成，教师讲评指正、总结．
四、拓展延伸
拓展探究
观察特殊角的三角函数值表，你有哪些发现？阐述一下你的理由．
结论一函数值与角的关系．正弦值和正切值随角的增大而增大，余弦值随角的增大而减小；
结论二正弦和余弦的关系．互余的两角，正弦值等于互余角的余弦值．
还可以继续推广，发挥学生主动性，让学生思考、发现、验证．
教师引导学生观察、思考、发现特殊函数间的规律特点．
五、总结提高
师生小结．
本节课学习了哪些内容，你有哪些认识和收获？特殊角的三角函数值都是什么？怎样由角求值，由值求角？
教师引导学生自我总结．
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《锐角三角比》
教学目标
1、使学生了解直角三角形中，锐角的对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值是固定的；
2、通过实例认识正弦、余弦、正切三个函数的定义.
教学过程
一、新课导入：
操场里有一个旗杆，小明去测量旗杆高度.小明站在离旗杆底部10米远处，目测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了.你想知道小明怎样算出的吗？
二、新课教学
(一)、认识三个三角比
1、认识角的对边、邻边与斜边.
如图，在Rt△ABC中，∠A所对的边BC，我们称为∠A的对边；
∠A所在的直角边AC，我们称为∠A的邻边.∠C所对的边AB为斜边.说出∠B的对边和邻边
巩固练习：﹙讨论﹚
如图，﹙1﹚在Rt△ABE中，∠BEA的对边是 ，邻边是 ，斜边是 .
﹙2﹚在Rt△DCE中，∠DCE的对边是 ，邻边是 ，斜边是 .
﹙3﹚在Rt△ADE中，∠DAE的对边是 ，邻边是 ，斜边是 .
2、认识三个三角比
在Rt△ABC中，∠C=90∠A、∠B、∠C所对的边分别记为a、b、c.
(1)我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦.记作sinA.sinA＝
(2)我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦.记作cosA.cosA＝
(3)我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作tanA.tanA＝
∠A的正弦、余弦、正切统称为∠A的三角比
［读一读］
你知道三角函数符号的由来吗？三角学和算术、几何、代数一样，都是人类最早涉足的数学领域，sin的英文全文是sine(正弦)，sine一词创始于阿拉伯人，最早使用这一词的是西欧数学家雷基奥蒙坦(1463－1476)，cos的英文全名是cosine(余弦)，cot的英文全名是cotangent，这个词为英国人跟日耳所创用，tan的英文全名是tangent(正切)，这个词为丹麦数学家托玛斯.芬(1561－1646)所创用.
注意：1、sinA不是sin与A的乘积，而是一个整体；
2、正弦的三种表示方式：sinA、sin56°、sin∠DEF
3、sinA是线段之间的一个比值；sinA没有单位.其他类同.
讨论：∠B的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？
3、尝试练习：
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，求．∠A、∠B的三个三角比值
(二)例题教学：
例1如图2-4(课本第40页)在Rt△ABC中，∠C=90°，a=2，b=4.求∠A的正弦、余弦、正切的值．
(三)课堂小结
掌握∠A的正弦,余弦，正切.
1米
10米
?
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《用计算器求锐角三角比》
教学目标
知识与技能
会根据锐角的三角函数值，利用科学计算器求该锐角的度数．
数学思考与问题解决
经历用计算器由三角函数值求锐角的过程，进一步体会三角函数的意义．
情感与态度
利用数形结合的思想，体验数、符号和图形是有效的描述现实世界的重要手段，感受到数学活动充满探索性和创造性．
重点难点
重点
由三角函数值求锐角及用有关知识解决实际问题．
难点
由三角函数值求锐角及用有关知识解决实际问题．
教学设计
一、创设情境，引人新知
问题：小明沿斜坡AB行走了13m，他的相对位置升高了5m，你能知道这个斜坡的倾斜角A的大小吗？
教师提示问题，激发学生思考．
二、自主探究，合作交流
1.新知探究
例1用计算器求下列锐角三角比的值(精确到0.0001)：
例2用计算器求下列锐角三角比的值(精确到0.0001)：
2.用计算器求下列三角函数值：
你有什么发现？
锐角A … 15° 18° 20° … 增减性
sinA … …
cosA … …
tanA … …
归纳出：锐角三角函数的增减性：
正弦函数随角度的增大而增大，余弦函数随角度的增大而减小，正切函数随角度的增大而增大.
例3根据下列三角比的值，用计算器求的锐角A（精确到1’’）：
(1)sinA=0.618 5; (2)tanA=3.207 8.
例4用计算器求下列锐角三角比的值：
教师引导学生观察思考，尝试求解．
三、运用知识，体验成功
迁移应用．
根据上述方法，你能求出一开始问题中∠A的大小吗？
解：根据题意，sinA=．
∠A≈22．62°．
四、总结提高
师生小结．
通过本节课的学习，你有哪些收获？还有什么疑惑？说给老师或同学听听．
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《解直角三角形》
教学目标
知识与技能
1．理解直角三角形中5个元素的关系．
2．会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．
数学思考与问题解决
经历解直角三角形的过程，概括出解直角三角形的方法，提高分析问题、解决问题的能力．
情感与态度
在教学活动中，激励学生积极参与，独立思考，能将自己的收获与同伴分享，培养互助合作的团队精神．
重点难点
重点：直角三角形的解法．
难点：正确选用边、角关系求解．
教学设计
一、创设情境，引入新知
出示问题：
在直角三角形中，有3条边、3个角共6个元素，你能根据所学，谈谈它们之间的关系吗？教师提出间题，引起学生思考，然后小组内讨论回答．
二、自主探究，合作交流
1．回顾汇总．
教师根据学生的回答归纳：
(1)三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理)；
(2)锐角之间的关系： ∠A+∠B=90°；
(3)边角之间的关系：
正弦函数sinA=，
余弦函数cosA=，
正切函数tanA=．
以上三点是解直角三角形的依据，熟知后运用．
教师提出问题，学生思考回答(引问：边与边、角与角、边与角之间的关系)．
学生尝试总结回答，教师讲评汇总．
2．新知探索．
探究：在Rt△ABC中，∠C=90°，
教师提出问题引导学生思考分析，并作简要评价．
教师引导学生归纳总结，理解解直角三角形的方法．
(1)若∠A=30°，AB=10，你能求出这个三角形中的其他元素吗？
⑵若AB=10，BC=5，你能求出这个三角形中的其他元素吗？
(3)若∠A=30°，∠B=60°，你能求出这个三角形中的其他元素吗？
(4)在直角三角形中知道几个元素就可以求出其他元素？
学生思考回答，注意解题过程中方法的多样性．
(只探讨方法，不解出结果)
归纳：(1)在直角三角形的6个元素中，除直角外的5个元素，只要知道两个元素(其中至少有一条边)，就可以求出其余的三个元素；
(2)在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形；
(3)解直角三角形，只有下面两种情况．
①已知两条边；②已知一条边和一个锐角．
教师引导学生归纳总结，理解解直角三角形的方法．
三、运用知识，体验成功
1．例题精讲．
例1 在Rt△ABC中，已知∠C=90°，a=17.5，c=62.5.解这个直角三角形.
例2 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，a=5，解直角三角形．
教师就学生分析简要评价，学生板演解题过程，注意规范性．
分析：本题是解直角三角形的基本题型，即已知一边一锐角，根据“无斜选切”的原则，可先求出b，再利用∠A的正弦或勾股定理求出c．
例3 如图，在△ABC中，AC=8，∠B=45°，∠A=30°．求AB．
分析：因为△ABC不是直角三角形，因此，我们应设法构造直角三角形来解．
教师分析，引导学生如何将一般三角形转化为直角三角形．
在学生完成的基础上，教师板书解题过程，并归纳如何将斜三角形转化为直角三角形的方法——过三角形的一个顶点作高．
四、总结提髙
1．师生小结．
本节学习了哪些内容？你有哪些认识和收获？
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《解直角三角形的应用》
教学目标
1．使学生了解仰角、俯角、方位角、坡角的概念．
2．逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．
3．巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．
学习重点
将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．
教学难点
学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型．
教学过程
一、寻疑之自主学习
1．仰角：如图1，从低处观察高处时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角．
2．俯角：如图1，从高处观察低处时，视线与水平线所成的锐角叫做俯角．
3．方向角：如图2，点A位于点O的北偏西30°方向；点B位于点O的南偏东60°方向．
图1 图2
4．坡角：如图，坡面与水平面的夹角 叫做坡角，记作α
5．坡度：如图，坡面的铅垂高度h与水平宽度l的比 叫做坡度，用i表示，即i＝tanα＝．
2、解惑之例题解析
例1如图2-14（课本第54页），一架飞机执行海上搜救任务，在空中A处发现海面上有一目标B，仪器显示这时飞机的高度为1.5km，飞机距目标4.5km.求飞机在A处观测目标B的俯角（精确到1'）.
例2 2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变轨后，就在离地球表面350 km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到0.1km）
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
∴ PQ的长为
答： 当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2009.6km
解析：从飞船上能最远直接看到的地球上的点，应是视线与地球相切时的切点．
例3 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）
解析： Rt△ABC中，α =30°，AD＝120，所以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
解：如图，α= 30°，β= 60°， AD＝120．
答：这栋楼高约为277.1m
直角三角形边角之间的关系，是解决与直角三角形有关的实际问题的重要在工具.把实际问题转化为解直角三角形问题，关键是找出实际问题中的直角三角形.这一解答过程的思路是：
例4 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求：
（1）坝底AD与斜坡AB的长度.（精确到0.1m）
（2）斜坡CD的坡角α.（精确到1°）
例5 如图2-23（课本第59页），要测量铁塔的高度AB，在地面上选取一个点C，在A、C两点间选取一点D，测得CD=14m，在C、D两点处分别用测角器测得铁塔顶端B的仰角为α＝30°和β=45°，测角仪支架的高度为1.2m，求铁塔的高度（精确到0.1m).
三、尝试之知识巩固
1．数学实践探究课中，老师布置同学们测量学校旗杆的高度．小民所在的学习小组在距离旗杆底部10米的地方，用测角仪测得旗杆顶端的仰角为60°，则旗杆的高度是___ ___米．
2．如图，已知楼房AB高为50m，铁塔塔基距楼房地基间的水平距离BD为100m，塔高CD为m，则下面结论中正确的是（ C ）
A．由楼顶望塔顶仰角为60°
B．由楼顶望塔基俯角为60°
C．由楼顶望塔顶仰角为30°
D．由楼顶望塔基俯角为30°
3．如图，在离铁塔BE 120m的A处，用测角仪测量塔顶的仰角为30°，已知测角仪高AD=1.5m，则塔高BE=．
4．如图，从地面上的C，D两点测得树顶A仰角分别是45°和30°，已知CD=200m，点C在BD上，则树高AB等于（根号保留）．
5．(2014·十堰)如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是 24 海里．
四、课堂小结：
1．仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
2．坡度与坡角
坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），
一般用i表示。即i＝，常写成i=1∶m的形式如i=1∶2.5
把坡面与水平面的夹角α叫做坡角．
·
O
Q
F
P
α
A
B
C
D
α
β
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