24．1 旋转
第1课时 图形的旋转
01 基础题
知识点1 旋转的有关概念
1．下列物体的运动不是旋转的是（ C ）
A．正在转动的摩天轮里的小朋友
B．正在走动的时针
C．骑自行车的人
D．正在转动的风车叶片
2．如图，△A1BC1是由△ABC通过旋转得到的，则旋转中心是点B，旋转角是∠ABA1或∠CBC1，点A，C的对应点分别是点A1，C1．
第2题图 第3题图
3．（2018·衡阳）如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上．若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为90°．
知识点2 旋转变换的性质
4．如图，将△ABC绕某点旋转至△ADE的位置，则下列说法错误的是（A）
A．∠ABC＝∠AED B．BC＝DE
C．∠CAE＝∠BAD D．旋转中心为点A
第4题图 第5题图
5．（2018·淮北相山区四模）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转100°，得到△ADE.若点D在线段BC的延长线上，则∠B的大小为（B）
A．30° B．40°
C．50° D．60°
6．（2018·海南）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AB1C1，连接BC1，则BC1的长为（C）
A．6 B．8
C．10 D．12
第6题图 第7题图
7．（2018·合肥、安庆名校大联考）如图，△ABC绕C点顺时针旋转37°后得到了△A′B′C，A′B′⊥AC于点D，则∠A＝53°．
知识点3 旋转对称图形
8．下列图形是旋转对称图形的是（C）
9．如图所示的五角星图案绕着它的中心，至少旋转72度，能与自身重合．
02 中档题
10．如图，在正方形网格中有△ABC，△ABC绕O点按逆时针旋转90°后的图案应该是（A）
A B
C D
11．（2018·大连）如图，将△ABC绕点B逆时针旋转α，得到△EBD.若点A恰好在ED的延长线上，则∠CAD的度数为（C）
A．90°－α B．α
C．180°－α D．2α
第11题图 第12题图
12．如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置．若四边形AECF的面积为25，DE＝2，则AE的长为（D）
A．5 B.
C．7 D.
13．如图，已知?ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′.若∠ADC＝60°，∠ADA′＝50°，则∠DA′E′的大小为（C）
A．130° B．150°
C．160° D．170°
第13题图 第14题图
14．如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为3．
15．（2018·宁波）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接BE.
（1）求证：△ACD≌△BCE；
（2）当AD＝BF时，求∠BEF的度数．
解：（1）证明：由题意，可知
CD＝CE，∠DCE＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∠ACD＝∠ACB－∠DCB，
∠BCE＝∠DCE－∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE.
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
（2）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠A＝45°.
由（1）可知∠A＝∠CBE＝45°，AD＝BE，
∵AD＝BF，
∴BE＝BF.
∴∠BEF＝＝67.5°.
03 链接中考
16．如图，等边△ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG＝120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD＝OE；②S△ODE＝S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6.上述结论中正确的个数是（C）
A．1 B．2 C．3 D．4
提示：连接OB，OC，利用等边三角形的性质得∠ABO＝∠OBC＝∠OCB＝30°，OB＝OC，再证明∠BOD＝∠COE，于是可判断△BOD≌△COE，所以BD＝CE，OD＝OE，则可对①进行判断；利用S△BOD＝S△COE得到四边形ODBE的面积＝S△OBC＝S△ABC＝，则可对③进行判断；过点O作OH⊥DE于点H，则DH＝EH，计算出S△ODE＝OE2，利用S△ODE随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断；由于C△BDE＝BC＋DE＝4＋DE＝4＋OE，根据垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断．
第2课时 中心对称与中心对称图形
01 基础题
知识点1 中心对称及其性质
1．下列说法中正确的是（C）
A．全等的两个图形成中心对称
B．成中心对称的两个图形必须重合
C．成中心对称的两个图形全等
D．旋转后能够重合的两个图形成中心对称
2．下列四组图形中成中心对称的有（C）
A．1组 B．2组
C．3组 D．4组
3．如图，已知△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列判断不正确的是（B）
A．∠ABC＝∠A′B′C′ B．∠BOC＝∠B′A′C′
C．AB＝A′B′ D．OA＝OA′
第3题图 第5题图
4．关于成中心对称的两个图形，对应线段的关系是（D）
A．相等
B．平行
C．相等且平行
D．相等且平行或相等且在同一直线上
5．如图，已知△ABC与△AB′C′关于点A成中心对称．若AB＝2 cm，则BB′的长为4__cm．
6．如图，已知△ABC和点O.在图中画出△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC关于点O成中心对称．
解：如图．
7．如图，△AOB与△COD关于点O成中心对称，连接BC，AD.
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）若△AOB的面积为15 cm2，求四边形ABCD的面积．
解：（1）证明：∵△AOB与△COD关于点O成中心对称，
∴OA＝OC，OB＝OD.
∴四边形ABCD为平行四边形．
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S?ABCD＝4S△AOB＝4×15＝60（cm2）．
知识点2 中心对称图形
8．（2017·合肥期末）下列四个图形中，不是中心对称图形的是（C）
9．下列图形中：①圆；②等腰三角形；③正方形；④平行四边形，属于中心对称图形的有①③④．（填序号）
10．如图，AC＝BD，∠A＝∠B，点E，F在AB上，且DE∥CF，CD与AB交于点M，小明经过研究发现该图形是中心对称图形，则该图形的对称中心是点M．
02 中档题
11．（2018·深圳）观察下列图形，是中心对称图形的是（D）
12．如图，已知矩形的长为10 cm，宽为4 cm，则图中阴影部分的面积为（A）
A．20 cm2 B．15 cm2
C．10 cm2 D．25 cm2
第12题图 第13题图
13．如图，在平面直角坐标系中，点P（1，1），N（2，0），△MNP和△M1N1P1关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为（2，1）．
14．如图所示，已知△ABC与△CDA关于AC的中点O成中心对称，添加一个条件：答案不唯一，如∠B＝90°，使四边形ABCD为矩形．
第14题图 第15题图
15．如图是4×4的正方形网格，把其中一个标有数字的白色小正方形涂黑，就可以使图中的黑色部分构成一个中心对称图形，则这个白色小正方形内的数字是3．
16．（2017·淮南月考）如图，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6.
（1）画出△BCD关于点D的中心对称图形；
（2）根据图形说明线段CD长的取值范围．
解：（1）如图所示，△AED就是所求作的三角形．
（2）由（1）知：△ADE≌△BDC，则CD＝DE，AE＝BC，
在△ACE中，AE－AC＜CE＜AE＋AC，
即BC－AC＜2CD＜BC＋AC，
∴2＜2CD＜10.
∴1＜CD＜5.
03 链接中考
17．（教材P10习题T4变式）如图，方格纸中有三个点A，B，C，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上．
（1）在甲图中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形；
（2）在乙图中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形；
（3）在丙图中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形．
,甲图） ,乙图） ,丙图）
解：如图所示（答案不唯一）．
第3课时 在平面直角坐标系中对图形进行旋转变换
01 基础题
知识点1 平面直角坐标系中图形的旋转变换
1．已知点A的坐标为（a，b），O为坐标原点，连接OA，将线段OA绕点O按逆时针方向旋转90°得OA1，则点A1的坐标为（C）
A．（－a，b） B．（a，－b）
C．（－b，a） D．（b，－a）
2．（2017·合肥一模）在平面直角坐标系中，把点P（－3，2）绕原点逆时针方向旋转180°，所得的对应点Q的坐标是（C）
A．（2，－3） B．（3，2）
C．（3，－2） D．（－3，－2）
3．如图，若将△ABC绕点O顺时针旋转270°后得到△A′B′C′，则点A的对应点A′的坐标是（－2，－3）．
4．（2018·大庆）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标为（4，b）．若点A与点B关于原点O对称，则ab＝12．
知识点2 平面直角坐标系中旋转变换的作图
5．如图，在矩形OABC中，点B的坐标为（－2，3）．画出矩形OABC绕点O顺时针旋转90°后的矩形OA1B1C1，并直接写出点A1，B1，C1的坐标．
解：如图所示，A1（0，2），B1（3，2），C1（3，0）．
6．（2018·合肥高新区模拟）如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是点A（－4，2），B（0，4），C（0，2）．
（1）画出△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C；平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为（0，－4），画出平移后对应的△A2B2C2；
（2）△A1B1C和△A2B2C2关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为（2，－1）．
解：△A1B1C，△A2B2C2如图所示．
7．如图，已知点A（0，4），B（－4，2），请按要求画图：
（1）把线段AB绕点A逆时针旋转90°得到AC，连接BC；
（2）点C的坐标为（2，0）；
（3）画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A′B′C′.
解：（1）（3）如图所示．
易错点 旋转方向未确定
8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（3，4），将OA绕坐标原点O旋转90°到OA′，则点A′的坐标是（－4，3）或（4，－3）．
02 中档题
9．（2018·淮南期末）如图，△AOB是等边三角形，B（2，0），将△AOB绕点O逆时针旋转90°到△A′OB′的位置，则点A′的坐标是（B）
A．（－1，） B．（－，1）
C．（，－1） D．（1，－）
第9题图 第10题图
10．将含有30°角的直角三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上．若OA＝2，将三角板绕原点O顺时针旋转75°，则点A的对应点A′的坐标为（C）
A．（，1） B．（1，－）
C．（，－） D．（－，）
11．（2018·泰安）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中每个小正方形的边长均为1，△ABC经过平移后得到△A1B1C1.若AC上一点P（1.2，1.4）平移后的对应点为P1，点P1绕原点顺时针旋转180°，对应点为P2，则点P2的坐标为（A）
A．（2.8，3.6） B．（－2.8，－3.6）
C．（3.8，2.6） D．（－3.8，－2.6）
第11题图 第12题图
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x经过点A，作AB⊥x轴于点B，将△ABO绕点B逆时针旋转60°得到△CBD.若点B的坐标为（2，0），则点C的坐标为（－1，）．
13．（2017·铜陵期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（－3，0），B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、④、……，则三角形?的直角顶点的坐标为（48，0）．
14．（2018·合肥包河区二模）在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（－3，－1）．
（1）以O为中心作出△ABC的中心对称图形△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）以格点P为旋转中心，将△ABC按顺时针方向旋转90°，得到△A′B′C′，且使点A的对应点A′恰好落在△A1B1C1的内部格点上（不含△A1B1C1的边上），写出点P的坐标，并画出旋转后的△A′B′C′.
解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，点B1的坐标为（2，4）．
（2）如图所示，点P的坐标为（1，－2），△A′B′C′即为所求．
03 链接中考
15．（2018·合肥庐阳区二模）我们制定，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）的对称中心的坐标为（，）．
观察应用：
（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P1（0，－1），P2（2，3）的对称中心是点A，则点A的坐标为（1，1）；
（2）在（1）的基础上另取两点B（－1，2），C（－1，0），有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A，B，C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，……，则点P4，P8的坐标分别为（2，－1），（2，3）．
24.2 圆的基本性质
第1课时 圆的相关概念及点与圆的位置关系
01 基础题
知识点1 圆的相关概念
1．下列说法中，不正确的是（B）
A．直径是弦
B．半径确定了，圆就确定了
C．圆上的点到圆心的距离都相等
D．同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长
2．半径为5的圆的一条弦长不可能是（D）
A．3 B．5 C．10 D．12
3．如图所示，图中有1条直径，有3条弦，以E为端点的劣弧有5条，以A为端点的优弧有4条．
第3题图 第4题图
4．如图，在⊙O中，点B在⊙O上，四边形AOCB是矩形，对角线AC的长为5，则⊙O的半径长为5．
知识点2 点与圆的位置关系
5．如图，已知△ABC，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°，以点C为圆心作⊙C，半径为r.
（1）当r在什么范围时，点A，B在⊙C外？
（2）当r在什么范围时，点A在⊙C内，点B在⊙C外？
解：（1）当0（2）当302 中档题
6．（2017·蚌埠模拟）已知⊙O是以坐标原点O为圆心，5为半径的圆，点M的坐标为（－3，4），则点M与⊙O的位置关系为（A）
A．M在⊙O上 B．M在⊙O内
C．M在⊙O外 D．M在⊙O右上方
7．一个点到圆的最小距离为6 cm，最大距离为9 cm，则该圆的半径是（C）
A．1.5 cm B．7.5 cm
C．1.5 cm或7.5 cm D．3 cm或15 cm
8．（2017·枣庄）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点）．若以点A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（B）
A．2＜r＜ B.＜r＜3
C.＜r＜5 D．5＜r＜
第8题图 第9题图
9．（2017·淮北模拟）如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，已知∠AOD＝50°，AD∥OC，则∠BOC＝65°．
10．如图所示，在△ABC中，BD，CE是两条高线，求证：B，C，D，E四点在同一个圆上．
证明：取BC的中点O，连接OD，OE，
∵BD，CE是△ABC的两条高线，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∴OD＝OE＝BC＝OB＝OC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．
∴B，C，D，E四点在以点O为圆心，BC的一半长为半径的圆上．
第2课时 垂径分弦
01 基础题
知识点1 圆的对称性
1．两个同心圆的对称轴（D）
A．仅有1条 B．仅有2条
C．仅有4条 D．有无数条
知识点2 垂径定理及其推论
2．（2018·张家界）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD＝8 cm，则AE＝（A）
A．8 cm B．5 cm
C．3 cm D．2 cm
第2题图 第3题图
3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是（D）
A．CM＝DM B.＝
C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MD
4．（2018·芜湖模拟）如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为（D）
A．2 cm B. cm
C．2 cm D．2 cm
第4题图 第5题图
5．如图，在⊙O中，圆心角∠AOB＝120°，弦AB＝2 cm，则⊙O的半径是2__cm．
6．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段OM的长的取值范围是4≤OM≤5．
7．如图所示，在⊙O中，AB，CD为两条弦，且AB∥CD，直径MN经过AB的中点E，交CD于点F，试问：点F是CD的中点吗？
解：点F是CD的中点．
理由：∵直径MN平分不是直径的弦AB，
∴MN⊥AB.
∵AB∥CD，
∴MN⊥CD.
∴CF＝FD.
∴点F是CD的中点．
知识点3 垂径定理的实际应用
8．（教材P16例3变式）（2017·安徽模拟）被誉为“中国画里乡村”的黄山宏村，村头有一座美丽的圆弧形石拱桥（如图），已知桥拱的顶部C距水面的距离CD为2.7 m，桥弧所在的圆的半径OC为1.5 m，则水面AB的宽度是（A）
A．1.8 m B．1.6 m
C．1.2 m D．0.9 m
9．如图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧，即图中，点O是的圆心，CD＝600 m，E为上一点，且OE⊥CD于点F，EF＝90 m，则这段弯路的半径是多少？
解：连接OD.
设这段弯路的半径为R m.
∵OE⊥CD，CD＝600 m，
∴DF＝CD＝300 m.
在Rt△DOF中，OD2＝OF2＋DF2，
即R2＝（R－90）2＋3002.
解得R＝545.
答：这段弯路的半径是545 m.
易错点 忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径”
10．下列说法正确的是（D）
A．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧
B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心
C．过弦的中点的直径垂直于弦
D．平分弦所对的两条弧的直径平分弦
02 中档题
11．（2017·合肥期末）如图，已知⊙O的半径为5，点O到弦AB的距离为3，则⊙O上到弦AB所在直线的距离为2的点有（C）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
第11题图 第12题图
12．（2018·淮北相山区四模）如图，⊙O过点B，C，圆心O在等腰Rt△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝2，BC＝8，则⊙O的半径为（C）
A. B．5
C．2 D．6
13．（2018·嘉兴）如图，量角器的0度刻度线为AB，将一矩形直尺与量角器部分重叠，使直尺一边与量角器相切于点C，直尺另一边交量角器于点A，D，量得AD＝10 cm，点D在量角器上的读数为60°，则该直尺的宽度为cm.
14．已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，P是AB上任意一点，点C是劣弧的中点．若△POC为直角三角形，则PB的长度为1或5．
15．如图，直线AC与⊙O交于点B，C，直线AD过圆心O.若⊙O的半径是5，且∠DAC＝30°，AD＝13，求弦BC的长．
解：过点O作OM⊥BC于点M，则BC＝2MC.
∵AD＝13，OD＝5，
∴AO＝8.
∵∠DAC＝30°，
∴OM＝AO＝4.
在Rt△OCM中，
MC＝＝＝3.
∴BC＝2MC＝6.
16．（2018·淮北模拟）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OA＝1 m，水面宽AB＝1.2 m，某天下雨后，水管水面上升了0.2 m，求此时排水管水面的宽CD.
解：过点O作OE⊥AB于点E，交CD于点F，连接OA，OC，
∵AB＝1.2 m，OE⊥AB，
OA＝1 m，
∴OE＝0.8 m.
∵水管水面上升了0.2 m，
∴OF＝0.8－0.2＝0.6（m）．
∴CF＝＝0.8 m.
∴CD＝1.6 m.
03 链接中考
17．（2017·合肥包河区二模）如图，⊙O的半径为5，弦BC＝8，点A在⊙O上，AO⊥BC，垂足为D，E为BC延长线上一点，AE＝10，则CE的长为2．
第3课时 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
01 基础题
知识点1 圆心角
1．下面四个图中的角，是圆心角的是（D）
2．如图，⊙O的半径是1，B，C是圆周上的两点，∠BOC＝36°，则劣弧的度数是（B）
A．18°
B．36°
C．72°
D．条件不足，无法求出
3．已知⊙O的半径为1，弦AB的长为1，则弦AB所对的圆心角为60度．
知识点2 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系
4．（2018·淮北模拟）如果两个圆心角相等，那么（D）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
5．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝（A）
A．40° B．45°
C．50° D．60°
第5题图 第6题图
6．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝35°，则∠AOE＝75°．
7．如图，D，E分别是⊙O的半径OA，OB上的点，CD⊥OA，CE⊥OB，CD＝CE，则与的长度的大小关系是相等．
8．如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且＝.BE与CE的大小有什么关系？为什么？
解：BE＝CE.理由如下：
∵AB，DE是⊙O的直径，
∴∠AOD＝∠BOE.
∴＝.
∵＝，
∴＝.
∴BE＝CE.
9．（2018·安庆期末）如图，M，N分别为⊙O中两条不平行弦AB和CD的中点，且AB＝CD.求证：∠AMN＝∠CNM.
证明：连接OM，ON.
∵O为圆心，M，N分别为弦AB，CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD.
∵AB＝CD，
∴OM＝ON.
∴∠OMN＝∠ONM.
∵∠AMN＝90°－∠OMN，
∠CNM＝90°－∠ONM，
∴∠AMN＝∠CNM.
易错点 对圆中的有关线段的关系运用不当而致错
10．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且AD＝BC，则AB与CD的大小关系为（B）
A．AB>CD
B．AB＝CD
C．ABD．不能确定
02 中档题
11．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝26°，以点C为圆心，BC为半径的圆分别交AB，AC于点D，E，则的度数为（C）
A．26° B．64°
C．52° D．128°
第11题图 第13题图
12．已知⊙O中，＝2，则弦AB和2CD的大小关系是（C）
A．AB＞2CD B．AB＝2CD
C．AB＜2CD D．不能确定
13．如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径MN上一动点．若⊙O的直径为2，则AP＋BP的最小值是．
14．如图，∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，AB分别交OC，OD于点E，F，求证：AE＝CD.
证明：连接AC.
∵∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，
∴∠AOC＝∠COD＝30°.
∴AC＝CD.
又∵OA＝OC，∴∠ACE＝75°.
∵∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠OAB＝45°.
∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°.
∴∠ACE＝∠AEC.
∴AE＝AC.
∴AE＝CD.
15．（教材P19例4变式）如图，A，B，C为⊙O上的三等分点．
（1）求∠BOC的度数；
（2）若AB＝3，求⊙O的半径长及S△ABC.
解：（1）∵A，B，C为⊙O上的三等分点，
∴＝＝.
∴∠BOC＝×360°＝120°.
（2）过点O作OD⊥AB于点D，
∵A，B，C为⊙O上的三等分点，
∴AB＝AC＝BC＝3，
即△ABC是等边三角形．
∴∠BAO＝∠OBA＝30°，AD＝AB＝.
∴DO＝，OA＝，即⊙O的半径长为.
∴S△ABC＝3×DO·AB＝.
03 链接中考
16．（教材P19例5变式）如图1，PC是⊙O的直径，PA与PB是弦，且∠APC＝∠BPC.
（1）求证：PA＝PB；
（2）如果点P由圆上运动到圆外，PC过圆心，如图2，是否仍有PA＝PB？为什么？
（3）如图3，如果点P由圆上运动到圆内，那么PA＝PB是否仍然成立？
解：（1）证明：过点O作OE⊥PA，OF⊥PB，垂足分别为E，F，
∵∠APC＝∠BPC，∴OE＝OF.
∴PA＝PB.
（2）仍有PA＝PB.理由如下：
过点O作OG⊥PA，OH⊥PB，垂足分别为G，H，
∵∠APC＝∠BPC，∴OG＝OH.
又∵OP＝OP，∴Rt△OPG≌Rt△OPH（HL）．
∴PG＝PH.
∵OG⊥AM，OH⊥BN，OG＝OH，
∴AM＝BN.∴AG＝BH.
∴PG＋AG＝PH＋BH，即PA＝PB.
（3）PA＝PB仍然成立．
第4课时 圆的确定
01 基础题
知识点1 确定圆的条件
1．下列命题不正确的是（C）
A．过一点有无数个圆
B．过两点有无数个圆
C．弦是圆的一部分
D．过同一直线上三点不能画圆
2．若A，B，C是平面内的三点，且AB＝3，BC＝6，AC＝5，则下列说法正确的是（A）
A．可以画一个圆，使A，B，C都在圆上
B．可以画一个圆，使A，B在圆上，C一定在圆外
C．可以画一个圆，使A，C在圆上，B一定在圆外
D．可以画一个圆，使B，C在圆上，A一定在圆内
3．平面直角坐标系内的三个点A（1，0），B（0，－3），C（2，－3）能确定一个圆．（填“能”或“不能”）
4．如图所示，点A，B，C在同一直线上，点M在AC外，经过图中的三个点作圆，可以作3个．
知识点2 三角形的外接圆
5．三角形的外心是三角形（B）
A．三个内角平分线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条高线的交点
D．三条中线的交点
6．三角形的外心具有的性质是（B）
A．到三边的距离相等
B．到三个顶点的距离相等
C．外心在三角形外
D．外心在三角形内
7．小颖同学在手工制作中，把一个边长为12 cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上．若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（B）
A．2 cm B．4 cm
C．6 cm D．8 cm
8．已知直角三角形的两条直角边分别为5 cm，12 cm，则该三角形的外接圆半径为6.5__cm．
9．如图，一只猫观察到一个老鼠洞的三个洞口A，B，C，这三个洞口不在同一条直线上，请问这只猫应该在什么地方才能最省力地同时顾及三个洞口？作出这个位置．
解：在△ABC的外心处能最省力地同时顾及三个洞口．作法如下：
连接AB，BC，分别作线段AB，BC的垂直平分线，相交于点O，点O即为所求．
知识点3 反证法
10．如图，直线AB，CD相交，求证：AB，CD只有一个交点．
证明：假设AB，CD相交于两个交点O与O′，那么过O，O′两点就有两条直线，这与“经过两点有且只有一条直线”矛盾，所以假设不成立，则AB，CD只有一个交点．
11．用反证法证明：若∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角，则其中至少有一个角不大于60°.
证明：假设∠A，∠B，∠C都大于60°.
则有∠A＋∠B＋∠C>180°，
这与三角形的内角和等于180°相矛盾．
因此假设不成立，即∠A，∠B，∠C中至少有一个角不大于60°.
02 中档题
12．（教材P26习题T15变式）小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（B）
A．第①块 B．第②块
C．第③块 D．第④块
第12题图 第14题图
13．在用反证法证明“三角形中不能有两个角都是钝角”这一命题时，得出的结果与下列哪个结论互相矛盾（A）
A．三角形的内角和定理
B．三角形的外角和定理
C．三角形内角的定义
D．三角形外角的定义
14．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠AOB＝60°，AB＝AC＝2，则弦BC的长为（C）
A. B．3
C．2 D．4
15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝90°，sinA＝，BC＝2，则⊙O的半径为3．
第15题图 第16题图
16．（2017·泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为（1，0），（2，5），（4，2）．若点C在第一象限，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为（7，4）或（6，5）或（1，4）．
17．阅读下列文字，回答问题．
题目：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，则AC≠BC.
证明：假设AC＝BC，因为∠A≠45°，∠C＝90°，
所以∠A≠∠B.
所以AC≠BC.这与假设矛盾，所以AC≠BC.
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正．
解：有错误．
改正：假设AC＝BC，则∠A＝∠B.
又因为∠C＝90°，
所以∠B＝∠A＝45°.这与∠A≠45°矛盾，
所以AC＝BC不成立．所以AC≠BC.
18．小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C（如图），小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．
（1）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若△ABC中，AB＝8 m，AC＝6 m，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．
解：（1）分别作出两边BC，AC的垂直平分线，交点为O.以O为圆心，OA为半径作出⊙O，即为所求作的花坛的位置．
（2）∵∠BAC＝90°，AB＝8 m，AC＝6 m，
∴BC＝10 m.
∴△ABC外接圆的半径为5 m.
∴小明家圆形花坛的面积为25π m2.
24.3 圆周角
第1课时 圆周角定理及其推论
01 基础题
知识点1 圆周角的概念
1．下列图形中的角是圆周角的是（B）
知识点2 圆周角定理
2．（2018·南充）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上的一点，∠OAC＝32°，则∠B的度数是（A）
A．58° B．60°
C．64° D．68°
第2题图 第3题图
3．如图，AB是⊙O的直径，∠D＝35°，则∠BOC的度数为（D）
A．120° B．70°
C．100° D．110°
4．如图，△ABC内接于⊙O，∠C＝ 45°，AB ＝4，则⊙O的半径为（A）
A．2
B．4
C．2
D．5
5．如图所示，半径OA⊥OB，弦AC⊥BD于点E，求证：AD∥BC.
证明：∵OA⊥OB，
∴∠AOB＝90°.
∴∠C＝∠D＝∠AOB＝45°.
又∵AC⊥BD，∴∠AED＝90°.
∴∠DAE＝45°.
∴∠C＝∠DAE.
∴AD∥BC.
知识点3 圆周角定理的推论
6．（2018·阜新）如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠ABC＝65°，那么∠OCA的度数是（A）
A．25° B．35°
C．15° D．20°
第6题图 第7题图
7．（教材P29练习T2变式）如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点P.若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于（C）
A．30° B．35°
C．40° D．50°
8．（2018·滁州一模）如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，直径DE⊥AC于点P.若点D在优弧上，AB＝8，BC＝3，则DP＝5.5．
9．如图，点A，B，C，D在⊙O上．
（1）图中有哪些相等的角？
（2）如果∠1＝∠2，图中存在全等三角形吗？如果存在，请找出来并证明．
解：（1）∠C＝∠D，∠DAC＝∠CBD.
（2）存在．△ABD≌△BAC.
证明：在△ABD和△BAC中，
∴△ABD≌△BAC（AAS）．
易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而致错
10．已知⊙O的弦AB的长等于⊙O的半径，则此弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°．
02 中档题
11．如图，点A，B，O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧上的一点，则tan∠APB的值是（A）
A．1 B. C. D.
第11题图 第12题图
12．数学课上，老师让学生用尺规作图画Rt△ABC，使斜边AB＝c，BC＝a，小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断∠ACB是直角的依据是（B）
A．勾股定理
B．直径所对的圆周角是直角
C．勾股定理的逆定理
D．90°的圆周角所对的弦是直径
13．（2018·陕西）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作CD∥AB，并与⊙O相交于点D，连接BD，则∠DBC的大小为（A）
A．15° B．35° C．25° D．45°
第13题图 第14题图
14．如图，△ABC内接于⊙O，AC是⊙O的直径，∠ACB＝50°，点D是上一点，则∠D＝40°．
15．将量角器按如图所示的方法放置在三角形纸板上，使顶点C在半圆上，点A，B的读数分别为100°，150°，则∠ACB的大小为25°．
16．如图，AB是⊙O的弦，AB＝6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝45°.若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是3．
17．已知：如图，CA＝CB＝CD，过三点A，C，D的⊙O交AB于点F.求证：CF平分∠BCD.
证明：连接AD.
∵CA＝CB＝CD，
∴∠B＝∠BAC，∠CDA＝∠DAC＝∠BAC＋∠BAD.
∵∠CFA＝∠CDA，∠CFA＝∠BCF＋∠B，
∴∠BAD＝∠BCF.
∵∠BAD＝∠FCD，
∴∠BCF＝∠FCD.
∴CF平分∠BCD.
03 链接中考
18．如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5.
（1）用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧的交点E（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若（1）中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
解：（1）如图．
（2）连接OE交BC于点F，连接OC，CE，
∵AE平分∠BAC，
∴＝.
∴OE⊥BC，EF＝3.
∴OF＝5－3＝2.
在Rt△OFC中，由勾股定理，可得
FC＝＝，
在Rt△EFC中，由勾股定理，可得
CE＝＝.
第2课时 圆内接四边形
01 基础题
知识点1 圆内接多边形的概念
1．下列多边形中一定有外接圆的是（A）
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
知识点2 圆内接四边形的性质
2．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形．若∠A＝70°，则∠C的度数是（B）
A．100° B．110° C．120° D．130°
第2题图 第3题图
3．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是（B）
A．115° B．105° C．100° D．95°
4．若四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A∶∠B∶∠C＝1∶3∶8，则∠D的度数是（D）
A．10° B．30° C．80° D．120°
5．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A＝115°，则∠BOD等于130°．
第5题图 第6题图
6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，若它的一个外角∠DCE＝70°，则∠BOD＝140°．
7．已知圆内接四边形相邻三个内角度数的比为2∶1∶7，求这个四边形各内角的度数．
解：根据圆内接四边形的对角互补，可知其对角和相等，所以四个内角的度数的比为2∶1∶7∶8.
设这四个内角的度数分别为2x°、x°、7x°、8x°，则
2x＋x＋7x＋8x＝360.解得x＝20.
则2x＝40，7x＝140，8x＝160.
答：这个四边形各内角的度数分别为40°、20°、140°、160°.
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：
（1）AD＝CD；
（2）AB是⊙O的直径．
证明：（1）∵四边形ABCD内接
于⊙O，∠B＝50°，
∴∠D＝180°－∠B＝130°.
∵∠ACD＝25°，
∴∠DAC＝180°－∠ACD－∠D＝25°.
∴∠DAC＝∠ACD.
∴AD＝CD.
（2）∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝90°.
∴AB是⊙O的直径．
易错点 对圆内接四边形的概念理解不清导致错误
9．（2018·铜仁）如图，已知圆心角∠AOB＝110°，则圆周角∠ACB＝（D）
A．55°
B．110°
C．120°
D．125°
02 中档题
10．如图，⊙C过原点O，且与两坐标轴分别交于A，B两点，点A的坐标为（0，3），M是第三象限内上一点，∠BMO＝120°，则⊙C的半径为（C）
A．6 B．5 C．3 D．3
11．（教材P31练习T1变式）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，BC＝DC，∠BOC＝130°，则∠BAD的度数是（B）
A．120° B．130°
C．140° D．150°
第11题图 第12题图
12．（2018·安庆二模）如图，在⊙O中，已知∠OAB＝21.5°，则∠C的度数为111.5°．
13．（聊城中考改编）如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为50°．
第13题图 第14题图
14．（安徽中考）如图，点A，B，C，D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD＝60°．
15．（2018·安徽模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC＝DE.
（1）求证：∠A＝∠AEB；
（2）连接OE，交CD于点F，OE⊥CD.求证：△ABE是等边三角形．
证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝∠DCE.
∵DC＝DE，
∴∠DCE＝∠AEB.
∴∠A＝∠AEB.
（2）∵∠A＝∠AEB，∴△ABE是等腰三角形．
∵EO⊥CD，
∴EO是CD的垂直平分线．∴ED＝EC.
∵DC＝DE，∴DC＝DE＝EC.
∴△DCE是等边三角形．
∴∠AEB＝60°.
∴△ABE是等边三角形．
16．如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD.连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF.
（1）求证：∠E＝∠C；
（2）若∠E＝55°，求∠BDF的度数．
解：（1）证明：连接AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.
∵CD＝BD，
∴AD垂直平分BC.
∴AB＝AC.
∴∠B＝∠C.
又∵∠B＝∠E，
∴∠E＝∠C.
（2）∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠CFD＝∠E＝55°.
∵∠E＝∠C＝55°，
∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝110°.
03 链接中考
17．（安徽中考变式）如图，已知⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F.若∠E＋∠F＝70°，则∠A的度数是55°．
24.4 直线与圆的位置关系
第1课时 直线与圆的位置关系
01 基础题
知识点1 直线与圆位置关系的判断
1．已知⊙O的半径是6 cm，点O到同一平面内直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系是（A）
A．相交 B．相切
C．相离 D．无法判断
2．已知⊙O的直径为5，圆心O到直线AB的距离为5，则直线AB与⊙O的位置关系是（C）
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
3．在平面直角坐标系中，以点（3，2）为圆心，2为半径的圆与坐标轴的位置关系为（C）
A．与x轴相切，与y轴相切
B．与x轴、y轴都相离
C．与x轴相切，与y轴相离
D．与x轴、y轴都相切
4．如图，∠O＝30°，C为OB上一点，且OC＝6，以点C为圆心，半径为3的圆与OA的位置关系是（C）
A．相离
B．相交
C．相切
D．以上三种情况均有可能
5．（教材P34例1变式）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，以点C为圆心，以5 cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是（A）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定
6．如图，火车在静止时，将火车轮与铁轨看成圆与直线的关系，这个关系是相切．
第6题图 第7题图
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线BC与⊙O的位置关系是相切．
知识点2 直线与圆位置关系的性质
8．直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为5，则半径r的取值范围是（A）
A．r>5 B．r＝5
C．09．平面上⊙O与四条直线l1，l2，l3，l4的位置关系如图所示，若⊙O的半径为2 cm，且O点到其中一条直线的距离为2.2 cm，则这条直线是（C）
A．l1
B．l2
C．l3
D．l4
10．已知直线l与半径为4的⊙O相交，则点O到直线l的距离d可取的整数值是0，1，2，3．
11．（教材P36练习T2变式）在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝60°，BO＝x，⊙O的半径为2，当x在什么范围内取值时，AB所在的直线与⊙O相交、相切、相离？
解：过点O作OD⊥AB于D.
∵∠A＝90°，∠C＝60°，∴∠B＝30°.
∴OD＝OB＝x.
当AB所在的直线与⊙O相切时，OD＝2.
∴BO＝4.
∴当0当x＝4时，相切；
当x>4时，相离．
易错点 没有对不同的情况进行分类讨论
12．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为（－3，0），将⊙P沿x轴平移，使其与y轴相切，则平移的距离为1或5．
13．已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．
02 中档题
14．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，D，E分别是AC，AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（B）
A．相切
B．相交
C．相离
D．无法确定
15．已知⊙O的半径r＝3，设圆心O到直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：①若d＞5，则m＝0；②若d＝5，则m＝1；③若1＜d＜5，则m＝3；④若d＝1，则m＝2；⑤若d＜1，则m＝4.其中正确命题的个数是（C）
A．1 B．2 C．3 D．5
16．⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d.R，d是方程x2－4x＋m＝0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为4.
17．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，则直线y＝x＋与以O点为圆心，1为半径的圆的位置关系为相切．
18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°.
（1）先作∠ACB的平分线交AB边于点P，再以点P为圆心，PA长为半径作⊙P；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）请你判断（1）中BC与⊙P的位置关系，并证明你的结论．
解：（1）如图所示，⊙P即为所求．
（2）BC与⊙P相切．
证明：过点P作PD⊥BC，垂足为D.
∵CP为∠ACB的平分线，且PA⊥AC，PD⊥CB，
∴PD＝PA.∴BC与⊙P相切．
19．如图，平面直角坐标系中，⊙P与x轴交于A，B两点，点P的坐标为（3，－1），AB＝2.
（1）求⊙P的半径；
（2）将⊙P向下平移，求⊙P与x轴相切时平移的距离．
解：（1）过点P作PC⊥AB于点C，连接AP.
由垂径定理得：AC＝AB＝×2＝.
在Rt△PAC中，由勾股定理，得PA2＝PC2＋AC2，
即PA2＝12＋（）2＝4.
∴PA＝2.
∴⊙P的半径为2.
（2）将⊙P向下平移，当⊙P与x轴相切时点P到x轴的距离等于半径．
∴平移的距离为2－1＝1.
03 链接中考
20．如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线y＝x2－1上运动，当⊙P与x轴相切时，圆心P的坐标为（，2）或（－，2）．
第2课时 切线的性质与判定
01 基础题
知识点1 切线的性质
1．（2018·湘潭）如图，AB是⊙O的切线，点B为切点．若∠A＝30°，则∠AOB＝60°．
第1题图 第3题图
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心作⊙C与AB相切，则⊙C的半径为．
3．（2018·徐州）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D.若∠C＝18°，则∠CDA＝126°．
4．（2018·哈尔滨改编）如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P＝30°，OB＝3，求线段BP的长．
解：连接OA.
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°.
∵∠P＝30°，OB＝3，
∴AO＝3，OP＝6.
∴BP＝6－3＝3.
知识点2 切线的判定
5．下列命题中正确的是（D）
A．垂直于半径的直线是圆的切线
B．经过半径外端的直线是圆的切线
C．经过切点的直线是圆的切线
D．圆心到某直线的距离等于半径，那么这条直线是圆的切线
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，3 cm为半径作⊙A，当AB＝6cm时，BC与⊙A相切．
7．（2018·邵阳）如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为D，连接BC，BC平分∠ABD.求证：CD为⊙O的切线．
证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠DBC.
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB.
∴∠DBC＝∠OCB.
∴OC∥BD.
∵BD⊥CD，
∴OC⊥CD.
又∵OC为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线．
02 中档题
8．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，∠CDB＝30°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则sinE的值为（A）
A. B. C. D.
第8题图 第9题图
9．（2018·合肥名校一模）如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与AD的延长线交于点E.若点D是的中点，且∠ABC＝70°，则∠AEC等于（B）
A．80° B．75° C．70° D．65°
10．（2018·泸州改编）在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P在直线y＝x＋2上运动，过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为．
11．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，圆心O在AC上，∠A＝30°，D为的中点．
（1）求证：AB＝BC；
（2）试判断四边形BOCD的形状，并说明理由．
解：（1）∵AB是⊙O的切线，
∴∠OBA＝90°.
∴∠AOB＝90°－30°＝60°.
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB.
∴∠OCB＝30°＝∠A.
∴AB＝BC.
（2）四边形BOCD为菱形，理由如下：
连接OD，交BC于点M.
∵D是的中点，∴OD垂直平分BC.
在Rt△OMC中，∵∠OCM＝30°，∴OC＝2OM＝OD.
∴OM＝MD.∴四边形BOCD为菱形．
12．（2018·六安霍邱县一模）如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于点D，延长AO交⊙O于点E，连接CD，CE.若CE是⊙O的切线，解答下列问题：
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若BC＝4，CD＝6，求?OABC的面积．
解：（1）证明：连接OD.
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠A.
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB.
∴∠EOC＝∠A，∠COD＝∠ODA.
∴∠EOC＝∠DOC.
在△EOC和△DOC中，
∴△EOC≌△DOC（SAS）．
∴∠ODC＝∠OEC＝90°，即OD⊥DC.
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）由（1）知CD是⊙O的切线，
∴△CDO为直角三角形．
∵S△CDO＝CD·OD，
又∵OA＝BC＝OD＝4，
∴S△CDO＝×6×4＝12.
∴S?OABC＝2S△CDO＝24.
03 链接中考
13．（2018·安徽）如图，菱形ABOC的边AB，AC分别与⊙O相切于点D，E，若点D是AB的中点，则∠DOE＝60°．
第3课时 切线长定理
01 基础题
知识点 切线长定理
1．如图，PA切⊙O于点A，PB切⊙O于点B，OP交⊙O于点C，下列结论中错误的是（D）
A．∠1＝∠2 B．PA＝PB
C．AB⊥OC D．∠PAB＝∠APB
第1题图 第2题图
2．如图，在△MBC中，∠B＝90°，∠C＝60°，MB＝2，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为（C）
A. B.
C．2 D．3
3．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点为A，B，若OP＝4，PA＝2，则∠AOB的度数为（C）
A．60° B．90°
C．120° D．无法确定
第3题图 第4题图
4．（2018·淮北相山区四模）如图，AB是⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，C.若∠P＝60°，PA＝，则AB的长为2．
5．如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O相切，且AB＝8 cm，CD＝5 cm，则AD＋BC＝13cm.
6．（教材P41习题T10变式）如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm，求：
（1）∠BOC的度数；
（2）BE＋CG的长．
解：（1）连接OF，根据切线长定理，得BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝OCG.
∵AB∥CD，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∴∠OBF＋∠OCF＝90°.
∴∠BOC＝90°.
（2）由（1）知，∠BOC＝90°.
∵OB＝6 cm，OC＝8 cm，
∴由勾股定理，得BC＝＝10 cm.
∴BE＋CG＝BF＋CF＝BC＝10 cm.
7．（教材P39练习T1变式）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝30°.
（1）求∠APB的度数；
（2）当OA＝3时，求AP的长．
解：（1）∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，OA⊥AP.
又∵∠OAB＝30°，
∴∠PAB＝60°.
∴△APB为等边三角形．∴∠APB＝60°.
（2）连接OP，则∠OPA＝∠APB＝30°.
∵OA＝3，
∴AP＝＝3.
02 中档题
8．（2018·淮南潘集区模拟）如图，∠ACB＝60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O沿CB向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（C）
A．2π
B．4π
C．2
D．4
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC，BC相切于点D，E，则AD为（B）
A．2.5 B．1.6 C．1.5 D．1
第9题图 第10题图
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为（A）
A. B.
C. D．2
11．如图，已知AB为⊙O的直径，AB＝2，AD和BE是⊙O的两条切线，A，B为切点，过圆上一点C作⊙O的切线CF，分别交AD，BE于点M，N，连接AC，CB.若∠ABC＝30°，则AM＝.
12．如图，PA，PB，CD是⊙O的切线，切点分别为点A，B，E，若△PCD的周长为18 cm，∠APB＝60°，求⊙O的半径．
解：连接OA，OP，则OA⊥PA.
根据题意，得CA＝CE，DE＝DB，PA＝PB.
∵PC＋CE＋DE＋PD＝18 cm，
∴PC＋CA＋DB＋PD＝18 cm.
∴PA＝×18＝9（cm）．
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠APO＝∠APB＝30°.
在Rt△AOP中，PO＝2AO，
∴OA2＋92＝（2AO）2，解得OA＝3，
即⊙O的半径为3 cm.
13．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，AC，PB的延长线相交于点D.
（1）若∠1＝20°，求∠APB的度数；
（2）当∠1为多少度时，OP＝OD，并说明理由．
解：（1）∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠BAP＝90°－∠1＝70°，PA＝PB.
∴∠BAP＝∠ABP＝70°.
∴∠APB＝180°－70°×2＝40°.
（2）当∠1＝30°时，OP＝OD.
理由：∵∠1＝30°，
由（1）知∠BAP＝∠ABP＝60°.
∴∠APB＝180°－60°×2＝60°.
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴∠OPB＝∠APB＝30°.
又∵∠D＝∠ABP－∠1＝60°－30°＝30°，
∴∠OPB＝∠D.∴OP＝OD.
03 链接中考
14．（2018·深圳）如图，小明同学测量一个光盘的直径，他只有一把直尺和一块三角板，他将直尺、光盘和三角板如图放置于桌面上，并量出AB＝3 cm，则此光盘的直径是（D）
A．3 cm B．3 cm
C．6 cm D．6 cm
第14题图 第15题图
15．（2018·娄底）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD，AB，BC都相切，切点分别为D，E，C，半径OC＝1，则AE·BE＝1.
24.5 三角形的内切圆
01 基础题
知识点1 三角形的内切圆及作图
1．（2017·广州）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（B）
A．三条边的垂直平分线的交点
B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
2．制作铁皮桶，需在一块三角形材料上截取一个面积最大的圆，请画出该圆．（保留作图痕迹，不要求写作法）
解：如图，作出三角形的角平分线BD，CE，角平分线交点O即为所画圆的圆心，过点O作OF⊥BC，垂足为F，以O为圆心，OF为半径，作⊙O即为所求作的圆．
知识点2 三角形的内切圆的性质
3．若三角形的内心和外心重合，则这个三角形是（D）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
4．如图，点I是△ABC的内心，∠BIC＝130°，则∠BAC的度数为（C）
A．65°
B．50°
C．80°
D．100°
5．如果△ABC的三边长分别为a，b，c，它的内切圆半径为r，那么△ABC的面积为（B）
A．（a＋b＋c）·r B.（a＋b＋c）·r
C.（a＋b＋c）·r D.（a＋b＋c）·r
6．等边三角形的内切圆半径为1，那么这个等边三角形的边长为（D）
A．2 B．3 C. D．2
7．（2018·黄石）在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝8，CB＝6，则△ABC的内切圆的周长为4π．
8．（教材P44习题T2变式）如图，△ABC内，内切圆⊙O与BC，AC，AB分别相切于点D，E，F，若∠FDE＝65°，求∠A的度数．
解：连接OE，OF.
∵AB，AC分别是⊙O的切线，∴∠AEO＝∠AFO＝90°.
∴∠A＋∠EOF＝180°.
由圆周角定理知：∠EOF＝
2∠EDF＝130°，
∴∠A＝180°－∠EOF＝50°.
9．（教材P44习题T3变式）如图，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，AB＝AC＝13，BC＝10，求⊙O的半径．
解：连接AF，则AF⊥BC.
在Rt△ABF中，
BF＝BC＝×10＝5，
∴AF＝＝＝12.
∴S△ABC＝BC·AF＝×10×12＝60.
设⊙O的半径是r，则×（13＋13＋10）·r＝60，
解得r＝.
∴⊙O的半径为.
易错点 内心与外心概念混淆不清
10．（教材P43例题变式）如图，△ABC是圆的内接三角形，点P是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BPC的度数为115°．
02 中档题
11．（2017·武汉）已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为（C）
A. B. C. D．2
12．等边三角形内切圆半径，外接圆半径和高的比为1∶2∶3．
13．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A为锐角，CD为AB边上的高，点O为△ACD的内切圆圆心，则∠AOB＝135°．
14．如图，已知在△ABC中，∠A＝90°.
（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）若∠B＝60°，AB＝3，求⊙P的面积．
解：（1）如图所示．
（2）∵∠ABC＝60°，BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝30°.
∴BP＝2AP.
设AP＝x，则BP＝2x.由勾股定理，得
AB＝＝＝x.
∵AB＝3，
∴x＝3，解得x＝.
∴AP＝.
∴S⊙P＝3π.
15．如图，已知点I是△ABC的内心，AI交BC于点D，交外接圆⊙I于点E，连接EC.求证：
（1）IE＝EC；
（2）IE2＝ED·EA.
证明：（1）连接IC.
∵点I是△ABC的内心，
∴∠ACI＝∠BCI，∠BAE＝∠CAE.
又∵∠BAE＝∠BCE，
∴∠CAE＝∠BCE.
∴∠CAE＋∠ACI＝∠ICB＋∠BCE.
∴∠EIC＝∠ICE.
∴IE＝EC.
（2）由（1）可知：∠CAE＝∠BCE.
又∵∠AEC＝∠CED，
∴△DCE∽△CAE.
∴＝.
∴CE2＝DE·EA.
∵IE＝EC，
∴IE2＝DE·EA.
03 链接中考
16．（2018·湖州）如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是70°．
第16题图 第17题图
17．（2018·威海）在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为135°．
24.6 正多边形与圆
第1课时 正多边形与圆
01 基础题
知识点1 正多边形的概念
1．下列叙述正确的是（B）
A．各边相等的多边形是正多边形
B．各边相等、各角也相等的多边形是正多边形
C．各角相等的多边形是正多边形
D．轴对称图形是正多边形
2．已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是（B）
A．正五边形 B．正六边形
C．正七边形 D．正八边形
3．（2017·株洲）下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（A）
A．正三角形 B．正方形
C．正五边形 D．正六边形
4．如图，在⊙O中，OA＝AB，OC⊥AB，则下列结论错误的是（D）
A．弦AB的长等于圆内接正六边形的边长
B．弦AC的长等于圆内接正十二边形的边长
C.＝
D．∠BAC＝30°
第4题图 第5题图
5．如图，正方形ABCD是⊙O的内接正方形，点P是劣弧上不同于点C的任意一点，则∠BPC的度数是45度．
6．若正多边形的一个内角等于140°，则该正多边形的边数是9．
7．如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB＝BC＝CD＝DE＝EA.求证：五边形ABCDE是正五边形．
证明：∵AB＝BC＝CD＝DE＝EA，
∴＝＝＝＝.
∴＝＝＝＝.∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E.
∴五边形ABCDE是正五边形．
8．如图，AD，AE是正六边形的两条对角线，不添加任何辅助线，请你写出两个正确的结论．（不必说明理由）
解：本题答案不唯一，如：
①△ADE是直角三角形；
②AD是正六边形外接圆的直径；
③AD∥BC等．
知识点2 等分圆周画正多边形
9．高斯用直尺和圆规作出了正十七边形，如图，正十七边形的一边所对的外接圆的圆心角∠AOB的度数近似于（C）
A．11°
B．17°
C．21°
D．25°
10．画一个半径为2 cm的正五边形，再作出这个五边形的各条对角线，画出一个五角星．
解：画法：（1）以O为圆心，OA＝2 cm为半径画圆；
（2）以O点为顶点，以OA为一边作∠AOB＝72°，再依次作∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝72°，分别与圆交于点B，C，D，E；
（3）分别连接AB，BC，CD，DE，EA.则五边形ABCDE就是所要画的正五边形（如图1）；
（4）依次连接AC，AD，BD，BE，CE.就画出了所要作的对角线和要求的五角星（如图2）．
02 中档题
11．如图，A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点，则∠ACB等于（C）
A．60°
B．45°
C．30°
D．22.5°
12．若正三角形、正方形、正六边形的周长相等，它们的面积分别为S1，S2，S3，则下列关系成立的是（C）
A．S1＝S2＝S3 B．S1>S2>S3
C．S1S3>S1
13．如图，已知⊙O内接等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，弦BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，BE＝BC.求证：五边形AEBCD是正五边形．
证明：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°.
∵BD，CE平分∠ABC，∠ACB，
∴∠BAC＝∠BCE＝∠ACE＝∠ABD＝∠DBC＝36°.
∴＝＝＝＝.
∴AE＝BE＝BC＝CD＝AD，
∠AEB＝∠EBC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAE.
∴五边形AEBCD是正五边形．
14．如图，点M，N分别是正五边形ABCDE的边BC，CD上的点，且BM＝CN，AM交BN于点P.
（1）求证：△ABM≌△BCN；
（2）求∠APN的度数．
解：（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴AB＝BC，∠ABM＝∠BCN.
在△ABM和△BCN中，
∴△ABM≌△BCN（SAS）．
（2）∵△ABM≌△BCN，∴∠BAM＝∠CBN.
∵∠APN＝∠ABP＋∠BAM，
∴∠APN＝∠ABP＋∠CBN＝∠ABC.
∵∠ABC＝＝＝108°.
∴∠APN＝108°.
03 链接中考
15．如图1，2，3，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M，N分别从点B，C开始，以相同的速度在⊙O上逆时针运动．
（1）求图1中∠APN的度数；（写出解题过程）
（2）写出图2中∠APN的度数和图3中∠APN的度数；
（3）试探索∠APN的度数与正多边形边数n的关系．（直接写答案）
解：（1）∵∠APN＝∠ABP＋∠BAP，
又∵点M，N以相同的速度在⊙O上逆时针运动，
∴＝.
∴∠BAM＝∠CBN.
∴∠APN＝∠ABP＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
（2）图2中∠APN的度数为90°；
图3中∠APN的度数为108°.
（3）∠APN＝.
第2课时 正多边形的性质
01 基础题
知识点1 正多边形的性质与计算
1．正六边形的边心距为，则该正六边形的边长是（B）
A. B．2
C．3 D．2
2．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是（A）
A．R2－r2＝a2 B．a＝2Rsin36°
C．a＝2rtan36° D．r＝Rcos36°
第2题图 第4题图
3. （2017·滨州）若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为（A）
A. B．2
C. D．1
4．如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，则图中平行四边形的个数有（C）
A．2个 B．4个
C．6个 D．8个
5．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（C）
A．3 B．3
C. D.
6．如图，点O是正五边形ABCDE的中心，则∠BAO的度数为54°．
第6题图 第7题图
7．如图，⊙O的内接正三角形ABC的边心距OD为2 cm，则⊙O的半径为4cm.
8．（2018·呼和浩特）同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为∶1．
9．如图所示的向日葵图案是用等分圆周画出的，则⊙O与半圆P的半径的比为2∶1．
10．（教材P51例题变式）求边长为20 cm的正六边形的面积与此正六边形内切圆周长和外接圆面积．
解：如图，易知∠AOB＝＝60°，
∴∠DOB＝30°.
又∵边长为20 cm，
∴DB＝10 cm.
在Rt△OBD中，可求得OD＝10 cm，OB＝20 cm.
∴S正六边形＝6S△OAB＝6××20×10
＝600（cm2）．
正六边形内切圆周长为2π·OD＝20π cm.
正六边形外接圆面积为πOB2＝400π cm2.
知识点2 正多边形的对称性
11．正五边形绕其中心旋转下列各角度，所得正五边形与原正五边形不重合的是（C）
A．216° B．144°
C．120° D．72°
12．正二十边形的对称轴有20条．
02 中档题
13．（2017·达州）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积为（A）
A. B.
C. D.
14．如图，正六边形ABCDEF中，AB＝2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为（C）
A．2
B．4
C.
D.
15．如图，边长为a的正六边形内有两个三角形（数据如图），则＝（C）
A．3 B．4 C．5 D．6
第15题图 第16题图
16．（2018·株洲）如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝48°．
17．如图，已知⊙O的两直径AB，CD互相垂直，弦MN垂直平分OB，交OB于点E.求证：MB与MC分别为⊙O的内接正六边形和正十二边形的边长．
证明：连接OM.
∵MN垂直平分OB，
∴MN⊥OB，OE＝OB＝OM，
∴∠EMO＝30°.∴∠MOB＝60°.
∴∠MOC＝30°.
∵∠MOB＝＝60°，∠MOC＝＝30°，
∴MB，MC分别是⊙O内接正六边形和正十二边形的边长．
18．如图，正五边形ABCDE的对角线AC，BE相交于点M.
（1）求证：四边形CDEM是菱形；
（2）设ME2＝BE·BM，若AB＝4，求BE的长．
解：（1）证明：∵五边形ABCDE是正五边形，∴∠D＝∠DCB＝108°，∠ACB＝36°，
∴∠DCA＝72°.
∴∠D＋∠DCA＝180°.
∴DE∥AC.
同理可证DC∥BE.
∴四边形DEMC为平行四边形．
又∵DE＝DC，
∴四边形CDEM是菱形．
（2）∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠AEB＝36°，∠EAM＝72°.
同理可得∠BAC＝∠ABE＝36°.
∴△ABE∽△MAB.
∴＝.
∴AB2＝BE·BM.
∵ME2＝BE·BM，
∴ME＝AB＝4，BM＝BE－4.
∴BE（BE－4）＝16.
解得BE＝2＋2或2－2（舍去），
即BE的长为2＋2.
03 链接中考
19．图1、图2分别是两个相同正方形、正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处．
（1）求图1中，重叠部分面积与阴影部分面积之比；
（2）求图2中，重叠部分面积与阴影部分面积之比．（直接写出答案）
解：（1）连接OA，OB，过点O作OM⊥AB，垂足为M.
∵点O是正方形ABCD外接圆圆心，
∴OA＝OB.
∵四边形ABCD为正方形，∴OM＝AB.
∴S△ABO＝S正方形ABCD.
∵∠AOB＝90°，∠AOF＋∠A′OB＝∠A′OB＋∠BOE＝90°，
∴∠AOF＝∠BOE.
又∵∠OAF＝∠OBE＝45°，
∴△AOF≌△BOE（ASA）．
∴S△AOF＝S△BOE.
∴S重叠＝S△BOF＋S△BOE＝S△BOF＋S△AOF＝S△ABO＝S正方形ABCD.∴S阴影＝S正方形ABCD.
∴重叠部分面积与阴影部分面积之比为1∶3.
（2）1∶2.
24.7 弧长与扇形面积
第1课时 弧长与扇形面积
01 基础题
知识点1 与弧长相关的计算（l＝）
1．钟表的轴心到分针针端的长为5 cm，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是（B）
A. cm B. cm
C. cm D. cm
2．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（C）
A．6 B．9 C．18 D．36
3．（2017·台州）如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为30厘米，则的长为20π厘米．（结果保留π）
第3题图 第4题图
4．（2018·合肥名校一模）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠ACB＝60°，⊙O的直径是6，则劣弧的长是2π．
5．如图，一根绳子与半径为30 cm的滑轮的接触部分是，绳子AC和BD所在的直线成30°的角．请你测算一下接触部分的长．（精确到0.1 cm）
解：连接OC，OD，
则OC⊥AC，BD⊥OD.
又∵AC与BD夹角为30°，
∴∠COD＝150°.
∴l＝＝25π≈78.5（cm）．
知识点2 与扇形面积相关的计算（S＝＝lR）
6．如图，半径为1的圆中，圆心角为120°的扇形面积为（C）
A. B. C.π D.π
7．一个扇形的圆心角是120°，面积是3π cm2，那么这个扇形的半径是（B）
A．1 cm B．3 cm
C．6 cm D．9 cm
8．如果一个扇形的弧长等于它的半径，那么此扇形称为“等边扇形”，那么半径为2的“等边扇形”的面积为（C）
A．π B．1 C．2 D.π
9．已知扇形的面积为2π，半径为3，则该扇形的弧长为．（结果保留π）
10．（2018·蚌埠古镇县一模）如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E.若∠C＝22.5°，AB＝6 cm，则阴影部分的面积为π－9．
第10题图 第11题图
11．如图，反比例函数y＝与⊙O的一个交点为P（2，1），则图中阴影部分的面积为．
12．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝60°，连接AO，BO.
（1）所对的圆心角∠AOB＝120度；
（2）若OA＝3，求阴影部分的面积．
解：连接OP，则∠OPA＝∠OPB＝∠APB＝30°.
在Rt△OAP中，OA＝3，
∴AP＝3.
∴S△OPA＝×3×3＝.
∴S阴影＝2×－＝9－3π.
02 中档题
13．（2018·合肥、安庆名校大联考模拟）一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，且扇形面积是圆的面积的一半，则这个扇形的圆心角度数是（A）
A．45° B．60°
C．90° D．75°
14．（2017·重庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，分别以A，C为圆心，AD，CB为半径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（C）
A．4－2π B．8－
C．8－2π D．8－4π
第14题图 第15题图
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转45°后得到△AB′C′，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（A）
A．2π B．2
C．4π D．4
16．（2018·蚌埠怀远县模拟）如图，四边形ABCD内接于半径为2的⊙O，E为CD延长线上一点．若∠ADE＝120°，则劣弧的长为π．
第16题图 第17题图
17．（2018·白银）如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为πa．
18．（2018·临沂）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D，OB与⊙O相交于点E.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若BD＝，BE＝1.求阴影部分的面积．
解：（1）证明：连接OD，过点O作OF⊥AC于点F.
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO⊥BC，AO平分∠BAC.
∵AB与⊙O相切于点D，
∴OD⊥AB.
∵OF⊥AC，
∴OF＝OD，即OF为⊙O的半径．
∴AC是⊙O的切线．
（2）在Rt△BOD中，设⊙O的半径为r，则OD＝OE＝r，
∴r2＋（）2＝（r＋1）2，解得r＝1.
∴OD＝1，OB＝2.
∴∠B＝30°，∠BOD＝60°.
∴∠AOD＝30°.∴∠DOF＝60°.
在Rt△AOD中，AD＝OD＝.
∴S阴影＝2S△AOD－S扇形DOF＝2××1×－＝－.
03 链接中考
19．（2016·安徽）如图，已知⊙O的半径为2，A为⊙O外一点，过点A作⊙O的一条切线AB，切点为B，AO的延长线交⊙O于点C.若∠BAC＝30°，则劣弧的长为．
第19题图 第20题图
20．（2018·贵港）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，BC＝2，将△ABC绕点B顺时针旋转到△A′BC′的位置，此时点A′恰好在CB的延长线上，则图中阴影部分的面积为4π．（结果保留π）
第2课时 圆锥的侧面展开图
01 基础题
知识点 与圆锥侧面展开图相关的计算（S侧＝πrl，S全＝πrl＋πr2）
1．如图，圆锥的底面半径r为6 cm，高h为8 cm，则圆锥的侧面积为（C）
A．30π cm2 B．48π cm2
C．60π cm2 D．80π cm2
第1题图 第4题图
2．（2017·宿迁）若将半径为12 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是（D）
A．2 cm B．3 cm
C．4 cm D．6 cm
3．（2018·仙桃）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是（B）
A．120° B．180°
C．240° D．300°
4．如图，把一个圆锥沿母线OA剪开，展开后得到扇形AOC，已知圆锥的高h为12 cm，OA＝13 cm，则扇形AOC中的长是10πcm.（结果保留π）
5．一个几何体由圆锥和圆柱组成，其尺寸如图所示，求该几何体的全面积（即表面积）．（结果保留π）
解：圆锥的母线长是＝5.
圆锥的侧面积是π×4×5＝20π，
圆柱的侧面积是8π×4＝32π.
几何体的下底面面积是π×42＝16π.
则该几何体的全面积（即表面积）为20π＋32π＋16π＝68π.
02 中档题
6．（2018·衢州）如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC＝6 cm，圆锥的侧面积为15π cm2，则sin∠ABC的值为（C）
A. B.
C. D.
7．如图，将半径为3 cm的圆弧形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（A）
A．2 B.
C. D.
第7题图 第8题图
8．一个圆锥形漏斗，某同学用三角板测得其高度的尺寸如图所示，则该圆锥形漏斗的侧面积为15π__cm2．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，若把Rt△ABC绕边AB所在直线旋转一周，则所得几何体的表面积为8π．（结果保留π）
03 链接中考
10．（2018·通辽）如图，一个几何体的主视图和左视图都是边长为6的等边三角形，俯视图是直径为6的圆，则此几何体的面积是（C）
A．18π B．24π C．27π D．42π
