3.2 用频率估计概率同步作业

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3.2 用频率估计概率
学校:___________姓名：___________班级：___________
　
一．选择题
1．已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有20个，黑球有n个，随机地从袋中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，再从中摸出一个球，经过如此大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值约为（　　）
A．20 B．30 C．40 D．50
2．一个不透明的袋子中有黄色和若干个白色的两种小球，这些球除颜色 外其他完全相同，已知黄球有9个，每次摸球前先将袋子中的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后，放回袋中，再摇匀，再摸，通过大量重复摸球后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，估计袋子中白球的个数是（　　）
A．15 B．18 C．20 D．21
3．某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（　　）

A．袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球
B．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数
C．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面
D．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9
4．将A，B两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下：
投篮次数 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
A 投中次数 7 15 23 30 38 45 53 60 68 75
投中频率 0.700 0.750 0.767 0.750 0.760 0.750 0.757 0.750 0.756 0.750
B 投中次数 14 23 32 35 43 52 61 70 80
投中频率 0.800 0.700 0.767 0.800 0.700 0.717 0.743 0.763 0.778 0.800
下面有三个推断：
①投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767．
②随着投篮次数的增加，A运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A运动员投中的概率是0.750．
④投篮达到200次时，B运动员投中次数一定为160次．
其中合理的是（　　）
A．① B．② C．①③ D．②③
5．某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的转盘，开展有奖购物活动．顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得“一袋苹果”的奖品；指针落在“一盒樱桃”的区域就可以获得“一盒樱桃”的奖品．下表是该活动的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“一袋苹果”区域的次数m 68 108 140 355 560 690
落在“一袋苹果”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69
下列说法不正确的是（　　）

A．当n很大时，估计指针落在“一袋苹果”区域的频率大约是0.70
B．假如你去转动转盘一次，获得“一袋苹果”的概率大约是0.70
C．如果转动转盘2 000次，指针落在“一盒樱桃”区域的次数大约有600次
D．转动转盘10次，一定有3次获得“一盒樱桃”
6．投掷硬币m次，正面向上n次，其频率p=，则下列说法正确的是（　　）
A．p一定等于
B．p一定不等于
C．多投一次，p更接近
D．投掷次数逐步增加，p稳定在附近
7．小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则符合这一结果的实验可能是（　　）

A．从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球（小球除颜色外，完全相同），摸到红球的概率
B．任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率
C．掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率
D．从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率
　
二．填空题
8．在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共50个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在16%左右，则口袋中红色球可能有　 　个．
9．某口袋中装有红色、黄色、蓝色三种颜色的小球（小球出颜色外完全相同）共60个．通过多次摸球实验后，发现摸到红球、黄球的频率分别是30%和45%，由此估计口袋中蓝球的数目约为　 　个．
10．在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白球若干只．某小组做摸球实验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放回袋中，不断重复．下表是活动中的一组数据，则摸到白球的概率约是　 　．
摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球的频率m/n 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601
11．一个圆形转盘的半径为2cm，现将转盘分成若干个扇形，并分别相间涂上红、黄两种颜色．转盘转动10 000次，指针指向红色部分有2 500次．请问指针指向红色的概率的估计值是　 　，转盘上黄色部分的面积大约是　 　．
12．林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，如图是这种幼树在移植过程中幼树成活率的统计图：

估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为　 　（结果精确到0.01）．
13．下表记录了某种幼树在一定条件下移植成活情况
移植总数n 400 1500 3500 7000 9000 14000
成活数m 325 1336 3203 6335 8073 12628
成活的频率（精确到0.01） 0.813 0.891 0.915 0.905 0.897 0.902
由此估计这种幼树在此条件下移植成活的概率约是　 　（精确到0.1）．
14．黔东南下司“蓝莓谷”以盛产“优质蓝莓”而吸引来自四面八方的游客，某果农今年的蓝莓得到了丰收，为了了解自家蓝莓的质量，随机从种植园中抽取适量蓝莓进行检测，发现在多次重复的抽取检测中“优质蓝莓”出现的频率逐渐稳定在0.7，该果农今年的蓝莓总产量约为800kg，由此估计该果农今年的“优质蓝莓”产量约是　 　kg．
15．下表记录了一名球员在罚球线上投篮的结果．
投篮次数n 100 150 300 500 800 1000
投中次数m 60 96 174 302 484 602
投中频率 0.600 0.640 0.580 0.604 0.605 0.602
估计这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为　 　．
　
三．解答题
16．一个不透明的袋中放进若干个白球，现在想要知道这些白球的数目，小明用了如下的方法：将20个与袋中白球大小、质量相同均相同的红球放入袋中，将红球与袋中的白球充分搅匀后，再从袋中随机摸球，每次共摸10个球放回，共摸20次，求出红球与10的比值，然后计算出平均值，得到摸到红球的概率是8%，求原来袋中约有多少个白球．
17．小晨和小冰两位同学在学习“概率”时做投掷骰子（质地均匀的正方体）实验，他们共做了100次试验，实验结果如下：
向上点数 1 2 3 4 5 6
出现次数 10 15 20 25 20 10
（1）计算“2点朝上”的频率和“3点朝上”的频率；
（2）小晨说：“根据实验，一次实验出现4点朝上的概率是”；小晨的这一说法正确吗？为什么？
18．某中学八年级（8）班同学积极参加体育锻炼，该班班长在篮球场对自己进行篮球定点投球测试，下表示他的测试成绩及相关数据：
第一回投球 第二回投球 第三回投球 第四回投球 第五回投球 第六回投球
每回的投球次数n 5 10 15 20 25 30
每回的进球次数m 3 7 14 17 18
每次投进频率 0.6 0.7 0.4 0.68 0.6
（1）请将表格补充完整；
（2）根据表格画出班长每回投球时进球频率的折线统计图；
（3）如果这个测试继续进行下去，每回的投球次数不断增加，根据上表数据，测试成绩的频率将稳定在他每回投球时进球的概率附近摆动，请你估计这个概率，并说明理由．（结果用分数表示）
19．某商场进行有奖促销活动，规定顾客购物达到一定金额就可以获得一次转动转盘的机会（如图），当转盘停止转动时指针落在哪一区域就可获得相应的奖品（若指针落在两个区域的交界处，则重新转动转盘）．
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“10元兑换券”的次数m 68 111 136 345 564 701
落在“10元兑换券”的频率 0.68 a 0.68 0.69 b 0.701
（1）a的值为　 　，b的值为　 　；
（2）假如你去转动该转盘一次，获得“10元兑换券”的概率约是　 　；（结果精确到0.01）
（3）根据（2）的结果，在该转盘中表示“20元兑换券”区域的扇形的圆心角大约是多少度？（结果精确到1°）

20．儿童节期间，某公园游戏场举行一场活动．有一种游戏的规则是：在一个装有8个红球和若干白球（每个球除颜色外，其他都相同）的袋中，随机摸一个球，摸到一个红球就得到一个世博会吉祥物海宝玩具，已知参加这种游戏的儿童有40000人次．公园游戏场发放海宝玩具8000个．
（1）求参加此次活动得到海宝玩具的频率？
（2）请你估计袋中白球的数量接近多少个？
21．已知，在一个盒子里有红球和白球共10个，它们除颜色外都相同，将它们充分摇匀后，从中随机抽出一个，记下颜色后放回．在摸球活动中得到如下数据：
摸球总次数 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
摸到红球的频数 17 32 44 64 78 　 　 103 122 136 148
摸到红球的频率 0.34 0.32 0.293 0.32 0.312 0.32 0.294 　 　 0.302 　 　
（1）请将表格中的数据补齐；
（2）根据上表，完成折线统计图；

（3）请你估计，当摸球次数很大时，摸到红球的频率将会接近　 　（精确到0.1）．
22．某批彩色弹力球的质量检验结果如下表：
抽取的彩色弹力球数n 500 1000 1500 2000 2500
优等品频数m 471 946 1426 1898 2370
优等品频率 0.942 0.946 0.951 0.949 0.948
（1）请在图中完成这批彩色弹力球“优等品”频率的折线统计图
（2）这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是多少？（精确到0.01）
（3）从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率．
（4）现从第（3）问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为，求取出了多少个黑球？
　



参考答案与试题解析
　
一．选择题（共7小题）
1．【考点】利用频率估计概率
【分析】根据白球的频率稳定在0.4附近得到白球的概率约为0.4，根据概率公式列出方程求解可得．
解：根据题意得=0.4，
解得：n=30，
故选：B．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，解答此题的关键是了解白球的频率稳定在0.4附近即为概率约为0.4．
　
2．【考点】利用频率估计概率
【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率即可．
解：∵通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，
∴根据题意任意摸出1个，摸到黄色乒乓球的概率是：30%，
设袋中白色乒乓球的个数为a个，
则30%=．
解得：a=21，
∴白色乒乓球的个数为：21个．
故选：D．
【点评】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=是解题关键．
　
3．【考点】频数（率）分布折线图；利用频率估计概率
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
解：A、袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为，不符合题意；
B、掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为，不符合题意；
C、先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为，不符合题意；
D、先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9的概率为，符合题意；
故选：D．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
　
4．【考点】利用频率估计概率
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此解答可得．
解：①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，投篮30次，次数太少，不可用于估计概率，故①推断不合理．
②随着投篮次数增加，A运动员投中的概率显示出稳定性，因此可以用于估计概率，故②推断合理．
③频率用于估计概率，但并不是准确的概率，因此投篮次时，只能估计投中160次数，而不能确定一定是160次，故③不合理；
故选：B．
【点评】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
　
5．【考点】利用频率估计概率
【分析】根据图表可求得指针落在“一袋苹果”区域的概率，另外概率是多次实验的结果，因此不能说转动转盘10次，一定有3次获得“一盒樱桃”．
解：A、频率稳定在0.7左右，故用频率估计概率，指针落在“一袋苹果”区域的频率大约是0.70，故A选项正确；
由A可知B、转动转盘一次，获得“一袋苹果”的概率大约是0.70，故B选项正确；
C、指针落在“一盒樱桃”区域的概率为0.30，转动转盘2000次，指针落在“一盒樱桃”区域的次数大约有2000×0.3=600次，故C选项正确；
D、随机事件，结果不确定，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题要理解用面积法求概率的方法．注意概率是多次实验得到的一个相对稳定的值．
　
6．【考点】利用频率估计概率
【分析】大量反复试验时，某某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果．
解：投掷硬币m次，正面向上n次，投掷次数逐步增加，p稳定在附近，
故选：D．
【点评】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件可能发生，也可能不发生．
　
7．【考点】利用频率估计概率
【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．
解：A、从一个装有2个白球和1个红球的不透明袋子中任意摸出一球，摸到红球的概率为≈0.33，故此选项正确；
B、任意买一张电影票，座位号是2的倍数的概率不确定，但不一定是0.33，故此选项错误；
C、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项错误；
D、从一副去掉大小王的扑克牌，任意抽取一张，抽到黑桃的概率；故此选项错误．
故选：A．
【点评】考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是能够分别求得每个选项的概率，然后求解，难度不大．
　
二．填空题（共8小题）
8．【考点】利用频率估计概率
【分析】由频数=数据总数×频率计算即可．
解：∵摸到红色球的频率稳定在16%左右，
∴口袋中红色球的频率为16%，故红球的个数为50×16%=8个．
故答案为8．
【点评】本题考查了利用频率估计概率，难度适中．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
　
9．【考点】利用频率估计概率
【分析】首先求得摸到红球的频率，然后利用概率公式求解即可．
解：∵摸到红球、黄球的频率分别是30%和45%，
∴摸到蓝色球的频率为1﹣30%﹣45%=25%，
设有蓝球x个，根据题意得：=25%，
解得：x=15，
故答案为：15．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．
　
10．【考点】利用频率估计概率
【分析】根据表格中的数据，随着实验次数的增大，频率逐渐稳定在0.6左右，即为摸出白球的概率．
解：观察表格得：通过多次摸球实验后发现其中摸到白球的频率稳定在0.6左右，
则P白球=0.6．
故答案为0.6．
【点评】此题考查了利用频率估计概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近．
　
11．【考点】利用频率估计概率
【分析】根据转盘转动10 000次，指针指向红色部分有2 500次即可求得指针指向红色的概率．
解：转盘转动10 000次，指针指向红色部分为2 500次，指针指向红色的概率2500÷10000=25%，即红色面积占总面积的25%；
而黄色面积占75%，其面积为0.75×4π=3πcm2．
故答案为：25%；3πcm2．
【点评】此题考查频率估计概率问题，设某一事件A（也是S中的某一区域），S包含A，它的量度大小为μ（A），若以P（A）表示事件A发生的概率，考虑到“均匀分布”性，事件A发生的概率取为：P（A）=μ（A）÷μ（S）．
　
12．【考点】利用频率估计概率
【分析】根据概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率解答即可．
解：概率是大量重复实验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率
∴这种幼树移植成活率的概率约为0.88．
故答案为：0.88．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
　
13．【考点】利用频率估计概率
【分析】概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率．
解：概率是大量重复试验的情况下，频率的稳定值可以作为概率的估计值，即次数越多的频率越接近于概率
∴这种幼树移植成活率的概率约为0.9．
故答案为：0.9．
【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
　
14．【考点】利用频率估计概率
【分析】根据题意可以估计该果农今年的“优质蓝莓”产量．
解：由题意可得，
该果农今年的“优质蓝莓”产量约是：800×0.7=560kg，
故答案为：560．
【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用频率估计出所求问题的答案．
　
15．【考点】利用频率估计概率
【分析】根据频率估计概率的方法结合表格数据可得答案．
解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数0.6附近，
∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.6，
故答案为：0.6．
【点评】此题考查了利用频率估计概率的知识，注意这种概率的得出是在大量实验的基础上得出的，不能单纯的依靠几次决定．
　
三．解答题（共7小题）
16．【考点】利用频率估计概率
【分析】根据口袋中加入20个白球，利用红球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等求出即可．
解：设袋子中有x个白球，根据题意得：
=8%，
解得：x=230．
答：袋子中原来有白球230个．
【点评】此题主要考查了用样本估计总体，根据已知得出小球在总数中所占比例得出与实验比例应该相等是解决问题的关键．
　
17．【考点】利用频率估计概率
【分析】（1）直接利用概率公式计算即可；
（2）利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可；
解：（1）2点朝上出现的频率==；
3点朝上的概率==；
（2）小晨的说法不正确，因为4点朝上的频率为，不能说明3点朝上这一事件发生的概率就是，只有当实验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近，才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率．
【点评】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解“大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率”，难度一般．
　
18．【考点】频数（率）分布表；频数（率）分布折线图；利用频率估计概率
【分析】（1）本题中的频率计算方法：频率=每回进球次数÷每回的投球次数，故可计算空中是6；
（2）利用描点法画图即可；
（3）利用样本估计总体可知概率为=．
解：（1）15×0.4=6，
14÷20=0.7，
如下表：
第一回投球 第二回投球 第三回投球 第四回投球 第五回投球 第六回投球
每回的投球次数n 5 10 15 20 25 30
每回的进球次数m 3 7 6 14 17 18
每次投进频率 0.6 0.7 0.4 0.7 0.68 0.6
，（2）如图：

（3）这个概率为=，
大量反复试验下频率稳定值即概率．
【点评】考查了利用频率估计概率，用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
　
19．【考点】利用频率估计概率
【分析】（1）根据“频率=频数÷总数”可得；
（2）由随着转动次数越大，频率逐渐稳定在0.70附近可得；
（3）用360°乘以“20元兑换券”对应的频率即可得．
解：（1）a=111÷150=0.74、b=564÷800=0.705，
故答案为：0.74、0.705；

（2）由表可知，随着转动次数越大，频率逐渐稳定在0.70附近，
所以获得“10元兑换券”的概率约是0.70，
故答案为：0.70；

（3）在该转盘中表示“20元兑换券”区域的扇形的圆心角大约是360°×0.3=108°．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
　
20．【考点】利用频率估计概率
【分析】（1）根据概率的频率定义进行计算即可．
（2）设袋中共有m个球，根据摸到红球的概率求出球的总个数，即可解答．
解：（1）参加此项游戏得到海宝玩具的频率，
即．（3分）

（2）设袋中共有m个球，则摸到红球的概率P（红球）=，
∴≈．（5分）
解得m≈40，
所以白球接近40﹣8=32个．（7分）
【点评】考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．
　
21．【考点】频数（率）分布表；频数（率）分布折线图；利用频率估计概率
【分析】（1）根据频率计算公式解答即可；
（2）画出折线统计图即可；
（3）利用频率估计概率可得到摸到红球的概率即可．
解：（1）300×0.32=96，，，
故答案为：96；0.305；0.296；
（2）折线统计图如图所示：

（3）当摸球次数很大时，摸到红球的频率将会接近0.3，
故答案为：0.3．
【点评】本题考查了频率估计概率，关键是利用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．
　
22．【考点】频数（率）分布表；频数（率）分布折线图；利用频率估计概率
【分析】（1）利用表格或者折线图即可；
（2）求出五种情形下的平均数即可解决问题；
（3）根据概率公式计算即可；
（4）构建方程即可解决问题；
解：（1）如图，

（2）==0.9472≈0.95．
（3）P（摸出一个球是黄球）==．
（4）设取出了x个黑球，则放入了x个黄球，则，解得x=5．
答：取出了5个黑球．
【点评】本题考查频数分布表、频数分布折线图、样本估计总体的思想等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
　





















































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