2018-2019学年人教A版高中数学必修二检测：第四单元 单元质量测评.DOC

第四章　单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷　(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在空间直角坐标系中，点P(1,2,3)关于x轴对称的点的坐标是(　　)
A．(－1,2,3) B．(1，－2，－3)
C．(－1，－2,3) D．(－1,2，－3)
答案　B
解析　点关于x轴对称，横坐标不变，其他符号相反．
2．若直线mx＋2ny－4＝0(m，n∈R)始终平分圆x2＋y2－4x－2y＝0的周长，则m·n取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(0,1] C．(－∞，1) D．(－∞，1]
答案　D
解析　∵直线mx＋2ny－4＝0始终平分圆x2＋y2－4x－2y＝0的周长，∴圆心在直线上，又∵圆心为(2,1)，∴2m＋2n－4＝0，∴n＝2－m，∴mn＝m(2－m)＝－(m－1)2＋1≤1，故选D.
3．已知点A(－2,0)，B(2,0)，若圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)上存在点P(不同于点A，B)使得PA⊥PB，则实数r的取值范围是(　　)
A．(1,5) B．[1,5] C．(1,3] D．[3,5]
答案　A
解析　本题考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系．根据直径所对的圆周角为90°，结合题意可得以AB为直径的圆和圆(x－3)2＋y2＝r2(r>0)有交点，经检验两圆相切时不满足条件，故两圆相交．因为以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝4，则两圆圆心距为3，所以|r－2|<3<|r＋2|，解得14．过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　解法一：如图，过点P作圆的切线PA，PB，切点为A，B.
由题意知|OP|＝2，|OA|＝1，则
sinα＝，
所以α＝，∠BPA＝.
故直线l的倾斜角的取值范围是.选D.
解法二：设过点P的直线方程为y＝k(x＋)－1，
则由直线和圆有公共点知≤1.
解得0≤k≤ .故直线l的倾斜角的取值范围是.
5．若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为(　　)
A．2或1 B．－2或－1
C．2 D．1
答案　C
解析　由D2＋E2－4F>0，即8(m－1)2－4(2m2－6m＋4)>0，解得m>1.
圆C过坐标原点，则有2m2－6m＋4＝0，解得m＝2或m＝1.又m>1，因此m＝2.
6．已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2.则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是(　　)
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
答案　B
解析　圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，表示以(0，a)为圆心，以a为半径的圆，其中圆心到直线x＋y＝0的距离d＝，由弦长可得2＝2，解得a＝2，从而两圆圆心距离|MN|＝＝∈(2－1，2＋1)＝(1,3)，故两圆相交，故选B.
7．过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝(　　)
A．2 B．8 C．4 D．10
答案　C
解析　设过A，B，C三点的圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则解得D＝－2，E＝4，F＝－20，所求圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0，令x＝0，得y2＋4y－20＝0，设M(0，y1)，N(0，y2)，则y1＋y2＝－4，y1y2＝－20，所以|MN|＝|y1－y2|＝＝4.故选C.
8．将直线2x－y＋λ＝0沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆x2＋y2＋2x－4y＝0相切，则实数λ的值为(　　)
A．－3或7 B．－2或8
C．0或10 D．1或11
答案　A
解析　由题意知：直线2x－y＋λ＝0平移后方程为2(x＋1)－y＋λ＝0.直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，因而有＝，得λ＝－3或7.
9．过点P(1,1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为(　　)
A．x＋y－2＝0 B．y－1＝0
C．x－y＝0 D．x＋3y－4＝0
答案　A
解析　当OP与该直线垂直时，符合题意，此时kOP＝1，故所求直线斜率k＝－1.又已知直线过点P(1,1)，
因此，直线方程为y－1＝－(x－1)，即为x＋y－2＝0.
10．经过两圆x2＋y2＝4和x2＋y2－10x＋16＝0的公共点且过P(4,2)的圆的个数是(　　)
A．1 B．2
C．多于2的有限个 D．无数个
答案　D
解析　由已知得圆x2＋y2＝4的圆心C1为(0,0)，半径r1＝2，圆x2＋y2－10x＋16＝0的圆心C2为(5,0)，半径r2＝3，由于r1＋r2＝|C1C2|，因此两圆外切，故过切点与P(4,2)这两点的圆有无数个，选D.
11．已知集合M＝{(x，y)|y＝，y≠0}，N＝{(x，y)|y＝x＋b}，若M∩N≠?，则实数b的取值范围是(　　)
A．[－3，3] B．[－3,3]
C．(－3,3] D．[－3，3)
答案　C
解析　由M∩N≠?，知直线y＝x＋b与半圆x2＋y2＝9(y>0)相交，所以画图(图略)可知－312．已知点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最大值是(　　)
A．6 B．8 C．3－ D．3＋
答案　D
解析　圆心(1,0)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝，所以高的最大值为d＋r＝＋1＝，所以此时S△ABC＝×|AB|×(d＋r)＝×2×＝3＋.
第Ⅱ卷　(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知正方体不在同一表面上的两顶点A(－1,2，－1)，B(3，－2,3)，则正方体的体积是________．
答案　64
解析　设棱长为a，则 ＝ ，
∴a＝4，∴V＝43＝64.
14．由动点P(x，y)引圆O：x2＋y2＝4的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，若∠APB＝90°，则P点的轨迹方程是________．
答案　x2＋y2＝8
解析　∵|OA|＝2，∠APB＝90°，∴|OP|＝2，∴P点轨迹方程为x2＋y2＝8.
15．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________．
答案　(x－2)2＋y2＝9
解析　设圆心C(m,0)(m>0)，则＝，解得m＝2，则圆C：(x－2)2＋y2＝r2.又点(0，)在圆C上，代入解得r2＝9，故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
16．设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________．
答案　4π
解析　将圆的方程化为x2＋(y－a)2＝a2＋2，可得圆心坐标为O(0，a)，半径r＝，所以圆心到直线x－y＋2a＝0的距离为＝，所以2＋()2＝()2，解得a2＝2，所以圆C的半径为2，所以圆C的面积为4π.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知圆M：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0与圆N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A，B两点，且这两点平分圆N的圆周，求圆M的圆心坐标．
解　由圆M与圆N的方程易知两圆的圆心分别为M(m，－2)，N(－1，－1)．
两圆的方程相减得直线AB的方程为2(m＋1)x－2y－m2－1＝0.
∵A，B两点平分圆N的圆周，
∴AB为圆N的直径，∴AB过点N(－1，－1)．
∴2(m＋1)×(－1)－2×(－1)－m2－1＝0，解得m＝－1.
故圆M的圆心M(－1，－2)．
18．(本小题满分12分)已知圆的方程为x2＋y2－6x－6y＋14＝0，过点A(－3，－5)的直线与圆相交所得弦为PQ，求PQ中点M的轨迹方程．
解　设所求轨迹上任一点M(x，y)，圆的方程可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4，圆心C(3,3)．
∵CM⊥AM，
∴kCM·kAM＝－1，
即·＝－1，
即x2＋(y＋1)2＝25.
∴所求轨迹方程为x2＋(y＋1)2＝25(已知圆内的部分)．
19．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线l：x＋2y－3＝0，若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围．
解　由x2＋y2＋x－6y＋m＝0表示圆，得12＋(－6)2－4m>0，即37－4m>0，解得m<.
将直线l的方程与圆C的方程组成方程组，
得
消去y，得x2＋2＋x－6×＋m＝0，
整理，得5x2＋10x＋4m－27＝0(*)．
∵直线l与圆C没有公共点，∴方程(*)无解，
故有Δ＝102－4×5(4m－27)<0，解得m>8.
∴m的取值范围是.
20．(本小题满分12分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x＋3y－29＝0相切．
(1)求圆的方程；
(2)若直线ax－y＋5＝0(a≠0)与圆相交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P(－2,4)的直线l垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
解　(1)设圆心为M(m,0) (m∈Z)．由于圆与直线4x＋3y－29＝0相切，且半径为5，
所以＝5，即|4m－29|＝25.
即4m－29＝25或4m－29＝－25，
解得m＝或m＝1，
因为m为整数，故m＝1，
故所求的圆的方程是(x－1)2＋y2＝25.
(2)设符合条件的实数a存在，
因为a≠0，则直线l的斜率为－，
l的方程为y＝－(x＋2)＋4，
即x＋ay＋2－4a＝0.
由于l垂直平分弦AB，故圆心M(1,0)必在l上，
所以1＋0＋2－4a＝0，解得a＝.
经检验a＝时，直线ax－y＋5＝0与圆有两个交点，
故存在实数a＝，使得过点P(－2,4)的直线l垂直平分弦AB.
21．(本小题满分12分)在棱长为2的正方体OABC－O1A1B1C1的对角线O1B上有一点P，棱B1C1上有一点Q.
(1)当Q为B1C1的中点，点P在对角线O1B上运动时，试求|PQ|的最小值；
(2)当Q在B1C1上运动，点P在对角线O1B上运动时，试求|PQ|的最小值．
解　(1)分别以OA，OC，OO1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，Q为B1C1的中点，所以Q(1,2,2)，P在xOy平面上的射影在线段OB上，在yOz平面上的射影在线段O1C上，所以点P的坐标(x，y，z)满足
设P(x，x,2－x)，
则|PQ|＝
＝，
当且仅当x＝1时，即P(1,1,1)时，|PQ|有最小值，|PQ|的最小值为.
(2)由(1)和题意可设P(x1，x1,2－x1)，Q(x2,2,2)，
则|PQ|＝
＝，当且仅当
即时，|PQ|有最小值，|PQ|的最小值为.
22．(本小题满分12分)已知关于x，y的方程C：x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)当m为何值时，方程C表示圆；
(2)若圆C与直线l：x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且|MN|＝，求m的值；
(3)在(2)条件下，是否存在直线l：x－2y＋c＝0，使得圆上有四点到直线l的距离为，若存在，求出c的范围；若不存在，说明理由．
解　(1)方程C可化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，
显然5－m>0时，即m<5时方程C表示圆．
(2)圆的方程化为(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，
圆心C(1,2)，半径r＝，则圆心C(1,2)到直线l：x＋2y－4＝0的距离为d＝＝.
∵|MN|＝，则|MN|＝，
有r2＝d2＋2.
∴5－m＝2＋2，得m＝4.
(3)设存在这样的直线．
圆心C(1,2)，半径r＝1，则圆心C(1,2)到直线l：x－2y＋c＝0的距离为d＝＝<，解得4－