2018-2019学年人教A版高中数学必修二检测：第三单元 单元质量测评.DOC

第三章　单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷　(选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线x＋y＋1＝0的倾斜角为(　　)
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案　D
解析　根据一般式方程，其斜率k＝－＝－，从而tanα＝－，故直线的倾斜角为150°.
2．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　　)
A. B．－ C．3 D．－3
答案　B
解析　设P(a,1)，Q(7，b)，则有
∴故直线l的斜率为＝－.
3．已知直线x－2y＋m＝0(m>0)与直线x＋ny－3＝0互相平行，且它们间的距离是，则m＋n＝(　　)
A．0 B．1 C．－1 D．2
答案　A
解析　由题意，所给两条直线平行，∴n＝－2.由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝＝，解得m＝2或m＝－8(舍去)，∴m＋n＝0.
4．直线y＝ax＋b和y＝bx＋a在同一坐标系中的图形可能是(　　)
答案　D
解析　两直线与x轴交点的横坐标分别为－和－，两者同号，只能选D.
5．△ABC的三个顶点是A(0,3)，B(3,3)，C(2,0)，直线l：x＝a将△ABC分割成面积相等的两部分，则a的值是(　　)
A. B．1＋
C．1＋ D.
答案　A
解析　由题意可得0若0∴×a2＝，得a＝；
若a>2，则x＝a与BC交于点(a,3a－6)，
∴×(3－a)×(9－3a)＝.
得a＝3－，与a>2矛盾，舍去．故选A.
6．已知直线mx＋ny＋1＝0平行于直线4x＋3y＋5＝0，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为(　　)
A．4和3 B．－4和3
C．－4和－3 D．4和－3
答案　C
解析　由已知可知解得
7．已知点P(0，－1)，点Q在直线x－y＋1＝0上，若直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0，则点Q的坐标是(　　)
A．(－2,1) B．(2,1)
C．(2,3) D．(－2，－1)
答案　C
解析　由题意，设点Q(x，x＋1)，因直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0，则·＝－1，解得x＝2.
8．如果AB<0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案　D
解析　Ax＋By＋C＝0可化为y＝－x－，由AB<0，BC<0，得－>0，－>0，故直线Ax＋By＋C＝0经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
9．将一张画有平面直角坐标系的图纸折叠一次，使得点A(0,2)与点B(4,0)重合，若此时点C(7,3)与点D(m，n)也重合，则m＋n的值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　根据题意，得到折痕为A，B的对称轴，也是C，D的对称轴；kAB＝＝－，且AB的中点坐标为(2,1)，所以图纸的折痕所在的直线方程为y－1＝2(x－2)．
∴kCD＝＝－，①
CD的中点坐标为，
所以－1＝2，②
由①②解得m＝，n＝，∴m＋n＝.故选A.
10．已知点A(－3,8)和B(2,2)，在x轴上求一点M，使|AM|＋|BM|最小，那么点M的坐标为(　　)
A．(－1,0) B．(1,0)
C．(4.4,0) D．(0,4.4)
答案　B
解析　点B关于x轴的对称点为B′(2，－2)，
∴AB′方程为＝，即2x＋y－2＝0，
当y＝0时，x＝1，∴点M的坐标为(1,0)．
11．等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，若点A，C的坐标分别为(0,4)，(3,3)，则点B的坐标可能是(　　)
A．(2,0)或(4,6) B．(2,0)或(6,4)
C．(4,6) D．(0,2)
答案　A
解析　设B(x，y)，根据题意可得
即
解得或所以B(2,0)或B(4,6)．
12．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点．光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图)．若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于(　　)
A．2 B．1
C. D.
答案　D
解析　以AB为x轴，AC为y轴建立如图所示的坐标系，由题可知B(4,0)，C(0，4)，A(0,0)，则直线BC方程为x＋y－4＝0，
设P(t,0)(0所以t＝0或t＝，因为0第Ⅱ卷　(非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．若过点P(1－a,1＋a)与点Q(3,2a)的直线的倾斜角是钝角，则实数a的取值范围是________．
答案　(－2,1)
解析　设直线的斜率k＝＝<0，得－214．已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为________．
答案　x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0
解析　设直线l的方程为＋＝1，
∴|ab|＝3，且－＝，解得a＝－6，b＝1或a＝6，b＝－1，∴直线l的方程为＋y＝1或－y＝1，即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
15．两条平行线分别过点P(－2，－2)，Q(1,3)，它们之间的距离为d，如果这两条直线各自绕点P，Q旋转并互相保持平行，则d的范围是________．
答案　0解析　由下图可知，当这两条直线l1，l2与直线PQ垂直时，d达到最大值，此时
d＝|PQ|
＝＝，
∴016．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．
答案　5
解析　易知A(0,0)，B(1,3)，且PA⊥PB，
∴|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，
∴|PA|·|PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|时取“＝”)．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1∥l2，且l1与l2的距离为5，求直线l1与l2的方程．
解　当l1，l2的斜率不存在，即l1：x＝0，l2：x＝5时，满足条件．
当l1，l2的斜率存在时，设l1：y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0，
l2：y＝k(x－5)，即kx－y－5k＝0，由两条平行直线间的距离公式得＝5，解得k＝.
此时l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.
综上所述，所求直线l1，l2的方程为l1：x＝0，l2：x＝5或l1：12x－5y＋5＝0，l2：12x－5y－60＝0.
18．(本小题满分12分)已知两条直线l1：x＋m2y＋6＝0，l2：(m－2)x＋3my＋2m＝0，当m为何值时，l1与l2
(1)相交；
(2)平行；
(3)重合．
解　当m＝0时，l1：x＋6＝0，l2：x＝0，∴l1∥l2.
当m＝2时，l1：x＋4y＋6＝0，l2：3y＋2＝0，
∴l1与l2相交．
当m≠0且m≠2时，由＝得m＝－1或m＝3，
由＝，得m＝3.
故(1)当m≠－1且m≠3且m≠0时，l1与l2相交．
(2)当m＝－1或m＝0时，l1∥l2.
(3)当m＝3时，l1与l2重合．
19．(本小题满分12分)已知点A(m－1,2)，B(1,1)，C(3，m2－m－1)．
(1)若A，B，C三点共线，求实数m的值；
(2)若AB⊥BC，求实数m的值．
解　(1)因为A，B，C三点共线，且xB≠xC，则该直线斜率存在，则kBC＝kAB，即＝，解得m＝1或1－或1＋.
(2)由已知，得kBC＝，且xA－xB＝m－2.
①当m－2＝0，即m＝2时，直线AB的斜率不存在，此时kBC＝0，于是AB⊥BC；
②当m－2≠0，即m≠2时，kAB＝，由kAB·kBC＝－1，得·＝－1，解得m＝－3.
综上，可得实数m的值为2或－3.
20．(本小题满分12分)已知点P(2，－1)，求：
(1)过点P且与原点的距离为2的直线方程；
(2)过点P且与原点的距离最大的直线方程，并求出最大值；
(3)是否存在过点P且与原点的距离为6的直线？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由．
解　(1)当斜率不存在时，方程x＝2符合题意；
当直线的斜率存在时，设为k，
则直线方程应为y＋1＝k(x－2)，
即kx－y－2k－1＝0.
由题意得＝2，
解得k＝，
∴直线方程为3x－4y－10＝0.
∴符合题意的直线方程为
x－2＝0或3x－4y－10＝0.
(2)过点P且与原点的距离最大的直线应为过点P且与OP垂直的直线，易求其方程为2x－y－5＝0且最大距离d＝.
(3)不存在．由于原点到过点P(2，－1)的直线的最大距离为，而6>，故不存在这样的直线．
21．(本小题满分12分)已知直线l1：y＝－k(x－a)和直线l2在x轴上的截距相等，且它们的倾斜角互补，又知直线l1过点P(－3,3)．如果点Q(2,2)到直线l2的距离为1，求l2的方程．
解　由题意，可设直线l2的方程为y＝k(x－a)，即kx－y－ak＝0，
∵点Q(2,2)到直线l2的距离为1，
∴＝1，①
又∵直线l1的方程为y＝－k(x－a)，且直线l1过点P(－3，3)，∴ak＝3－3k.②
由①②得＝1，两边平方整理得12k2－25k＋12＝0，解得k＝或k＝.
∴当k＝时，代入②得a＝－，此时直线l2的方程4x－3y＋3＝0；
当k＝时，代入②得a＝1，此时直线l2的方程为3x－4y－3＝0.
综上所述，直线l2的方程为4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0.
22．(本小题满分12分)已知三条直线l1：mx－y＋m＝0，l2：x＋my－m(m＋1)＝0，l3：(m＋1)x－y＋(m＋1)＝0，它们围成△ABC.
(1)求证：不论m取何值时，△ABC中总有一个顶点为定点；
(2)当m取何值时，△ABC的面积取最值？并求出最值．
解　(1)证明：设直线l1与直线l3的交点为A.
由
解得
∴点A的坐标为(－1,0)，
∴不论m取何值，△ABC中总有一个顶点A(－1,0)为定点．
(2)由
解得
即l2与l3交点为B(0，m＋1)．
再由
解得
即l1与l2交点为C.
设边AB上的高为h，又直线AB的方程为＋＝1，即(m＋1)x－y＋m＋1＝0，
∴S△ABC＝|AB|·h＝··
＝·＝·
＝.
当m＝0时，S＝；当m≠0时，S＝1＋.
∵函数f(x)＝x＋的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
∴－≤<0或0<≤，
∴≤S<或当m＝1时，△ABC的面积取最大值为；
当m＝－1时，△ABC的面积取最小值为.