2018-2019学年人教A版高中数学必修二检测：第二单元 单元质量测评.DOC
文档属性
| 名称 | 2018-2019学年人教A版高中数学必修二检测：第二单元 单元质量测评.DOC |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 248.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-09-18 17:27:55 | ||
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文档简介
第二章 单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面
答案 B
解析 当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1也可能与l3相交或异面，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．
2．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′，B′，则AB∶A′B′等于( )
A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3
答案 A
解析 如图，由已知得AA′⊥面β，∠ABA′＝，
BB′⊥面α，∠BAB′＝.
设AB＝a，
则BA′＝a，BB′＝a，
在Rt△BA′B′中，A′B′＝a，
∴AB∶A′B′＝2∶1.
3．在空间中，下列命题正确的是( )
A．平行直线在同一平面内的射影平行或重合
B．垂直于同一平面的两条直线平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．平行于同一直线的两个平面平行
答案 B
解析 A中的射影也有可能是两个点，错误；C中两个平面也可能相交，错误；D中的两个平面也有可能相交，错误．所以只有B正确．
4．用m，n表示两条不同的直线，α表示平面，则下列命题正确的是( )
A．若m∥n，n?α，则m∥α
B．若m∥α，n?α，则m∥n
C．若m⊥n，n?α，则m⊥α
D．若m⊥α，n?α，则m⊥n
答案 D
解析 若m∥n，n?α，则m∥α或m?α，故排除A；若m∥α，n?α，则m∥n或m，n异面，故排除B；若m⊥n，n?α，则不能得出m⊥α，例如，m⊥n，n?α，m?α，则m与α不垂直，故排除C.故选D.
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面说法正确的是( )
A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥AB
C．AC1与DC成45°角 D．A1C1与B1C成60°角
答案 D
解析 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1C1与AD所成的角为45°；直线D1C1与直线AB平行；异面直线AC1与DC所成的角的大小为∠C1AB的大小，其正切值为＝≠1，所以异面直线AC1与DC所成的角不是45°；连接A1D，DC1，因为A1D∥B1C，所以异面直线A1C1与B1C所成的角就是直线A1C1与直线A1D所成的角．而△A1DC1是等边三角形，所以∠C1A1D＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°.所以答案选D.
6．设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列三个说法：
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，l?α，则l∥β；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中正确的说法个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
答案 B
解析 垂直于同一平面的两个平面不一定平行，故①错误；由面面平行的性质知②正确；借助于三棱柱可知③正确．
7. 如图，已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是2，且SO⊥平面ABCD，O为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为( )
A．75° B．60°
C．45° D．30°
答案 C
解析 SO⊥平面ABCD，则∠SAC就是侧棱与底面所成的角，在Rt△SAO中，SA＝2，AO＝，∴∠SAO＝45°.
8．平面α∥平面β，直线a∥α，直线b⊥β，那么直线a与直线b的位置关系一定是( )
A．平行 B．异面 C．垂直 D．不相交
答案 C
解析 因为平面α∥平面β，直线a∥α，
所以a∥β或a?β.
若a?β，由直线b⊥β得a⊥b.
若a∥β，设过a的平面与β的交线为c，
则a∥c，由直线b⊥β，c?β得b⊥c，则a⊥b.
综上可知a⊥b.
9．如图，在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H，且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为( )
A. B. C．45 D．45
答案 A
解析 取AC的中点G，连接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH，SB?平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，所以SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也分别为AS，SC的中点，从而得HF綊AC綊DE，所以四边形DEFH为平行四边形．又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四边形DEFH为矩形，其面积S＝HF·HD＝·＝.
10．PA，PB，PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是 ( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 构造正方体如图所示，连接AB，过点C作CO⊥平面PAB，垂足为O，易知O是正三角形ABP的中心，连接PO并延长交AB于D，于是∠CPO为直线PC与平面PAB所成的角．设PC＝a，则PD＝，故PO＝PD＝a，故cos∠CPO＝＝.故选C.
11．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB.若DA＝1，且E为DA的中点，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 取AC的中点F，连接BF，EF.在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，∴∠BEF即为所求异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．
在Rt△EAB中，∵AB＝1，
AE＝AD＝，∴BE＝.
在Rt△AEF中，∵AF＝AC＝，
AE＝，∴EF＝.
在Rt△ABF中，∵AB＝1，AF＝，∴BF＝.
在等腰三角形EBF中，cos∠BEF＝＝＝，∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
12．已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AD∥BC，∠BCD＝90°，PA＝PB，PC＝PD，则下列结论正确的是( )
A．CD⊥PD B．面PAB⊥面PCD
C．面PAB⊥面ABCD D．面PCD⊥面ABCD
答案 C
解析 分别取AB，CD中点E，F，连接PE，PF，EF，则PF⊥CD，EF⊥CD.
∴CD⊥面PEF.
∴CD⊥PE.
又∵PE⊥AB，
∴PE⊥面ABCD.
∴面PAB⊥面ABCD.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.
以上结论中正确结论的序号为________．
答案 ①③
解析 把正方体的平面展开图还原为正方体，如图所示．因为AB∥MC，MC⊥EF，所以AB⊥EF，故①正确，②错误；EF与MN是异面直线，故③正确；易知MN⊥CD，故④错误．故填①③.
14．如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的点，PA垂直于⊙O所在的平面，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，因此，________⊥平面PBC.(填图中的一条直线)
答案 AF
解析 连接AC，∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的点，∴BC⊥AC，∵PA垂直于⊙O所在的平面，∴BC⊥PA，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，AF?平面PAC，∴AF⊥BC，又AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC.
15．如图所示，等边三角形ABC的边长为4，D为BC的中点，沿AD把△ADC折叠到△ADC′处，使二面角B－AD－C′为60°，则折叠后二面角A－BC′－D的正切值为________．
答案 2
解析 易知∠BDC′即为二面角B－AD－C′的平面角，则∠BDC′＝60°，所以△BDC′为等边三角形．取BC′的中点M，连接DM，AM，易知DM⊥BC′，AM⊥BC′，所以二面角A－BC′－D的平面角为∠AMD.在等边三角形ABC中，易知AD＝2，在等边三角形BDC′中，易知DM＝，所以tan∠AMD＝＝2.
16．已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．
答案 a>6
解析 如图所示，连接AE，要使PE⊥DE，由于DE⊥PA，则需DE⊥AE.
要使在矩形ABCD中，∠AED＝90°，
满足条件的E点有两个，
则需以AD为直径的圆与BC相割．
∴圆心到BC边的距离d6.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是BB1的中点．求证：平面MDB1∥平面ANC.
证明 如图所示，连接MN，因为M，N分别为AA1，BB1的中点，所以MA綊B1N，所以四边形MANB1为平行四边形，所以MB1∥AN.
因为MN綊AB綊CD，
所以四边形MNCD为平行四边形，于是CN∥MD.
因为MB1?平面ANC，AN?平面ANC，所以MB1∥平面ANC，同理MD∥平面ANC，又MB1∩MD＝M，所以平面MDB1∥平面ANC.
18．(本小题满分12分)如图，在正三棱柱(底面为正三角形，侧棱垂直底面)ABC－A1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点．求证：
(1)平面AB1F1∥平面C1BF；
(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
证明 (1)如图所示，连接FF1，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1綊AC，BB1綊CC1.
∵F，F1分别是AC，A1C1的中点，
∴C1F1綊AF綊AC，FF1綊CC1綊BB1，
∴四边形AFC1F1和四边形BFF1B1均为平行四边形，
∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.
∵B1F1?平面C1BF，BF?平面C1BF，
∴B1F1∥平面C1BF.
同理AF1∥平面C1BF，又B1F1∩AF1＝F1，
∴平面AB1F1∥平面C1BF.
(2)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，
又B1F1?平面A1B1C1，
∴B1F1⊥AA1.
又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，
∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1?平面AB1F1，
∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
19. (本小题满分12分)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为A1C1和BC的中点．
(1)求证：EF∥平面AA1B1B；
(2)若AA1＝3，AB＝2，求直线EF与平面ABC所成的角．
解 (1)证明：如图所示，取A1B1的中点D，连接DE，BD，
∵E是A1C1的中点，D是A1B1的中点，
∴DE綊B1C1.
又BC綊B1C1，BF＝BC，∴DE綊BF.
∴四边形BDEF为平行四边形．
∴BD∥EF，又BD?平面AA1B1B，
EF?平面AA1B1B，∴EF∥平面AA1B1B.
(2)如图所示，取AC的中点H，连接HF，EH，
∵EH∥AA1，AA1⊥平面ABC，
∴EH⊥平面ABC，∠EFH就是EF与平面ABC所成的角，在△ABC中，H，F分别为AC，BC的中点，
∴HF＝AB＝.
在直角三角形EHF中，
FH＝，EH＝AA1＝3，tan∠EFH＝，
∴∠EFH＝60°.
故EF与平面ABC所成的角为60°.
20．(本小题满分12分)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，沿AE将△DAE折起到△D1AE的位置，使平面D1AE⊥平面ABCE.
(1)若F为线段D1A的中点，求证：EF∥平面D1BC；
(2)求证：BE⊥D1A.
证明 (1)取AB的中点G，连接EG，FG，则EG∥BC，FG∥D1B，且EG∩FG＝G，EG，FG?平面EFG；D1B∩BC＝B，D1B，BC?平面D1BC.
∴平面EFG∥平面D1BC，又EF?平面EFG，
∴EF∥平面D1BC.
(2)易证BE⊥EA，平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，
∴BE⊥平面D1AE，且D1A?平面D1AE，
∴BE⊥D1A.
21．(本小题满分12分)如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1－BCDE.
(1)证明：CD⊥平面A1OC；
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1－BCDE的体积为36，求a的值．
解 (1)证明：在图①中，因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC.
即在图②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，又A1O∩OC＝O，从而BE⊥平面A1OC.
又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.
(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，
且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，
又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE.
即A1O是四棱锥A1－BCDE的高．
由图①知，A1O＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，
从而四棱锥A1－BCDE的体积为
V＝S·A1O＝×a2×a＝a3.
由a3＝36，得a＝6.
22．(本小题满分12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
(1)求证：PA∥面BDE；
(2)求证：面PAC⊥面BDE；
(3)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．
解 (1)证明：连接OE，如图所示．
∵O，E分别为AC，PC的中点，
∴OE∥PA.
∵OE?面BDE，PA?面BDE，
∴PA∥面BDE.
(2)证明：∵PO⊥面ABCD，
∴PO⊥BD.
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥面PAC.
又∵BD?面BDE，∴面PAC⊥面BDE.
(3)如图所示，取OC中点F，连接EF.∵E为PC中点，
∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO.
又∵PO⊥面ABCD，∴EF⊥面ABCD，∴EF⊥BD.
∵OF⊥BD，OF∩EF＝F，∴BD⊥面EFO，
∴OE⊥BD.
∴∠EOF为二面角E－BD－C的平面角，
∴∠EOF＝30°.
在Rt△OEF中，OF＝OC＝AC＝a，
∴EF＝OF·tan30°＝a，∴OP＝2EF＝a.
∴VP－ABCD＝×a2×a＝a3.
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面
答案 B
解析 当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1也可能与l3相交或异面，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．
2．如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α，β所成的角分别为和.过A，B分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A′，B′，则AB∶A′B′等于( )
A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3
答案 A
解析 如图，由已知得AA′⊥面β，∠ABA′＝，
BB′⊥面α，∠BAB′＝.
设AB＝a，
则BA′＝a，BB′＝a，
在Rt△BA′B′中，A′B′＝a，
∴AB∶A′B′＝2∶1.
3．在空间中，下列命题正确的是( )
A．平行直线在同一平面内的射影平行或重合
B．垂直于同一平面的两条直线平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．平行于同一直线的两个平面平行
答案 B
解析 A中的射影也有可能是两个点，错误；C中两个平面也可能相交，错误；D中的两个平面也有可能相交，错误．所以只有B正确．
4．用m，n表示两条不同的直线，α表示平面，则下列命题正确的是( )
A．若m∥n，n?α，则m∥α
B．若m∥α，n?α，则m∥n
C．若m⊥n，n?α，则m⊥α
D．若m⊥α，n?α，则m⊥n
答案 D
解析 若m∥n，n?α，则m∥α或m?α，故排除A；若m∥α，n?α，则m∥n或m，n异面，故排除B；若m⊥n，n?α，则不能得出m⊥α，例如，m⊥n，n?α，m?α，则m与α不垂直，故排除C.故选D.
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面说法正确的是( )
A．A1C1⊥AD B．D1C1⊥AB
C．AC1与DC成45°角 D．A1C1与B1C成60°角
答案 D
解析 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线A1C1与AD所成的角为45°；直线D1C1与直线AB平行；异面直线AC1与DC所成的角的大小为∠C1AB的大小，其正切值为＝≠1，所以异面直线AC1与DC所成的角不是45°；连接A1D，DC1，因为A1D∥B1C，所以异面直线A1C1与B1C所成的角就是直线A1C1与直线A1D所成的角．而△A1DC1是等边三角形，所以∠C1A1D＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°.所以答案选D.
6．设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列三个说法：
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若α∥β，l?α，则l∥β；③若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.其中正确的说法个数是( )
A．3 B．2 C．1 D．0
答案 B
解析 垂直于同一平面的两个平面不一定平行，故①错误；由面面平行的性质知②正确；借助于三棱柱可知③正确．
7. 如图，已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是2，且SO⊥平面ABCD，O为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为( )
A．75° B．60°
C．45° D．30°
答案 C
解析 SO⊥平面ABCD，则∠SAC就是侧棱与底面所成的角，在Rt△SAO中，SA＝2，AO＝，∴∠SAO＝45°.
8．平面α∥平面β，直线a∥α，直线b⊥β，那么直线a与直线b的位置关系一定是( )
A．平行 B．异面 C．垂直 D．不相交
答案 C
解析 因为平面α∥平面β，直线a∥α，
所以a∥β或a?β.
若a?β，由直线b⊥β得a⊥b.
若a∥β，设过a的平面与β的交线为c，
则a∥c，由直线b⊥β，c?β得b⊥c，则a⊥b.
综上可知a⊥b.
9．如图，在三棱锥S－ABC中，△ABC是边长为6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分别与AB，BC，SC，SA交于点D，E，F，H，且D，E分别是AB，BC的中点，如果直线SB∥平面DEFH，那么四边形DEFH的面积为( )
A. B. C．45 D．45
答案 A
解析 取AC的中点G，连接SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH，SB?平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，所以SB∥HD.同理SB∥FE.又D，E分别为AB，BC的中点，则H，F也分别为AS，SC的中点，从而得HF綊AC綊DE，所以四边形DEFH为平行四边形．又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四边形DEFH为矩形，其面积S＝HF·HD＝·＝.
10．PA，PB，PC是从P点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成角的余弦值是 ( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 构造正方体如图所示，连接AB，过点C作CO⊥平面PAB，垂足为O，易知O是正三角形ABP的中心，连接PO并延长交AB于D，于是∠CPO为直线PC与平面PAB所成的角．设PC＝a，则PD＝，故PO＝PD＝a，故cos∠CPO＝＝.故选C.
11．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB.若DA＝1，且E为DA的中点，则异面直线BE与CD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 取AC的中点F，连接BF，EF.在△ACD中，E，F分别是AD，AC的中点，∴EF∥CD，∴∠BEF即为所求异面直线BE与CD所成的角(或其补角)．
在Rt△EAB中，∵AB＝1，
AE＝AD＝，∴BE＝.
在Rt△AEF中，∵AF＝AC＝，
AE＝，∴EF＝.
在Rt△ABF中，∵AB＝1，AF＝，∴BF＝.
在等腰三角形EBF中，cos∠BEF＝＝＝，∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.
12．已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AD∥BC，∠BCD＝90°，PA＝PB，PC＝PD，则下列结论正确的是( )
A．CD⊥PD B．面PAB⊥面PCD
C．面PAB⊥面ABCD D．面PCD⊥面ABCD
答案 C
解析 分别取AB，CD中点E，F，连接PE，PF，EF，则PF⊥CD，EF⊥CD.
∴CD⊥面PEF.
∴CD⊥PE.
又∵PE⊥AB，
∴PE⊥面ABCD.
∴面PAB⊥面ABCD.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.
以上结论中正确结论的序号为________．
答案 ①③
解析 把正方体的平面展开图还原为正方体，如图所示．因为AB∥MC，MC⊥EF，所以AB⊥EF，故①正确，②错误；EF与MN是异面直线，故③正确；易知MN⊥CD，故④错误．故填①③.
14．如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的点，PA垂直于⊙O所在的平面，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，因此，________⊥平面PBC.(填图中的一条直线)
答案 AF
解析 连接AC，∵AB是⊙O的直径，C是圆周上不同于A，B的点，∴BC⊥AC，∵PA垂直于⊙O所在的平面，∴BC⊥PA，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，AF?平面PAC，∴AF⊥BC，又AF⊥PC，BC∩PC＝C，∴AF⊥平面PBC.
15．如图所示，等边三角形ABC的边长为4，D为BC的中点，沿AD把△ADC折叠到△ADC′处，使二面角B－AD－C′为60°，则折叠后二面角A－BC′－D的正切值为________．
答案 2
解析 易知∠BDC′即为二面角B－AD－C′的平面角，则∠BDC′＝60°，所以△BDC′为等边三角形．取BC′的中点M，连接DM，AM，易知DM⊥BC′，AM⊥BC′，所以二面角A－BC′－D的平面角为∠AMD.在等边三角形ABC中，易知AD＝2，在等边三角形BDC′中，易知DM＝，所以tan∠AMD＝＝2.
16．已知矩形ABCD中，AB＝3，BC＝a，若PA⊥平面AC，在BC边上取点E，使PE⊥DE，则满足条件的E点有两个时，a的取值范围是________．
答案 a>6
解析 如图所示，连接AE，要使PE⊥DE，由于DE⊥PA，则需DE⊥AE.
要使在矩形ABCD中，∠AED＝90°，
满足条件的E点有两个，
则需以AD为直径的圆与BC相割．
∴圆心到BC边的距离d
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AA1的中点，N是BB1的中点．求证：平面MDB1∥平面ANC.
证明 如图所示，连接MN，因为M，N分别为AA1，BB1的中点，所以MA綊B1N，所以四边形MANB1为平行四边形，所以MB1∥AN.
因为MN綊AB綊CD，
所以四边形MNCD为平行四边形，于是CN∥MD.
因为MB1?平面ANC，AN?平面ANC，所以MB1∥平面ANC，同理MD∥平面ANC，又MB1∩MD＝M，所以平面MDB1∥平面ANC.
18．(本小题满分12分)如图，在正三棱柱(底面为正三角形，侧棱垂直底面)ABC－A1B1C1中，F，F1分别是AC，A1C1的中点．求证：
(1)平面AB1F1∥平面C1BF；
(2)平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
证明 (1)如图所示，连接FF1，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C1綊AC，BB1綊CC1.
∵F，F1分别是AC，A1C1的中点，
∴C1F1綊AF綊AC，FF1綊CC1綊BB1，
∴四边形AFC1F1和四边形BFF1B1均为平行四边形，
∴B1F1∥BF，AF1∥C1F.
∵B1F1?平面C1BF，BF?平面C1BF，
∴B1F1∥平面C1BF.
同理AF1∥平面C1BF，又B1F1∩AF1＝F1，
∴平面AB1F1∥平面C1BF.
(2)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，
又B1F1?平面A1B1C1，
∴B1F1⊥AA1.
又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，
∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1?平面AB1F1，
∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1.
19. (本小题满分12分)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为A1C1和BC的中点．
(1)求证：EF∥平面AA1B1B；
(2)若AA1＝3，AB＝2，求直线EF与平面ABC所成的角．
解 (1)证明：如图所示，取A1B1的中点D，连接DE，BD，
∵E是A1C1的中点，D是A1B1的中点，
∴DE綊B1C1.
又BC綊B1C1，BF＝BC，∴DE綊BF.
∴四边形BDEF为平行四边形．
∴BD∥EF，又BD?平面AA1B1B，
EF?平面AA1B1B，∴EF∥平面AA1B1B.
(2)如图所示，取AC的中点H，连接HF，EH，
∵EH∥AA1，AA1⊥平面ABC，
∴EH⊥平面ABC，∠EFH就是EF与平面ABC所成的角，在△ABC中，H，F分别为AC，BC的中点，
∴HF＝AB＝.
在直角三角形EHF中，
FH＝，EH＝AA1＝3，tan∠EFH＝，
∴∠EFH＝60°.
故EF与平面ABC所成的角为60°.
20．(本小题满分12分)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，沿AE将△DAE折起到△D1AE的位置，使平面D1AE⊥平面ABCE.
(1)若F为线段D1A的中点，求证：EF∥平面D1BC；
(2)求证：BE⊥D1A.
证明 (1)取AB的中点G，连接EG，FG，则EG∥BC，FG∥D1B，且EG∩FG＝G，EG，FG?平面EFG；D1B∩BC＝B，D1B，BC?平面D1BC.
∴平面EFG∥平面D1BC，又EF?平面EFG，
∴EF∥平面D1BC.
(2)易证BE⊥EA，平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，
∴BE⊥平面D1AE，且D1A?平面D1AE，
∴BE⊥D1A.
21．(本小题满分12分)如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图②中△A1BE的位置，得到四棱锥A1－BCDE.
(1)证明：CD⊥平面A1OC；
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1－BCDE的体积为36，求a的值．
解 (1)证明：在图①中，因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC.
即在图②中，BE⊥A1O，BE⊥OC，又A1O∩OC＝O，从而BE⊥平面A1OC.
又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.
(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，
且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，
又由(1)可得A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE.
即A1O是四棱锥A1－BCDE的高．
由图①知，A1O＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2，
从而四棱锥A1－BCDE的体积为
V＝S·A1O＝×a2×a＝a3.
由a3＝36，得a＝6.
22．(本小题满分12分)如图所示，ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，底面边长为a，E是PC的中点．
(1)求证：PA∥面BDE；
(2)求证：面PAC⊥面BDE；
(3)若二面角E－BD－C为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．
解 (1)证明：连接OE，如图所示．
∵O，E分别为AC，PC的中点，
∴OE∥PA.
∵OE?面BDE，PA?面BDE，
∴PA∥面BDE.
(2)证明：∵PO⊥面ABCD，
∴PO⊥BD.
在正方形ABCD中，BD⊥AC，
又∵PO∩AC＝O，∴BD⊥面PAC.
又∵BD?面BDE，∴面PAC⊥面BDE.
(3)如图所示，取OC中点F，连接EF.∵E为PC中点，
∴EF为△POC的中位线，∴EF∥PO.
又∵PO⊥面ABCD，∴EF⊥面ABCD，∴EF⊥BD.
∵OF⊥BD，OF∩EF＝F，∴BD⊥面EFO，
∴OE⊥BD.
∴∠EOF为二面角E－BD－C的平面角，
∴∠EOF＝30°.
在Rt△OEF中，OF＝OC＝AC＝a，
∴EF＝OF·tan30°＝a，∴OP＝2EF＝a.
∴VP－ABCD＝×a2×a＝a3.