2018-2019学年高中数学选修4-4人教版练习：模块综合评价

模块综合评价
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．点M的直角坐标是(－1，)，则点M的极坐标为(　　)
A.　　　　　　 B.
C. D.(k∈Z)
解析：点M的极径是2，点M在第二象限，故点M的极坐标是.
答案：C
2．极坐标方程cos θ＝(ρ∈R)表示的曲线是(　　)
A．两条相交直线 B．两条射线
C．一条直线 D．一条射线
解析：由cos θ＝，解得θ＝或θ＝π，又ρ∈R，故为两条过极点的直线．
答案：A
3．曲线ρcos θ＋1＝0关于直线θ＝对称的曲线的方程是(　　)
A．ρsin θ＋1＝0 B．ρcos θ＋1＝0
C．ρsin θ＝2 D．ρcos θ＝2
解析：因为M(ρ，θ)关于直线θ＝的对称点是N，从而所求曲线方程为ρcos＋1＝0，即ρsin θ＋1＝0.
答案：A
4．直线(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为(　　)
A．(3，－3) B．(－，3)
C．(，－3) D．(3，－)
解析：将x＝1＋，y＝－3＋t代入圆方程，
得＋＝16，
所以t2－8t＋12＝0，则t1＝2，t2＝6，
因此AB的中点M对应参数t＝＝4，
所以x＝1＋×4＝3，y＝－3＋×4＝－，
故AB中点M的坐标为(3，－)．
答案：D
5．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为(　　)
A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1
C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1
解析：ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝＝0或ρcos θ＝x＝1.
答案：C
6．直线(t为参数)被圆x2＋y2＝9截得的弦长为(　　)
A. B.
C. D.
解析：把化为标准形式为将其代入x2＋y2＝9，整理得t′2＋t′－4＝0，由根与系数的关系得t′1＋t′2＝－，t′1t′2＝－4.
故|t′1－t′2|＝＝＝·，所以弦长为.
答案：B
7．已知圆M：x2＋y2－2x－4y＝10，则圆心M到直线(t为参数)的距离为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：由题意易知圆的圆心M(1，2)，由直线的参数方程化为一般方程为3x－4y－5＝0，所以圆心到直线的距离为d＝＝2.
答案：B
8．点M关于直线θ＝(ρ∈R)的对称点的极坐标为(　　)
A. B.
C. D.
解析：点M的直角坐标为＝，直线θ＝(ρ∈R)，即直线y＝x，点关于直线y＝x的对称点为，再化为极坐标为.
答案：A
9．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)和参数方程(θ为参数)所表示的图形分别是(　　)
A．直线、射线和圆 B．圆、射线和双曲线
C．两直线和椭圆 D．圆和抛物线
解析：因为(ρ－1)(θ－π)＝0，所以ρ＝1或θ＝π(ρ≥0)，ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线，参数方程(θ为参数)化为普通方程为－x2＝1，表示双曲线．
答案：B
10．已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)，且它们总有公共点．则a的取值范围是(　　)
A.∪(0，＋∞)
B．(1，＋∞)
C.
D.
解析：由已知得
则4(at－1)2＋(a2t－1)2＝4，
即a2(a2＋4)t2－2a(a＋4)t＋1＝0，
Δ＝4a2(a＋4)2－4a2(a2＋4)＝16a2(2a＋3)．
直线l与椭圆总有公共点的充要条件是Δ≥0，
即a≥－.
答案：C
11．已知直线l过点P(－2，0)，且倾斜角为150，以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ＝15.若直线l交曲线C于A，B两点，则|PA|·|PB|的值为(　　)
A．5 B．7
C．15 D．20
解析：易知直线l的参数方程为 (t为参数)，把曲线C的极坐标方程ρ2－2ρcos θ＝15化为直角坐标方程是x2＋y2－2x＝15.
将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2＋3t－7＝0.
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝－7，
故|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1t2|＝7.
答案：B
12．过椭圆C：(θ为参数)的右焦点F作直线l交C于M，N两点，|MF|＝m，|NF|＝n，则＋的值为(　　)
A. B.
C. D．不能确定
解析：曲线C为椭圆＋＝1，右焦点为F(1，0)，设l：(t为参数)，代入椭圆方程得(3＋sin2θ)t2＋6tcos θ－9＝0，设M、N两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1t2＝－，t1＋t2＝－，
所以＋＝＋＝＝＝.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知直线l：(t为参数)过定点P，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l与曲线C交于A，B两点，则|PA|·|PB|的值为________．
解析：将直线l：(t为参数)代入曲线C：
ρ＝2sin θ的直角坐标方程x2＋y2－2y＝0，整理，得t2－(＋1)t＋1＝0，设直线l与曲线C的交点A，B的对应的参数分别为t1，t2，则t1t2＝1，即|PA|·|PB|＝|t1t2|＝1.
答案：1
14．已知圆的渐开线的参数方程(φ为参数)，当φ＝时，对应的曲线上的点的坐标为________．
解析：当φ＝时，代入渐开线的参数方程，
得
x＝＋，y＝－，所以当φ＝时，对应的曲线上的点的坐标为 .
答案：
15．若直线l的极坐标方程为ρcos＝3，曲线C：ρ＝1上的点到直线l的距离为d，则d的最大值为________．
解析：直线的直角坐标方程为x＋y－6＝0，曲线C的方程为x2＋y2＝1，为圆；d的最大值为圆心到直线的距离加半径，即为dmax＝＋1＝3＋1.
答案：3＋1
16．在直角坐标系Oxy中，椭圆C的参数方程为(θ为参数，a>b>0)．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρcos＝，若直线l与x轴、y轴的交点分别是椭圆C的右焦点、短轴端点，则a＝________.
解析：椭圆C的普通方程为＋＝1 (a>b>0)，直线l的直角坐标方程为x－y－＝0，令x＝0，则y＝－1，令y＝0，则x＝，所以c＝，b＝1，所以a2＝3＋1＝4，
所以a＝2.
答案：2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．
解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，由x＝t＋1，得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.
同理得到曲线C的普通方程为y2＝2x.
联立方程组
解得公共点的坐标为(2，2)，.
18．(本小题满分12分)已知某圆的极坐标方程为ρ2－4ρcos＋6＝0，求：
(1)圆的普通方程和参数方程；
(2)圆上所有点(x，y)中，xy的最大值和最小值．
解：(1)原方程可化为
ρ2－4ρ＋6＝0，
即ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0.①
因为ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以①可化为x2＋y2－4x－4y＋6＝0，
即(x－2)2＋(y－2)2＝2，即为所求圆的普通方程．
设
所以参数方程为(θ为参数)．
(2)由(1)可知xy＝(2＋cos θ)(2＋sin θ)＝
4＋2(cos θ＋sin θ)＋2cos θsin θ＝
3＋2(cos θ＋sin θ)＋(cos θ＋sin θ)2.
设t＝cos θ＋sin θ，
则t＝sin，t∈[－，]．
所以xy＝3＋2t＋t2＝(t＋)2＋1.
当t＝－时，xy有最小值1；当t＝时，xy有最大值9.
19．(本小题满分12分)已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是(t为参数)．
(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
(2)当m＝2时，直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|的值．
解：(1)由ρ＝2cos θ，
得：ρ2＝2ρcos θ，所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，
所以曲线C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.
由得x＝y＋m，
即x－y－m＝0，
所以直线l的普通方程为x－y－m＝0.
(2)设圆心到直线l的距离为d，
由(1)可知直线l：x－y－2＝0，
曲线C：(x－1)2＋y2＝1，
圆C的圆心坐标为(1，0)，半径1，
则圆心到直线l的距离为d＝＝.
所以|AB|＝2 ＝.
因此|AB|的值为.
20．(本小题满分12分)已知圆C1的参数方程为(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为ρ＝4sin.
(1)将圆C1的参数方程化为普通方程，将圆C2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)圆C1，C2是否相交？若相交，请求出公共弦长；若不相交，请说明理由．
解：(1)由(φ为参数)，得圆C1的普通方程为x2＋y2＝4.
由ρ＝4sin，
得ρ2＝4ρ，
即x2＋y2＝2y＋2x，整理得圆C2的直角坐标方程为(x－)2＋(y－1)2＝4.
(2)由于圆C1表示圆心为原点，半径为2的圆，圆C2表示圆心为(，1)，半径为2的圆，又圆C2的圆心(，1)在圆C1上可知，圆C1，C2相交，由几何性质易知，两圆的公共弦长为2.
21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．
(1)求圆心的极坐标；
(2)求△PAB面积的最大值．
解：(1)圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
所以圆心坐标为(1，－1)，圆心极坐标为.
(2)直线l的普通方程为2x－y－1＝0，
圆心到直线l的距离d＝＝，
所以|AB|＝2＝，
点P到直线AB距离的最大值为＋＝，故最大面积Smax＝××＝.
22．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点、x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆．
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，
由已知tan θ＝2，得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，
从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.
当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．
所以a＝1.