2018-2019学年高中数学选修4-4人教版练习：评估验收卷（一）

评估验收卷(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知点M的极坐标为，下列所给出的四个坐标中能表示点M的坐标是(　　)
A.　　　　 B.
C. D.
解析：M的极坐标为，(k∈Z)，取k＝－1得.
答案：D
2．在极坐标系中有如下三个结论：
①点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程；②tan θ＝1与θ＝表示同一条曲线；③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．
在这三个结论中正确的是(　　)
A．①③ B．①
C．②③ D．③
解析：点P在曲线C上要求点P的极坐标中至少有一个满足C的极坐标方程；tan θ＝1能表示θ＝和θ＝π两条射线；ρ＝3和ρ＝－3都表示以极点为圆心，以3为半径的圆，所以只有③成立．
答案：D
3．将曲线y＝sin 2x按照伸缩变换后得到的曲线方程为(　　)
A．y′＝3sin x′ B．y′＝3sin 2x′
C．y′＝3sinx′ D．y′＝sin 2x′
解析：由伸缩变换，得x＝，y＝.
代入y＝sin 2x，有＝sin x′，即y′＝3sin x′.
答案：A
4．点A的球坐标为，则它的直角坐标为(　　)
A．(－2，2，－2) B．(－2，2，2)
C．(－2，－2，2) D．(2，2，－2)
解析：
答案：A
5．在极坐标系中，曲线ρ＝4sin关于________对称(　　)
A．直线θ＝ B．直线θ＝
C．点中心 D．极点中心
解析：将ρ＝4sin化为直角坐标方程为x2＋y2－2x－2y＝0，圆心(1，)化为极坐标为，故应选C.
答案：C
6．极坐标方程ρ2－ρ(2＋sin θ)＋2sin θ＝0表示的图形为(　　)
A．一个圆与一条直线 B．一个圆
C．两个圆 D．两条直线
解析：将所给方程进行分解，可得(ρ－2)·(ρ－sin θ)＝0，即ρ＝2或 ρ＝sin θ，化成直角坐标方程分别是x2＋y2＝4和x2＋y2－y＝0，可知分别表示圆．
答案：C
7．在极坐标系中，过点且与极轴垂直的直线方程为(　　)
A．ρ＝－4cos θ B．ρcos θ－1＝0
C．ρsin θ＝－ D．ρ＝－sin θ
解析：设M(ρ，θ)为直线上除以外的任意一点，则有ρcos θ＝2·cos ，则ρcos θ＝1，经检验符合方程．
答案：B
8．极坐标系内曲线ρ＝2cos θ上的动点P与定点Q的最短距离等于(　　)
A.－1 B.－1
C．1 D.
解析：将曲线ρ＝2cos θ化成直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，点Q的直角坐标为(0，1)，则P到Q的最短距离为Q与圆心的距离减去半径的长度，即－1.
答案：A
9．在极坐标系中，直线ρcos θ＝1与圆ρ＝cos θ的位置关系是(　　)
A．相切
B．相交但直线不经过圆心
C．相离
D．相交且直线经过圆心
解析：直线ρcos θ＝1化为直角坐标方程为x＝1，圆ρ＝cos θ，即ρ2＝ρcos θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－x＝0，即＋y2＝与直线x＝1相切．
答案：A
10．若点P的柱坐标为，则点P到直线Oy的距离为(　　)
A．1 B．2
C. D.
解析：由于点P的柱坐标为(ρ，θ，z)＝，故点P在平面Oxy内的射影Q到直线Oy的距离为ρcos＝，可得P到直线Oy的距离为.
答案：D
11.下列极坐标方程中，对应的曲线为如图
所示的图形的是(　　)
A．ρ＝6＋5cos θ
B．ρ＝6＋5sin θ
C．ρ＝6－5cos θ
D．ρ＝6－5sin θ
解析：由图可知，当θ＝－时，ρ最大，所以应该是ρ＝6－5sin θ.
答案：D
12．在极坐标系中，曲线C1：ρ＝4上有3个不同的点到曲线C2：ρsin＝m的距离等于2，则m的值为(　　)
A．2　　　　B．－2　　　　C．±2　　　　D．0
解析：曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝16，曲线C2的极坐标方程化为ρsin θ＋ρcos θ＝m，化为直角坐标方程为y＋x＝m，即x＋y－m＝0，
由题意曲线C1的圆心(0，0)到直线C2的距离为2，则＝2，故m＝±2.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．在极坐标系中，已知点A，B，O(0，0)，则△ABO的形状是________________．
解析：因为A，B，所以∠BOA＝，
又因为|OA|＝2，|OB|＝，所以|AB|＝，
所以∠ABO为直角，所以△ABO为等腰直角三角形．
答案：等腰直角三角形
14．已知点A是曲线ρ＝2cos θ上任意一点，则点A到直线ρsin＝4的距离的最大值是________．
解析：曲线ρ＝2cos θ，即(x－1)2＋y2＝1，表示圆心为(1，0)，半径为1的圆，直线ρsin＝4，即x＋y－8＝0，圆心(1，0)到直线的距离等于＝，所以点A到直线ρsin＝4的距离的最大值是＋1＝.
答案：
15．已知圆的极坐标方程为ρ2＋2ρ(cos θ＋sin θ)＝5，则此圆被直线θ＝0截得的弦长为________．
解析：将极坐标方程化为直角坐标方程为(x＋1) 2＋(y＋)2＝9和y＝0，
所以弦长＝2＝2×＝2.
答案：2
16．在极坐标系中，曲线C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝________．
解析：ρ(cos θ＋sin θ)＝1，即ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的直角坐标方程为x＋y－1＝0，ρ＝a(a>0)对应的普通方程为x2＋y2＝a2.
在x＋y－1＝0中，令y＝0，得x＝.
将代入x2＋y2＝a2，得a＝.
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知直线的极坐标方程ρsin＝，求极点到直线的距离．
解：因为ρsin＝，所以ρsin θ＋ρcos θ＝1，
即直角坐标方程为x＋y＝1.
又因为极点的直角坐标为(0，0)，
所以极点到直线的距离d＝＝.
18．(本小题满分12分)在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．
解：在ρsin＝－中，
令θ＝0，得ρ＝1，
所以圆C的圆心坐标为(1，0)．
因为圆C经过点P，
所以圆C的半径
PC＝ ＝1，
于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
19．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，已知点A(3，0)，P是圆x2＋y2＝1上的一个动点，且∠AOP的平分线交PA于点Q，求点Q的轨迹的极坐标方程．
解：以O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系(如图所示)，设P(1，2θ)，Q(ρ，θ)，则由S△OQA＋S△OQP＝S△OAP得×3ρsin θ＋ρsin θ＝×3×1×sin 2θ，化简得ρ＝cos θ.所以点Q的轨迹的极坐标方程为ρ＝·cos θ.
20．(本小题满分12分)已知曲线C1的极坐标方程为ρcos＝－1，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos，判断两曲线的位置关系．
解：将曲线C1，C2化为直角坐标方程，
得C1：x＋y＋2＝0，C2：x2＋y2－2x－2y＝0，
即C2：(x－1)2＋(y－1)2＝2.
圆心到直线的距离d＝＝>，
所以曲线C1与C2相离．
21．(本小题满分12分)在极坐标系中，极点为O，已知曲线C1：ρ＝2与曲线C2：ρsin＝ 交于不同的两点A，B.求：
(1)|AB|的值；
(2)过点C(1，0)且与直线AB平行的直线l的极坐标方程．
解：(1)因为ρ＝2，
所以x2＋y2＝4.
又因为ρsin＝，
所以y＝x＋2，
所以|AB|＝2＝2＝2.
(2)因为曲线C2的斜率为1，
所以过点(1，0)且与曲线C2平行的直线l的直角坐标方程为y＝x－1，
所以直线l的极坐标为ρsin θ＝ρcos θ－1，
故ρcos＝.
22．(本小题满分12分)(2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.
(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
解：(1)设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程ρ＝4cosθ(ρ＞0)．
因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)，
由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积
S＝|OA|·ρB·sin∠AOB
＝4cos α·
＝2
≤2＋.
当α＝－时，S取得最大值2＋.
所以△OAB面积的最大值为2＋.