2018-2019学年高中数学选修2-3人教版练习：模块综合评价（一）

模块综合评价(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)
1．设直线的方程是Ax＋By＝0，从1，2，3，4，5这五个数中每次取两个不同的数作为A，B的值，则所得不同直线的条数是(　　)
A．20　　　　　　　　 B．19
C．18 D．16
解析：考虑有两种重复情况，易得不同直线的条数N＝A－2＝18.
答案：C
2．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是(　　 )
A.＝－10x＋200 B.＝10x＋200
C.＝－10x－200 D.＝10x－200
解析：由于销售量y与销售价格x负相关，故排除B，D.又当x＝10时，A中的y＝100，而C中y＝－300，故C不符合题意．
答案：A
3．从A，B，C，D，E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛，其中A不参加物理、化学竞赛，则不同的参赛方案种数为(　　)
A．24 B．48 C．72 D．120
解析：A参加时参赛方案有CAA＝48(种)，A不参加时参赛方案有A＝24(种)，所以不同的参赛方案共72种，故选C.
答案：C
4．两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35，若X与Y有关系的可信程度为90%，则c＝(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
解析：列2×2列联表可知：
Y
X
合计
x1
x2
y1
a＝10
b＝21
31
y2
c
d
35
合计
10＋c
21＋d
66
当c＝5时，
K2＝≈3.024>2.706，
所以c＝5时，X与Y有关系的可信程度为90%，
而其余的值c＝4，c＝6，c＝7皆不满足．
答案： B
5.的展开式中常数项为(　　)
A. B.
C. D．105
解析：二项展开式的通项为Tk＋1＝C()8－k＝Cx4－k，令4－k＝0，解得k＝4，所以T5＝C＝.
答案：B
6．ξ，η为随机变量，且η＝aξ＋b，若E(ξ)＝1.6，E(η)＝3.4，则a，b可能的值为(　　)
A．2，0.2 B．1，4
C．0.5，1.4 D．1.6，3.4
解析：由E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝1.6a＋b＝3.4，把选项代入验证，只有A满足．
答案：A
7．已知随机变量ξ的分布列为ξ＝－1，0，1，对应P＝，，，且设η＝2ξ＋1，则η的期望为(　　)
A．－ B. C. D．1
解析：E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－，
所以E(μ)＝E(2ξ＋1)＝2E(ξ)＋1＝.
答案：B
8．若随机变量ξ～N(－2，4)，ξ在下列区间上取值的概率与ξ在区间(－4，－2]上取值的概率相等的是(　　)
A．(2，4] B．(0，2]
C．[－2，0) D．(－4，4]
解析：此正态曲线关于直线x＝－2对称，所以ξ在区间(－4，－2]上取值的概率等于ξ在[－2，0)上取值的概率．
答案：C
9．已知随机变量ξ的分布列为P(ξ＝k)＝，k＝1，2，3，则D(3ξ＋5)＝(　　)
A．6 B．9 C．3 D．4
解析：由题意得E(ξ)＝×(1＋2＋3)＝2，
所以D(ξ)＝，
D(3ξ＋5)＝32×D(ξ)＝6，故选A.
答案：A
10．通过随机询问72名不同性别的大学生在购买食物时是否看营养说明，得到如下列联表：
分类
女
男
总计
读营养说明
16
28
44
不读营养说明
20
8
28
总计
36
36
72
请问性别和读营养说明之间有关系的程度为(　　 )
A．99%的可能性
B．99.75%的可能性
C．99.5%的可能性
D．97.5%的可能性
解析：由题意可知a＝16，b＝28，c＝20，d＝8，a＋b＝44，c＋d＝28，a＋c＝36，b＋d＝36，n＝a＋b＋c＋d＝72.
代入公式K2＝，
得K2＝≈8.42.
由于K2≈8.42＞7.879，我们就有99.5%的把握认为性别和读营养说明之间有关系，即性别和读营养说明之间有99.5%的可能是有关系的．
答案：C
11．某日A，B两个沿海城市受台风袭击的概率相同，已知A市或B市至少有一个受台风袭击的概率为0.36，若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则E(X)＝(　　 )
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
解析：设A，B两市受台风袭击的概率均为p，则A市或B市都不受台风袭击的概率为(1－p)2＝1－0.36，解得p＝0.2或p＝1.8(舍去)．
法一　P(X＝0)＝1－0.36＝0.64.P(X＝1)＝2×0.8×0.2＝0.32，
P(X＝2)＝0.2×0.2＝0.04，所以E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.
法二　X～B(2，0.2)，E(X)＝np＝2×0.2＝0.4.
答案：D
12．连续掷两次骰子，设得到的点数分别为m、n，则直线y＝x与圆(x－3)2＋y2＝1相交的概率是(　　)
A. B. C. D.
解析：由直线y＝x与圆(x－3)2＋y2＝1相交得<1，整理得－<<，考虑到m，n为正整数，故应使直线的斜率大于0且小于或等于，当m＝1时，n＝3，4，5，6；当m＝2时，n＝6，共有5种情况，而掷两次骰子得到点数的所有情况有36种，故概率为.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．抽样调查表明，某校高三学生成绩(总分750分)X近似服从正态分布，平均成绩为500分．已知P(400＜X＜450)＝0.3，则P(550＜X＜600)＝________．
解析：由下图可以看出P(550＜X＜600)＝P(400＜X＜450)＝0.3.
答案：0.3
14．已知随机变量ξ～B(36，p)，且E(ξ)＝12，则D(ξ)＝________.
解析：由E(ξ)＝36p＝12，得p＝，
所以D(ξ)＝36××＝8.
答案：8
15．某灯泡厂生产大批灯泡，其次品率为1.5%，从中任意地陆续取出100个，则其中正品数X的均值为________个，方差为________．
解析：由题意可知X～B(100，98.5%)，
所以E(ξ)＝np＝100×98.5%＝98.5，
D(ξ)＝np(1－p)＝100×98.5%×1.5%＝1.477 5.
答案：98.5　1.4775
16．某射手对目标进行射击，直到第一次命中为止，每次射击的命中率为0.6，现共有子弹4颗，命中后剩余子弹数目的数学期望是________．
解析：设ξ为命中后剩余子弹数目，则P(ξ＝3)＝0.6，P(ξ＝2)＝0.4×0.6＝0.24，
P(ξ＝1)＝0.4×0.4×0.6＝0.096，E(ξ)＝3×0.6＋2×0.24＋0.096＝2.376.
答案：2.376
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知(n∈N*)的展开式中第五项的系数的与第三项的系数的比是10∶1.
(1)求展开式中各项系数的和；
(2)求展开式中含x的项；
(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．
解：由题意知，第五项系数为C·(－2)4，第三项的系数为C·(－2)2，则＝10，
化简得n2－5n－24＝0，
解得n＝8或n＝－3(舍去)．
(1)令x＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.
(2)通项公式Tr＋1＝C()8－r＝C(－2)rx－2r，
令－2r＝，则r＝1.
故展开式中含x的项为T2＝－16x.
(3)设展开式中的第r项，第r＋1项，第r＋2项的系数绝对值分别为C·2r－1，C·2r，C·2r＋1，
若第r＋1项的系数绝对值最大，
则解得5≤r≤6.
又T6的系数为负，所以系数最大的项为T7＝1 792x－11
由n＝8知第5项二项式系数最大，
此时T5＝1 120x－6.
18．(本大题满分12分)五位师傅和五名徒弟站一排．
(1)五名徒弟必须排在一起共有多少种排法？
(2)五名徒弟不能相邻共有多少种排法？
(3)师傅和徒弟相间共有多少种排法？
解：(1)先将五名徒弟看作一人与五位师傅排列有A种排法，五名徒弟在内部全排列有A种，据乘法原理排法共有AA＝86 400(种)．
(2)先将五位师傅全排列有A种排法，再将五名徒弟排在五位师傅产生的六个空位上有A种排法，据乘法原则，排法共计AA＝86 400(种)．
(3)先将五位师傅排列有A种排法，再将五名徒弟排在五位师傅产生的六个空位中前五位或后五位上有2A种排法，据乘法原理排法共有2AA＝28 800(种)．
19．(本小题满分12分)某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为X，求X的分布列和数学期望．
解：(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，
则P(A)＝××＝.
(2)依题意得，X所有可能的取值是1，2，3，又P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，P(X＝3)＝××1＝.
所以X的分布列为：
X
1
2
3
P
所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
20．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：千元)的数据资料，算得xi＝80，yi＝20，xiyi＝184，x＝720.
(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程＝x＋；
(2)判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．
附：线性回归方程＝x＋中，b＝，
＝y－x，其中x，y为样本平均值．
解：(1)由题意知n＝10，x＝xi＝＝8，
y＝yi＝＝2，
又lxx＝x－nx2＝720－10×82＝80，
lxy＝xiyi－nxy＝184－10×8×2＝24，
由此得＝＝＝0.3，＝y－x＝2－0.3×8＝－0.4.
故所求线性回归方程为y＝0.3x－0.4.
(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．
(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．
21．(本小题满分12分)为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩．
(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；
(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”．
分类
甲班
乙班
合计
优秀
不优秀
合计
下面临界值表供参考：
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
K
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解：(1)甲班成绩为87分的同学有2个，其他不低于80分的同学有3个“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有C＝10(个)，“抽到至少有一个87分的同学”所组成的基本事件有CC＋C＝(7个)，所以P＝.
(2)2×2列联表如下：
甲班
乙班
合计
优秀
6
14
20
不优秀
14
6
20
合计
20
20
40
K2＝＝6.4＞5.024.
因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．
22．(本小题满分12分)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是，每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：
(1)“星队”至少猜对3个成语的概率；
(2)“星队”两轮得分之和X的分布列和数学期望E(X)．
解：(1)记事件A为“甲第一轮猜对”，
记事件B为“乙第一轮猜对”，
记事件C为“甲第二轮猜对”，
记事件D为“乙第二轮猜对”，
记事件E为“‘星队’至少猜对3个成语”．
由题意，E＝ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD＋ABCD，
由事件的独立性与互斥性，
P(E)＝P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＋P(ABCD)＝P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)P(D)＋P(A) P(B)P(C)P(D)＋P(A)P(B)P(C)·P(D)＝×××＋2×＝，
所以“星队”至少猜对3个成语的概率为.
(2)由题意，随机变量X可能的取值为 0，1，2，3，4，6.
由事件的独立性与互斥性，得
P(X＝0)＝×××＝，
P(X＝1)＝2×＝＝，
P(X＝2)＝×××＋×××＋×××＋×××＝，
P(X＝3)＝×××＋×××＝＝，
P(X＝4)＝2×＝＝，
P(X＝6)＝×××＝＝.
可得随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
6
P
所以数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.