2018-2019学年高中数学选修2-2人教版练习：评估验收卷（二）

评估验收卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是(　　)
①y＝cos x(x∈R)是三角函数；
②三角函数是周期函数；
③y＝cos x(x∈R)是周期函数．
A．①②③　　　　　　 B．②①③
C．②③① D．③②①
解析：按三段论的模式，排列顺序正确的是②①③.选B.
答案：B
2．用反证法证明命题“已知x，y∈N*，如果xy可被7整除，那么x，y至少有一个能被7整除”时，假设的内容是(　　)
A．x，y都不能被7整除
B．x，y都能被7整除
C．x，y只有一个能被7整除
D．只有x不能被7整除
解析：用反证法证明命题时，先假设命题的否定成立，再进行推证．“x，y至少有一个能被7整除”的否定是“x，y都不能被7整除”．
答案：A
3．用数学归纳法证明“5n－2n能被3整除”的第二步中，当n＝k＋1时，为了使用假设，应将5k＋1－2k＋1变形为(　　)
A．(5k－2k)＋4×5k－2k
B．5(5k－2k)＋3×2k
C．(5－2)(5k－2k)
D．2(5k－2k)－3×5k
解析：5k＋1－2k＋1＝5k·5－2k·2＝5k·5－2k·5＋2k·5－2k·2＝5(5k－2k)＋3·2k.
答案：B
4．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…－＝2时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设再证n＝________时等式成立．(　　)
A．k＋1 B．k＋2
C．2k＋2 D．2(k＋2)
解析：根据数学归纳法的步骤可知，n＝k(k≥2且k为偶数)的下一个偶数为n＝k＋2，故选B.
答案：B
5．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为(　　)
A．a1a2a3…a9＝29 B．a1＋a2＋…＋a9＝29
C．a1a2a3…a9＝2×9 D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析：由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知选项D正确．
答案：D
6．下面是一段“三段论”推理过程：若函数f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)>0恒成立．因为f(x)＝x3在(－1，1)内可导且单调递增，所以在(－1，1)内，f′(x)＝3x2>0恒成立．以上推理中(　　)
A．大前提错误 B．小前提错误
C．结论正确 D．推理形式错误
解析：f(x)在(a，b)内可导且单调递增，则在(a，b)内，f′(x)≥0恒成立，故大前提错误，故选A.
答案：A
7．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证A．a－b>0 B．a－c<0
C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0
解析：要证明 0，即证(a－c)·(2a＋c)>0，即证(a－c)(a－b)>0.
答案：C
8．下列各图中线段的条数用an表示，如a1＝1，a2＝5，若如此作下去，则第8个图中的线段条数a8＝(　　)
A．508 B．509 C．511 D．512
解析：由题图知，a1＝1，a2＝1＋22，a3＝1＋22＋23，a4＝1＋22＋23＋24，…，所以a8＝1＋22＋23＋…＋28＝(2＋22＋23＋…＋28)－1＝－1＝509.
答案：B
9．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(　　)
A．28 B．76 C．123 D．199
解析：记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.
答案：C
10．观察数表：
1
2
3
4
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
7
根据数表中反映的规律，第n行与第n列的交叉点上的数应该是(　　)
A．2n－1 B．2n＋1
C．n2－1 D．n2
解析：根据题中数表可知，第1行第1列交叉点上的数为1，第2行第2列交叉点上的数为3，第3行第3列交叉点上的数为5，第4行第4列交叉点上的数为7，那么，由此可以推导出第n行第n列交叉点上的数应该是2n－1.
答案：A
11.如图所示，半径为1的圆O内有n个半径相等的圆依次相切且都与圆O相切，若n＝10，则这些等圆的半径为(　　)
A.
B.
C.
D.
解析：如图所示，设相邻两圆的圆心分别为O1，O2，圆半径为r，连接OO1，OO2，O1O2，作OA⊥OO2于点A，则A为OO2的中点，因为这样的圆有10个，所以∠O1OO2＝＝，所以∠O1OA＝，
在Rt△O1OA中，sin∠O1OA＝＝，
即sin ＝，解得r＝.
答案：B
12．请阅读下列材料：若两个正实数a1，a2满足a＋a＝1，求证：a1＋a2≤.证明：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＝2x2－2(a1＋a2)x＋1，因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，即4(a1＋a2)2－8≤0，所以a1＋a2≤.
根据上述证明方法，若n个正实数a1，a2，…，an满足a＋a＋…＋a＝n时，你能得到的结论是(　　)
A．a1＋a2＋…＋an≤2n
B． a1＋a2＋…＋an≤n2
C．a1＋a2＋…＋an≤n
D．a1＋a2＋…＋an≤
解析：构造函数f(x)＝(x－a1)2＋(x－a2)2＋…＋(x－an)2＝nx2－2(a1＋a2＋…＋an)x＋n，
因为对一切实数x，恒有f(x)≥0，所以Δ≤0，即4(a1＋a2＋…＋an)2－4n2≤0，所以a1＋a2＋…＋an≤n.
答案：C
二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．“因为AC，BD是菱形ABCD的对角线，所以AC，BD互相垂直且平分．”补充以上推理的大前提是____________________．
解析：大前提是“菱形的对角线互相垂直且平分”．
答案：菱形的对角线互相垂直且平分
14．我们知道，圆的面积的导数为圆的周长，即：若圆的半径为r，则圆的面积S(r)＝πr2，S′(r)＝2πr为圆的周长．通过类比，有以下结论：
①正方形面积的导数为正方形的周长；
②正方体体积的导数为正方体的表面积；
③球体的体积的导数为球体的表面积．
其中正确的是________(填序号)．
解析：设正方形的边长为a，
则正方形的面积为S(a)＝a2，
而S′(a)＝2a≠正方形的周长；
设正方体的棱长为a，
则正方体的体积为V(a)＝a3，
而V′(a)＝3a2≠正方体的表面积；
设球体的半径为r，则V(r)＝πr3，
而V′(r)＝4πr2＝球体的表面积．
所以只有③正确．
答案：③
15．下列给出一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的数为aij(i≥j，i，j∈N*)，则a53等于________，amn＝________(m≥3)．
，
，，
，，，
…
解析：由题意可知，第一列首项为，公差d＝－＝；第二列的首项为，公差d＝－＝，所以a51＝＋4×＝，由题意知，每行的公比都是，所以a53＝a51q2＝×＝.
由题意知am1＝＋(m－1)×＝，amn＝×＝，m≥3.
答案：　
16．有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．
解析：丙的卡片上的数字之和不是5，则丙有两种情况：①丙的卡片上的数字为1和2，此时乙的卡片上的数字为2和3，甲的卡片上的数字为1和3，满足题意；②丙的卡片上的数字为1和3，此时乙的卡片上的数字为2和3，甲的卡片上的数字为1和2，这时甲与乙的卡片上有相同的数字2，与已知矛盾，故情况②不符合，所以甲的卡片上的数字为1和3.
答案：1和3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)用综合法或分析法证明：
(1)如果a，b>0，则lg≥；
(2)＋>2＋2.
证明：(1)当a，b>0时，有≥，
所以lg≥lg，
所以lg≥lgab＝.
(2)要证＋>2＋2，
只要证(＋)2>(2＋2)2，
即2>2，这是显然成立的，
所以，原不等式成立．
18．(本小题满分12分)已知A＋B＝，且A，B≠kπ＋(k∈Z)．求证：(1＋tan A)(1＋tan B)＝4.
证明：由A＋B＝得tan (A＋B)＝tan ，
即＝，
所以tan A＋tan B＝－tan Atan B.
所以(1＋tan A)(1＋tan B)＝1＋(tan A＋tan B)＋
3tan Atan B＝1＋(－tan Atan A)＋3tan Atan B＝4.
故原等式成立．
19．(本小题满分12分)已知△ABC的三边长都是有理数，求证：
(1)cos A是有理数；
(2)对任意正整数n，cos nA和sin A·sin nA是有理数．
证明：(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知
cos A＝是有理数．
(2)用数学归纳法证明cos nA和sin A·sin nA都是有理数．
①当n＝1时，由(1)知cos nA是有理数，
从而有sin A·sin nA＝1－cos2 A也是有理数．
②假设当n＝k(k≥1)时，
cos kA和sin A·sin kA都是有理数．
当n＝k＋1时，
由cos(k＋1)A＝cos A·cos kA－sin A·sin kA，
sin A·sin(k＋1)A
＝sin A·(sin A·cos kA＋cos A·sin kA)
＝(sin A·sin A)·cos kA＋(sin A·sin kA)·cos A，
由①和归纳假设，知cos (k＋1)A和sin A·sin(k＋1)A都是有理数．
即当n＝k＋1时，结论成立．
综合①、②可知，对任意正整数n，cos nA和sin A·sin nA都是有理数．
20．(本小题满分12分)已知a，b，c都是不为零的实数，求证：a2＋b2＋c2＞(ab＋bc＋ca)．
证明：要证a2＋b2＋c2＞(ab＋bc＋ca) ，
只需证5(a2＋b2＋c2)＞4(ab＋bc＋ca)，
只需证5a2＋5b2＋5c2－(4ab＋4bc＋4ca)＞0，
只需证(a2－4ab＋4b2)＋(b2－4bc＋4c2)＋(c2－4ca＋4a2)＞0，只需证(a－2b)2＋(b－2c)2＋(c－2a)2＞0.
因为(a－2b)2≥0，(b－2c)2≥0，(c－2a)2≥0 ，
且这三个不等式中等号不可能同时成立(若同时成立等号，则必有a＝b＝c＝0)，
所以(a－2b)2＋(b－2c)2＋(c－2a)2＞0，
所以原不等式成立．
21．(本小题满分12分)十字绣有着悠久的历史，如下图，(1)、(2)、(3)、(4)为十字绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图案包含f(n)个小正方形．
(1)求出f(5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3)求＋＋＋…＋(n≥2)的值．
解：(1)按所给图案的规律画出第五个图如图：
由图可得f(5)＝41.
(2)由图可得f(2)－f(1)＝4×1；
f(3)－f(2)＝8＝4×2；
f(4)－f(3)＝12＝4×3；
f(5)－f(4)＝16＝4×4；
…
由上式规律，可得f(n＋1)－f(n)＝4n，所以f(n)－f(n－1)＝4(n－1)．即
f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)
＝f(n－2)＋4(n－2)＋4(n－1)
＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋…＋4
＝1＋4[1＋2＋…＋(n－1)]
＝2n2－2n＋1.
又f(1)＝1，所以f(n)＝2n2－2n＋1.
(3)当n≥2时，＝＝＝，
所以原式＝＋
＝1＋＝－.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝，记数列{an}的前n项和为Sn，且有a1＝f(1)．当n≥2时，Sn－＝(n2＋5n－2)．
(1)计算a1，a2，a3，a4；
(2)求出数列{an}的通项公式，并给予证明．
解：(1)a1＝2，a2＝3，a3＝4，a4＝5.
(2)由(1)猜想an＝n＋1，下面用数学归纳法证明：
①当n＝1时，由(1)可知猜想成立；
②假设n＝k(k∈N*)时猜想成立，即ak＝k＋1，此时sk＝(k2＋5k－2)＋2－ak，
当n＝k＋1时，Sk＋1－＝[(k＋1)2＋5(k＋1)－2]，
即Sk＋ak＋1－(2－ak＋1)＝[(k＋1)2＋5(k＋1)－2]，
即(k2＋5k－2)＋2－ak＋ak＋1－(2－ak＋1)＝[(k＋1)2＋5(k＋1)－2]，
结合ak＝k＋1，化简整理得ak＋1＝k＋2，
所以当n＝k＋1时猜想成立，
综上所述，对任意n∈N*，an＝n＋1成立．