2018-2019学年高中数学选修2-2人教版练习：模块综合评价（二）

模块综合评价(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于(　　)
A．第一象限　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：因为z＝＝＝1＋i，所以z＝1－i，所以z在复平面内对应的点位于第四象限．
答案：D
2．若复数z满足2z＋z＝3－2i，其中i为虚数单位，则z＝(　　)
A．1＋2i B．1－2i
C．－1＋2i D．－1－2i
解析：法一　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2z＋z＝2a＋2bi＋a－bi＝3a＋bi＝3－2i.由复数相等的定义，得3a＝3，b＝－2，解得a＝1，b＝－2，所以z＝1－2i.
法二　由已知条件2z＋z＝3－2i①，得2z＋z＝3＋2i②，解①②组成的关于z，z的方程组，得z＝1－2i.故选B.
答案：B
3．设f(x)＝10x＋lg x，则f′(1)等于(　　)
A．10 B．10ln 10＋lg e
C.＋ln 10 D．11ln 10
解析：f′(x)＝10xln 10＋，所以f′(1)＝10ln 10＋＝10ln 10＋lg e.
答案：B
4．已知函数f(x)＝x2＋2f′(1)ln x，则曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为(　　)
A．1　　　　B．2　　　　C．－1　　　　D．－2
解析：f′(x)＝2x＋，
令x＝1得f′(1)＝2×1＋2f′(1)，所以f′(1)＝－2.
即曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率k＝－2，故选D.
答案：D
5．用反证法证明命题：“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为(　　)
A．a，b都能被3整除 B．a，b都不能被3整除
C．a，b不都能被3整除 D．a不能被3整除
解析：因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”．
答案：B
6．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)
A．2 B．3 C．6 D．9
解析：因为f′(x)＝12x2－2ax－2b，又因为在x＝1处有极值，所以a＋b＝6，因为a＞0，b＞0，所以ab≤＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号，所以ab的最大值等于9.
答案：D
7．观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，按此规律，则第100项为(　　)
A．10 B．14 C．13 D．100
解析：设n∈N*，则数字n共有n个，所以≤100，即n(n＋1)≤200，又因为n∈N*，所以n＝13，到第13个13时共有＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.
答案：B
8．某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m3，高为3 m，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为(　　)
A．900元 B．840元
C．818元 D．816元
解析：设箱底一边的长度为x m，箱子的总造价为l元，根据题意，得l＝15×＋12×2＝240＋72(x>0)，l′＝72.令l′＝0，解得x＝4或x＝－4(舍去)．当04时，l′>0.故当x＝4时，l有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．故选D.
答案：D
9．过原点的直线l与抛物线y＝x2－2ax(a>0)所围成的图形面积为a3，则直线l的方程为(　　)
A．y＝±ax B．y＝ax
C．y＝－ax D．y＝－5ax
解析：设直线l的方程为y＝kx，
由得交点坐标为(0，0)，(2a＋k，2ak＋k2)，图形面积
S＝[kx－(x2－2ax)]dx＝＝－＝＝a3，
所以k＝a，所以直线l的方程为y＝ax，故应选B.
答案：B
10．证明不等式≤n＋1(n∈N*)，某学生的证明过程如下：
(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立；
(2)假设n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即 ≤k＋1，则当n＝k＋1时，＝ ≤＝＝(k＋1)＋1.
所以当n＝k＋1时，不等式成立．上述证法(　　)
A．过程全都正确
B．n＝1时验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
解析：验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.
答案：D
11.已知函数f(x)满足f(0)＝0，导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象与x轴围成的封闭图形的面积为(　　)
A. B.
C．2 D.
解析：由f′(x)的图象知，f′(x)＝2x＋2，
设f(x)＝x2＋2x＋c，由f(0)＝0知，c＝0，
所以f(x)＝x2＋2x，由x2＋2x＝0得x＝0或x＝－2.
故所求面积
S＝－(x2＋2x)dx＝－＝.
答案：B
12．已知函数f(x)＝xln x，若对任意的x≥1都有f(x)≥ax－1，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．(－∞，1)
C．[1，＋∞) D．不能确定
解析：由f(x)≥ax－1在区间[1，＋∞]上恒成立，得不等式a≤ln x＋在区间[1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝ln x＋，则g′(x)＝－＝.当x≥1时，g′(x)＝≥0，所以g(x)在区间[1，＋∞]上单调递增，所以g(x)的最小值是g(1)＝1，故a的取值范围是(－∞，1]．
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．复数z＝(1＋2i)(3－i)，其中i为虚数单位，则z的实部是________．
解析：因为z＝(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，所以z的实部是5.
答案：5
14．在△ABC中，D为边BC的中点，则＝(＋)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：_______________．
解析：将“△ABC”类比为“四面体A-BCD”，将“D为边BC的中点”类比为“△BCD的重心”，于是有类比结论：在四面体A-BCD中，G为△BCD的重心，则＝(＋＋)．
答案：在四面体A-BCD中，G为△BCD的重心，则＝(＋＋)
15．由抛物线y＝x2，直线x＝1，x＝3和x轴所围成的图形的面积是________．
解析：如图所示，S＝x2dx＝1＝(33－13)＝.
答案：
16．已知f(x)＝x3＋3x2＋a(a为常数)，在[－3，3]上有最小值3，那么在[－3，3]上f(x)的最大值是________．
解析：f′(x)＝3x2＋6x＝3x(x＋2)，当x∈[－3，－2)和x∈(0，3]时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(－2，0)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以极大值为f(－2)＝a＋4，极小值为f(0)＝a，又f(－3)＝a，f(3)＝54＋a，由条件知a＝3，所以最大值为f(3)＝54＋3＝57.
答案：57
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知a∈R，问复数z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应点的轨迹是什么？
解：由a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3.
－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1.
知z的实部为正数，虚部为负数，
所以复数z的对应点在第四象限．
设z＝x＋yi(x，y∈R)，则
因为a2－2a＝(a－1)2－1≥－1，
所以x＝a2－2a＋4≥3，
消去a2－2a，得y＝－x＋2(x≥3)，
所以复数z对应点的轨迹是一条射线，
其方程为y＝－x＋2(x≥3)．
18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝，a，b∈(0，＋∞)．
(1)用分析法证明：f＋f≤；
(2)设a＋b>4，求证：af(b)，bf(a)中至少有一个大于.
证明：(1)要证明f＋f≤，
只需证明＋≤，
只需证明＋≤，
即证≤，
即证(a－b)2≥0，这显然成立，
所以f＋f≤.
(2)假设af(b)，bf(a)都小于或等于，即≤，≤，
所以2a≤b＋2，2b≤a＋2，两式相加得a＋b≤4，
这与a＋b>4矛盾，所以af(b)，bf(a)中至少有一个大于.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex＋2(x2－3)．
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数y＝f(x)的极值．
解：(1)函数f(x)＝ex＋2(x2－3)，
则f′(x)＝ex＋2(x2＋2x－3)＝ex＋2(x＋3)(x－1)，
故f′(0)＝－3e2，又f(0)＝－3e2，
故曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＋3e2＝－3e2(x－0)，即3e2x＋y＋3e2＝0.
(2)令f′(x)＝0，可得x＝1或x＝－3，
如下表：
x
(－∞，－3)
－3
(－3，1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?↗
极大值
?↘
极小值
?↗
所以当x＝－3时，函数取极大值，极大值为f(－3)＝，当x＝1时，函数取极小值，极小值为f(1)＝－2e3.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋ln x.
(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值，最小值；
(2)求证：在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)＝x3图象的下方．
解：(1)由f(x)＝x2＋ln x有f′(x)＝x＋，
当x∈[1，e]时，f′(x)>0，
所以f(x)max＝f(e)＝e2＋1.
f(x)min＝f(1)＝.
(2)设F(x)＝x2＋ln x－x3，
则F′(x)＝x＋－2x2＝，
当x∈[1，＋∞)时，F′(x)<0，
且F(1)＝－<0故x∈[1，＋∞)时F(x)<0，
所以x2＋ln x21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2(a＋1)x＋2aln x(a＞0)．
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)若f(x)≤0在区间[1，e]上恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)因为a＝1，所以f(x)＝x2－4x＋2ln x，
所以f′(x)＝(x＞0)，f(1)＝－3，f′(1)＝0，
所以切线方程为y＝－3.
(2)f′(x)＝＝(x＞0)，
令f′(x)＝0得x1＝a，x2＝1，
当0＜a＜1时，在x∈(0，a)或x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，在x∈(a，1)时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调递增区间为(0，a)和(1，＋∞)，单调递减区间为(a，1)；
当a＝1时，f′(x)＝≥0，所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当a＞1时，在x∈(0，1)或x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0，在x∈(1，a)时，f′(x)＜0，所以f(x)的单调增区间为(0，1)和(a，＋∞)，单调递减区间为(1，a)．
(3)由(2)可知，f(x)在区间[1，e]上只可能有极小值点，所以f(x)在区间[1，e]上的最大值必在区间端点取到，
所以f(1)＝1－2(a＋1)≤0且f(e)＝e2－2(a＋1)e＋2a≤0，解得a≥，所以a的取值范围是.
22．(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*)．
(1)试求出S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出an的表达式．
解：(1)因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)
所以Sn＝n2(Sn－Sn－1)，所以Sn＝Sn－1(n≥2)
因为a1＝1，所以S1＝a1＝1.
所以S2＝，S3＝＝，S4＝，
猜想Sn＝(n∈N*)．
(2)①当n＝1时，S1＝1成立．
②假设n＝k(k≥1，k∈N*)时，等式成立，即Sk＝，
当n＝k＋1时，
Sk＋1＝(k＋1)2·ak＋1＝ak＋1＋Sk＝ak＋1＋，
所以ak＋1＝，
所以Sk＋1＝(k＋1)2·ak＋1＝＝.
所以n＝k＋1时等式也成立，得证．
所以根据①、②可知，对于任意n∈N*，等式均成立．
由Sn＝n2an，得＝n2an，所以an＝.