《选修1-1》之《 第二章 圆锥曲线与方程》单元测试（提高卷）
文档属性
| 名称 | 《选修1-1》之《 第二章 圆锥曲线与方程》单元测试（提高卷） |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-09-19 14:32:23 | ||
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文档简介
高中数学《选修1-1》之《椭圆、双曲线、抛物线》单元测试（提高卷）
考试时间：120分钟 满分：*150分
一、单选题（共8题；共56分）
1.直线l：2x﹣y+2=0过椭圆左焦点F1和一个顶点B，则该椭圆的离心率为（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
2.直线 与椭圆 相交于A,B两点,椭圆上的点P使△ABP的面积等于12,这样的点P共有（ ??）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个?????????????????????????????????D.?4个
3.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?3????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
4.已知两点 ， ， 且是与的等差中项，则动点的轨迹方程是（? ）
A.?????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.?
5.是椭圆的两个焦点，p是椭圆上的点，且，则的面积为
A.?4????????????????????????????????????????B.?6????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
6.已知斜率为2的直线l双曲线交A,B两点，若点是AB的中点，则C的离心率等于（???）
A.????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????D.?
7.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足，且点P的横坐标为c（c为半焦距），则该双曲线的离心率为（??????）
A.??????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?2????????????????????????????????????????D.?2
8.（2014?福建）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆 +y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（?? ）
A.?5 ?????????????????????????????B.?+ ???????????????????????????C.?7+ ??????????????????????????D.?6
二、填空题（共4题；共32分）
9.椭圆的两焦点为F1 ， F2 ， 一直线过F1交椭圆于P、Q，则△PQF2的周长为________?
10.已知双曲线 的左焦点 ，直线 与双曲线 的渐近线分别交于 两点，其中点 在第二象限，若 ，则双曲线 的离心率为________．
11.设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的标准方程是________?
12.已知椭圆 ，点 与 的焦点不重合．若 关于 的焦点的对称点分别为 ，线段 的中点在 上，则 ________．
三、解答题（共5题；共62分）
13.已知椭圆C： （a＞b＞0）的离心率为 ，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C的短半轴为半径的圆O相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的左顶点A作直线m，与圆O相交于两点R，S，若△ORS是钝角三角形，求直线m的斜率k的取值范围．
14.已知椭圆C 的离心率为 ，点 在椭圆C上．直线l过点（1，1），且与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M． （I）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点O为坐标原点，延长线段OM与椭圆C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求出此时直线l的方程，若不能，说明理由．
15.已知抛物线 上的一点 的横坐标为 ，焦点为 ，且 ，直线 与抛物线 交于 两点.
（1）求抛物线 的方程；
（2）若 是 轴上一点，且△ 的面积等于 ，求点 的坐标.
16.已知椭圆 ： 的离心率为 ，右顶点为 . （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）过点 的直线 交椭圆于 两点，设直线 斜率为 ，直线 斜率为 ，求证： 为定值.
17.已知 为坐标原点， ， 是椭圆 上的点，且 ，设动点 满足 ． （Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程； （Ⅱ）若直线 与曲线 交于 两点，求三角形 面积的最大值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
【解析】【解答】解：∵直线l：2x﹣y+2=0中，令x=0，得y=2；令y=0，得x=﹣1， 直线l：2x﹣y+2=0过椭圆左焦点F1和一个顶点B， ∴椭圆左焦点F1（﹣1，0），顶点B（0，2）， ∴c=1，b=2，a= = ， ∴该椭圆的离心率为e= = = ． 故选：C． 【分析】分别令直线方程中y=0和x=0，进而求得b和c，进而根据b，c和a的关系求得a，则椭圆的离心率可得．
2.【答案】B
【解析】【解答】由题意得, = , ∴ ∴ 到 的距离 , 设直线 与直线 平行,且与椭圆 相切,方程为 把直线 的方程代入椭圆的方程,得 = , 由 ,解得 . 故直线 的方程为 ∵ = 与直线 的距离为 = , = 与直线 的距离为 = , 故这样的点共2个。 故答案为：B． 【分析】根据已知条件可得出p点到AB的距离，再射出直线的方程，联立直线方程与椭圆方程即可求出椭圆到直线的距离，最后可判断所求点的个数。
3.【答案】A
【解析】【解答】解：依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，则 ， 依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|， 则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和 ． 故选A． 【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．
4.【答案】C
【解析】【解答】因为,是与的等差中项所以，,由椭圆的定义知点的轨迹是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，且， 则动点的轨迹方程是?，故选C
5.【答案】A
【解析】【分析】设丨PF2丨=x，则丨PF1丨=2x，依题意，丨PF1丨+丨PF2丨=x+2x=3x=2a=6， ∴x=2，2x=4， 即丨PF2丨=2，丨PF1丨=4，又|F1F2丨=2=2， ∴+=， ∴△PF1F2为直角三角形， ∴△PF1F2的面积为S=丨PF1丨丨PF2丨=×2×4=4． 故选A．
6.【答案】A
【解析】【解答】设， 带入双曲线得， 相减得， 即， 化简得， 即， 所以， 则离心率， 故选A.
7.【答案】C
【解析】【分析】本题以双曲线为载体，考查双曲线的几何性质，解题的关键是得出几何量之间的关系． 【解答】由题意，= ∵|PF2|=|F1F2|， ∴=,∴= ∴5e2-8e-4=0 ∴（e-2)（5e+2)=0 ∵e＞1 ∴e=2 故选C．
8.【答案】D
【解析】【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则 ∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为 ， ∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为 = = ≤5 ， ∴P，Q两点间的最大距离是5 +v=6 ． 故选：D． 【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．
二、填空题
9.【答案】20
【解析】【解答】解：∵a=5，由椭圆第一定义可知△PQF2的周长=4a． ∴△PQF2的周长=20．， 故答案为20． 【分析】由椭圆第一定义可知△PQF2的周长=4a，由此能够求出△PQF2的周长．
10.【答案】
【解析】【解答】解：因为双曲线 的渐近线方程为y= , 所以由 得 ， 由 得 ， 由 得 . 由三角形相似可知 , 即 . 故填 . 【分析】求出A,B的坐标，利用题设条件可得a,c的关系式，由此，即可得出结论．
11.【答案】y2=8x
【解析】【解答】由题意可知：=2，∴p=4且抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上 故可设抛物线的标准方程为：y2=2px 将p代入可得y2=8x． 故答案为：y2=8x． 【分析】先根据准线求出p的值，然后可判断抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上进而可设抛物线的标准形式，将p的值代入可得答案．
12.【答案】
【解析】【解答】设 的中点为 ，椭圆 的左，右焦点分别为 ，如图所示， 连接 ，因为 是 的中点， 是 的中点，所以 是△ 的中位线，所以 ，同理， ，所以 ，因为 在椭圆 上，所以根据椭圆的定义，可得 ，所以 ． 故答案为：12 . 【分析】根据椭圆方程确定a的值，设MN的中点为D，则在MAF2中=2，在MBN中=2，根据椭圆的定义可知：+=2a.
三、解答题
13.【答案】（1）解：由题意可得e= = ， 又圆O的方程为x2+y2=b2 ， 因为直线l：x﹣y+2=0与圆O相切， b= ，由a2=3c2=3（a2﹣b2），即a2=3． 所以椭圆C的方程为 （2）解：由（1）得知圆的方程为x2+y2=2．A（﹣ ，0），直线m 的方程为：y=k（x+ ）． 设R（x1，y1），S（x2，y2），由 得 ， 由△=12k4﹣4（1+k2）（3k2﹣2）＞0的﹣ ＜k＜ …① 因为△ORS是钝角三角形，∴ = = ． …② 由A、R、S三点不共线，知k≠0．????????????????????????????? ③ 由①、②、③，得直线m的斜率k的取值范围是（﹣ ，0）∪（0， ）
【解析】【分析】（1）求得圆O的方程，运用直线和相切的条件：d=r，求得b，再由离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；（2）先设出点R，S的坐标，利用△ORS是钝角三角形，求得 =x1x2+y1y2＜0，从而求出斜率k的取值范围
14.【答案】解：（I）由题意得 ，解得a2=4，b2=1． 所以椭圆C的方程为 ． （Ⅱ）四边形OAPB能为平行四边形，分2种情况讨论： ①当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1满足题意； ②当直线l与x轴不垂直时，设直线l：y=kx+m，显然k≠0，m≠0，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（xM ， yM）． 将y=kx+m代入 ．得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0， ． 故 ， ． 四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即 ． 则 ． 由直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0），过点（1，1），得m=1﹣k． 则 ， 则（4k2+1）（8k﹣3）=0． 则 ．满足△＞0． 所以直线l的方程为 时，四边形OAPB为平行四边形． 综上所述：直线l的方程为 或x=1
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，可得 ，解得a2与b2的值，代入椭圆的标准方程即可得答案；（Ⅱ）根据题意，分2种情况讨论，（1）当直线l与x轴垂直时，分析可得直线l的方程为x=1满足题意；（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l为y=kx+m，分析A、B、M的坐标，将y=kx+m代入 ．得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由根与系数的关系可得M的坐标，进而由四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分可得P的坐标，代入椭圆的标准方程可得 ，进而分析可得 ，解可得k、m的值，即可得答案．
15.【答案】（1）解：依题意得 ，所以 ，所以抛物线方程为 （2）解：设 ，联立得方程组 消去 得 ，从而 由弦长公式得 ， 设 ， 到直线 的距离为 ，则 ， 又 ，则 ，所以 或 ，故点 坐标为 或
【解析】【分析】（1）根据抛物线的性质：抛物线y2=2px（p>0）上任意一点（x0 ， y0）到焦点的距离d=x0+求出p的值即可；（2）将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到一个关于y的方程，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由韦达定理可得：y1+y2和y1y2 ， 根据弦长公式：弦长=可得到，根据点P在x轴上设P点坐标为（a，0），并根据点到直线的距离公式写出点P到直线l的距离d，根据三角形面积公式将S用和d表示，可得到一个关于a的方程，解方程从而得到a的值.
16.【答案】解：（Ⅰ）由题意得 ， 解得 所以椭圆 的方程为 . （Ⅱ）解：由题意知直线 斜率不为0，设直线 方程为 ， 由 消去 ，得 ， 易知 ，得 ? ．所以 为定值
【解析】【分析】(1)利用已知条件列出方程组，求解可得出椭圆C的方程。(2)讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，设出直线的方程和椭圆的方程联立消元得到关于y的方程，通过韦达定理利用斜率的乘积化简推导出结果。
17.【答案】解：（Ⅰ）设点 ， ， ， 则由 ，得 ， 即 ， ，因为点 在椭圆 上， 所以 ， ， 故 ? ? ， 因为 ， 所以动点 的轨迹 的方程为 ． （Ⅱ）将曲线 与直线 联立： ，消 得： ， ∵直线 与曲线 交于 两点，设 ， ， ∴ ? ，又∵ ，得 ， ， ， ∴ ? ， ∵点 到直线 的距离 ， ∴ ? ，当 时等号成立， ∴三角形 面积的最大值为
【解析】【分析】(1)首先根据向量的坐标公式计算出x = x1 + 3 x 2 ， y = y1 + 3 y2的关系式，代入到椭圆的方程整理可得x2 + 3 y2的代数式再结合直线的斜率关系即可求出x1 x2 + 3 y1 y2 = 0，即可得到动点P的轨迹方程。(2)结合题意利用椭圆的定义即可求出c的值再联立直线与椭圆的方程，消元由判别式以及韦达定理得到关于m的代数式，并把上式代入到弦长公式和三角形中利用二次函数的最值即可。
考试时间：120分钟 满分：*150分
一、单选题（共8题；共56分）
1.直线l：2x﹣y+2=0过椭圆左焦点F1和一个顶点B，则该椭圆的离心率为（?? ）
A.????????????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?
2.直线 与椭圆 相交于A,B两点,椭圆上的点P使△ABP的面积等于12,这样的点P共有（ ??）
A.?1个???????????????????????????????????????B.?2个???????????????????????????????????????C.?3个?????????????????????????????????D.?4个
3.已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（?? ）
A.?????????????????????????????????????????B.?3????????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????D.?
4.已知两点 ， ， 且是与的等差中项，则动点的轨迹方程是（? ）
A.?????????????????????B.?????????????????????C.?????????????????????D.?
5.是椭圆的两个焦点，p是椭圆上的点，且，则的面积为
A.?4????????????????????????????????????????B.?6????????????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
6.已知斜率为2的直线l双曲线交A,B两点，若点是AB的中点，则C的离心率等于（???）
A.????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????D.?
7.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P，满足，且点P的横坐标为c（c为半焦距），则该双曲线的离心率为（??????）
A.??????????????????????????????????B.????????????????????????????????????????C.?2????????????????????????????????????????D.?2
8.（2014?福建）设P，Q分别为圆x2+（y﹣6）2=2和椭圆 +y2=1上的点，则P，Q两点间的最大距离是（?? ）
A.?5 ?????????????????????????????B.?+ ???????????????????????????C.?7+ ??????????????????????????D.?6
二、填空题（共4题；共32分）
9.椭圆的两焦点为F1 ， F2 ， 一直线过F1交椭圆于P、Q，则△PQF2的周长为________?
10.已知双曲线 的左焦点 ，直线 与双曲线 的渐近线分别交于 两点，其中点 在第二象限，若 ，则双曲线 的离心率为________．
11.设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的标准方程是________?
12.已知椭圆 ，点 与 的焦点不重合．若 关于 的焦点的对称点分别为 ，线段 的中点在 上，则 ________．
三、解答题（共5题；共62分）
13.已知椭圆C： （a＞b＞0）的离心率为 ，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C的短半轴为半径的圆O相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过椭圆C的左顶点A作直线m，与圆O相交于两点R，S，若△ORS是钝角三角形，求直线m的斜率k的取值范围．
14.已知椭圆C 的离心率为 ，点 在椭圆C上．直线l过点（1，1），且与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M． （I）求椭圆C的方程； （Ⅱ）点O为坐标原点，延长线段OM与椭圆C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求出此时直线l的方程，若不能，说明理由．
15.已知抛物线 上的一点 的横坐标为 ，焦点为 ，且 ，直线 与抛物线 交于 两点.
（1）求抛物线 的方程；
（2）若 是 轴上一点，且△ 的面积等于 ，求点 的坐标.
16.已知椭圆 ： 的离心率为 ，右顶点为 . （Ⅰ）求椭圆 的方程； （Ⅱ）过点 的直线 交椭圆于 两点，设直线 斜率为 ，直线 斜率为 ，求证： 为定值.
17.已知 为坐标原点， ， 是椭圆 上的点，且 ，设动点 满足 ． （Ⅰ）求动点 的轨迹 的方程； （Ⅱ）若直线 与曲线 交于 两点，求三角形 面积的最大值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】C
【解析】【解答】解：∵直线l：2x﹣y+2=0中，令x=0，得y=2；令y=0，得x=﹣1， 直线l：2x﹣y+2=0过椭圆左焦点F1和一个顶点B， ∴椭圆左焦点F1（﹣1，0），顶点B（0，2）， ∴c=1，b=2，a= = ， ∴该椭圆的离心率为e= = = ． 故选：C． 【分析】分别令直线方程中y=0和x=0，进而求得b和c，进而根据b，c和a的关系求得a，则椭圆的离心率可得．
2.【答案】B
【解析】【解答】由题意得, = , ∴ ∴ 到 的距离 , 设直线 与直线 平行,且与椭圆 相切,方程为 把直线 的方程代入椭圆的方程,得 = , 由 ,解得 . 故直线 的方程为 ∵ = 与直线 的距离为 = , = 与直线 的距离为 = , 故这样的点共2个。 故答案为：B． 【分析】根据已知条件可得出p点到AB的距离，再射出直线的方程，联立直线方程与椭圆方程即可求出椭圆到直线的距离，最后可判断所求点的个数。
3.【答案】A
【解析】【解答】解：依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，则 ， 依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|， 则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和 ． 故选A． 【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．
4.【答案】C
【解析】【解答】因为,是与的等差中项所以，,由椭圆的定义知点的轨迹是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，且， 则动点的轨迹方程是?，故选C
5.【答案】A
【解析】【分析】设丨PF2丨=x，则丨PF1丨=2x，依题意，丨PF1丨+丨PF2丨=x+2x=3x=2a=6， ∴x=2，2x=4， 即丨PF2丨=2，丨PF1丨=4，又|F1F2丨=2=2， ∴+=， ∴△PF1F2为直角三角形， ∴△PF1F2的面积为S=丨PF1丨丨PF2丨=×2×4=4． 故选A．
6.【答案】A
【解析】【解答】设， 带入双曲线得， 相减得， 即， 化简得， 即， 所以， 则离心率， 故选A.
7.【答案】C
【解析】【分析】本题以双曲线为载体，考查双曲线的几何性质，解题的关键是得出几何量之间的关系． 【解答】由题意，= ∵|PF2|=|F1F2|， ∴=,∴= ∴5e2-8e-4=0 ∴（e-2)（5e+2)=0 ∵e＞1 ∴e=2 故选C．
8.【答案】D
【解析】【解答】解：设椭圆上的点为（x，y），则 ∵圆x2+（y﹣6）2=2的圆心为（0，6），半径为 ， ∴椭圆上的点（x，y）到圆心（0，6）的距离为 = = ≤5 ， ∴P，Q两点间的最大距离是5 +v=6 ． 故选：D． 【分析】求出椭圆上的点与圆心的最大距离，加上半径，即可得出P，Q两点间的最大距离．
二、填空题
9.【答案】20
【解析】【解答】解：∵a=5，由椭圆第一定义可知△PQF2的周长=4a． ∴△PQF2的周长=20．， 故答案为20． 【分析】由椭圆第一定义可知△PQF2的周长=4a，由此能够求出△PQF2的周长．
10.【答案】
【解析】【解答】解：因为双曲线 的渐近线方程为y= , 所以由 得 ， 由 得 ， 由 得 . 由三角形相似可知 , 即 . 故填 . 【分析】求出A,B的坐标，利用题设条件可得a,c的关系式，由此，即可得出结论．
11.【答案】y2=8x
【解析】【解答】由题意可知：=2，∴p=4且抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上 故可设抛物线的标准方程为：y2=2px 将p代入可得y2=8x． 故答案为：y2=8x． 【分析】先根据准线求出p的值，然后可判断抛物线的标准方程的焦点在x轴的正半轴上进而可设抛物线的标准形式，将p的值代入可得答案．
12.【答案】
【解析】【解答】设 的中点为 ，椭圆 的左，右焦点分别为 ，如图所示， 连接 ，因为 是 的中点， 是 的中点，所以 是△ 的中位线，所以 ，同理， ，所以 ，因为 在椭圆 上，所以根据椭圆的定义，可得 ，所以 ． 故答案为：12 . 【分析】根据椭圆方程确定a的值，设MN的中点为D，则在MAF2中=2，在MBN中=2，根据椭圆的定义可知：+=2a.
三、解答题
13.【答案】（1）解：由题意可得e= = ， 又圆O的方程为x2+y2=b2 ， 因为直线l：x﹣y+2=0与圆O相切， b= ，由a2=3c2=3（a2﹣b2），即a2=3． 所以椭圆C的方程为 （2）解：由（1）得知圆的方程为x2+y2=2．A（﹣ ，0），直线m 的方程为：y=k（x+ ）． 设R（x1，y1），S（x2，y2），由 得 ， 由△=12k4﹣4（1+k2）（3k2﹣2）＞0的﹣ ＜k＜ …① 因为△ORS是钝角三角形，∴ = = ． …② 由A、R、S三点不共线，知k≠0．????????????????????????????? ③ 由①、②、③，得直线m的斜率k的取值范围是（﹣ ，0）∪（0， ）
【解析】【分析】（1）求得圆O的方程，运用直线和相切的条件：d=r，求得b，再由离心率公式和a，b，c的关系，可得a，进而得到椭圆方程；（2）先设出点R，S的坐标，利用△ORS是钝角三角形，求得 =x1x2+y1y2＜0，从而求出斜率k的取值范围
14.【答案】解：（I）由题意得 ，解得a2=4，b2=1． 所以椭圆C的方程为 ． （Ⅱ）四边形OAPB能为平行四边形，分2种情况讨论： ①当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1满足题意； ②当直线l与x轴不垂直时，设直线l：y=kx+m，显然k≠0，m≠0，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），M（xM ， yM）． 将y=kx+m代入 ．得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0， ． 故 ， ． 四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分，即 ． 则 ． 由直线l：y=kx+m（k≠0，m≠0），过点（1，1），得m=1﹣k． 则 ， 则（4k2+1）（8k﹣3）=0． 则 ．满足△＞0． 所以直线l的方程为 时，四边形OAPB为平行四边形． 综上所述：直线l的方程为 或x=1
【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，可得 ，解得a2与b2的值，代入椭圆的标准方程即可得答案；（Ⅱ）根据题意，分2种情况讨论，（1）当直线l与x轴垂直时，分析可得直线l的方程为x=1满足题意；（2）当直线l与x轴不垂直时，设直线l为y=kx+m，分析A、B、M的坐标，将y=kx+m代入 ．得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由根与系数的关系可得M的坐标，进而由四边形OAPB为平行四边形当且仅当线段AB与线段OP互相平分可得P的坐标，代入椭圆的标准方程可得 ，进而分析可得 ，解可得k、m的值，即可得答案．
15.【答案】（1）解：依题意得 ，所以 ，所以抛物线方程为 （2）解：设 ，联立得方程组 消去 得 ，从而 由弦长公式得 ， 设 ， 到直线 的距离为 ，则 ， 又 ，则 ，所以 或 ，故点 坐标为 或
【解析】【分析】（1）根据抛物线的性质：抛物线y2=2px（p>0）上任意一点（x0 ， y0）到焦点的距离d=x0+求出p的值即可；（2）将直线方程与抛物线方程联立，消去x得到一个关于y的方程，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），由韦达定理可得：y1+y2和y1y2 ， 根据弦长公式：弦长=可得到，根据点P在x轴上设P点坐标为（a，0），并根据点到直线的距离公式写出点P到直线l的距离d，根据三角形面积公式将S用和d表示，可得到一个关于a的方程，解方程从而得到a的值.
16.【答案】解：（Ⅰ）由题意得 ， 解得 所以椭圆 的方程为 . （Ⅱ）解：由题意知直线 斜率不为0，设直线 方程为 ， 由 消去 ，得 ， 易知 ，得 ? ．所以 为定值
【解析】【分析】(1)利用已知条件列出方程组，求解可得出椭圆C的方程。(2)讨论直线的斜率存在和不存在两种情况，设出直线的方程和椭圆的方程联立消元得到关于y的方程，通过韦达定理利用斜率的乘积化简推导出结果。
17.【答案】解：（Ⅰ）设点 ， ， ， 则由 ，得 ， 即 ， ，因为点 在椭圆 上， 所以 ， ， 故 ? ? ， 因为 ， 所以动点 的轨迹 的方程为 ． （Ⅱ）将曲线 与直线 联立： ，消 得： ， ∵直线 与曲线 交于 两点，设 ， ， ∴ ? ，又∵ ，得 ， ， ， ∴ ? ， ∵点 到直线 的距离 ， ∴ ? ，当 时等号成立， ∴三角形 面积的最大值为
【解析】【分析】(1)首先根据向量的坐标公式计算出x = x1 + 3 x 2 ， y = y1 + 3 y2的关系式，代入到椭圆的方程整理可得x2 + 3 y2的代数式再结合直线的斜率关系即可求出x1 x2 + 3 y1 y2 = 0，即可得到动点P的轨迹方程。(2)结合题意利用椭圆的定义即可求出c的值再联立直线与椭圆的方程，消元由判别式以及韦达定理得到关于m的代数式，并把上式代入到弦长公式和三角形中利用二次函数的最值即可。