《选修1-1》《第二章 圆锥曲线与方程 》单元测试（基础卷）
文档属性
| 名称 | 《选修1-1》《第二章 圆锥曲线与方程 》单元测试（基础卷） |
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| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-09-19 14:32:07 | ||
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文档简介
高中数学《椭圆、双曲线、抛物线》单元测试（基础卷）
时量：120分钟 满分：150分
一、单选题（共8题；共56分）
1.已知直线与x轴交于点A，与直线x=c(c>0,cA.???????????????????????????????B.???????????????????????????????C.???????????????????????????????D.?
2.过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 ， ，如果 ，那么 （?? ）
A.????????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?4
3.已知圆C： 和点B(3,0)，P是圆上一点，线段BP的垂直平分线交CP于M点，则M点的轨迹方程是（???）
A.????????????????????????B.???????????????????????C.?????????????????????D.?
4.抛物线 ， 过点A（2，4），F为焦点，定点B的坐标为（8，-8），则 值为(?? )
A.??????????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
5.抛物线的准线方程是(??? )
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
6.抛物线 的准线方程为（ ??）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
7.设F1、F2是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△PF1F2的面积是(??? )
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????D.?
8.椭圆上有两个动点P、Q，E(3,0)， ， 则的最小值为（??）
A.?6?????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.?9?????????????????????????????????D.?
二、填空题（共4题；共32分）
9.抛物线y= 的准线方程是________．
10.抛物线x2=8y的焦点到双曲线 的渐近线的距离是________．
11.已知F为抛物线y2＝2ax(a>0)的焦点，点P是抛物线上任一点，O为坐标原点，以下四个命题：①△FOP为正三角形．②△FOP为等腰直角三角形．③△FOP为直角三角形．④△FOP为等腰三角形． 其中一定不正确的命题序号是________．
12.已知F1、F2分别是双曲线 的左、右焦点，点P是双曲线上的点，且|PF1|=3，则|PF2|的值为________．
三、解答题（共5题；共62分）
13.已知 方程 表示双曲线； 方程 表示焦点在 轴上的椭圆，若 为真命题， 为假命题，求实数 的取值范围.
14.已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为 ，且椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4．求椭圆C的方程．
15.已知双曲线? 的右焦点为F(c,0)．
（1）若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
（2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ， 过A作圆的切线，斜率为? ，求双曲线的离心率．
16.已知双曲线的中心在原点，焦点 在坐标轴上，离心率为 ，且过点 ，点 在双曲线上．
（1）求双曲线方程；
（2）求证： ；
（3）求△ 的面积．
17.设双曲线? 的两个焦点分别为F1、F2离心率e=2.
（1）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；
（2）若A、B分别为l1、l2上的点，且? 求线段AB的中点M的轨迹方程.
（3）过点N（1，0）能否作直线l ， 使l与双曲线交于不同两点P、Q.且? ，若存在，求直线l的方程，若不存在，说明理由.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
【解析】【解答】因为给定的直线与轴交于点， 与直线交于点， 椭圆以为左顶点，以为右焦点，且过点（c,k(c+a))设椭圆的方程为,则可知有,同时由于点M在曲线上可知，,同时利用勾股定理得到,联立方程组得到关系式，进而利用， 得到离心率的范围， ，故选D. 【分析】解决该试题的关键是对于直线的斜率与椭圆的参数a,b,c的关系式的运用，结合椭圆的方程来分析得到，属于基础题。
2.【答案】A
【解析】【解答】根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到抛物线准线的距离， 所以 ，故答案为：A． 【分析】灵活运用抛物线的性质：抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，从而得到答案。
3.【答案】B
【解析】【解答】如图所示，因为M是线段BP中垂线上的点，所以MP=MB，即M满足MC+MB=MC+MP=10>BC,所以，M点的轨迹是以B,C为焦点的椭圆，且2a=10,2c=6,所以，=16，故M点的轨迹方程是， 选B。 【分析】典型题，利用平面几何知识，认识到M点满足的几何条件，明确所求轨迹为椭圆，进一步求得几何量a,b,c，达到解题目的。
4.【答案】C
【解析】【解答】因为抛物线y2=2Px，过点A（2，4)，F为焦点，那么可知16=4p,p=4,可知其方程为y2=8x,焦点（2,0)准线x=-2,A到准线距离为4，所以 ， 那么 ， 故选C. 【分析】解决抛物线的问题，一般都要考查其定义的运用，也就是抛物线上任意一点到其焦点的距离等于其到准线的距离来表示焦半径的长度，属于基础题。
5.【答案】D
【解析】【解答】由抛物线方程y2= 2x，则， 所以该抛物线的准线方程为， 选D.
6.【答案】D
【解析】【解答】抛物线 的焦点在 轴上，且开口向右， 抛物线 的准线方程为 ， 故答案为：D. 【分析】由抛物线的方程求出p,再得到准线方程.
7.【答案】A
【解析】【解答】设|PF1|=x，|PF2|=y，根据根据双曲线性质可知x-y的值，再根据∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，进而根据2xy=?-（x-y)求得xy，进而可求得∴△F1PF2的面积. 【解答】设|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y)，根据双曲线性质可知x-y=4，∵∠F1PF2=90°，∴， ∴2xy=-（x-y)=4，∴xy=2，∴△F1PF2的面积为?=1，故选A 【分析】本题主要考查了双曲线的简单性质．要灵活运用双曲线的定义及焦距、实轴、虚轴等之间的关
8.【答案】A
【解析】【解答】根据题意，由于椭圆上有两个动点、， ， ， a=6,b=3,c=3， 那么结合椭圆的定义可知， 则取得最小值,即为两点距离的最小为故可知的最小值为6故答案为A. 【分析】主要是考查了椭圆的方程与性质的运用，属于基础题。
二、填空题
9.【答案】y=﹣1
【解析】【解答】解：抛物线的方程为x2=4y 故p=2 其准线方程为 y=﹣1 故答案为：y=﹣1． 【分析】根据抛物线的准线方程可求出结果。
10.【答案】1
【解析】【解答】解：根据题意，抛物线x2=8y的焦点在y轴正半轴上，其焦点坐标为（0，2）， 双曲线 的渐近线为y=± x，即y± x=0， 则抛物线x2=8y的焦点到双曲线 的渐近线的距离d= =1； 故答案为：1． 【分析】根据抛物线的性质求出其焦点坐标，再利用已知求出双曲线的渐近线方程根据点到直线的距离公式求出结果。
11.【答案】①②
【解析】【解答】∵抛物线上的点到焦点的距离最小时，恰好为抛物线顶点，∴①错误．若△FOP为等腰直角三角形，则点P的横纵坐标相等，这显然不可能，故②错误．故答案①② 【分析】利用抛物线的标准方程求解。
12.【答案】7
【解析】【解答】解：双曲线 中a=2， ∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上∴由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=4∴|PF2|=7 故答案为：7 【分析】根据双曲线的定义可得。
三、解答题
13.【答案】解： 为真命题时， ， 为真命题时， ， 或 ， ∵ 为真命题， 为假命题，∴ 与 —真一假， 当 真， 假时， ，当 假， 真时， 或 ， ∴ .
【解析】【分析】此题考查了双曲线、椭圆的简单性质和逻辑连结词“且”“或”的应用。
14.【答案】解：设椭圆方程为 =1（a＞b＞0）， 由题意可得e= = ， 由椭圆的定义可得2a=4，即a=2， c= ，b= =1， 则椭圆的方程为 +y2=1
【解析】【分析】设椭圆方程为 =1（a＞b＞0），运用椭圆的离心率公式和椭圆的定义，求得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程．
15.【答案】（1）【解答】∵双曲线的渐近线为y＝±? x ， ∴a＝b. ∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4. ∴a2＝b2＝2. ∴双曲线方程为 （2）【解答】设点A的坐标为(x0 ， y0)， ∴直线AO的斜率满足? ·(－? )＝－1. ∴x0＝? y0.① 依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2 ， 将①代入圆的方程得3y＋y＝c2 ， 即y0＝? c ， ∴x0＝c. ∴点A的坐标为（）. 代入双曲线方程得 即 b2c2－ a2c2＝a2b2 ， ② 又∵a2＋b2＝c2 ， ∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得 c4－2a2c2＋a4＝0， ∴ ， ∴(3e2－2)(e2－2)＝0， ∵e＞1，∴e＝ ，∴双曲线的离心率为 .
【解析】【分析】(1)根据双曲线的一条渐近线方程为y＝x ， 双曲线的渐近线为y＝± x ， 所以a＝b.求解即可；（2）因为是以原点O为圆心，c为半径作圆，可得圆的方程为x2＋y2＝c2 ， 该圆与双曲线在第一象限的交点为A ， 过A作圆的切线，斜率为－ ，可设点A的坐标为(x0 ， y0)，直线AO的斜率满足? ·(－ )＝－1.代入圆的方程，化简即可。
16.【答案】（1）解：∵ ， ， ， ， ∴可设双曲线方程为 ． ∵双曲线过点 ，∴ ，即 ，∴双曲线方程为 （2）证明：由（1）可知，在双曲线中 ，∴ ， ∴ ，∴ ， 又∵点 在双曲线上，∴ ， ． ∴ ，∴ （3）解：由（2）知 ?∴△ 为直角三角形．又 ， ，∴ 或 ，由两点间距离公式得： ， ， ∴ ． 即△ 的面积为6
【解析】【分析】（1）由离心率及双曲线上的点可以直接得到双曲线的标准方程； （2）由标准方程可得到焦点坐标，也易求点M的坐标，根据斜率直接得证； （3）可根据三角形面积计算公式直接求得答案。
17.【答案】（1）【解答】双曲线离心率为, ，所以渐近线方程： （2）【解答】设A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）AB的中点M（x ， y）∵2|AB|=5|F1F2|∴|AB|=10 ∴(x1 ， x2)2+(y1–y2)2=100，又? ，? ，x1+x2=2x ， y1+y2=2y ． ∴? ， ∴ , 即 （3）【解答】假设存在这样的直线e ， 设其方程为y=k(x-1) P(x1 ， y1)，Q(x2 ， y2)∵ ∴x1x2+y1y2=0 ∴x1x2+k2[x1x2-(x1+x2)+1]=0? ① 由 得(3k2-1)x2-6k2x+3k2-3=0 ∴? ② 由①②得： k2+3=0 ∴k不存在，即这样的直线不存在．
【解析】【分析】本题考查了双曲线的定义分析问题、解决问题的能力
时量：120分钟 满分：150分
一、单选题（共8题；共56分）
1.已知直线与x轴交于点A，与直线x=c(c>0,c
2.过抛物线 的焦点作直线交抛物线于 ， ，如果 ，那么 （?? ）
A.????????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????C.????????????????????????????????????????????D.?4
3.已知圆C： 和点B(3,0)，P是圆上一点，线段BP的垂直平分线交CP于M点，则M点的轨迹方程是（???）
A.????????????????????????B.???????????????????????C.?????????????????????D.?
4.抛物线 ， 过点A（2，4），F为焦点，定点B的坐标为（8，-8），则 值为(?? )
A.??????????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????????D.?
5.抛物线的准线方程是(??? )
A.?????????????????????????????????B.?????????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
6.抛物线 的准线方程为（ ??）
A.????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.??????????????????????????????D.?
7.设F1、F2是双曲线的两个焦点，P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△PF1F2的面积是(??? )
A.?1?????????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????????C.?2?????????????????????????????????????D.?
8.椭圆上有两个动点P、Q，E(3,0)， ， 则的最小值为（??）
A.?6?????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.?9?????????????????????????????????D.?
二、填空题（共4题；共32分）
9.抛物线y= 的准线方程是________．
10.抛物线x2=8y的焦点到双曲线 的渐近线的距离是________．
11.已知F为抛物线y2＝2ax(a>0)的焦点，点P是抛物线上任一点，O为坐标原点，以下四个命题：①△FOP为正三角形．②△FOP为等腰直角三角形．③△FOP为直角三角形．④△FOP为等腰三角形． 其中一定不正确的命题序号是________．
12.已知F1、F2分别是双曲线 的左、右焦点，点P是双曲线上的点，且|PF1|=3，则|PF2|的值为________．
三、解答题（共5题；共62分）
13.已知 方程 表示双曲线； 方程 表示焦点在 轴上的椭圆，若 为真命题， 为假命题，求实数 的取值范围.
14.已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率为 ，且椭圆C上的点到两个焦点的距离之和为4．求椭圆C的方程．
15.已知双曲线? 的右焦点为F(c,0)．
（1）若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；
（2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ， 过A作圆的切线，斜率为? ，求双曲线的离心率．
16.已知双曲线的中心在原点，焦点 在坐标轴上，离心率为 ，且过点 ，点 在双曲线上．
（1）求双曲线方程；
（2）求证： ；
（3）求△ 的面积．
17.设双曲线? 的两个焦点分别为F1、F2离心率e=2.
（1）求此双曲线的渐近线l1、l2的方程；
（2）若A、B分别为l1、l2上的点，且? 求线段AB的中点M的轨迹方程.
（3）过点N（1，0）能否作直线l ， 使l与双曲线交于不同两点P、Q.且? ，若存在，求直线l的方程，若不存在，说明理由.
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
【解析】【解答】因为给定的直线与轴交于点， 与直线交于点， 椭圆以为左顶点，以为右焦点，且过点（c,k(c+a))设椭圆的方程为,则可知有,同时由于点M在曲线上可知，,同时利用勾股定理得到,联立方程组得到关系式，进而利用， 得到离心率的范围， ，故选D. 【分析】解决该试题的关键是对于直线的斜率与椭圆的参数a,b,c的关系式的运用，结合椭圆的方程来分析得到，属于基础题。
2.【答案】A
【解析】【解答】根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离等于到抛物线准线的距离， 所以 ，故答案为：A． 【分析】灵活运用抛物线的性质：抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，从而得到答案。
3.【答案】B
【解析】【解答】如图所示，因为M是线段BP中垂线上的点，所以MP=MB，即M满足MC+MB=MC+MP=10>BC,所以，M点的轨迹是以B,C为焦点的椭圆，且2a=10,2c=6,所以，=16，故M点的轨迹方程是， 选B。 【分析】典型题，利用平面几何知识，认识到M点满足的几何条件，明确所求轨迹为椭圆，进一步求得几何量a,b,c，达到解题目的。
4.【答案】C
【解析】【解答】因为抛物线y2=2Px，过点A（2，4)，F为焦点，那么可知16=4p,p=4,可知其方程为y2=8x,焦点（2,0)准线x=-2,A到准线距离为4，所以 ， 那么 ， 故选C. 【分析】解决抛物线的问题，一般都要考查其定义的运用，也就是抛物线上任意一点到其焦点的距离等于其到准线的距离来表示焦半径的长度，属于基础题。
5.【答案】D
【解析】【解答】由抛物线方程y2= 2x，则， 所以该抛物线的准线方程为， 选D.
6.【答案】D
【解析】【解答】抛物线 的焦点在 轴上，且开口向右， 抛物线 的准线方程为 ， 故答案为：D. 【分析】由抛物线的方程求出p,再得到准线方程.
7.【答案】A
【解析】【解答】设|PF1|=x，|PF2|=y，根据根据双曲线性质可知x-y的值，再根据∠F1PF2=90°，求得x2+y2的值，进而根据2xy=?-（x-y)求得xy，进而可求得∴△F1PF2的面积. 【解答】设|PF1|=x，|PF2|=y，（x＞y)，根据双曲线性质可知x-y=4，∵∠F1PF2=90°，∴， ∴2xy=-（x-y)=4，∴xy=2，∴△F1PF2的面积为?=1，故选A 【分析】本题主要考查了双曲线的简单性质．要灵活运用双曲线的定义及焦距、实轴、虚轴等之间的关
8.【答案】A
【解析】【解答】根据题意，由于椭圆上有两个动点、， ， ， a=6,b=3,c=3， 那么结合椭圆的定义可知， 则取得最小值,即为两点距离的最小为故可知的最小值为6故答案为A. 【分析】主要是考查了椭圆的方程与性质的运用，属于基础题。
二、填空题
9.【答案】y=﹣1
【解析】【解答】解：抛物线的方程为x2=4y 故p=2 其准线方程为 y=﹣1 故答案为：y=﹣1． 【分析】根据抛物线的准线方程可求出结果。
10.【答案】1
【解析】【解答】解：根据题意，抛物线x2=8y的焦点在y轴正半轴上，其焦点坐标为（0，2）， 双曲线 的渐近线为y=± x，即y± x=0， 则抛物线x2=8y的焦点到双曲线 的渐近线的距离d= =1； 故答案为：1． 【分析】根据抛物线的性质求出其焦点坐标，再利用已知求出双曲线的渐近线方程根据点到直线的距离公式求出结果。
11.【答案】①②
【解析】【解答】∵抛物线上的点到焦点的距离最小时，恰好为抛物线顶点，∴①错误．若△FOP为等腰直角三角形，则点P的横纵坐标相等，这显然不可能，故②错误．故答案①② 【分析】利用抛物线的标准方程求解。
12.【答案】7
【解析】【解答】解：双曲线 中a=2， ∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上∴由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=4∴|PF2|=7 故答案为：7 【分析】根据双曲线的定义可得。
三、解答题
13.【答案】解： 为真命题时， ， 为真命题时， ， 或 ， ∵ 为真命题， 为假命题，∴ 与 —真一假， 当 真， 假时， ，当 假， 真时， 或 ， ∴ .
【解析】【分析】此题考查了双曲线、椭圆的简单性质和逻辑连结词“且”“或”的应用。
14.【答案】解：设椭圆方程为 =1（a＞b＞0）， 由题意可得e= = ， 由椭圆的定义可得2a=4，即a=2， c= ，b= =1， 则椭圆的方程为 +y2=1
【解析】【分析】设椭圆方程为 =1（a＞b＞0），运用椭圆的离心率公式和椭圆的定义，求得a，c，再由a，b，c的关系，可得b，进而得到椭圆方程．
15.【答案】（1）【解答】∵双曲线的渐近线为y＝±? x ， ∴a＝b. ∴c2＝a2＋b2＝2a2＝4. ∴a2＝b2＝2. ∴双曲线方程为 （2）【解答】设点A的坐标为(x0 ， y0)， ∴直线AO的斜率满足? ·(－? )＝－1. ∴x0＝? y0.① 依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2 ， 将①代入圆的方程得3y＋y＝c2 ， 即y0＝? c ， ∴x0＝c. ∴点A的坐标为（）. 代入双曲线方程得 即 b2c2－ a2c2＝a2b2 ， ② 又∵a2＋b2＝c2 ， ∴将b2＝c2－a2代入②式，整理得 c4－2a2c2＋a4＝0， ∴ ， ∴(3e2－2)(e2－2)＝0， ∵e＞1，∴e＝ ，∴双曲线的离心率为 .
【解析】【分析】(1)根据双曲线的一条渐近线方程为y＝x ， 双曲线的渐近线为y＝± x ， 所以a＝b.求解即可；（2）因为是以原点O为圆心，c为半径作圆，可得圆的方程为x2＋y2＝c2 ， 该圆与双曲线在第一象限的交点为A ， 过A作圆的切线，斜率为－ ，可设点A的坐标为(x0 ， y0)，直线AO的斜率满足? ·(－ )＝－1.代入圆的方程，化简即可。
16.【答案】（1）解：∵ ， ， ， ， ∴可设双曲线方程为 ． ∵双曲线过点 ，∴ ，即 ，∴双曲线方程为 （2）证明：由（1）可知，在双曲线中 ，∴ ， ∴ ，∴ ， 又∵点 在双曲线上，∴ ， ． ∴ ，∴ （3）解：由（2）知 ?∴△ 为直角三角形．又 ， ，∴ 或 ，由两点间距离公式得： ， ， ∴ ． 即△ 的面积为6
【解析】【分析】（1）由离心率及双曲线上的点可以直接得到双曲线的标准方程； （2）由标准方程可得到焦点坐标，也易求点M的坐标，根据斜率直接得证； （3）可根据三角形面积计算公式直接求得答案。
17.【答案】（1）【解答】双曲线离心率为, ，所以渐近线方程： （2）【解答】设A（x1 ， y1）、B（x2 ， y2）AB的中点M（x ， y）∵2|AB|=5|F1F2|∴|AB|=10 ∴(x1 ， x2)2+(y1–y2)2=100，又? ，? ，x1+x2=2x ， y1+y2=2y ． ∴? ， ∴ , 即 （3）【解答】假设存在这样的直线e ， 设其方程为y=k(x-1) P(x1 ， y1)，Q(x2 ， y2)∵ ∴x1x2+y1y2=0 ∴x1x2+k2[x1x2-(x1+x2)+1]=0? ① 由 得(3k2-1)x2-6k2x+3k2-3=0 ∴? ② 由①②得： k2+3=0 ∴k不存在，即这样的直线不存在．
【解析】【分析】本题考查了双曲线的定义分析问题、解决问题的能力