2018-2019学年人教A版高中数学必修一练习：滚动检测2函数及其基本性质

滚动检测(二)
(时间：45分钟　满分：75分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知函数f(x)＝·，则函数的定义域为(　　)
A．{x|x≥－2}　　　　 B．{x|x≥－5}
C．{x|x≤5} D．{x|x≥2}
解析：由题意得即∴x≥2.故选D.
答案：D
2．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是f(x)＝(　　)
A．3x＋2 B．3x＋1
C．3x－1 D．3x＋4
解析：∵f(x＋1)＝3(x＋1)－1，∴f(x)＝3x－1.
答案：C
3．函数f(x)＝－x＋x3的图象关于(　　)
A．y轴对称 B．直线y＝x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝－x对称
解析：本题主要考查函数的奇偶性和函数图象的对称性．因为f(－x)＝－＋x－x3＝－＝－f(x)，所以函数f(x)＝－x＋x3为奇函数，奇函数的图象关于原点对称．故选C.
答案：C
4．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是(　　)
A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数
解析：由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C.
答案：C
5．函数f(x)＝－2x在区间上的最小值为(　　)
A．1 B.
C．－ D．－1
解析：由函数单调性的定义判断．令x1＞x2且x1，
x2∈，则f(x1)－f(x2)＝(x2－x1).
因为x1＞x2，所以x2－x1＜0.因为x1∈，x2∈，所以x1·x2＞0，＋2＞0.所以f(x1)－f(x2)＝(x2－x1)＜0，即f(x1)答案：D
6．已知函数f(x)＝－x5－3x3－5x＋3，若f(a)＋f(a－2)＞6，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1) B．(－∞，3)
C．(1，＋∞) D．(3，＋∞)
解析：本题主要考查利用函数的奇偶性求解不等式．设F(x)＝f(x)－3＝－x5－3x3－5x，则F(x)为奇函数，且在R上为单调递减函数．因为F(0)＝0，所以当x＜0时，F(x)＞0，f(a)＋f(a－2)＞6等价于f(a－2)－3＞－f(a)＋3＝－[f(a)－3]，即F(a－2)＞－F(a)＝F(－a)．所以a－2＜－a，即a＜1.故选A.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在题中的横线上)
7．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝________.
解析：∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2.
答案：－2
8． 已知偶函数f(x)在[0，＋∞)单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x的取值范围是________．
解析： 根据偶函数的性质，易知f(x)>0的解集为(－2,2)，若f(x－1)>0，则－2答案： (－1,3)
9．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－x，则f(x)的解析式为____________．
解析：由已知得f(0)＝0，当x<0时，则－x>0，而x>0时，f(x)＝x2－x，所以f(－x)＝x2＋x，又f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，所以得f(x)＝－x2－x，综上可知f(x)＝
答案：
10．已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0 时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)＜5的解集是________．
解析：依据已知条件求出y＝f(x)，x∈R的解析式，再借助y＝f(x)的图象求解．设x<0，则－x>0.
当x≥0时，f(x)＝x2－4x，所以f(－x)＝(－x)2－4(－x)．
因为f(x)是定义在R上的偶函数，
得f(－x)＝f(x)，
所以f(x)＝x2＋4x(x<0)，故f(x)＝
由f(x)＝5得或，得x＝5或x＝－5.

观察图象可知由f(x)<5，得－5所以由f(x＋2)<5，得－5答案：{x|－7三、解答题(本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
11．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数)，设F(x)＝
(1)若 f(－1)＝0且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)表达式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围；
(3)设mn＜0，m＋n＞0，a＞0，且f(x)满足f(－x)＝f(x)，试比较F(m)＋F(n)的值与0的大小．
解：(1)∵f(－1)＝0，∴b＝a＋1，由f(x)≥0恒成立知：
a＞0且Δ＝b2－4a＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≤0，
∴a＝1从而f(x)＝x2＋2x＋1.
∴F(x)＝
(2)由(1)知， f(x)＝x2＋2x＋1，∴g(x)＝f(x)－kx＝x2＋(2－k)x＋1，
由g(x)在[－2,2]上是单调函数知－≤－2或－≥2，得k≤－2或k≥6.
(3)∵f(－x)＝f(x)，∴b＝0而a＞0，
∴f(x)在[0，＋∞)为增函数．
对于F(x)，当x＞0时，－x＜0，F(－x)＝－f(－x)＝－f(x)＝－F(x)；
当x＜0时，－x＞0，F(－x)＝f(－x)＝f(x)＝－F(x)，∴F(－x)＝－F(x)，
且F(x)在[0，＋∞)上为增函数，
由mn＜0知，m，n异号，不妨设m＞0，n＜0，
由m＞－n＞0知F(m)＞F(－n)＝－F(n)，∴F(m)＋F(n)＞0.
12．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝mx＋＋(m，n是常数)，且f(1)＝2，f(2)＝.
(1) 求m，n的值；
(2) 当x∈[1，＋∞)时，判断f(x)的单调性并证明；
(3)若不等式f(1＋2x2)＞f(x2－2x＋4)成立，求实数x的取值范围．
(1)解：∵f(1)＝m＋＋＝2，
f(2)＝2m＋＋＝，
∴
(2)证明：设1≤x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝x1＋＋－＝(x1－x2)
＝ (x1－x2).
∵1≤x1＜x2，
∴x1－x2＜0，x1x2＞1，∴2x1x2＞1，
∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增．
(3)解：∵1＋2x2≥1，x2－2x＋4＝(x－1)2＋3≥3，
∴ 只需1＋2x2＞x2－2x＋4，
∴x2＋2x－3＞0，
∴x＜－3或x＞1.