2018-2019学年人教A版高中数学必修一练习：滚动检测4函数的应用

滚动检测(四)
(时间：45分钟　满分：75分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知f(x)＝3ax＋1－2a，设在(－1,1)上存在x0使f(x0)＝0，则a的取值范围是(　　)
A．－1
C．a>或a<－1 D．a<－1
解析：∵f(x)是x的一次函数，
∴f(－1)·f(1)<0?a>或a<－1.
答案：C
2．某城市出租车起步价为10元，最长可租乘3 km(含3 km)，以后每1 km为1.6元(不足1 km，按1 km计费)，若出租车行驶在不需等待的公路上，则出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图象大致为(　　)

解析：由题意，当0当3当4…
当n －1答案：C
3．已知函数f(x)＝ax－3(a>0，且a≠1)，f(x0)＝0，若x0∈(0,1)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3，＋∞)
解析：本题以函数零点为载体，考查指数函数、对数函数的图象和性质．由f(x0)＝0，得ax0－3＝0，
∴x0＝loga3.又x0∈(0,1)，∴03.故选D.
答案：D
4．如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a米(0

解析：由题意设BC为x，则S＝x·(16－x) .
其中： 所以a≤x≤12.
所以S＝－x2＋16x＝－(x－8)2＋64，x∈[a,12]，
当a≤8时，u＝f(8)＝64.
当a>8时，u＝f(a)＝－(a－8)2＋64＝－a2＋16a，
所以u＝f(a)＝
答案：C
5．已知x0是函数f(x)＝ex＋2x－4的一个零点，若x1∈(－1，x0)，x2∈(x0,2)，则下列选项正确的是(　　)
A．f(x1)<0，f(x2)<0 B．f(x1)<0，f(x2)>0
C．f(x1)>0，f(x2)<0 D．f(x1)>0，f(x2)>0
解析：本题考查函数的单调性以及零点的概念，零点存在性定理的应用．∵f(0)＝e0＋2×0－4＝－3<0，f(1)＝e1＋2×1－4＝e－2>0，∴f(0)f(1)<0.又易知f(x)＝ex＋2x－4在R上是增函数，∴x0∈(0,1)．根据f(x)的单调性，得f(x1)f(x0)＝0，故选B.
答案：B
6．函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N*)内，则n＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：设g(x)＝ln x，h(x)＝－3x＋7，则函数g(x)和函数h(x)的图象交点的横坐标就是函数f(x)的零点．
在同一坐标系中画出函数g(x)和函数h(x)的图象，如图所示．
由图象知函数f(x)的零点属于区间，
又f(1)＝－4＜0，f(2)＝－1＋ln 2＝ln ＜0，f(3)＝2＋ln 3＞0，
所以函数f(x)的零点属于区间(2,3)．所以n＝2.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案写在题中的横线上)
7．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点，x1＝＝3.计算f(2)·f(x1)＜0，则此时零点x0∈________(填区间)．
解析：∵f(2)·f(4)＜0，f(2)·f(3)＜0，f(3)·f(4)＞0，故x0∈(2,3)．
答案：(2,3)
8．若函数f(x)＝ax－x－a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是____________．
解析：令ax－x－a＝0即ax＝x＋a，若01，y＝ax与y＝x＋a的图象如图所示．
答案：(1，＋∞)
9．已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0，且a≠1)．当2解析：∵2又∵log33>1，－1<3－b<0，∴f(3)>0，即f(2)f(3)<0，故x0∈(2,3)，即n＝2.
答案：2
10．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一.
解析：依题意有a·e－b×8＝a，∴b＝－，
∴y＝a·e－·t若容器中只有开始时的八分之一，
则有a·e－·t＝a，解得t＝24，
所以再经过的时间为24－8＝16 min.
答案：16
三、解答题(本大题共2小题，共25分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
11．(本小题满分12分)某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上，该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如表所示：
第t天
4
10
16
22
Q(万股)
36
30
24
18
(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；
(2)根据表中数据求出日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；
(3)在(2)的结论下，用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？
解：(1)P＝(t∈N*)．
(2)设Q＝at＋b(a，b为常数)，把(4,36)，(10,30)代入，
得解得
所以日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为
Q＝－t＋40,0(3)由(1)(2)可得
y＝(t∈N*)
即y＝ (t∈N*)．
当0当20ymax<(20－60)2－40＝120万元．
所以，在30天中的第15天，日交易额取得最大值125万元.
12．(本小题满分13分)设f(x)＝log为奇函数，a为常数．
(1)求a的值；
(2)证明f(x)在区间(1，＋∞)内单调递增；
(3)若对于区间[3,4]上的每一个x的值，不等式f(x)＞x＋m恒成立，求实数m的取值范围．
(1)解：∵f(－x)＝－f(x)，
∴log＝－log＝log.
∴＝，即(1＋ax)(1－ax)＝－(x＋1)(x－1)，∴a＝－1.
(2)证明：由(1)可知f(x)＝log＝log(x＞1)记u(x)＝1＋，
由定义可证明u(x)在(1，＋∞)上为减函数，
∴f(x)＝log在(1，＋∞)上为减函数．
(3)解：设g(x)＝log－x，
则g(x)在[3,4]上为增函数．∴g(x)＞m对x∈[3,4]恒成立，
∴m＜g(3)＝－.