2018-2019学年人教A版高中数学必修二检测：第一单元 单元质量测评.DOC
文档属性
| 名称 | 2018-2019学年人教A版高中数学必修二检测：第一单元 单元质量测评.DOC |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 280.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-09-19 15:15:43 | ||
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文档简介
第一章 单元质量测评
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( )
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②
答案 C
解析 可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠，都不能折成正四面体．
2．下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是( )
答案 B
解析 由于选项B中上、下底有五边，而侧面有四个，不能构成棱柱，故选B.
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )
A．8＋2 B．11＋2
C．14＋2 D．15
答案 B
解析 由三视图知，该几何体是一个直四棱柱(侧棱垂直于底面)，上、下底面为直角梯形，如图所示．
直角梯形斜腰长为＝，所以底面周长为4＋，侧面积为2×(4＋)＝8＋2，两底面的面积和为2××1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋2＋3＝11＋2.
4．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 棱长为1的正方体的体积为1,8个三棱锥的体积为8×××××＝，所以剩下的几何体的体积为1－＝.
5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )
A．8－ B．8－ C．8－2π D.
答案 A
解析 该几何体是由一个正四棱柱挖去一个圆锥得到的，显然正四棱柱的底面边长为2，高为2，圆锥的底面半径为1，高为2，则该几何体的体积V＝22×2－×π×12×2＝8－.故选A.
6.已知水平放置的△ABC，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是( )
A. B．2 C. D.
答案 A
解析 由斜二测画法的原则可得，BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝2×＝，由图易得AO⊥BC，∴S△ABC＝×2×＝，故选A.
7．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长为1，且侧棱垂直于底面A1B1C1，正视图是边长为1的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的侧视图面积为( )
A．2 B. C. D．1
答案 C
解析 由直观图、正视图以及俯视图可知，侧视图是宽为，长为1的长方形，所以侧视图面积S＝×1＝.
8．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝××1×1×1＝，剩余部分的体积V2＝13－＝.所以＝＝，故选D.
9．在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A. B. C. D．2π
答案 C
解析 过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆的半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆的半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π×12×2－π×12×1＝，故选C.
10．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是( )
A．2 B. C. D．3
答案 C
解析 由三视图可知，原几何体是一个四棱锥，其底面是一个上底、下底、高分别为1,2,2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面，则几何体的体积V＝×x＝，故x＝.选C.
11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
答案 B
解析 由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，所以其表面积为
×4πr2＋×πr2＋×2r×2πr＋2r×2r＋×πr2＝5πr2＋4r2，
又∵该几何体的表面积为16＋20π，
∴5πr2＋4r2＝16＋20π，解得r＝2.故选B.
12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A．6 B．8 C．10 D．12
答案 D
解析 该几何体是一个长方体在左边挖去一个三棱柱再拼接到右边而得到的，它的体积就是长方体的体积，由俯视图得长方体的长、宽分别是0.6＋2.4＝3和2，由正视图知长方体的高为1＋1＝2，该几何体的体积为V＝3×2×2＝12.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．有下列说法：
①球的半径是连接球心与球面上任意一点的线段；
②球的直径是连接球面上任意两点间的线段；
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆．
其中正确说法的序号是________．
答案 ①
解析 利用球的结构特征判断：①正确；②不正确，因为直径必过球心；③不正确，因为得到的是一个圆面．
14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
答案
解析 由三视图可知题中几何体是由圆柱的一半和球的四分之一组成的，所以该几何体的体积V＝V圆柱＋V球＝×12×2＋××13＝.
15．如图是一个棱长为1的无盖正方体盒子的平面展开图，A，B，C，D为其上四个点，以A，B，C，D为顶点的三棱锥的体积为________．
答案
解析 将展开图还原为正方体如下图，正方体棱长a＝1，故以A，B，C，D为顶点的三棱锥的体积V＝VC－ABD＝·a＝a3＝.
16．如图(1)所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm；当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm，则这个简单几何体的总高度为________cm.
答案 29
解析 设上、下圆柱的半径分别是r cm，R cm，高分别是h cm，H cm.由水的体积不变得πR2H＋πr2(20－H)＝πr2h＋πR2(28－h)，又r＝1，R＝3，故H＋h＝29.即这个简单几何体的总高度为29 cm.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，圆柱侧面上从A到C的最短距离是多少？
解 如图，圆柱的底面半径为 cm，母线长为5 cm.
沿AB展开，则C、D分别是BB′、AA′的中点．曲面上从A到C的最短距离是平面上A到C点的线段的长．
依题意AD＝π×＝.
∴AC＝ ＝ ，
∴圆柱侧面上从A到C的最短距离为 cm.
18．(本小题满分12分)如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.
试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．
解 如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2.
在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.
连接BC，即得到了原图形．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底边长分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长为AD＝2.
所以面积为S＝×2＝5.
19．(本小题满分12分)如图所示，四边形ABCD是直角梯形(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积．
解 由题意知，所成几何体的表面积等于圆台下底面面积＋圆台的侧面积＋半球面的面积．
又S半球面＝×4π×22＝8π(cm2)，
S圆台侧＝π(2＋5) ＝35π(cm2)，
S圆台下底＝π×52＝25π(cm2)，
所以所得几何体的表面积为8π＋35π＋25π＝68π(cm2)．
又V圆台＝×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，
V半球＝××23＝(cm3)，
所以所得几何体的体积为V圆台－V半球＝(cm3)．
20．(本小题满分12分)如图，两个相同的正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心)底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”．若正子体的六个顶点分别是正方体各面的中心，求此正子体的体积．
解 因为正子体的各个顶点是正方体各面的中心，
所以|AB|＝ ＝.
所以正四棱锥E－ABCD的底面积S＝|AB|2＝，高h＝.
所以正子体的体积V＝Sh×2＝×××2＝.
21.(本小题满分12分)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，四边形ABCD绕AD旋转一周形成几何体．
(1)画出该几何体的三视图；
(2)求出该几何体的表面积．
解 (1)
(2)下底面圆的面积S1＝25π，
台体的侧面积S2＝π×(2＋5)×5＝35π，
锥体的侧面积S3＝π×2×2＝4π，
故该几何体的表面积S＝S1＋S2＋S3＝(60＋4)π.
22．(本小题满分12分)如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下来一个扇环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且在余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．试求：
(1)AD的长；
(2)容器的容积．
解 (1)设圆台上、下底面的半径分别为r，R，AD＝x，
则OD＝72－x，由题意，得
∴即AD应取36 cm.
(2)∵2πr＝·OD＝·36，
∴r＝6(cm)，
圆台的高h＝ ＝ ＝6.
∴V＝πh(R2＋Rr＋r2)＝π×6×(122＋12×6＋62)＝504π(cm3)．
即容器的容积为504π cm3.
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷 (选择题，共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图所示，不是正四面体(各棱长都相等的三棱锥)的展开图的是( )
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②
答案 C
解析 可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现①②可折成正四面体，③④不论选哪一个三角形作底面折叠，都不能折成正四面体．
2．下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是( )
答案 B
解析 由于选项B中上、下底有五边，而侧面有四个，不能构成棱柱，故选B.
3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )
A．8＋2 B．11＋2
C．14＋2 D．15
答案 B
解析 由三视图知，该几何体是一个直四棱柱(侧棱垂直于底面)，上、下底面为直角梯形，如图所示．
直角梯形斜腰长为＝，所以底面周长为4＋，侧面积为2×(4＋)＝8＋2，两底面的面积和为2××1×(1＋2)＝3，所以该几何体的表面积为8＋2＋3＝11＋2.
4．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱的中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的几何体的体积是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 棱长为1的正方体的体积为1,8个三棱锥的体积为8×××××＝，所以剩下的几何体的体积为1－＝.
5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )
A．8－ B．8－ C．8－2π D.
答案 A
解析 该几何体是由一个正四棱柱挖去一个圆锥得到的，显然正四棱柱的底面边长为2，高为2，圆锥的底面半径为1，高为2，则该几何体的体积V＝22×2－×π×12×2＝8－.故选A.
6.已知水平放置的△ABC，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝，那么原△ABC的面积是( )
A. B．2 C. D.
答案 A
解析 由斜二测画法的原则可得，BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝2×＝，由图易得AO⊥BC，∴S△ABC＝×2×＝，故选A.
7．如图，水平放置的三棱柱的侧棱长为1，且侧棱垂直于底面A1B1C1，正视图是边长为1的正方形，俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的侧视图面积为( )
A．2 B. C. D．1
答案 C
解析 由直观图、正视图以及俯视图可知，侧视图是宽为，长为1的长方形，所以侧视图面积S＝×1＝.
8．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三棱锥．设正方体的棱长为1，则三棱锥的体积为V1＝××1×1×1＝，剩余部分的体积V2＝13－＝.所以＝＝，故选D.
9．在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A. B. C. D．2π
答案 C
解析 过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆的半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆的半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－·π·CE2·DE＝π×12×2－π×12×1＝，故选C.
10．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x的值是( )
A．2 B. C. D．3
答案 C
解析 由三视图可知，原几何体是一个四棱锥，其底面是一个上底、下底、高分别为1,2,2的直角梯形，一条长为x的侧棱垂直于底面，则几何体的体积V＝×x＝，故x＝.选C.
11．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )
A．1 B．2
C．4 D．8
答案 B
解析 由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，截圆柱的平面过圆柱的轴线，该几何体是一个半球拼接半个圆柱，所以其表面积为
×4πr2＋×πr2＋×2r×2πr＋2r×2r＋×πr2＝5πr2＋4r2，
又∵该几何体的表面积为16＋20π，
∴5πr2＋4r2＝16＋20π，解得r＝2.故选B.
12．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A．6 B．8 C．10 D．12
答案 D
解析 该几何体是一个长方体在左边挖去一个三棱柱再拼接到右边而得到的，它的体积就是长方体的体积，由俯视图得长方体的长、宽分别是0.6＋2.4＝3和2，由正视图知长方体的高为1＋1＝2，该几何体的体积为V＝3×2×2＝12.
第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．有下列说法：
①球的半径是连接球心与球面上任意一点的线段；
②球的直径是连接球面上任意两点间的线段；
③用一个平面截一个球，得到的是一个圆．
其中正确说法的序号是________．
答案 ①
解析 利用球的结构特征判断：①正确；②不正确，因为直径必过球心；③不正确，因为得到的是一个圆面．
14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．
答案
解析 由三视图可知题中几何体是由圆柱的一半和球的四分之一组成的，所以该几何体的体积V＝V圆柱＋V球＝×12×2＋××13＝.
15．如图是一个棱长为1的无盖正方体盒子的平面展开图，A，B，C，D为其上四个点，以A，B，C，D为顶点的三棱锥的体积为________．
答案
解析 将展开图还原为正方体如下图，正方体棱长a＝1，故以A，B，C，D为顶点的三棱锥的体积V＝VC－ABD＝·a＝a3＝.
16．如图(1)所示，一个装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm；当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm，则这个简单几何体的总高度为________cm.
答案 29
解析 设上、下圆柱的半径分别是r cm，R cm，高分别是h cm，H cm.由水的体积不变得πR2H＋πr2(20－H)＝πr2h＋πR2(28－h)，又r＝1，R＝3，故H＋h＝29.即这个简单几何体的总高度为29 cm.
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)圆柱的轴截面是边长为5 cm的正方形ABCD，圆柱侧面上从A到C的最短距离是多少？
解 如图，圆柱的底面半径为 cm，母线长为5 cm.
沿AB展开，则C、D分别是BB′、AA′的中点．曲面上从A到C的最短距离是平面上A到C点的线段的长．
依题意AD＝π×＝.
∴AC＝ ＝ ，
∴圆柱侧面上从A到C的最短距离为 cm.
18．(本小题满分12分)如图所示，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.
试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．
解 如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2.
在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.
连接BC，即得到了原图形．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底边长分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长为AD＝2.
所以面积为S＝×2＝5.
19．(本小题满分12分)如图所示，四边形ABCD是直角梯形(单位：cm)，求图中阴影部分绕AB所在直线旋转一周所成几何体的表面积和体积．
解 由题意知，所成几何体的表面积等于圆台下底面面积＋圆台的侧面积＋半球面的面积．
又S半球面＝×4π×22＝8π(cm2)，
S圆台侧＝π(2＋5) ＝35π(cm2)，
S圆台下底＝π×52＝25π(cm2)，
所以所得几何体的表面积为8π＋35π＋25π＝68π(cm2)．
又V圆台＝×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3)，
V半球＝××23＝(cm3)，
所以所得几何体的体积为V圆台－V半球＝(cm3)．
20．(本小题满分12分)如图，两个相同的正四棱锥(底面为正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心)底面重合组成一个八面体，可放于棱长为1的正方体中，重合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，把满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”．若正子体的六个顶点分别是正方体各面的中心，求此正子体的体积．
解 因为正子体的各个顶点是正方体各面的中心，
所以|AB|＝ ＝.
所以正四棱锥E－ABCD的底面积S＝|AB|2＝，高h＝.
所以正子体的体积V＝Sh×2＝×××2＝.
21.(本小题满分12分)如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，四边形ABCD绕AD旋转一周形成几何体．
(1)画出该几何体的三视图；
(2)求出该几何体的表面积．
解 (1)
(2)下底面圆的面积S1＝25π，
台体的侧面积S2＝π×(2＋5)×5＝35π，
锥体的侧面积S3＝π×2×2＝4π，
故该几何体的表面积S＝S1＋S2＋S3＝(60＋4)π.
22．(本小题满分12分)如图所示，有一块扇形铁皮OAB，∠AOB＝60°，OA＝72 cm，要剪下来一个扇环ABCD，作圆台形容器的侧面，并且在余下的扇形OCD内剪下一块与其相切的圆形使它恰好作圆台形容器的下底面(大底面)．试求：
(1)AD的长；
(2)容器的容积．
解 (1)设圆台上、下底面的半径分别为r，R，AD＝x，
则OD＝72－x，由题意，得
∴即AD应取36 cm.
(2)∵2πr＝·OD＝·36，
∴r＝6(cm)，
圆台的高h＝ ＝ ＝6.
∴V＝πh(R2＋Rr＋r2)＝π×6×(122＋12×6＋62)＝504π(cm3)．
即容器的容积为504π cm3.