2018-2019学年高中数学选修4-4人教版练习：评估验收卷（二）

评估验收卷(二)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列点不在直线(t为参数)上的是(　　)
A．(－1，2)　　　　　 B．(2，－1)
C．(3，－2) D．(－3，2)
解析：直线l的普通方程为x＋y－1＝0，因此点(－3，2)的坐标不适合方程x＋y－1＝0.
答案：D
2．方程(θ为参数，ab≠0)表示的曲线是(　　)
A．圆 B．椭圆
C．双曲线 D．双曲线的一部分
解析：由xcos θ＝a，所以cos θ＝，
代入y＝bcos θ，得xy＝ab，
又由y＝bcos θ，知y∈[－|b|，|b|]，
所以曲线应为双曲线的一部分．
答案：D
3．圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q(－2，2)是圆上一点，则对应的参数θ的值是(　　)
A. B.π
C.π D.π
解析：因为点Q(－2，2)在圆上，
所以且0≤θ<2π，所以θ＝π.
答案：B
4．设r>0，那么直线xcos θ＋ysin θ＝r与圆(φ是参数)的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．视r的大小而定
解析：易知圆的圆心在原点，半径是r，则圆心(0，0)到直线的距离为d＝＝r，恰好等于圆的半径，所以直线和圆相切．
答案：B
5．直线(t为参数)上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是(　　)
A．(－4，5) B．(－3，4)
C． (－3，4)或(－1，2) D．(－4，5)或(0，1)
答案：C
6．已知圆的渐开线(φ为参数)上有一点的坐标为(3，0)，则渐开线对应的基圆的面积为(　　)
A．π B．3π
C．4π D．9π
解析：把已知点(3，0)代入参数方程得
由②可得φ＝0，则把φ＝0代入①得r＝3，所以基圆的面积为9π.
答案：D
7．已知圆C的参数方程为(α为参数)，当圆心C到直线kx＋y＋4＝0的距离最大时，k的值为(　　)
A.　　　　B.　　　　C．－　　　　D．－
解析：圆C的普通方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心C(－1，1)．直线kx＋y＋4＝0过定点A(0，－4)，故当CA与直线kx＋y＋4＝0垂直时，圆心C到直线的距离最大，因为kCA＝－5，所以－k＝，所以k＝－.
答案：D
8．椭圆(θ为参数)的离心率是(　　)
A. B.
C. D.
解析：椭圆的标准方程为＋＝1，
所以e＝.
答案：A
9．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l被圆C截得的弦长为(　　)
A. B．2 C. D．2
解析：由题意得，直线l的普通方程为y＝x－4，
圆C的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4，
圆心到直线l的距离d＝＝，
直线l被圆C截得的弦长为2＝2.
答案：D
10．若直线y＝x－b与曲线θ∈[0，2π)有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是(　　)
A．(2－，1)
B．[2－，2＋]
C．(－∞，2－)∪(2＋，＋∞)
D．( 2－，2＋)
解析：由消去θ，得(x－2)2＋y2＝1.(*)
将y＝x－b代入(*)，化简得
2x2－(4＋2b)x＋b2＋3＝0，
依题意，Δ＝[－(4＋2b)]2－4×2(b2＋3)＞0.
解之得2－＜b＜2＋.
答案：D
11．已知在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆＋＝1上的一个动点，则S＝x＋y的取值范围为(　　)
A．[，5] B．[－，5]
C．[－5，－] D．[－，]
解析：因椭圆＋＝1的参数方程为(φ为参数)，故可设动点P的坐标为(cos φ，sin φ)，因此S＝x＋y＝cos φ＋sin φ＝(cos φ＋sin φ)＝sin(φ＋γ)，其中tan γ＝，所以S的取值范围是[－， ]，故选D.
答案：D
12．已知直线l：(t为参数)，抛物线C的方程y2＝2x，l与C交于P1，P2两点，则点A(0，2)到P1，P2两点距离之和是(　　)
A．4＋ B．2(2＋)
C．4(2＋) D．8＋
解析：将直线l参数方程化为(t′为参数)，代入y2＝2x，得t′2＋4(2＋)t′＋16＝0，设其两根为t1′，t2′，则t1′＋t2′＝－4(2＋)，
t1′t2′＝16>0.
由此知在l上两点P1，P2都在A(0，2)的下方，
则|AP1|＋|AP2|＝|t1′|＋|t2′|＝|t1′＋t2′|＝4(2＋)．
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．若直线l：y＝kx与曲线C：(参数θ∈R)有唯一的公共点，则实数k＝________．
解析：曲线C的普通方程为(x－2)2＋y2＝1，由题意知，＝1，所以k＝±.
答案：±
14．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(θ为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．
解析：由得y＝，
又由得x2＋y2＝2.
由得
即曲线C1与C2的交点坐标为(1，1)．
答案：(1，1)
15．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为________．
解析：曲线可化为y＝(x－2)2，
射线θ＝可化为y＝x(x≥0)，
联立这两个方程得x2－5x＋4＝0，点A，B的横坐标就是此方程的根，线段AB的中点的直角坐标为.
答案：
16．在直角坐标系Oxy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：(θ为参数)和曲线C2：ρ＝1上，则|AB|的最小值为________．
解析：因为C1：(x－3)2＋(y－4)2＝1，C2：x2＋y2＝1，
所以两圆圆心之间的距离为d＝＝5.
因为A在曲线C1上，B在曲线C2上，
所以|AB|min＝5－2＝3.
答案：3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知圆O的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π)．
(1)求圆心和半径；
(2)若圆O上点M对应的参数θ＝，求点M的坐标．
解：(1)由(0≤θ<2π)，
平方得x2＋y2＝4，
所以圆心O为(0，0)，半径r＝2.
(2)当θ＝时，x＝2cos θ＝1，y＝2sin θ＝－，
所以点M的坐标为(1，－)．
18．(本小题满分12分)已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．
(1)将曲线C的参数方程化为普通方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的长．
解：(1)由曲线C：得x2＋y2＝16，
所以曲线C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)将代入x2＋y2＝16，
整理，得t2＋3t－9＝0.
设A，B对应的参数为t1，t2，则
t1＋t2＝－3，t1t2＝－9.
|AB|＝|t1－t2|＝＝3.
19．(本小题满分12分)已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
解：(1)曲线C的参数方程为(θ为参数)．
直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.
(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为
d＝|4cos θ＋3sin θ－6|，
则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，
其中α为锐角，且tan α＝.
当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.
当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.
20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2a·cos(a>0)．
(1)求直线l与曲线C1的交点的极坐标(ρ，θ)(ρ≥0，0≤θ<2π)；
(2)若直线l与C2相切，求a的值．
解：(1)曲线C1的普通方程为y＝x2，x∈[－，]，
直线l的直角坐标方程为x＋y＝2，
联立解得或(舍去)．
故直线l与曲线C1的交点的直角坐标为(1，1)，其极坐标为.
(2)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2ax－2ay＝0，
即(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a>0)．
由直线l与C2相切，得＝a，故a＝1.
21．(本小题满分12分)已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．
(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；
(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值．
解：(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1，C2：＋＝1，
C1为圆心是(－4，3)，半径是1的圆，
C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．
(2)当t＝时，P(－4，4)， Q(8cos θ，3sin θ)，
故M(－2＋4cos θ，2＋sin θ)，
C3为直线x－2y－7＝0，
M到C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13|.
从而当cos θ＝，sin θ＝－时，d取得最小值.
22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，在以原点为极点、x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为ρsin＝.
(1)求C的普通方程和l的倾斜角；
(2)设点P(0，2)，l和C交于A，B两点，求|PA|＋|PB|.
解：(1)由消去参数α，得＋y2＝1，
即C的普通方程为＋y2＝1.
由ρsin＝，得ρsin θ－ρcos θ＝2，(*)
将代入(*)，化简得y＝x＋2，
所以直线l的倾斜角为.
(2)由(1)知，点P(0，2)在直线l上，可设直线l的参数方程为(t为参数)，
即(t为参数)，
代入＋y2＝1并化简，得5t2＋18t＋27＝0，
Δ＝(18)2－4×5×27＝108>0，
设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
则t1＋t2＝－<0，t1t2＝>0，所以t1<0，t2<0，
所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝－(t1＋t2)＝.