2018-2019学年高中数学选修2-2人教版练习：模块综合评价（一）

模块综合评价(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．已知i是虚数单位，则复数的虚部为(　　)
A．－i　　　　B．－1　　　　C．1　　　　D．i
解析：复数＝＝－1＋i，故复数的虚部为1.
答案：C
2．演绎推理 “因为指数函数y＝ax(a＞0且a≠1)是增函数，而函数y＝是对数函数，所以y＝是增函数”所得结论错误的原因是(　　)
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．大前提和小前提都错误
解析：当a＞1时，指数函数y＝ax是增函数，所以大前提错误．
答案：A
3．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　)
A．方程x2＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x2＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x2＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x2＋ax＋b＝0恰好有两个实根
解析：反证法的步骤第一步是假设命题反面成立，而“至少有一个根”的否定是“没有”．
答案：A
4．给出下列三个类比推理的结论：
①类比ax·ay＝ax＋y，则有ax÷ay＝ax－y；
②类比loga(xy)＝logax＋logay，则有sin(α＋β)＝sin α＋sin β；
③类比(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，则有(＋)2＝2＋2 ＋2.
其中，结论正确的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：只有①③的结论是正确的．
答案：B
5．某个命题与正整数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立．现已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得(　　)
A．当n＝6时，该命题不成立
B．当n＝6时，该命题成立
C．当n＝4时，该命题不成立
D．当n＝4时，该命题成立
解析：由题意可知，命题对n＝4不成立(否则对n＝5成立)．故选C.
答案：C
6．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c>0)围成的图形面积是，则c＝(　　)
A．1 B. C. D．2
解析：令x2＝cx3(c>0)解得x＝0或x＝，于是两曲线y＝x2与y＝cx3(c>0)围成的面积S＝0(x2－cx3)dx＝0＝＝，所以c＝，故选B.
答案：B
7．已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则＝2.”若把该结论推广到空间，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则＝(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：由题知，O为正四面体的外接球、内切球球心，设正四面体的高为h，由等体积法可求内切球半径为h，外接球半径为h，所以＝3.
答案：C
8．已知z1、z2均为复数，下列四个命题中，为真命题的是(　　)
A．|z1|＝|z1|＝
B．若|z2|＝2，则z2的取值集合为{－2，2，－2i，2i}(i是虚数单位)
C．若z＋z＝0，则z1＝0或z2＝0
D．z1z2＋z1z2一定是实数
解析：A不成立，如取z1＝i；B不成立，|z2|＝2，则z2＝2(cos θ＋isin θ)(θ∈R)；C不成立，如取z1＝i，z2＝1；D成立，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1z2＋z1z2＝(a＋bi)·(c－di)＋(a－bi)(c＋di)＝ac＋bd＋(bc－ad)i＋(ac＋bd)＋(ad－bc)i＝2ac＋2bd，因此z1z2＋z1z2是实数，故选D.
答案：D
9．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如下图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极大值点(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：若f(x)在x0处的左边导函数的符号为正，右边为负，则x0是函数f(x)的极大值点，据此判断，函数f(x)有两个极大值点．
答案：B
10．若函数f(x)＝x2－aln x在(2，＋∞)上为增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(4，＋∞) B．[4，＋∞)
C．(－∞，4) D．(－∞，4]
解析：因为f′(x)＝x－＝，且f(x)在区间(2，＋∞)上是增函数，所以f′(x)≥0在区间(2，＋∞)上恒成立，所以a≤x2在区间(2，＋∞)上恒成立．因为x>2时，x2>4，所以a≤4，故选D.
答案：D
11．曲线f(x)＝x3＋x－2在点P处的切线平行于直线y＝4x－1，则点P的坐标为(　　)
A．(1，0) B．(－1，－4)
C．(1.－4) D．(1，0)或(－1，－4)
解析：f′(x)＝3x2＋1，设点P坐标为P(x0，y0)，则切线斜率k＝f′(x0)＝3x＋1＝4，得x＝1，所以x0＝1或x0＝－1，对应的y0＝0或y0＝－4.
答案：D
12．已知函数f(x)＝x3－ln(－x)，则对于任意实数a，b(a＋b≠0)，则的值为(　　)
A．恒正 B．恒等于0
C．恒负 D．不确定
解析：可知函数f(x)＋f(－x)＝x3－ln(－x)＋(－x)3－ln(＋x)＝0，所以函数为奇函数，同时，
f′(x)＝3x2＋>0，f(x)是递增函数，＝，所以>0，所以选A.
答案：A
二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．复数z满足(1＋i)z＝|－i|，则z＝________．
解析：因为(1＋i)z＝|－i|＝2，所以z＝＝＝1－i，所以z＝1＋i.
答案：1＋i
14．变速直线运动的物体的速度为v(t)＝1－t2(m/s)(其中t为时间，单位：s)，则它在前2s内所走过的路程为________m.
解析：令v(t)＝0得t＝1，当t∈(0，1)时，v(t)＞0；
当t∈(1，2)时，v(t)＜0，所以物体所走的路程为(1－t2)dt＋(t2－1)dt＝＋1＝2.
答案：2
15．观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个点，第n个图案中圆点的总数是Sn.
n＝2，S2＝4；n＝3，S3＝8；n＝4，S4＝12；….按此规律，推出Sn与n的关系式为_________________________________________．
解析：依图的构造规律可以看出：
S2＝2×4－4，
S3＝3×4－4，
S4＝4×4－4(正方形四个顶点重复计算一次，应减去)．
…
猜想：Sn＝4n－4(n≥2，n∈N*)．
答案：Sn＝4n－4(n≥2，n∈N*)
16．已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．
解析：因为y＝x2，所以y′＝x，
易知P(4，8)，Q(－2，2)，
所以在P，Q两点处切线的斜率的值为4或－2.
所以这两条切线的方程为l1：4x－y－8＝0，l2：2x＋y＋2＝0，将这两个方程联立方程组求得y＝－4.
答案：－4
三．解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知复数z满足|z|＝，z的虚部为1，且在复平面内表示的点位于第二象限．
(1)求复数z；
(2)若m2＋m＋mz2是纯虚数，求实数m的值．
解：(1)设z＝a＋bi，(a，b∈R)，
则a2＋b2＝2，b＝1.
因为在复平面内表示的点位于第二象限，所以a<0，所以a＝－1，b＝1，
所以z＝－1＋i.
(2)由(1)得z＝－1＋i，
所以z2＝(－1＋i)2＝－2i，
所以m2＋m＋mz2＝m2＋m－2mi.
又因为m2＋m＋mz2是纯虚数，
所以所以m＝－1.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x3＋3ax2＋3x＋1.
(1)当a＝－时，讨论f(x)的单调性；
(2)若x∈[2，＋∞)时，f(x)≥0，求a的取值范围．
解：(1)当a＝－时，f(x)＝x3－3x2＋3x＋1，f′(x)＝3x2－6x＋3.
令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝＋1.
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0，f(x)在(－∞，－1)上是增函数；
当x∈(－1，＋1)时，f′(x)<0，f(x)在(－1，＋1)上是减函数；
当x∈(＋1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(＋1，＋∞)上是增函数．
(2)由f(2)≥0，得a≥－.
当a≥－，x∈[2，＋∞)时，
f′(x)＝3(x2＋2ax＋1)≥3＝3·(x－2)>0，
所以f(x)在[2，＋∞)上是增函数，于是当x∈[2，＋∞)时，f(x)≥f(2)≥0.
综上，a的取值范围是.
19．(本小题满分12分)已知△ABC的三边长为a，b，c，且其中任意两边长均不相等.，，成等差数列．
(1)比较与的大小，并证明你的结论；
(2)求证：B不可能是钝角．
(1)解：大小关系为＜，
证明如下：要证＜，只需证＜，
由题意知a，b，c＞0，只需证b2＜ac，
因为，，成等差数列，
所以＝＋≥2，
所以b2＜ac，
又a，b，c任意两边均不相等，
所以b2＜ac成立．故所得大小关系正确．
(2)证明：假设B是钝角，则cos B＜0，
而cos B＝＞＞＞0.
这与cos B＜0矛盾，故假设不成立．
所以B不可能是钝角．
20．(本小题满分12分)苏州市举办“广电狂欢购物节”促销活动，某厂商拟投入适当的广告费，对所售产品进行促销，经调查测算，该促销产品在狂欢购物节的销售量p(万件)与广告费用x(万元)满足p＝3－(其中0≤x≤a，a为正常数)．已知生产该批产品p万件还需投入成本(10＋2p)万元(不含广告费用)，产品的销售价格定为元/件，假定厂商生产的产品恰好能够售完．
(1)将该产品的利润y(万元)表示为广告费用x(万元)的函数；
(2)问广告投入多少万元时，厂商的利润最大？
解：(1)由题意知，y＝p－x－(10＋2p)，
将p＝3－代入化简得
y＝16－－x(0≤x≤a，a为正常数)．
(2)由(1)知y′＝－1－＝＝
－(0≤x≤a，a为正常数)．
①当a>1时，在区间(0，1)上，y′>0，函数在(0，1)上单调递增；
在区间(1，a)上，y′<0，函数在(1，a)上单调递减．
则广告费用投入1万元时，厂商的利润最大．
②当a≤1时，函数在[0，a]上单调递增，
所以x＝a时，函数有最大值，即广告费用投入a万元时，厂商的利润最大．
综上所述，当a>1时，广告费用投入1万元，厂商的利润最大；当a≤1时，广告费用投入a万元，厂商的利润最大．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(ax＋1)＋，x≥0，其中a>0.
(1)若f(x)在x＝1处到得极值，求a的值；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围．
解：(1)f′(x)＝－＝，
因为f(x)在x＝1处取得极值，所以f′(1)＝0，
即＝0，解得a＝1.
(2)由(1)知f′(x)＝，
因为x≥0，a>0，所以ax＋1>0.
①当a≥2时，在区间[0，＋∞)上，f′(x)>0，所以f(x)的单调增区间为[0，＋∞)．
②当00解得x> ，
由f′(x)<0解得x< ，
所以f(x)的单调减区间为，单调增区间为.
综上可知，当a≥2时，f(x)的单调增区间为[0，＋∞)；当0(3)当a≥2时，由(2)①知，f(x)的最小值为f(0)＝1，
当0综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是[2，＋∞)．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2(k≥0)．
(1)当k＝2时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)求f(x)的单调区间．
解：(1)当k＝2时，f(x)＝ln (1＋x)－x＋x2，
f′(x)＝－1＋2x.由于f(1)＝ln 2，f′(1)＝，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－ln 2＝(x－1)，即3x－2y＋2ln 2－3＝0.
(2)f′(x)＝，x∈(－1，＋∞)．
当k＝0时，f′(x)＝－.
所以，在区间(－1，0)上，f′(x)＞0；
在区间(0，＋∞)上，f′(x)＜0.
故f(x)的单调递增区间是(－1，0)，
单调递减区间是(0，＋∞)．
当0＜k＜1时，由f′(x)＝＝0，
得x1＝0，x2＝＞0.
所以，在区间(－1，0)和上，f′(x)＞0；
在区间上，f′(x)＜0.
故f(x)的单调递增区间是(－1，0)和，
单调递减区间是.
当k＝1时，f′(x)＝.
故f(x)的单调递增区间是(－1，＋∞)．
当k＞1时，由f′(x)＝＝0，
得x1＝∈(－1，0)，x2＝0.
所以，在区间和(0，＋∞)上，f′(x)＞0；
在区间上，f′(x)＜0.
故f(x)的单调递增区间是和(0，＋∞)，
单调递减区间是.