2018-2019学年高中数学选修2-2人教版练习：评估验收卷（一）

评估验收卷(一)
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)
1．若f(x)＝sin α－cos x，则f′(x)等于(　　)
A．cos α＋sin x B．2sin α＋cos x
C．sin x D．cos x
解析：函数是关于x的函数，因此sin α是一个常数．
答案：C
2．函数f(x)＝sin x＋cos x在点(0，f(0))处的切线方程为(　　)
A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0
解析：f′(x)＝cos x－sin x，f′(0)＝cos 0－sin 0＝1，又f(0)＝sin 0＋cos 0＝1，所以f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－1＝x－0，即x－y＋1＝0.
答案：A
3．一辆汽车按规律s＝at2＋1做直线运动，若汽车在t＝2时的瞬时速度为12，则a＝(　　)
A. B. C．2 D．3
解析：由s＝at2＋1得v(t)＝s′＝2at，依题意v(2)＝12，所以2a·2＝12，得a＝3.
答案：D
4．函数f(x)＝x2－ln 2x的单调递减区间是(　　)
A. B.
C.， D.，
解析：由题意知，函数f(x)定义域为x>0，因为f′(x)＝2x－＝，由f′(x)≤0得解得0答案：A
5．函数f(x)＝3x－4x3(x∈[0，1])的最大值是(　　)
A．1 B. C．0 D．－1
解析：f′(x)＝3－12x2，令f′(x)＝0，则x＝－(舍去)或x＝，因为f(0)＝0，f(1)＝－1，f＝－＝1，所以f(x)在[0，1]上的最大值为1.
答案：A
6．设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则常数a－b的值为(　　)
A．21 B．－21 C．27 D．－27
解析：由题意知，－2，4是函数f′(x)＝0的两个根，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
所以?
所以a－b＝－3＋24＝21.故选A.
答案：A
7．做直线运动的质点在任意位置处所受的力F(x)＝1＋ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1处，力F(x)所做的功是(　　)
A．1＋e B．e C. D．e－1
解析：W＝F(x)dx＝(1＋ex)dx＝(x＋ex)|＝(1＋e)－1＝e.
答案：B
8．设函数在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象可能是(　　)
解析：f(x)在(－∞，0)上为增函数，在(0，＋∞)上变化规律是减→增→减，因此f′(x)的图象在(－∞，0)上，f′(x)＞0，在(0，＋∞)上f′(x)的符号变化规律是负→正→负，故选项A正确．
答案：A
9．f(x)是一次函数，过点(2，3)，且f(x) dx＝0，则函数f(x)的图象与坐标轴围成的三角形的面积为(　　)
A．1 B. C. D.
解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)．
由题意得2k＋b＝3，①
(kx＋b)dx＝0＝0，
即k＋b＝0.②
联立①②得，k＝2，b＝－1.
所以f(x)＝2x－1.
直线y＝f(x)与坐标轴的交点分别为与(0，－1)，
所以所求的面积为××1＝.
答案：C
10．已知积分(kx＋1)dx＝k，则实数k＝(　　)
A．2 B．－2
C．1 D．－1
解析：因为(kx＋1)dx＝k，
所以＝k，
所以k＋1＝k，
所以k＝2.
答案：A
11．定义域为R的函数f(x)满足f(1)＝1，且f(x)的导函数f′(x)>，则满足2f(x)A．{x|－1C．{x|x<－1或x>1} D．{x|x>1}
解析：令g(x)＝2f(x)－x－1.
因为f′(x)>，
所以g′(x)＝2f′(x)－1>0.
所以g(x)为单调增函数．
因为f(1)＝1，所以g(1)＝2f(1)－1－1＝0.
所以当x<1时，g(x)<0，即2f(x)答案：B
12．若不等式2xln x≥－x2＋ax－3对x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，0) B．(－∞，4]
C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)
解析：2xln x≥－x2＋ax－3(x>0)恒成立，即a≤2ln x＋x＋(x>0)恒成立，设h(x)＝2ln x＋x＋(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0，1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范围是(－∞，4]．
答案：B
二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在题中横线上)
13．已知y＝ln，则y′＝________．
解析：y＝ln＝ln(1＋x2)－＝－ln(1＋x2)，所以y′＝－×·(2x)＝－.
答案：－
14.(x2－2sin x)dx＝________．
解析：(x2－2sin x)dx＝＝－＝18.
答案：18
15．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．
解析：因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ln x－3x，所以f′(x)＝－3，则f′(1)＝－2.所以y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y＋3＝－2(x－1)，即y＝－2x－1.
答案：y＝－2x－1
16．若关于x的方程x3－3x＋m＝0在[0，2]上有根，则实数m的取值范围是________．
解析：令f(x)＝x3－3x＋m，则f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．显然，当x<－1或x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当－1因为f(x)＝0在[0，2]上有解，
所以所以
所以－2≤m≤2.
答案：[－2，2]
三．解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设函数f(x)＝，求函数f(x)的单调区间．
解：f′(x)＝－ex＋ex＝ex，
由f′(x)＝0，得x＝1.
因为当x＜0时，f′(x)＜0；
当0＜x＜1时，f′(x)＜0；
当x＞1时，f′(x)＞0.
所以f(x)的单调递增区间是[1，＋∞)，单调递减区间是(－∞，0)，(0，1]．
18．(本小题满分12分)已知F(x)＝t(t－4)dt，x∈(－1，＋∞)．
(1)求F(x)的单调区间；
(2)求函数F(x)在[1，5]上的最值．
解：F(x)＝(t2－4t)dt＝－1＝x3－2x2－＝x3－2x2＋(x>－1)．
(1)F′(x)＝′＝x2－4x，
由F′(x)>0，即x2－4x>0，得－14；
由F′(x)<0，即x2－4x<0，得0(2)由(1)知F(x)在[1，4]上递减，在[4，5]上递增．
因为F(1)＝－2＋＝，F(4)＝×43－2×42＋＝－，F(5)＝×53－2×52＋＝－6，
所以F(x)在[1，5]上的最大值为，最小值为－.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝aln(x＋1)＋x2－ax＋1(a>1)．
(1)求函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)当a>1时，求函数y＝f(x)的单调区间和极值．
解：(1)f(0)＝1，f′(x)＝＋x－a＝，f′(0)＝0，所以函数y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(2)函数的定义域为(－1，＋∞)，
令f′(x)＝0，即＝0.
解得x＝0或x＝a－1.
当a>1时，f(x)，f′(x)随x变化的情况如下：
x
(－1，0)
0
(0，a－1)
a－1
(a－1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
?↗
极大值
?↘
极小值
?↗
可知f(x)的单调减区间是(0，a－1)，增区间是(－1，0)和(a－1，＋∞)，极大值为f(0)＝1，极小值为f(a－1)＝aln a－a2＋.
20．(本小题满分12分)某个体户计划经销A，B两种商品，据调查统计，当投资额为x(x≥0)万元时，在经销A，B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元，其中f(x)＝a(x－1)＋2，g(x)＝6ln(x＋b)(a＞0，b＞0)．已知投资额为零时收益为零．
(1)求a，b的值；
(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润．
解：(1)由投资额为零时收益为零，
可知f(0)＝－a＋2＝0，g(0)＝6ln b＝0，
解得a＝2，b＝1.
(2)由(1)可得f(x)＝2x，g(x)＝6ln (x＋1)．
设投入经销B商品的资金为x万元(0＜x≤5)，
则投入经销A商品的资金为(5－x)万元，
设所获得的收益为S(x)万元，则S(x)＝2(5－x)＋
6ln (x＋1)＝6ln (x＋1)－2x＋10(0＜x≤5)．
S′(x)＝－2，令S′(x)＝0，得x＝2.
当0＜x＜2时，S′(x)＞0，函数S(x)单调递增；
当2＜x≤5时，S′(x)＜0，函数S(x)单调递减．
所以，当x＝2时，函数S(x)取得最大值，S(x)max＝
S(2)＝6ln 3＋6≈12.6万元．
所以，当投入经销A商品3万元，B商品2万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6万元．
21．(本小题满分12分)设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2.
(1)若a＝，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时，f(x)≥0，求a的取值范围．
解：(1)a＝时，f(x)＝x(ex－1)－x2，
f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0；
当x∈(－1，0)时，f′(x)＜0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.
故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，
在(－1，0)上单调递减．
(2)f(x)＝x(ex－1－ax)，
令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.
若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，从而当x≥0时g(x)≥0，即f(x)≥0.
若a＞1，则当x∈(0，ln a)时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，从而当x∈(0，ln a)时g(x＜0)，f(x)＜0.
综上，得a的取值范围为(－∞，1]．
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－aln x(a∈R)．
(1)若f(x)在x＝2处取得极值，求a的值；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)求证：当x>1时，x2＋ln x(1)解：f′(x)＝x－，因为x＝2是一个极值点，
所以2－＝0，所以a＝4.
(2)解：因为f′(x)＝x－，f(x)的定义域为x>0，
所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
当a>0时，f′(x)＝x－＝＝，
令f′(x)>0，得x>，
所以函数f(x)的单调递增区间为(，＋∞)；
令f′(x)<0，得0所以函数f(x)的单调递减区间为(0，)．
(3)证明：设g(x)＝x3－x2－ln x，
则g′(x)＝2x2－x－，
因为当x>1时，g′(x)＝>0，
所以g(x)在(1，＋∞)上是增函数．
所以g(x)>g(1)＝>0.
所以当x>1时，x2＋ln x